初一升初二数学衔接班课程
七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十八讲第十九讲专题六全等、等腰三角形综合运用拔高
第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（拔高）第一部分【能力提升】一、如图， BD＝ CD，∠ B＝∠ C，求证： AD均分∠ BAC.ADB C二、如图， Rt △ ABC，∠ C＝ 90°， AB的垂直均分线交（ 1）求证：△ ADE≌△ BDC；（ 2）求∠ A 的度数 .三、如图，在△ABC中， AB=2BC，∠ B=2∠ A，求证：△AC于点 D，连接 BD， BD均分∠ ABC.AEDB C ABC为直角三角形 .AB C四、如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AD均分∠ BAC， DE⊥ AB， F 为 AC上一点，DF=DB，求证： CF=BE.CDFA E B第二部分【综合运用】五、如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=BC， D是斜边 AB上任意一点， AE⊥ CD于点 E， BF⊥CD交 CD的延长线于点 F， CH⊥AB 于点 H，交 AE于点 G，求证： BD=CG.CEGDA H BF六、如图，在△ ABC中，∠ BAC的均分线与BC的垂直均分线 PQ订交于点 P，过点 P 分别作AB、AC(或它们的延长线 ) 的垂线，垂足分别为 N、 M，求证： BN=CM.NB PQA M C七．如图，△ ABC中，∠ A=50°， AB＞ AC，D、E 分别在 AB、AC上，且 BD=CE，∠ BCD=∠ CBE，若 BE、 CD订交于 O点，求∠ BOC的度数 .AEDOB C八、如图， AB⊥ BC，EC⊥ BC，D 在 BC上， AD=DE， AB=a，CE=b，∠ ADB=75°，∠ EDC=45°，求 BD的长 . （用含 a、 b 的代数式表示）AEB D C九、如图，正方形ABCD中， E、 F 分别为 BC、 CD上的两点，∠EAF=45° .（ 1）求证： BE+DF=EF；（若正方形的连长为a，则△ CEF的周长等于2a）（ 2）求证： AE均分∠ BEF； AF 均分∠ DFE；A（ 3）作 AH⊥ EF，求证： AH=AB.45DFB E C十、如图，正方形 ABCD中， E 为 BC边上一点，沿直线AE折叠正方形 ABCD，使点 B 落在形内的点 H，延长 EH交 CD于点 F.A D （ 1）求证：∠ EAF=45°；（ 2）求证： BE+DF=EF；（ 3）求证： AF均分∠ DFE.FB E HC十一、研究与猜想：（1）如图 1，等腰 Rt△ ABC和等腰 Rt△ ADE，∠ ACB=∠ ADE=90°， D 点在 AB 上， E 点在 AC上， P 为 BE 的中点，则线段 PD、PC能否存在某种确立的数目关系和位置关系？请写出你的结论（不需要证明）；（ 2）若将图 1 中的等腰 Rt△ ADE绕 A 点逆时针旋转 45°获得图2（此时点 E 在 AB 上），其他条件不变，试问：线段PD、PC能否存在某种确立的数目关系和地点关系？写出你的结论并证明；B BPD PDEA E C AC图1图2（ 3）若将图 1 中的等腰 Rt △ADE绕 A点顺时针任意旋转一个角度获得图3（此时点 E 在 AC的下方），其他条件不变，试问：线段 PD、PC能否存在某种确立的数目关系和地点关系？请你完成图3，写出你的结论并证明；BA CE图3。
七年级升八年级衔接教材(七年级)
第一讲 和绝对值有关的问题一、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；第一种 ②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a①非负数的绝对值是它本身 第二种②非正数的绝对值是它的相反数⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a （3）非负数的性质：几个非负数之和零，则每个非负数都等于0二、典型例题题型一：给定范围的绝对值化简例1 设化简的结果是（ ）。
变式练习：A 、 B 、C 、D 、1、若 ，则有（ ）。
A 、B 、C 、D 、2、 已知a <b <c ，化简：a c c b b a -+-+-3、已知a 、b 、c 、d 满足且，那么题型二：与数轴有关的绝对值化简例2 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）、A 、B 、C 、D 、变式练习：1、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）、A、 B、 C、 D、2、有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，中负数的个数是（）、A、0B、1C、2D、3题型三：用零点分段法进行绝对值化简例3 化简变式练习：1、设x是实数，下列四个结论中正确的是（）。
A、y没有最小值B、有有限多个x使y取到最小值C、只有一个x使y取得最小值D、有无穷多个x使y取得最小值2、化简零点分段讨论法的一般步骤是：①；②；③；④；题型四：绝对值的非负性例4 若012=++-y x ，求x +y 的值。
变式练习：1、若33-=-x x ，求x 的取值范围。
2、若42=-x ，求x 的值。
练习题一1、有理数的绝对值一定是（ ） A 、正数 B 、整数 C 、正数或零 D 、自然数2、绝对值等于它本身的数有（ ）A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个3、下列说法正确的是（ ）A 、—|a |一定是负数B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等C 、若|a |=|b |，则a 与b 互为相反数D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4、比较21-、31、41的大小，结果正确的是（ ） A 、21-＜31＜41 B 、21-＜41＜31 C 、41＜21-＜31 D 、31＜21-＜415、判断。
2024年初升高衔接课教学规划
练才是硬道理（一） 练才是硬道理（二） 练才是硬道理（三） 练才是硬道理（四） 练才是硬道理（五） 练才是硬道理（六）
休息
7 月 10 日 7 月 11 日 7 月 12 日 7 月 13 日 7 月 14 日 7 月 15 日
第十三课：解不等式（一） 第十四课：解不等式（二） 第十五课：二次函数的图象及性质 第十六课：二次函数的应用 第十七课：平行线分线段成比例定理与射影定理 第十八课：角平分线性质定理与面积法 第十九课：三角形的“四心” 第二十课：圆幂定理 第二十一课：集合的概念 第二十二课：集合间的基本关系 第二十三课：集合的基本运算（一） 第二十四课：集合的基本运算（二）
练才是硬道理（七） 练才是硬道理（八） 练才是硬道理（九） 练才是硬道理（十） 练才是硬道理（十一） 练才是硬道理（十二）
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2023 年暑假数学初升高衔接课教学安排5日 7月6日 7月7日 7月8日 7月9日
第一课：“缘”在高中 一路同“学” 第二课：多项式的乘法 第三课：耐克函数与耐克兄弟 第四课：基本不等式初步 第五课：因式分解的多种方法（一） 第六课：因式分解的多种方法（二） 第七课：根式与分式（一） 第八课：根式与分式（二） 第九课：一元二次方程 第十课：二元二次方程 第十一课：分式方程 第十二课：无理方程
数学初高衔接内容
数学初高中的衔接内容是非常重要的，它涉及到学生在数学学科中的连贯性和深入理解。
下面列举了一些常见的数学初高中衔接内容：
1. 数学基础知识的复习和巩固：
-复习初中数学的基本概念、公式和运算规则，如整数、分数、代数等；
-温故而知新，通过练习和应用，巩固和熟练掌握初中数学的基础知识。
2. 函数与方程的深入学习：
-学习更高级的函数类型，如指数函数、对数函数、三角函数等，并掌握它们的性质和图像；
-学习更复杂的方程类型，如二次方程、立方方程、指数方程等，进一步提升解方程的能力。
3. 几何的推广与拓展：
-进一步学习平面几何和立体几何的相关知识，如平行线、相似三角形、立体几何的体积与表面积等；
-学习使用向量方法解决几何问题，如向量的加法、减法、数量积、向量夹角等。
4. 数据与统计的扩展应用：
-学习更复杂的数据统计方法，如概率、抽样调查和统计推断等；
-开展实际问题的统计与分析，培养学生的数据处理和解决问题的能力。
