七年级几何图形初步单元培优测试卷
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, -5, -8
(1)计算以下各点之间的距离:①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,
(2)若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n,求M、N两点之间的距离.
【答案】(1)AB=3-1=2;BC=3-(-5)=8;CD=-5-(-8)=-5+8=3.
(2)MN=
【解析】【分析】(1)数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数,据此计算即可;
(2)因为m、n的大小未知,则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值. 2.感知:如图①,∠ACD为△ABC的外角,易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明) ;
(1)探究:如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B.、∠C之间的关系,并说明理由;
(2)应用:如图③,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=________度;(直接填答案,不需证明) (3)拓展:如图④,BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,若∠BAC=100°,∠BDC=150°,则∠BEC=________度. (直接填答案,不需证明)
【答案】(1)解:如图5,连接AD并延长至点F.
∵∠BDF为△ABD的外角,
∴∠BDF=∠BAD+∠B,
同理可得∠CDF=∠CAD+∠C,
∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C,
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;
(2)40°
(3)125°
【解析】【解答】解:(2)由题意可得∠BXC=90°,由(1)中结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX,
∵∠A=50°,
∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°;(3)如图6,∵∠A=100°,∠BDC=150°,∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,
∴∠ABD+∠ACD=150°-100°=50°,
∵BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,
∴∠ABE+∠ACE= (∠ABD+∠ACD)=25°,
又∵∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE,
∴∠BEC=100°+25°=125°.
【分析】(1)如图5,连接AD并延长至F,然后利用三角形外角的性质进行分析证明即可得到∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)由题意可知∠BXC=90°,结合∠A=50°和(1)中所得结论即可得到∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°;(3)如图6,利用(1)中所得结论结合已知条件进行分析解答即可.
3.如图①,△ABC中,BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D.
(1)若,,求∠D的度数;
(2)若把∠A截去,得到四边形MNCB,如图②,猜想∠D、∠M、∠N的关系,并说明理由.
【答案】(1)解:∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°,
∵CD平分△ABC的外角,
∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°,
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.
(2)解:猜想:∠ D = ( ∠ M + ∠ N ? 180 ° ).
∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,
∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.
=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.
=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.
= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,
或写成
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°,根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°,最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数;
(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.
4.如图1,点A、B分别在数轴原点O的左右两侧,且 OA+50=OB,点B对应数是90.
(1)求A点对应的数;
(2)如图2,动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发,其中M、N均向右运动,速度分别为2个单位长度/秒,7个单位长度/秒,点P向左运动,速度为8个单位长度/秒,设它们运动时间为t秒,问当t为何值时,点M、N之间的距离等于P、M之间的距离;
(3)如图3,将(2)中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向,其余条件不变,设Q为线段MN的中点,R为线段OP的中点,求22RQ﹣28RO﹣5PN的值.
【答案】(1)解:如图1,∵点B对应数是90,
∴OB=90.
又∵ OA+50=OB,即 OA+50=90,
∴OA=120.
∴点A所对应的数是﹣120
(2)解:依题意得,MN=|(﹣120+7t)﹣2t|=|﹣120+5t|,
PM=|2t﹣(90﹣8t)|=|10t﹣90|,
又∵MN=PM,
∴|﹣120+5t|=|10t﹣90|,
∴﹣120+5t=10t﹣90或﹣120+5t=﹣(10t﹣90)
解得t=﹣6或t=14,
∵t≥0,
∴t=14,点M、N之间的距离等于点P、M之间的距离
(3)解:依题意得RQ=( 45+4t)﹣(﹣60﹣4.5t)=105+8.5t,
RO=45+4t,
PN=(90+8t)﹣(﹣120﹣7t)=210+15t,
则22RQ﹣28RO﹣5PN=22(105+8.5t)﹣28(45+4t)﹣5(210+15t)=0
【解析】【分析】(1)根据点B对应的数求得OB的长度,结合已知条件和图形来求点A 所对应的数;(2)由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为,列方程求出t;(3)由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为,列方程求出t,并求出RQ,RO 及PN,再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值.
5.如图1,已知,是等边三角形,点为射线上任意一点(点与点不重合),连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连结并延长交射线于点.
(1)如图1,当时, ________ ,猜想 ________ ;(2)如图2,当点为射线上任意一点时,猜想的度数,并说明理由;
【答案】(1)30;60
(2)解:结论:,
如图:
∵,
∴
在和中,,,
∴
∴.
∴
∴;
【解析】【解答】证明:(1)∵∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,
∴∠ABE=60°,
∴∠EBF=30°;
猜想:;
理由如下:如图,
∵,
,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴;
故答案为:30;60;
【分析】(1)∠EBF与∠ABE互余,而∠ABE=60°,即可求得∠EBF的度数;先证明∠BAP=∠EAQ,进而得到△ABP≌△AEQ,证得∠AEQ=∠ABP=90°,则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°,∠QFC=∠EBF+∠BEF,即可得到答案;(2)先证明∠BAP=∠EAQ,进而得到△ABP≌△AEQ,证得∠AEQ=∠ABP=90°,则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°,∠QFC=∠EBF+∠BEF,即可得到答案.
