一维热传导方程

一维热传导方程

一． 问题介绍

考虑一维热传导方程：

（1） ,0),(22T t x f x

u a t u ≤<+∂∂=∂∂ 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：

第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件：

（2）

),()0,(x x u ϕ= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件：

（3）

),()0,(x x u ϕ= l x <<0 及边值条件

(4)

.0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ϕ在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。

二． 区域剖分

考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合。

三． 离散格式

第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。

第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。

1. 向前差分格式

（5） ,221

11j k j k j k

j k

j

k j f h u u u a u u ++-=--++τ

)(j j x f f =， )(0

j j j x u ϕϕ==， 00==k N k u u ，

其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1。以2/h a r τ=表示网比。则方程（5）可以改写为：

易知向前差分格式是显格式。

2. 向后差分格式

（6）

,11111)21(j k j k j k j k j f u ru u u ru τ+=-++-+-+++ )(0

j j j x u ϕϕ==， 00==k N k u u ，

其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。

3. 六点对称格式（Grank-Nicolson 格式）

将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式：

（7） 111112

)1(2+-+++-++-k j k j k j u r u r u r =j k j k j k j f u r u r u r τ++-+-+112)1(2 利用0

j u 和边值便可逐层求到k j u 。六点对称格式是隐格式，由第k 层计算第k+1层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。 将其截断误差)(x R k

j 于),(21+k j t

x （21+k t =τ)21(+k ）展开，则得 )(x R k

j =)(22h O +τ 。

4. Richardson 格式

（8）

τ211-+-k j k j u u j k j k j k j f h u u u a ++-=-+2112，

或

（9） j k j k j k j k j k j f u u u u r u τ2)2(21111+++-=--++。 这是三层显示差分格式。截断误差阶为)(22h O +τ。为了使计算能够逐层进行，

除初值0

j u 外，还要用到1j u ，这可以用前述二层差分格式计算（为保证精度，可将[0,τ]分成若干等份）。

四． 格式稳定性

通过误差估计方程

（1） 可知对任意的r ，Richardson 格式都不稳定，所以Richardson 格式绝对不稳定。

（2） 当210≤

1>r 时，向前差分格式的误差无限增长。因此向前差分格式是条件稳定。

（3） 向后差分格式和六点对称格式都绝对稳定，且各自的截断误差阶分别为)(2h O +τ和)(22h O +τ。

五． 数值例子

例1 令f ( x ) = 0和a = 1，可求得u （x,t ）一个解析解为u ( x , t ) =exp ( x + t )。

1． 用向前差分格式验证得数值结果如下：

请输入n 的值(输入0结束程序):

2

请输入m 的值(输入0结束程序):

17

xj tk 真实值x[i][k]

近似值u[i][k]

误差err[i][k]

当n等于2和m等于17时最大误差为

其中r = 1/2，格式是稳定的。

2. 用向后差分格式验证得数值结果如下：

请输入n的值(输入0结束程序):

6

请输入m的值(输入0结束程序):

6

xj 真实值x[i] 近似值u[i] 误差err[i] 第1层结果时间节点Tk=

第1层的最大误差是

第2层结果时间节点Tk=

第2层的最大误差是

第3层结果时间节点Tk=

第3层的最大误差是

第4层结果时间节点Tk=

第4层的最大误差是