5. 探究型学习与证明思维的培养：
-引导学生进行探究性学习，鼓励他们提出问题、验证猜想和发现规律；
-培养学生的数学思想和证明能力，引导他们理解数学定理和定律的证明过程。
通过初高中数学的衔接，旨在帮助学生建立起对数学的整体性理解和扎实的基础，为进一步深入学习和应用数学打下坚实的基础。
重要的是，教师需要根据学生的具体情况和学科特点，适当调整教学内容和方式，使学生能够顺利过渡到高中数学，并进一步拓展数学思维和应用能力。
初一升初二数学衔接
初一升初二数学衔接·第8讲——二元一次方程组的解法（七年级第八章）【知识要点】（一）二元一次方程(组)的定义1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．注意：二元一次方程定义中，关键在于方程中必须含有两个未知数，并且方程中含未知数的项的次数是1次．2．二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．3．二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．注意体会二元一次方程组的两个特征：（1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2个，也可能是1个；（2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1次． 对所给出的二元一次方程，要能熟练的整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a4．二元一次方程组的解 :二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.即:满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解．（二）二元一次方程组的解法 1．代入法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式．（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来． （5）注意检验．2．加减法：用加减法解二元一次方程组的步骤．（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等． （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”联立起来． (5)注意检验．注意：解二元一次方程组的方法很多，但常用的方法是代入法和加减法．这两种方法各有长处，解题时应注意审题，选择一种恰当的方法解题．二元一次方程、二元一次方程组及其解法是在一元一次方程及其解法基础上学习的，要注意新旧知识的联系和转化：【典型例题】例1 判断下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是？为什么？（1）123-=-y x ； （2）13121=+y x ； （3）7532=-x ； （4）01=+xy ； （5）x 1+2y=4；（6）0=+y x ．自我解答：分析：根据二元一次方程的定义来判断． 解：（1）、（2）、（6）都是二元一次方程；（3）不是二元一次方程．因为它只含有一个未知数x ．（4）不是二元一次方程．因为方程中含未知数的项xy 的次数是2次．（5）不是二元一次方程．因为二元一次方程是整式方程，x1不是整式． 点评：二元一次方程是整式方程，方程中分母不能含有未知数．例2 判断下列说法是否正确： （1）二元一次方程734=-y x 的解是⎩⎨⎧-==11y x ； （2）⎩⎨⎧=-=01y x 是二元一次方程44-=-y x 的一个解； （3）方程组⎩⎨⎧+==-3203x y y x 是二元一次方程组；（4）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02113y x yx 是二元一次方程组； （5）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+0333231y x yx y x 是二元一次方程组； （6）方程组⎩⎨⎧=+=+154432z y y x 是二元一次方程组.自我解答：解：（1）不正确．⎩⎨⎧-==11y x 只是方程734=-y x 的一个解，该方程还有无数个其它的解．（2）正确．把x ＝－1，y ＝0代入方程44-=-y x 左右两边，其值相等． （3）正确．（4）不正确． 因为方程3x+y1=1不是二元一次方程．（5）正确．方程组中尽管有三个方程，但只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次．（6）不正确．因为方程组中含有三个未知数x ，y ，z ．点评：（1）区别“……是方程的（一个）解”与“方程的解是……”两种说法的含义．第一种说法只需判断所给数是否满足方程，第二种说法需判断方程的解集．在不限定条件下，二元一次方程的解有无限多个．（2）二元一次方程组中方程的个数可以是2个，也可以是3个，4个等．例3 已知方程132212=+-+n m y x 是一个二元一次方程，求m 和n 的值． 分析：二元一次方程必须同时满足下列条件：（1）是整式方程；（2）方程中含有两个未知数；（3）方程中含未知数的项的次数是1次． 自我解答：解：根据二元一次方程的意义可得： m ＋2＝1，1－2n ＝1 ∴m ＝－1，n ＝0点评：根据概念解题，必须掌握概念的全部含义．例4 已知方程632=-y x ．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 取何值时，y 的值为2？分析：用含x 的代数式表示y ，只需把x 看成已知数，把y 看成未知数，按一元一次方程的解法去解． 自我解答：解：（1）移项，得 632=-y x ，即623-=x y系数化为1，得 362-=x y （2）把y ＝2代入方程，得 2x －6＝6，2x ＝12∴x ＝6即当x ＝6时，y 的值为2． 例5 试求方程1323=+y x 的正整数解．分析：用含x 的代数式表示y ，注意条件“正整数解”，进一步讨论即可． 自我解答：解：由1323=+y x 可得2313x y -=． 根据题意，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝2．∴方程1323=+y x 的整数解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2351y x y x ；．例6 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ ② 02141① 13y x y x 分析：根据方程的特点，本题采用代入法较好． 自我解答：解法一：由①得 x ＝1－3y ③ 把③代入②得021)31(41=+-y y ，4141-=-y1=y 即把y =1代入③得 x ＝1－3×1＝－2． ∴ ⎩⎨⎧=-=12y x解法二：由②得x ＋2y ＝0，即x ＝－2y ③ 把③代入①得 －2y ＋3y ＝1，y ＝1把y ＝1代入③得 x ＝－2×1＝－2∴ ⎩⎨⎧=-=12y x点评：所选方程不同，变形的方式不同，代入后得到的方程也不同．但对有解方程而言，所得的结果应是相同的．例7 解方程组：⎩⎨⎧==+②42-3① 1223y x y x分析：观察方程①、②，发现y 的系数互为相反数，两方程相加，可消去y ，求得x 的值；方程中x 的系数相等，两方程相减，消去x ，可求得y 的值． 求出一个未知数的值后，代入原方程组任一方程可求得另一个未知数的值． 自我解答：解法一：①＋②，得6x ＝16，x ＝38把x ＝38代入①，得3×38＋2y ＝12y ＝2∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x解法二： ①－②，得2y ＋2y ＝12－4 4y ＝8 y ＝2把y ＝2代入①， 得3x ＋2×2＝12x ＝38∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x点评：两个方程相减时，第二个方程中各项符号要变号．例８ 解方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+② 2557①5531x y yx x 分析：先整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，再确定消去哪个未知数．自我解答：解：原方程组整理得： ⎩⎨⎧-=-=-④2575 ③ 5310y x y x③－④×2，得 －3y ＋14y ＝5＋50 11y ＝55 y ＝5把y ＝5代入③，得 10x －15＝5 x ＝2∴ ⎩⎨⎧==52y x点评：遇到形式比较复杂的方程组，首先化简成一般形式. 