第六章 弯曲变形

第六章 弯 曲 变 形
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解：AC段
M (x)
F 2
x
EIw
F 2
x
EIw
F 4
x2
C
EIw
F 12
x3
Cx
D
由边界条件 x 0 时 w 0
由对称条件
x
l 2
时
w 0
第六章 弯 曲 变 形
得 D0
得
C
Fl2 16
Fx 2EI
(x
2l)
w
F x2 6EI
(x
3l)
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Fl2 2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
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例：已知梁的抗弯刚度为E I。试求图示简支梁在集中力 F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax 。
Fa a2 2(2EI )
5Fa3 12EI
B
Fa 2 2(2EI )
Fa a 2EI
3Fa 2 4EI
wC
wB
B
a
Fa3 3EI
3Fa3 2EI
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例：求图示 梁 B、D 两点的 挠度wB 、wD 。
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摇臂钻床的摇臂或车床 的主轴变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出 现废品。
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桥式起重机的横梁变形 过大, 则会使小车行走困难, 出现爬坡现象。
wC
5ql 4 384EI
wC
M el2 16EI
A
M el 3EI
,B
M el 6EI
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例：用叠加法求 wC、 A、 B 。
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4
解：
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EIw M (x) dx C EIw M (x) dxdx Cx D
式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定
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例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载 荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax 。
1
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§6.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程式
曲线 y f (x) 的曲率为
K
(1
y y2 )3/2
1
M EI z
1
w (1 w2 )3/ 2
w
M EI z
w
或
EIw M
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解：由梁的挠曲线近似 微分方程 EIw M (x) 知，在梁挠曲线的拐点 处有 M 0
从弯矩图可以看出
M e1 M e2
1 2
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例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁Ⅰ、Ⅱ如图 所示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？
解：
wB
q(2a)4 8EI
qa(2a)3 3EI
14qa 4 3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
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例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示简支梁的转角 方程、挠曲线方程，并确定max 和 wmax 。
解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD
M1(x1) qax1
M
2
(x2
)
qax2
q 2
( x2
a)2
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(0 x1 a) (a x2 2a)
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§6.1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的
强度外, 还要求变形不能过大, 即要求构件有足够的刚度, 以保证结构或机器正常工作。
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Fl3
Ⅰ
3EI
Ⅱ
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例：简支梁在整个梁上受均布载荷q 作用，若其跨度 增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
wmax
5ql 4 384 E I
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C1 D1
C2 D2
由边界条件 由对称条件
x1 0 时，w1 0 得 D1 0
x2 2a 时，w2 0
得
C2
11 6
qa3
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
1
qa 6EI
(11a 2
3x12 )
例：欲使 AD梁C点挠度 为零, 求 F与q的关系。 解：
+
wC
5q(2a)4 384EI
Fa(2a)2 16EI
0
F
5 6
qa
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例：若图示梁 B 端的转 角B 0 , 则力偶矩 M e等于 多少？
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B
Fl 2 2EI
wB
Fl 3 3EI
B
ql 3 6EI
wB
ql 4 8EI
B
M el EI
wB
M el2 2EI
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A
Fl 2 16EI
wC
Fl 3 48EI
A
ql 3 24EI
解：
+
B
Fa 2 2EI
M e 2a EI
0
Me
Fa 4
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5
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例：求图示 梁 C、D 两点的 挠度wC 、wD 。
解：
wC 0,
wD
5q(2a)4 384EI
5qa 4 24 EI
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2
q 6EI
[3ax22
( x2
a)3
11a 3
w1
qa 6EI
(11a2 x1
x13
)
w2
q 24EI
[4ax23
( x2
a)4
44a3x2 ]
0 x1 a a x2 2a 0 x1 a a x2 2a
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
1
x1 0
11qa 3 6EI
wmax
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例如, 车辆上的板弹簧, 要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
但在另外一些情况下, 有时却要求构件具有较大的弹性 变形，以满足特定的工作需要。
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+
||
||
+
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例：求图示变截面梁的最大挠度和最大转角。
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6
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例：求图示梁 D 端 的转角和挠度。
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解：
M ( x)
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 4
x2
q 6
x3
C
EIw
ql 12
x3
q 24
x4
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0
x l 时， w 0
得
C
ql 3 24
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2
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例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示悬臂梁在集中 力F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。
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EIw1 qa x1 ,
EIw1
qa 2
x12
C1
EIw1
qa 6
x13
C1x1
D1
EIw2
qa x2
q 2
( x2
a)2,
EIw2
qa 2
x22
q 6
( x2
a)3
C2
EIw2
qa 6
x23
q 24
( x2
a)4
C2 x2
D2
由连续条件
x1 x2 a 时，w1 w2 ，w1 w2
得
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AC 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
F 16EI
(4x2
l2)
w
Fx 48EI
(4x2
3l2)
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
F l2 16EI
wmax
w
x
l 2
Fl3 48EI
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3
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，
D0
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q 24 EI
(6lx 2
4x3
l3)
w
qx 24EI
(2lx2
x3
l3)
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql 3 24 EI
wmax
w
x
l 2
5ql 4 384EI
解：
B
qa 2 2
2a
3EI
qa (2a)2 16EI
qa3 12EI
D
B
qa3 6EI
qa3 4EI
wD
B
a
qa 4 8EI
5qa 4 24EI
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解： M (x) F (l x)
EIw F x Fl
EIw
F 2
x2
Flx C
EIw
F 6
x3
Fl 2
x2
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0 ，w 0
得 CD0
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
二、弯曲变形的基本概念 1. 挠曲线 —— 梁的轴线变弯后的曲线
挠曲线
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2. 挠度和转角
规定：向上的挠度为正；逆时针的转角为正
挠曲线方程： w f (x)
转角方程：
tan
dw dx
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=
+
+
wC
5q l 4 384EI
A
ql3 24EI
B
ql3 24 EI
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Fl3 48EI
Fl 2 16EI
F 16
l2 EI
Mel2 16EI
Mel 3EI
Mel 6EI
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例：已知梁的EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在 x l / 3 处出现一拐点，则比值 M e1 / M e2 为多少？
w2
x2 2a
19qa 4 8EI
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§6.3 用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下，载荷与 它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形 是各自独立的, 互不影响。若计算几个载荷共同作用下在 某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下 的变形，然后叠加。
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梁的挠曲线近似微分方程: 或
EIw M (x)
EI
d2w dx2
M
(x)
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二、用积分法求梁的变形 EIw M (x)
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例：求图示梁 C点的挠度 wC 。
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例：求图示变截面梁 B、C 截面的挠度 wB、wC。
解：
wB
Fa3 3(2EI )