离心率的值或范围问题

一．方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义椭圆2222222e ===1()c a b b a a a--、 双曲线2222222e ===1()c a b b a a a++直接求解； ②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于椭圆222b a c ＝－、双曲线222b c a ＝－消去b ，构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标0a x a -≤≤等． 二．解题策略类型一 直接求出c a ,或求出a 与b 的比值，以求解e 【例1】【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知双曲线的右焦点为抛物线的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，若点在该双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 设，则，所以抛物线的方程为.因为点到双曲线的一条渐近线的距离为，不妨设这条渐近线的方程为，即，则，又点在双曲线上，所以，解得，故，即.故选B.【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．【举一反三】1.【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为抛物线，所以，准线为，将代入得，不妨设为右支上的点，则，因为是等边三角形，则，即，所以，因此双曲线的离心率为.故选A2. 【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为A．B．C．2 D．【答案】B【解析】解：联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得，即，所以，所以，所以，所以的离心率为．故选：B．，的齐次式，解出e类型二构造a c【例2】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．【答案】2【解析】如图，由可得，∴，，由双曲线的定义可得，，∴在中由余弦定理得在中由余弦定理得，∵，∴，整理得，∴，解得或（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为：2．【指点迷津】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键.【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ， P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值是（ ） A.233 B. 433C. 2D. 3 【答案】A【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出12a a 、与1PF 、2PF 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形【例3】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____. 【答案】【解析】的最大值为由题意知故椭圆的离心率的取值范围本题正确结果：【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论.（2）图象特征的运用，本题根据题意，从的最大值为，由题意知，由此能够导出椭圆的离心率的取值范围.【举一反三】1.【2019年4月27日三轮《每日一题》】．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线虚轴为直径的圆相切于点，且切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为( )A．B．5 C．D．3【答案】A【解析】如图，由题意知=，且⊥，又为线段的中点，则||=，⊥，由双曲线的定义知||—||=，∴||=－，又+=，即，即==，即=，∴==，∴双曲线的离心率为=，故选：A．2.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》】已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 延长交椭圆于点，设椭圆右焦点为，连接.根据题意，，所以根据椭圆定义，所以在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得所以，解得， 所以椭圆离心率为故选B 项.【指点迷津】根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到关系，求出离心率.类型四 利用圆锥曲线性质【例4】已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为（ ） A. 1213e e =B. 2212143e e += C. 2211134e e += D. 221134e e +=【答案】C【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论、焦点三角形的面积公式等.【举一反三】已知椭圆E ： ()222210x y a b a b+=>>的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为（ ） A.32 B. 34 C. 12D. 24 【答案】A【解析】设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则2200221x y a b+=.故()2222002a x b y b =-又k AC ·k BC ＝2202014y b x -=-，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2， 因此e ＝32，故选A. 【指点迷津】研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如本题利用22,(,PA PB b k k A B a⋅=-关于原点对称，,,A B P 为椭圆上三点).类型五 利用平面几何性质【例5】【湖南省永州市2019届高三第三次模】过双曲线左焦点的直线与交于两点，且，若，则的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设双曲线右焦点为，取中点，连接，如下图所示：由可知：又为中点，可知为线段的垂直平分线设，由双曲线定义可知：，则，解得：在中，在中，本题正确选项：【指点迷津】注意平面几何知识的运用，对于本题中的双曲线右焦点为，取中点，连接；根据已知可知为线段的垂直平分线，得到；结合双曲线定义可以求解出，从而得到的长度，根据勾股定理构造方程，从而求得离心率.【举一反三】【湖南省永州市2019届高三三模】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】由题意，作出图像如下：因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，所以，，由题意易得，，所以，，因此，整理得,所以离心率为.故答案为【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.类型六利用数形结合【例6】【山东省济宁市2019届高三一模】已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．【答案】D【解析】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选D.【指点迷津】本题首先可以通过题意画出图形并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果.【举一反三】【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故．由可得，整理得，显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．三．强化训练1.【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，则|QF2|＝，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，则t＝2（2﹣）a，在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2，化为c2＝（9﹣6）a2，可得e＝＝．故选A.2.【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应】椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I与重心满足，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，又，，则的重心.因为∥所以内心I的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义得，解得，故选D.3．【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，点是点关于坐标原点的对称点，且以为直径的圆过点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，，所以.所以.因为以AB为直径的圆过点F，所以.所以A(1,2)在双曲线上，所以有.因为,代入化简得，解得，.所以双曲线的离心率.故选B．4．【内蒙古2019届高三高考一模】已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A．B．C．4 D．2【答案】D【解析】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．5．【湖南省常德市2019届高三上学期检测】已知双曲线：的左焦点为，，为曲线的左、右顶点，点在曲线上，且轴，直线与轴交于点，直线与轴交于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】由于轴，不妨设，而.故直线的方程分别为，，令，求得，由于，故，化简得，6．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设因为，所以，因为，所以，所以a=2b,所以.故选：B7．已知双曲线：(，)，过点作直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若为的中点，且，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过点作直线交双曲线的两条渐近线于、两点，且为的中点，且，所以平分,根据双曲线的渐近线关于y轴对称得到和轴正半轴所成角和角相等，和的夹角为，因为和都是双曲线的渐近线，故得到轴平分角，过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，所以,即,所以, 则双曲线的离心率为.故答案为：B.8．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知是双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点，若，记该双曲线的离心率为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，该双曲线的一条渐近线为，将代入得，，即，，，解得，故选:A9．【宁夏平罗中学2019届高三二模】已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为A．B．C．2 D．3【答案】A【解析】与x轴垂直，，设，则，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，则，则，故选：A．10．【湖南省常德市2019届高三上学期检测】已知双曲线的右焦点为，以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为y x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由F（c，0）到渐近线的距离为FH=d b，∴PH=，又∴OH=即，∴故选：D二、填空题11．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三二模】已知双曲线，其渐近线与圆相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】双曲线的一条渐近线为，与圆相交，弦长为，则弦心距为即圆心到渐近线S的距离为，得在双曲线中，，即12．【贵州省2019届高三高考适应】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，则的离心率为__________..【答案】【解析】解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，由•0，可得AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，又∠BOF=，∴∠BF'F=∵F'F=2c，∴BF=c，BF'=由双曲线定义可知：BF'- BF=2a即∴e=故答案为：13．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试】已知椭圆上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF＝时，椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】设为椭圆左焦点，连接，由椭圆对称性和可知：四边形为矩形又，由椭圆定义可知：本题正确结果：14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知椭圆的两个顶点，，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，若，则椭圆的离心率是__________．【答案】【解析】过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，因为，所以15．【广西桂林市2019届高三4月一模】已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_______．【答案】【解析】设点，抛物线的焦点为,焦点到准线的距离为将准线方程代入双曲线得到根据等边三角形的性质的到双曲线的离心率为故得到离心率为.故答案为：16．【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次质量检测】已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】因为是等腰三角形且，所以.设，因为，所以，得，,又Q在椭圆上，所以，，又，所以，，，,故答案为.21。