再决定采用什么方法去解题．例9 解方程组 ⎩⎨⎧-=+--=+--② 1)(5)(2① 21)(7)(6y x y x y x y x分析：根据此方程的特点，把（x －y ），（x ＋y ）分别看成整体，解出它们的值，再组成新的方程组求x 、y 的值． 自我解答：解：①－②×3， 得 8（x ＋y ）＝24x ＋y ＝3 ③ 把③代入②，得 6（x －y ）－21＝21 x －y ＝7 ④由③、④得 ⎩⎨⎧=-=+② 7① 3y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==25y x ．点评：此题充分利用了方程的特点，采用整体代换的方法．解题中充分利用这一方法，可给解题带来方便．例10 解方程组0.1x －2＝y ＋7＝0.7x ＋y分析：此题是方程组的一种特殊形式，将它改写在一般形式，再去求解． 自我解答：解：由原方程组可得：⎩⎨⎧+=-+=-y x x y x 7.021.0721.0整理，得⎩⎨⎧=--=-②26.0 ① 91.0y x y x①－②，得 0.7x ＝7， x ＝10． 把x ＝10代入①，得0.1×10－y ＝9，y ＝－8．∴ 原方程组的解是 ⎩⎨⎧-==810y x ．点评：此形式的方程组可改写成三个一般形式的方程组，任选其中一个，便可求得原方程组的解．例11 解方程组⎩⎨⎧=+=②102① 3:2:y x y x分析：根据比例的性质，由①得2y ＝3x ，代入②可求得x 值，进而求得y 的值．另一种方法是根据方程①，引入比例系数k ．解法如下： 自我解答：解：由方程①，设x ＝2k ③y ＝3k ④ 把③、④代入方程②得 2k ＋3k ＝16， ∴k ＝2把k ＝2代入③、④得 x ＝2， y ＝6．∴ ⎩⎨⎧==64y x ．点评：有比例的方程组，通过“设k ”的办法，可以简化解题过程． 例12 已知代数式q px x ++2，当x ＝－1时，它的值是－5；当x ＝－2时，它的值是4，求p 、q 的值．分析：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p 、q 的方程． 自我解答：解：当x ＝－1时，代数式的值是－5，得5)1()1(2-=+-+-q p①当x ＝－2时，代数式的值是4，得4)2()2(2=+-+-q p②将①、②两个方程整理，并组成方程组⎩⎨⎧=+--=+-④ 02③ 6q p q p 解方程组，便可解决． 结果：由④得q ＝2p 把q ＝2p 代入③，得 －p ＋2p ＝－6 解得p ＝－6把p ＝－6代入q ＝2p ＝－12所以p 、q 的值分别为－6、－12．例13 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+ ③ ②①325232 0z y x z y x z y x 分析：通过消元的方法,将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．自我解答：解：③－①，得y ＝3把y ＝3代入①和②，得⎩⎨⎧=+-=-⑤ 7④3z x z x ④＋⑤，得2x ＝4， x ＝2把x ＝2代入⑤，得z ＝5∴⎪⎩⎪⎨⎧===532 z y x 点评：本题常规解法是先转化为二元一次方程组,但本题运用技巧可直接得到一元一次方程． 例14 解方程组26553423=-+=+=+zy x z y z x ． 分析：首先把方程组转化为一般形式．自我解答：解：原方程组可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=++ ＝265 25z3y 2 423zy x z x 整理得，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+③②①125 103 823z y x z y z x ③×3－②，得15x －4z=26 ④ ①×2＋④，得21x ＝42， x ＝2把x ＝2代入①，得6＋2z ＝8， z ＝1把z ＝1代入②，得3y ＋1＝10， y ＝3∴⎪⎩⎪⎨⎧===1z 3y 2x 点评：题的关键是把方程组化为一般形式． 例15 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+53ny mx y x 与⎩⎨⎧=-=-512y x my nx 的解相同，求m 、n 的值．分析：不易直接解出方程组的解，但根据同解的定义把x ＋y ＝3和x －y ＝5组合成方程组即可． 自我解答：解：依题意得，⎩⎨⎧=-=+53y x y x解得⎩⎨⎧-==14y x 把x ＝4，y ＝－1代入⎩⎨⎧=-=-125my nx ny mx解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==731419n m点评：本题的解题关键是抓住了方程组的解相同的意义求解． 【中考链接】1．（南京市中考题）解方程组 ② 823① 02⎩⎨⎧=+=-y x y x解答：①＋②，得4x ＝8， ∴x ＝2，把x ＝2代入①，得2－2y ＝0， ∴y ＝1，∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12x x ． 2．（江苏省南通市中考题）某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+663227y x y x（B ）⎩⎨⎧=+=+1003227y x y x（C ）⎩⎨⎧=+=+662327y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+1002327y x y x答案：A3．（江苏省常州市中考题）解方程组：⎩⎨⎧=+=+② 82① 5y x y x解答：②－①，得x ＝3，把x ＝3代入①，得 3＋y ＝5 ∴y ＝2，∴方程组的解为⎩⎨⎧==23y x ． 4．（北京市海淀区中考题）解方程组⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x解答：由①得，x ＝4y －１ ③把③代入②，得２（4y －１）＋y ＝16 ∴y ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝7， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==27y x ． 5．（江苏省苏州市中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-10231312y x y x 解答：把①去分母，化简得：3x －2y ＝8 ③ ②＋③，得：6x ＝18，∴x ＝3，把x ＝3代入②，得：9＋2y ＝10 ∴y ＝21所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==213y x ．6．（江西省中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x yx 解答：由①得：x ＋1＝6y ③把③代入②，得 12y －y ＝11 ∴y ＝1把y ＝1代入③，得x ＋1＝6 ∴x ＝5所以原方程组的解是⎩⎨⎧==15y x ．仔细复习本讲例题及中考连接。
最新初一升初二暑期数学衔接教材
初一升初二暑期数学衔接教材第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【练习】1、三角形三边为3，5，3-4a ，则a 的范围是 。
2、三角形两边长分别为25cm 和10cm ，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。
3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为4、一个三角形周长为27cm ，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长 。