6.在直角坐标系中,已知点A(a,0),B(b,c),C(d,0),a是-8的立方根,方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x,y的二元一次方程,d为不等式组的最大整数解.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)如图1,若D为y轴负半轴上的一个动点,当AD∥BC时,∠ADO与∠BCA的平分线交于M点,求∠M的度数;
(3)如图2,若D为y轴负半轴上的一个动点,连BD交x轴于点E,问是否存在点D,使S△ADE≤S△BCE?若存在,请求出D的纵坐标y D的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:-8的立方根是-2,
∴a=-2,
方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x,y的二元一次方程,∴,
解得,,
不等式组的最大整数解是5,
则A(-2,0)、B(2,4)、C(5,0)
(2)解:作MH∥AD,
∵AD∥BC,
∴MH∥BC,
∵∠AOD=90°,
∴∠ADO+∠OAD=90°,
∵AD∥BC,
∴∠BCA=∠OAD,
∴∠ADO+∠BCA=90°,
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点,
∴∠ADM= ∠ADO,∠BCM= ∠BCA,
∴∠ADM+∠BCM=45°,
∵MH∥AD,MH∥BC,
∴∠NMD=∠ADM,∠HMC=∠BCM,
∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°;
(3)解:存在,
连AB交y轴于F,
设点D的纵坐标为y D,
∵S△ADE≤S△BCE,
∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE,即S△ABD≤S△ABC,
∵A(-2,0),B(2,4),C(5,0),
∴S△ABC=14,点F的坐标为(0,2),
S△ABD= ×(2-y D)×2+ ×(2-y D)×2=4-2y,
由题意得,4-2y D≤14,
解得,y D≥-5,
∵D在y轴负半轴上,
∴y D<0,
∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D<0.
【解析】【分析】(1)根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d,得到点A、B、C的坐标;(2)作MH∥AD,根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD,得到∠ADO+∠BCA=90°,根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°,根据平行线的性质计算即可;(3)连AB交y轴于F,根据题意求出点F的坐标,根据三角形的面积公式列出方程,解方程即可.
7.已知:如图1,在平面直角坐标系中,点A,B,E分别是x轴和y轴上的任意点.BD是∠ABE的平分线,BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C.
(1)探究:
求∠C的度数.
(2)发现:当点A,点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时,∠C的大小是否发生变化?若不变,请直接写出结论;若发生变化,请求出∠C的变化范围.
(3)应用:如图2在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=310°,CF平分∠DCB,CF的反向
延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P,求∠P的度数.
【答案】(1)解:∵∠ABE=∠OAB+∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠ABE=∠OAB+90°,
∵BD是∠ABE的平分线,AC平分∠OAB,
∴∠ABE=2∠ABD,∠OAB=2∠BAC,
∴2∠ABD=2∠BAC+90°,
∴∠ABD=∠BAC+45°,
又∵∠ABD=∠BAC+∠C,
∴∠C=45°
(2)解:不变.
理由如下:∵∠ABE=∠OAB+∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠ABE=∠OAB+90°,
∵BD是∠ABE的平分线,AC平分∠OAB,
∴∠ABE=2∠ABD,∠OAB=2∠BAC,
∴2∠ABD=2∠BAC+∠AOB,
∴∠ABD=∠BAC+ ∠AOB,
又∵∠ABD=∠BAC+∠C,
∴∠C=∠AOB=45°
(3)解:延长ED,BC相交于点G.
在四边形ABGE中,
∵∠G=360°﹣(∠A+∠B+∠E)=50°,
∴∠P=∠FCD﹣∠CDP=(∠DCB﹣∠CDG)
=∠G= ×50°=25°
【解析】【分析】(1)(2)根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答;
(3)延长ED,BC相交于点G,根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数,再根据三角
形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.
8.已知,,,试回答下列问题:
(1)如图1所示,求证: .
(2)如图2,若点、在上,且满足,并且平分 .求 ________度.
(3)在(2)的条件下,若平行移动,如图3,那么的值是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值.
(4)在(2)的条件下,如果平行移动的过程中,若使,求度数. 【答案】(1)证明:∵,
∴
∵,
∴,
∴
(2)40°
(3)解:结论:的值不发生变化.理由为:
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴
(4)解:∵
∴,
由(2)可以设:,,
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵由(1)可知
∴
∴
∴
【解析】【解答】(2),所以∠BOA=180°-∠B=80°
由,且平分,得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= (∠BOF+∠FOA)= ∠BOA=40°
【分析】(1)由同旁内角互补,两直线平行证明即可;(2)由,且平
分,得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= (∠BOF+∠FOA)= ∠BOA,算出结果;(3),得到,,又,得到
,所以,故(4)结合(2)(3)结果,设出,
,由列出等式,得到,又由(1)得到
,列出等式解出α与β,所以
9.已知,如图,在四边形ABCD中,,延长BC至点E,连接AE交CD于点F,使
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)若BF平分,请写出与的数量关系________ 不需证明
【答案】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF,
∴∠BAF=∠CAD;
(2)证明:∵∠BAC=∠DAF,∠ACB=∠CFE=∠AFD,
∴∠B=∠D,
∵AB∥CD,
∴∠B+∠BCD=180°,
∴∠D+∠BCD=180°,
∴AD∥BE;
(3)2∠AFB+∠CAF=180°
【解析】【解答】解:(3)如图2,∵AD∥BE,
∴∠E=∠1=∠2,
∵BF平分∠ABC,
∴∠3=∠4,
∵∠AFB是△BEF的外角,
∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1,
∴∠AFB=3+∠2,
又∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°,
即2∠AFB+∠CAF=180°.
