第3章 线性控制系统的能控性和能观性20151015 - 副本

u
+ -

a

x1
y +
x2
+
x3
-
+ -
-

x4
b
c
d
解：由图可得：
x1 ax1 u x 2 bx2 x3 cx3 x 2 x1 x1 x 2 cx3 x 4 x3 dx4 y x3
状态空间表达式为：


x 1 a x 0 2 x3 1 0 x4 y 0 0 1
1 1 C 1 1 N CA 2 2 4 4
rankN 2, 系统能观。
方法二：将系统化为约旦标准形。
I A
3
1
1
3
3 1 0
2
1 2，2 4
1 则状态矢量：A 1 P1 1 P1 P1 1 1 A 2 P2 2 P2 P2 - 1
能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确
定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的 分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。
3.6.1 线性系统的对偶关系
有两个系统，一个系统 为：
另一个系统
：为：
若满足下述条件，则称
与
是互为对偶的。
3.6.2 对偶原理
对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以 把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到 其对偶系统能观性方面的结论。
3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
3.7.1 单输入系统的能控标准型 对于一般的n维定常系统：
如果系统是状态完全能控的，即满足： 1．能控标准 型
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
能控性的定义 线性定常系统的能控性判别 线性连续定常系统的能观性 离散时间系统的能控性与能观性 时变系统的能控性与能观性 能控性与能观性的对偶关系 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 线性系统的结构分解 传递函数阵的实现问题 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
1 1 2 2 1 1 1 1 -1 T B 1 1 1 1 0 0 2 2
1 1 1 1 2 0 CT 1 1 1 1 0 2
解：构造能控阵：
M b
若线性定常单输入系统： (1) 是能控的，则存在线性非奇异变换：
(2)
(3)
使其状态空间表达式(1)化成： (4) 其中
(5)
的各项系数。
16
若线性定常单输入系统： (6) 是能控的，则存在线性非奇异变换： (7) 相应的状态空间表达式(6)转换成： (8) 其中 能观1型 (9)
(10)
0 x 1 u 3 2 0 0
0 1 3 1 3 7 A2b 2 5 11
3.8 线性系统的结构分解
3.8.1 按能控性分解 设线性定常系统 (1) 是状态不完全能控，其能控性判别矩阵： 的秩
则存在非奇异变换： (2)
将状态空间表达式(1)变换为： (3)
其中
(4)
(5)
(6) 可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解 成能控的和不能控的两部分，其中
将式(3)带入输出方程式(4)，得：
这时，状态方程的解为：
P62
从而
(5)
由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y( t ) 中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。 2．直接从A、C阵判断系统的能观性
当N满秩时，则系统是能观的
例：试判别下面系统的能观性 3 1 1 1 X X u 1 3 1 1 1 1 y X 1 1
(16)
(17)
(18)
取变换阵
：
(19)
能控2型
2．能观标准
型
若线性定常单输出系统： (20) 是能观的，则存在非奇异变换
(21)
例：PPT49
使其状态空问表达式(20)变换为：
其中
(22)
(23)
(24) 称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。
(25)
TO 2
1 0 9 6 2 2 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1

试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：方法一：
3 1 1 A ,B 1 3 1 1 1 M B AB 1 1
1 1 1 ,C 1 1 1 - 2 - 2 - 2 - 2
rankM 1 2, 系统不能控。
系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判 别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。 1．转换成约旦标准型的判别方法 线性时不变系统的状态空问表达式为： (2) 现分两种情况叙述如下： (1)A为对角线矩阵
这时式(2)用以下形式表示，可有：
(3)
来自百度文库
(4)

0 x1 1 x 0 b 0 0 2 u 1 c 0 x 3 0 0 1 d x 4 0 0 0 0x
（3）系统如下式：
解：
1 0 x1 2 1 1 1 x x 0 1 0 x a 0 u 2 2 x3 0 0 2 x3 b 0 c 0 d y x 0 0 0
1 1 T 1 1
1 T -1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2 - 3 1 1 1 - 2 0 -1 T AT 1 1 1 - 3 1 - 1 0 - 4 2 2
n1维子空间：
至于非奇异变换阵： (7)
3.8.2 按能观性分解
设线性定常系统： (8) 其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵
的秩 则存在非奇异变换： (9)
将状态空间表达式(8)变换为：
(10) 其中
(11)
(12) (13)
可见，经上述变换后系统分解为能观的
维子系统：
非奇异变换阵R0 是这样构成的，取
即：
显然，状态x2能控，而x1与x2有关，所以两个状态变量都能控 模拟结构图
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。
即：
显然，状态x2能控，而x1与x2有关，所以两个状态变量都能控 模拟结构图
2．具有一般系统矩阵的多输入系统 系统的状态方程为： (12)
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统
线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵： (14)
2．多输入系统
对多输入系统，其状态方程为： (15)
其能控的充分必要条件是矩阵： 的秩为 。
因为
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3.2 定常系统能观性的判别
定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将
(14)
1
0
3.9 传递函数阵的实现问题
3.9.1 实现问题的基本概念 对于给定传递函数阵 W(s)，若有一状态空间表达式∑： (1) 使之成立 则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现。 3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现 3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数， 便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将 这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把 维的传递函
3.9.3最小实现 1.最小实现的定义
传递函数W(s)的一个实现：
(9) 如果W(s)不存在其它实现：
(10) 2.寻求最小实现的步骤 传递函数阵W(s)的一个实现∑：
为最小实现的充分必要条件是∑(A，B，C)既是能控的又是能观的：
这个定理的证明从略。根据这个定理可以方便的确定任何一个具有严格
能是能控和能观的。
对于一个单输入单输出系统∑(A，b，c) 欲使其是能控并能观的充分必要条件是传递函数 (1) (2) 的分子分母间没有零极点对消。
本章完
3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的 取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图所示：
(11)
的各项系数，亦即系统的不变量。
(12)
16
3.7.2 单输出系统的能观标准型 与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即
有：
系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。
1．能观标准 型 若线性定常系统： (13) 是能观的，则存在非奇异变换： (14)
使其状态空间表达式(13)化成： (15) 其中
3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别
1．单输入系统
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： (1) 或 (2) 式中
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。
即：
显然，状态x1不能控。 模拟结构图
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。
如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能 控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故a,b 都不等于0. 要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不 全为0，故有故c,d都不等于0.
3-2时不变系统
3 1 1 1 X X u 1 3 1 1 1 1 y X 1 1
1 1 1 Ab 1 2
构造能观阵：
1 C 1 N CA 1 1 2
3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和 能观标准型。
0 2 x 1 y 0 0
解
1 3 1 1 x
的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下步骤来进行。
1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现∑(A，B，C)：通常最方便
的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。
3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系
既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么 能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?可以 证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统．要使系统是 能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。 可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统 最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可

3 1 1 1 解：A ,C 1 3 1 1 1 1 C 1 1 N CA 2 2 4 4
rankN 2, 系统能观。
3.6 能控性与能观性的对偶关系
3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义
线性连续定常系统：
几点说明：
x(t f ) 0
2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统： 能控性的定义与定常系统相同，但是矩阵A(t)和B(t)是时变矩阵，
其状态矢量x(t)的转移，与初始时刻t0的选取有关。
3.2 线性定常系统的能控性判别