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七年级升八年级暑期衔接班数学培优教程适用于自学目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A 第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形） ()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = = ；21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = = ；21AB CD E F③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm (C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7； ②a∶b∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，，则x 的取值范围是 .243x ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 . ⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长的取值 范围是 .(A)3b ＜＜3a (B)2a ＜＜2a+2b (C)a+2b ＜＜2a+b (D)a+2b ＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ；（2）则它的周长的取值范围是 ；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若 它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.D E B F GDAB CD AB C⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简+||的结果为( ).||c b a -+c b a --(A) (B)0 (C) (D)2b 2a 22a c-⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 .8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把ABC 分成周长∆之差为4厘米的两个三角形，求ABC 各边的长.∆15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.IIICB D AC B DA A DB C I II C B ACB DAA E DB EC I I I C BD A C B AE AE DBF D EFFC 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.AB C D I ABC D E A B C I12CB A D AC B HD A B CEH ED C B A第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC.AB CDE IDA BEF CDEA FC BA B CFE D例五、如图，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC，AF⊥CD，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E，求证：BC∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC，求∠A 的度数.E DCB AE DCB A3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ). (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ =( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).MEDC B AMEDC B AA B OCB DAF E (A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ).(A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF 的度数．C BD AC B DAA DBC 第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.ABCIA B C DIA BC DEIIICB D AC B DA A DB C I II C B ACB DAA E DB EC I I C BD A C B AE AE DBF D EFFC 例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.B AME CD OD QPCBAD B CE A DB CFEA 例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ；（2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD，OC 平分∠ACE，OD 平分∠ADB，OE 平分∠AEC，求证：∠BOE=∠COD；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.C B DAFE发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF∥BC，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC，DO 平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n﹣1BC 的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点．设∠A=θ．则∠A 1= ；= ．n A n AA B C 图1C B A 图2图3O O 1O 213．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应1118022A =⨯︒+∠交于点、，则，；……；根1O 2O 12118033BO C A ∠=⨯︒+∠21218033BO C A ∠=⨯︒+∠据以上阅读理解，当等分角时，内部有个交点，你以猜想=( ).n 1n -1n BO C -∠(A) 21180A n n⨯︒+∠(B) 12180A n n⨯︒+∠(C) 118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n -⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC、∠ADC，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.F EDC B A M EDCB AFNM EDCB A E DC B例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD∥AB，PE∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP，DN 平分∠CDP，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明. 例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE＝∠BED，∠CDF＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED，FN 平分∠CFD，若EM∥FN，求∠A 的度数. FM E DC B ANME DCB A N M P EDCB AN M FE D CB AA D CMB A D B ECBDA ECDB AC E F 例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE＝∠DEB，∠DCF＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED，FN 平分∠CFD，若EM∥FN，求∠A 的度数. 【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C，D 是BC 上一点，DE⊥BC 交AC 于点E ，DF⊥AB，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB —∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 .5．如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若，∠P=110°，则的值为 ，的值 .60c =︒d e +x N FED CB A8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD∥EF，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n ，上，测得=120°，则β∠的度数是( ).α∠(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°．D 为边CA 延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B 的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB 等于（ ）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．11．如图，已知DE∥BC，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC 的度数；（2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数；(2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.B第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八数学衔接教材