故答案为:2∠AFB+∠CAF=180°.
【分析】(1)根据∠BAC=∠DAE,运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF,进而得到∠BAF=∠CAD;(2)根据∠BAC=∠DAF,∠ACB=∠CFE=∠AFD,可得∠B=∠D,最后根据∠B+∠BCD=180°,可得∠D+∠BCD=180°,进而判定AD∥BE;(3)根据AD∥BE,可得∠E=∠1=∠2,再根据BF平分∠ABC,可得∠3=∠4,根据∠AFB是△BEF的外角,得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1,即∠AFB=3+∠2,最后根据AD∥BC,得到∠ABC+∠BAD=180°,进而得到2∠AFB+∠CAF=180°.
10.课题学习近平行线的“等角转化”功能.
阅读理解:
如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.
求∠BAC+∠B+∠C的度数.
(1)阅读并补充下面推理过程
解:过点A作ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C=________.
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
解题反思:
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
方法运用:
(2)如图2,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数.(提示:过点C作CF∥AB)
深化拓展:
(3)如图3,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°.点B在点A的左侧,∠ABC=60°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平行线之间,求∠BED的度数.
【答案】(1)∠DAC
(2)解:如图2,过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠D=∠FCD,
∵CF∥AB,
∴∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°,
(3)解:如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠ABE=∠ABC=30°,∠CDE=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.
【解析】【解答】解:(1)∵ED∥BC,
∴∠C=∠DAC,
故答案为∠DAC;
【分析】(1)根据平行线的性质即可得到结论;(2)过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD,∠B=∠BCF,然后根据已知条件即可得到结论;(3)过点E作EF∥AB,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数.
11.如图1,直线CB∥OA,∠A=∠B=120°,E ,F在BC上,且满足∠FOC =∠AOC,并且OE 平分∠BOF.
(1)求∠AOB及∠EOC的度数;
(2)如图2,若平行移动AC,那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值;
【答案】(1)解:∵CB∥OA
∴∠BOA+∠B=180°
∴∠BOA=60°
∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC
= ∠BOF+ ∠F0A
= (∠BOF+∠FOA)
= ×60°
=30°
(2)解:不变
∵CB∥OA
∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA
∵∠FOC=∠AOC
∴∠COA= ∠FOA, 即∠OCB:∠OFB=1:2
【解析】【分析】(1)利用两直线平行,同旁内角互补,易证∠BOA+∠B=180°,即可求出∠AOB的度数;再利用角平分线的定义,可证得∠BOE=∠EOF,从而可推出
∠EOC=∠AOB,代入计算求出∠EOC的度数。
(2)利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA,再结合已知条件可证得∠COA=∠FOA,从而可推出∠OCB: ∠OFB的值。
12.如图,∠AOB是平角,OD是∠AOC的角平分线,∠COE=∠BOE.
(1)若∠AOC= 50 ,则∠DOE=________ ;
(2)若∠AOC= 50 ,则图中与∠COD互补的角为________;
(3)当∠AOC的大小发生改变时,∠DOE的大小是否发生改变?为什么?
【答案】(1)
(2)∠BOD
(3)解:不发生改变,
设∠AOC=2x .
∵OD是∠AOC的平分线,
∴∠AOD =∠COD=x,
∴∠BOC=180 ?2x,
∵∠COE=∠BOE,
∴∠COE==90 +x,
∴∠DOE=90 +x ?x=90
【解析】【解答】(1)解:∵∠AOC=50 ,
∴∠BOC=180 130 ,
∵OD是∠AOC的角平分线,
∴∠AOD=∠COD=25 ,
∴∠COE=∠BOE= ,
∴∠DOE=115 ;
故答案为:90
( 2 )解:由(1)知∠AOD=∠COD=25 ,
∴∠BOD=155 ,
∴图中与∠COD互补的角为∠BOD;
故答案为:∠BOD
【分析】(1)由∠AOC=50 ,得到∠AOD=∠COD=25 ,∠BOC=130 ,求得∠COE=∠BOE=115 .即可求出∠DOE;(2)由(1)得∠AOD=∠COD=25 ,则∠BOD=155 ,即可得到答案;(3)设∠AOC=2x,则∠AOD =∠COD =x,得到∠COE=90 +x,即可得到∠DOE=90 .