初一升初二衔接课程数学三角形与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的．．．．．．．．．交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm ，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
初一升初二 数学衔接
20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第4讲——因式分解教学建议：本讲内容分为四个课时进行。
第三、四课时（三）分组分解法及十字相乘法【知识要点】一．分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式．二．十字相乘法：1．使用十字相乘法把二次三项q px x ++2因式分解，如果常数项q 分解成a 、b 两个因数的积，并且a ＋b 等于一次项系数p ，那么二次三项式))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ 2、使用十字相乘法把二次三项式c bx ax ++2分解因式，如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么二次三项式))(()(22112112212212c x a c x a c c x c a c a x a a c bx ax ++=+++=++ 借助于画十字交叉线排列如下：三．复习1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解是整式乘法的逆运算．2．因式分解的方法：①提公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++； ②运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-， 完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±； ③十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++；④分组分解法：将多项式适当分组，再选择上面提到的方法进行分解． ①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法． 4．说明：①因式分解要进行到不能再分解为止； ②结果中相同因式应写成幂的形式；③根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键． 【典型例题】例1 把63223-+-x x x 分解因式． 自我解答：分析：把前两项结合在一起，后两项结合在一起，两组分别有公因式可提：）（22223-=-x x x x ，）（2363-=-x x ，这时又有新的公因式2-x 可提，可进行分解．解：63223-+-x x x ＝）（）（63223-+-x x x ＝）（）（2322-+-x x x ＝）（）（322+-x x ． 说明：这道题还可以按一、三项一组，二、四项一组进行分组，）（）（）（）（）（）（23323623623632222232323-+=+-+=+-+=--+=-+-x x x x x x x x x x x x x x 同样可以完成分解．例2 把3232ay y ax ax axy +--分解因式 自我解答：分析：首先应提出a ，再把剩下的一、二项组合为一组，)(2232x y x x xy --＝，三、四项组合为一组，)()(223232x y y y y x y y x ---+＝＝－，两组都有公因式）（22x y -，再提公因式，完成分解． 解：3232ay y ax ax axy +--＝）（3232y y x x xy a +--＝]([2332））（y x y x xy a -+-＝][2222）（）（x y y x y x a -+-＝）（）（y x x y a +-22＝2）＋（）（x y x y a -． 说明：分解因式时，有公因式，要先提出公因式，同时要注意，分解因式要分彻底，如果）（）（x y x y x y +-=-22．这道题分组还可按一、三与二、四分组，或一、四与二、三分组，可自己试一试．例3 把222444 z y xy x -+-分解因式 自我解答：分析：把前三项作为一组，运用完全平方公式写成22）（y x -，第四项作为一组，再利用平方差公式完成因式分解． 解：222444 z y xy x -+-＝222444z y xy x -+-）（＝2222）（）（z y x --＝）（）（z y x z y x 2222--+-． 说明：这道题的分组是唯一的．要能想到这种分组方法，除了熟悉公式外，多做这种类型题目，也会有很大帮助．例4 将下列各式分解因式（1）892++x x ；（2）892+-x x ；（3）862+-x x ；（4）862++x x 自我解答：分析：以上四个二次三项式的常数项都是8，可以分解为8=4×2；8=(－4)×(－2)；8=1×8； 8=(－1)×(－8)它们分解的结果要由一次项系数来决定； 解（1）892++x x ＝)8)(1(++x x ； （2）892+-x x ＝)8)(1(--x x ；（3）862+-x x ＝)2)(4(--x x ；（4）862++x x ＝)2)(4(++x x ．说明：当常数项是正数时，把它分解成两个同号的因数，并且符号与一次项系数的符号相同；二次三项式的常数项分解因数有多种情况，由这两个因数的和是否等于一次项系数来决定取舍，若相等则取之．例5 把2)(3)(2+---y x y x 分解因式 自我解答：分析：把)(y x -看作一个整体，原式就是一个关于)(y x -的二次三项式，运用十字相乘法进行因式分解．解：2)(3)(2+---y x y x＝]1)][(2)[(----y x y x ＝)1)(2(----y x y x ． 说明：例中，把一个代数式看作一个整体，事实上运用了换元的思想方法，此处不必把换元的过程写出来．例6 将下列各式分解因式：（1）8652-+x x ；（2）83952--x x ； （3）262--x x ；（4）15432--x x ． 自我解答：解：说明：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，,直到满足条件为止．（2）一般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积． 例7 把下列各式分解因式：（1）1137522-++--n n n a a a ；（2）54622+---y x y x ． 自我解答：解：）（）（）（＝）（）（＝）（＝）（55325375227522121221241113-++-+--------++a a a a a a a a a a a a a n n n n n n（2）54622+---y x y x ＝）（）（449622++-+-y y x x ＝2223）（）（+--y x ＝）（）（2323---++-y x y x ＝）（）（51---+y x y x ．说明：指数中含有字母的多项式分解因式时，若有公因式要提，应比较相同字母的指数的大小，提出的公因式中这个字母的指数取最小的． 例8 把下列各式分解因式：（1）4032222--++）（）（x x x ；（2）24211-++-）（）（）（x x x x ． 自我解答：解：（1）设y x x =+22，则原式＝403--）（y y ＝4032--y y ＝）（）（58+-y y＝）（）（528222++-+x x x x ＝）（）（）（52242++-+x x x x ； （2）24211-++-）（）（）（x x x x ＝24222-+-+）（）（x x x x ，设y x x =+2，原式＝242--）（y y＝2422--y y ＝）（）（46+-y y ＝）（）（4622++-+x x x x ＝）（）（）（4232++-+x x x x ． 说明：使用换元法（或换元思想）把原题转化为关于y 的二次三项式，再应用十字相乘法进行分解，这种办法是通过换元，达到化繁为简，便于选准方法分解因式，但是必须注意将所设代回后还要看是否还能继续分解，如果能，必须分解彻底．20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第3讲·课后练习姓名：自己定时45分钟完成一、选择题：（2.5分/题，共25分）1、的公因式是多项式c b a c a bc a 2222291827+-（ ）A 、a 2B 、3a 2c 2C 、9a 2cD 、9a 2b 2c 3 2、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）)12(313132 1)(12)(313131 1)1(1222222222+=++-=++-+-=----=--b b a b a b a D b a b ab a C y x m m y m x B x x x x A 、、、、3、下列多项式在有理数范围内能用平方差公式分解因式的是（）A 、x 4+y 2B 、-4a 2-b 2C 、9x 2-3y 2D 、a 4-b 4 4、下列因式分解中，错误的个数是（）①a 2-9b 2=(a+9b)(a-9b) ②m 4n 2-9=(m 2n+3)(m 2n-3)③-a 2-b 2=(-a+b)(-a-b) ④-4-0.25b 2c 2=(2+0.5bc)(2-0.5bc) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个别 5、下列各多项式中，是完全平方式的个数有（）x x ++412①1)1x (x +-②2961x x +-③91292+-x x ④A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、如果(a-2b)2+4=(a-2b-2)2，则等式的左边应添加的项是（） A 、-4a-8b B 、-4a+8b C 、4a-8b D 、4a+8b 7．）的解集是（不等式53263-<-x x A 、x ＞9B 、x ＜9C 、x ＞32D 、x ＜328．2312x x x <⎧⎨+<⎩（陕西省）不等式组的解集是（） A 、2331<<xB 、23<x C 、x ＞1D 、231<<x9．）的最小整数解为（不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->xx x 28432A 、-1B 、0C 、1D 、410．（山东省）若m ＜n ＜0，则下列结论中错误的是（ ）A 、n-m ＞0B 、1>nm C 、m-5＞n-5 D 、-3m ＞-3n二、填空题：（2分/题，共30分） 1. 14abx-8ab 2x+2ax=2ax （）2. ））（（b a c ab b a abc +-=-+-4281214122 3. ）（式利用平方差公式分解因=-22425n m 4. ）（式利用平方差公式分解因=-2209.0811x y 5. ）（解因式利用完全平方差公式分=--2296y x xy 6. ）（因式利用完全平方公式分解=+---25)(10)(2x y y x 7. ）（分解因式=--22296c b a abc 8. ）（分解因式=-m m 3225 9. ）（因式分解=-x x 163 10. ）（因式分解=--+22)2()2(b a b a 11. ）（利用平方差公式计算 29370722=- 12. 12x-4-9x 2=-( )213. 22 25)(10)(）（=++-+y x y x 14. ）（利用乘法公式计算： 86.028.686.014.322=⨯++ 15. ）（）因式分解（ )(4))((422=++++-+n m n m b a b a 三、解答题（1题7分，2、3、4题每小题8分；5、6题每题7分共45分） 1、的值，试求，，已知mab mb ma b a m 2561.1439.625.122++===2、把下列各式分解因式ab b a b a a b m b a m ++-+---))((2(9)(312））（）（3、把下列各式分解因式4421812(23)1a bx y ---（）（）4、把下列各式分解因式222314284922a ab b a a a -+-+-（）（）5、分解因式将642644)(y x y x -+6、？而不大于的值大于取何值时，代数式当91521x x -附加题：（10分）？且的解满足取何整数值时，方程组113222><⎩⎨⎧=+-=+y x y x ky x k20XX年秋季·第3讲·课后练习参考答案一、选择题CBDCCB ADBC二、填空题1答案：1472+-bb2、答案：ab 81 -3、答案：)25)(25(nmnm-+4、答案：)3.091)(3.091(xyxy-+5、答案：2)3 (yx--6、答案：2)5 (+-yx7、答案：2)3 (c ab--8、答案：)2)(2)(4(22-++mmmm9、答案：)4x)(4x(x-+10、答案：8ab11、答案：41400012、答案：-(3x-2)13、答案：x+y-514、答案：1615、答案：2)22(nmba--+三、解答题1、802808108825.1825.1561.1439.625.1561.1439.625.1)()2(2222222=++∴=⨯=⨯⨯=⨯=+⨯====+=++=mabmbmabambamabbam）（原式时，，当解：原式2、)1)(()())((2)31)((3)(9)(312+-+=++-+=+-=-+-=bababababambambambam）原式（）原式解：（3、)132)(132(2)3)(3)(9()9)(9()()9(12222222222--+-=-++=-+=-=yxyxbabababababa）原式（）原式解：（4、22222)1()12(2)72()7(722)2(1--=+--=-=+⋅⋅-=aaaaababbaa）原式（）原式解：（5、23223232643264232264)()()2)(2()2()(yxyxyxyxyxyxyxyx-+=-+++=-+=解：原式6解：.9152122222222244244521595211而不大于的值大于时，代数式当，由题意，得xxxxxxx--<≤--<≤-∴-≥>-≤-<≤-<≤-<附加题：1、22121215621534115342562256256262523222，由⑤，得：由④，得：⑤④代入①得把得②①②①<<-∴-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-∴⎩⎨⎧><-=∴=+++=+=∴+=⨯+⎩⎨⎧=+-=+kkkkkyxkxkkxkykykyyxkyx。
初一升初二数学暑期衔接教案
初一升初二——第一讲 平方根一、学习目标1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
二、知识要点1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a三、典型例题例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169 例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5）2544369++ （6）416925-⨯ 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？四、经典练习1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m五、课后作业1、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）2、2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964 （2）2243+初一升初二——第二讲 立方根一、学习目标1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
数学-初一升初二-衔接班(完整)修改稿
精心整理代数部分专题一 有理数及其运算专题说明本专题内容从引入负数开始，与小学学习的整数、分数数纳入初中的有分二 四、有理数的运算1、加法（符号、绝对值）2、减法（转化）3、乘法（符号、绝对值）4、运算律 加法交换律 a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律ab=ba 乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac5、运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减, 有括号，先算括号内的。
1. 2 A. 0是最小的整数； B ．任何数的绝对值是正数 C ．a -是负数D ．绝对值等于它本身的数是正数和0 3．在有理数一（一4），一23，一21，3）5（一， 0，一33）（+中，负数有 ( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．计算3)2()32(31273-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷的值是 ( ) A ．316- B ．767- C ．718 D ．3295．如果a 与b 互为相反数，且x 与y 互为倒数，那么xy b a 2)(2-+的值为 (6 7列是8等于910n -= 。
三、解答题 11．计算：（1）)5(321)8(53()125.0(-⨯⨯-⨯-⨯-； （2）)33.7()07.32()07.42()33.7(-⨯-++⨯-.12．某检修小组从A 地出发，在东西路上检修线路，如果规定向东为正，向西为负，一天中记录如下（单位：千米）：-6，+7，-8，-7，+9，+5，-2. （1）收工时距A 地多远？ （2）哪次记录时距A 地最远？ （3）检修小组走的路程有多远？ 13．计算：14 6、去括号法则 7、求代数式的值 例题解析【例1】（1）若122=-m m ，则014 2422+-m m 的值是多少？（2）若代数式6432+-x x 的值是9，则代数式6342+-x x 的值是多少？【例2】先化简，再求值 ：)3133(31()12(222-+-----x x x x x ，其中23=x 。
初一升初二衔接班数学第4讲：实数的运算(1)
第4讲 实数的运算（1）一、【基础知识精讲】1.二次根式：形如式子)0(≥a a 叫做二次根式.二次根式中的被开方数a 必须是非负数2.二次根式的基本性质：（1）2=______,（a ≥0）_______；3.二次根式的运算性质：·b ,（a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ＞0）4.最简二次根式：0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式5.分母有理化:指通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算。
6.互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根互为有理化因式。
7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．二、【例题精讲】例1：二次根式的乘法 （1）49,49⨯⨯ （2）9441,9441⨯⨯【变式练习】（1）1214⨯ （2）)9()4(-⨯- （3）22)7()5(-⨯- （4）155⨯例2：二次根式的除法 （1）94,94 （2）2516，2516【变式练习】 （1）49151 （2）1003 （3）169949⨯例3：判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）35a （2）a 42 （3）324x （4）)1()12(32-≥++a a a例4：将下列二次根式化为最简二次根式8 12 18 2472【变式练习】32 48 54 45 52例5：化简下列各式 （1） 35 （2） 714 （3）3248（4）127（5）3232（6）132+ （7）32232- （8）132-【变式练习】 （1）672 （2）7324- (3) 2725 (4)182552（5）231- （6 （7 （8例6：下列二次根式，哪些是同类二次根式2， 28， 18，142，32， 213。
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初一升初二衔接课程数学代数部分专题一 有理数及其运算专题说明本专题内容从引入负数开始，与小学学习的整数、分数数纳入初中的有理数范畴，并进行加、减、乘、除、乘方等运算。
了解并利用数轴这一工具，方便地解决问题。
一、数的分类 （1）按大小来分 （2）按学习顺序来分 二、重要概念讲解①数的产生与发展（数的局限性） ②相反数③绝对值（非负数性质） ④倒数⑤大于1的数的科学记数法 三、工具--------数轴（三要素） 数形结合法 四、有理数的运算1、加法（符号、绝对值）2、减法（转化）3、乘法（符号、绝对值）4、运算律 加法交换律 a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律ab=ba 乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac5、运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减, 有括号，先算括号内的。
例题解析【例1】已知023=-+-b a a ，求b a 2+的值。
【例2】计算：（1））（）（317-31211-3-61-1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛；（2）32211-811-321--31-1）（）（）（⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡÷⎪⎭⎫ ⎝⎛。
【例3】9867000000000= （科学记数法） 强化训练 一、选择题1.下列运算中正确的是 ( )A ．03-3-=B ．0=+-a a c ．1)981(89=-⨯- D ．1553= 2．下列说法中正确的是 ( ) A. 0是最小的整数； B ．任何数的绝对值是正数 C ．a -是负数D ．绝对值等于它本身的数是正数和0 3．在有理数一（一4），一23，一21，3）5（一， 0，一33）（+中，负数有 ( ) A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．计算3)2()32(31273-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷的值是 ( ) A ．316- B ．767- C ．718 D ．329 5．如果a 与b 互为相反数，且x 与y 互为倒数，那么xy b a 2)(2-+的值为 ( )A.0 B ．-2 C ．-1 D ．无法确定6．一根1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 ( )A ．321⎪⎭⎫ ⎝⎛mB ．521⎪⎭⎫ ⎝⎛mC ．621⎪⎭⎫ ⎝⎛mD ．1221⎪⎭⎫ ⎝⎛m二、填空题7．把2)2.1(-，35.1-，3)2.0(-，22.0-按从小到大的顺序排列是 。
. 8．3的相反数与31-的倒数的积的绝对值等于 。
9．计算0)3()533(4.5⨯-÷-⨯-= 。
10．已知m 与2互为相反数，n 与31互为倒数，则n m -= 。
三、解答题 11．计算：（1）)5(321)8()53()125.0(-⨯⨯-⨯-⨯-；（2）)33.7()07.32()07.42()33.7(-⨯-++⨯-.12．某检修小组从A 地出发，在东西路上检修线路，如果规定向东为正，向西为负，一天中记录如下（单位：千米）：-6，+7，-8，-7，+9，+5，-2. （1）收工时距A 地多远？ （2）哪次记录时距A 地最远？ （3）检修小组走的路程有多远？13．计算：（1）2117-2113-413112⨯⨯+⨯）（；（2）2)41()35(2)4(8-++-÷⨯-+-. 14．计算：)1()28()2()12()6()12()10()5()1()1(22352-+-+-⨯-+-÷--÷++-⨯-⨯-）（专题二 整式及其加减专题说明本专题的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项、去括号法则、整式的加减运算等。
1、字母表示数的意义 2、书写规范3、整式的意义、分类、命名4、同类项5、合并同类项法则6、去括号法则7、求代数式的值 例题解析【例1】（1）若122=-m m ，则014 2422+-m m 的值是多少？（2）若代数式6432+-x x 的值是9，则代数式6342+-x x 的值是多少？【例2】先化简，再求值 ：)3133()31()12(222-+-----x x x x x ，其中23=x 。
强化训练 一、选择题1.[])(n m ---去括号得 （ ）A n m -B n m --C n m +-D n m + 2.下列各判断中，正确的个数是（ ）①在等式x x +=+88中，x 可以是任何数； ②在代数式81+x 中，x 可以是任何数； ③代数式8+x 的值一定大于8； ④代数式8+x 的相反数是8-x 。
A 0B 1C 2D 33. 当4,8==b a 时，代数式ab ab 22-的值是（ ）A 62B 63C 126D 1 022 4.将)(5)(3)(y x y x y x +-+++合并同类项得（ ）A )(y x +B )(y x +-C y x +-D y x - 5.已知y x a与by x 222-是同类项，则2009)(ab 的值是（ ）A -1B 1C -4D 41-6．根据如图所示的(1)(2)(3)三个图所表示的规律，依次下去，第n 个图中最小平行四边形的个数是 ( )A. 3n B ．3n(n+l) C ．6n D ．6n(n+l) 二、填空题7．合并222)32(5)32(2)32(b a b a b a +-+-+的结果是 ． 8．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看1本书，租期不超过3天，每天租金n 元；租期超过3天，从第4天开始每天另加收6元，如果租看1本书7天归还，那么租金为 元． 9．张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了n 份报纸，以每份0.5元的价格售出了6份报纸，剩余的报纸以每份o ．2元的价格退回报社，则张大伯卖报收入 元． 10.如图，观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★. 三、解答题11．化简并求值：5411214929532323+--+--b a ab b a ab b a ab ，其中2,1-==b a .12.小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：用含 x 、y 的代数式表示地面总面积．13.化简下列各式：（1）1310262424--+-+y x x y x x ；（2）)132(3)64(2-+--b a b a ；（3）[]{}n n m m m n m 5)36(32++-+--14.先化简再求值：（1）)5()32(3222x x x x x +---+，其中100=x ；（2）)35()()35(222222b a b a b a +-++-，其中1.1=-=b a 。
专题三 一元一次方程专题说明明确概念1.等式的基本性质（加、乘法性质）2.方程、方程的解、解方程组的概念3.解方程的步骤4.解应用题的步骤 例题解析【例1】已知方程x x =+-1)1(2的解与关于x 的方程1)(3-=+m m x 的解相同，求m 的值。
【例2】某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率等于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？强化训练 一、选择题1．如果)1(535-m b a 与763-m b a 是同类项，那么m 的值为 ( ) A. -4 B ．2 C ．一2 D ．42．一个两位数的数字之和为13，若把十位数字与个位数字交换所得的两位数是原数的2倍少4，则这个两位数是 ( )A ．58B ．49C ．94D ．763．内径为120 mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为 300 mm ，内高为32 mm 的圆柱形玻璃盆容纳同样多的水，则玻璃杯的内高为 ( )A ．150 mmB ．200 mmC ．250 mmD ．300 mm4．一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) A ．600×0.8一x =20 B ．600×8一x =20 C ．600×0. 8=x 一20 D ．600×8=x 一205．一家三口（父亲、母亲、儿子）准备外出旅游，甲旅行社说：“若父亲买全票一张，其他人可享受七折优惠．”乙旅行社说：“家庭旅游可按团体票计价即按原票的詈收费”，若两家旅行社的原价相同，则 ( ) A ．甲比乙优惠 B ．乙比甲优惠 C ．甲、乙收费相同 D ．以上结论都有可能 二、填空题6．方程063=+x 的解是 ．7．如果0=x 是关于x 的方程423=-m x 的根，则m8．如图是2013年某一个月份的日历，表示a 、b 、c 、d 之间的关系： 。
9．一种商品，每件成本100元，将成本增加25%定出价格，后因仓库积压减价，按价格的92%出售，则每件还能盈利 元．10. 一条山路，某人从山下往山顶走3小时，还差1千米才到山顶，若从山顶走到山下，只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，则上山速度为 . 三、解答题11.某工业园区用于甲、乙两个不同项目的投资共2 000万元．甲项目的年收益率为10.8%，乙项目的年收益率为16.，56%，该工业园区仅以上两个项目可获得收益244.8万元，问该工业园区对两个项目的投资各是多少万元？12.“十一”期间，某商场优惠促销，决定由顾客抽签决定折扣，某顾客买甲、乙两种商，分别抽到7折和9折，，共付款386元，两种商品原价之和为500元，问这两种品的原销售价分别为多少元？13.小明和小凯进行投篮比赛，约定跨步上篮投中一个得3分，还可以在罚球线上罚球一次，投中再加一分，如果上篮而未投中，那么就扣1分．结果小明跨步上篮10次，得27分．已知小明罚球得了5分．问小明跨步上篮投中多少次？14.有蔬菜地975公顷种植青菜、西红柿和芹菜，其中种青菜和西红柿的面积比是3:2，种西红柿与芹菜的面积比是5:7，则三种蔬菜各种多少公顷？专题四 变量之间的关系专题说明本专题是函数的基础，应重视量与量的相互关系 概念①在一变化过程中是基础 ②常量、变量 ③自变量、因变量④关系的表示方法：表格法、关系式法、图象法（识图） 例题解析【例1】某乡镇决定对小学和初中学生用餐进行每生每天3元的标准营养补助，其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元，初中生每生每天5元．已知该乡镇现有小学生和初中生共1 000人，且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生，设该乡镇现有小学生x 人． (1)用含有x 的代数式表示：该乡镇小学生每天共需营养补助费 元； 该乡镇初中生每天共需营养补助费 元． (2)设该乡镇小学生和初中生每天共需营养补助费为y 元，求y 与x 之间的关系式．(3)若该乡镇小学生和初中生每天共需营养补助费为3 029元，则小学生、初中生分别有多少人？ 强化训练 一、选择题1．设路程为s(km)，速度为υ(km/h)，时间为t (h)，当s=50时，υ50=t ，在这个关系式中 ( )A ．50是常量，t 是自变量B ．υ是常量，t 是因变量C ．t 和υ是变量，υ是因变量D ．t 和υ是变量，t 是因变量2．夏天到了，某小区准备开放游泳池，物业管理处安排一名清洁工对一个无水的游泳池进行清洗，该工人先只打开一个进水管，蓄了少量水后关闭进水管并立即进行清洗，一段时间后，再同时打开两个出水管将池内的水放完，随后将两个出水管关闭，并同时打开两个进水管将水蓄满．已知每个进水管的进水速度与每个出水管的出水速度相同，从工人最先打开一个进水管开始，所用时间为x ，游泳池内的蓄水量为y ，则下图能够反映y 与x 的关系的大致图象是 ( )A B C D 3．已知变量x ，y 满足下面的关系：x… -3 -2 -1 1 2 3 … y…11.53-3-1.5-1…则x ，y 之间的关系用关系式表示为（ ） A x y 3=B 3x y -=C x y 3-=D 3x y = 4．某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y 与时间x 的关系的大致”图象是下图中的 ( )A B C D 二、填空题5． 如图所示，在靠墙(墙长为18 m)的地方围建一个长方形的养鸡场，另 三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35 m ，那么鸡场的长y(m)与宽x (m) 的关系式为 。