最新山东大学2000-数学分析
2000年考研数学三真题及答案
2000年考研数学三真题及答案2000年的考研数学三真题是许多考生备考过程中关注的一个重要内容，以下将为您提供2000年考研数学三真题及答案的详细内容。
为了您的方便阅读，我们将按照试卷中出现的题目顺序依次给出题目及答案。
一、选择题1. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，对f(x)进行因式分解，正确的是（）a) f(x) = (x-1)(x-1)(x+1)b) f(x) = (x+1)(x-1)(x-1)c) f(x) = (x-1)(x+1)(x+1)d) f(x) = (x+1)(x+1)(x-1)答案：a) f(x) = (x-1)(x-1)(x+1)2. 设函数f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1，则f'(1)的值为（）a) 0b) 1c) -2d) 3答案：d) 33. 已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = 3an+1 - 2an+2，那么数列{an}的通项公式为（）a) an = 2^nb) an = (-1)^nc) an = nd) an = n+1答案：b) an = (-1)^n4. 设A为n阶矩阵，且对任意整数k，都有A^k = A，则A的特征值满足的条件是（）a) 所有特征值都为0b) 所有特征值都为1c) 所有特征值都为-1d) 不存在特征值答案：b) 所有特征值都为1二、计算题1. 求函数f(x) = sin^3(x)在区间[0, π/2]上的平均值。
解：根据定积分的定义，函数f(x)在区间[a, b]上的平均值M等于1/(b-a)乘积分号下限a、上限b的定积分。
因此，可以计算出函数f(x)在区间[0, π/2]上的平均值为：M = (1/π/2 - 0) * ∫[0, π/2] sin^3(x) dx= (2/π) * ∫[0, π/2] sin^3(x) dx= (2/π) * (2/3 - 0)= 4/3π因此，函数f(x) = sin^3(x)在区间[0, π/2]上的平均值为4/3π。
山东大学《高等数学》期末复习参考题 (2)
2
=
2 4− x − y
2 2
d xd y =
2
2 d xd y z
且 D = ( x, y ) | x + y ≤ 4
2
∴
∫∫ (x
S
2
z + y 2 z d S = ∫∫ x 2 + y 2 ⋅ 2 d x d y
D
)
(
)
（4 分）
= 2∫ d θ∫ r 2 ⋅ r d r
0 0
2π
其中S是半球面x2+y2+z2=4,z≥0.
3、求曲面积分
4、计算 rot(r×c),其中 r 为矢径，c={2,1,－3}. 5、设 u = x + y + z ，而 z = x cos y ，求
2 2 2 2
∂u ∂u , 。 ∂x ∂y
四、证明题（10 分）
设函数 u = F ( x , y , z ) 在条件 Φ( x , y , z ) = 0 下有极值为 u0 = F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，其中函数
3 2
（6 分） （3 分） （6 分）
u y = 2 y + 2 z ( − x 2 sin y ) = 2 y − 2 x 4 sin y cos y
四、证明题（10 分）
证明：显见曲面 u = F ( x , y , z ) 与 Φ( x , y , z ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 相交。 令 L = F ( x, y, z ) + λF ( x, y, z ) 则在点 x 0 , y 0 , z 0 ) 处有 （2 分）
2 2 2
(0,0) 是函数 z 的（
2000数学一解析
2000年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】7T方法一—x 2 dx = f a /1 — (jc — l)2 d(j? — 1)=J 0a /1 — x 2 dj?方法二1/----------帀x = sin tV 1 —无=o根据定积分的几何应用，「屆—工认即以曲线J 0y = Jlx — jc 2 （0 £工W 1）为曲边的曲边梯形的面积. 如图所示，显然［丿2工-工f =中.⑵【答案】千1_卄2_「2-46cos 2/d/=/2=£x Ko 2【解】"={F ： ,F ； ,F ；} |（1,一2,2）= {2工，4y ,6z} |（i,_2,2）= {2, — 8,12},qr 1 yi —I — 2 N 2则曲面在点（1.—2,2）处的法线方程为、工占=乞丁.（3） 【答案】y =q + C2（C 】，C2为任意常数）.X【解】 方法一 由xy" + 33/' = 0 ,得y"-----y' =0.X解得/hCojM =$，积分得原方程的通解为y =^ + C 2（C 15C 2为任意常数）.XJC方法二 由砂"+ 3y f =0,得 x 7,y" + 3x 2y f =0 或（x 3y'Y =0.「 C于是工s ，=c 。
，解得y =-|,积分得原方程通解为^=4 + C 2（C.,C 2为任意常数）.jc x （4） 【答案】 一1.【解】 因为原方程组无解，所以r （A ） <r （A ）,而r （A ）三3,所以r （A ） <3.于是|A 1 = 0,解得a =-1或a =3._ I 121/I 21 ! 1 \/I2 11当a = 3时，由A=”35Y -> 0 - 1-* °—131'13—2i o''o 1-3 - 1''00 00得r （A ） =r （A ） =2,原方程组有无数个解，所以a 工3 ,故a == -1.2(5)【答案】 y.【解】PCAB) =PCA) -F(AB), P CAB) = P (B) - P (AB),由P(AB)=P(AB),得P(A)=P(B).--------------1«由P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得P(A+B)=§.又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P2(A),o o得P2(A)-2P(A)+y=0,解得P(A)=y.二、选择题(6)【答案】(A).【解】由厂Q)gQ)TQ)g‘Q)<o,得&(工)」g(工)即牛¥为减函数，当a V工时，有牛牛>力黑>侏.gd g(工)g lb)于是/'(•z)g(b)>f(b)gO,应选(A).方法点评：本题考查函数单调性.若y'(H)>o或y'(_z)<o时，/•&)严格递增或严格递减.注意如下技巧：若题中出现/'(_r)g(>z)—/■(H)g'(_z)时，一般构造辅助函数；g(H)若题中出现f'(j;)+/(a-)g z(j：),一般构造辅助函数/(JC)g(J7).(7)【答案】(C).【解】由对面积的曲面积分的对称性质，得又因为s i x dS=JJ ydSs iF ds=.sjjj/dS=0,s』n dS9所以』n dS=4JJS]S S]zdS Z(1S9s】x dS9应选(C).方法点评：二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性,对面积的曲面积分的对称性如下：若》关于jrOy平面对称，其中工0夕平面上方为I】，则有]J/(z,z)dS=J0,12jJ/(jr,w)dS,I习f(.x,y,—z)=—f(工,y,z),f(a:,y,—2)=f{x,y,z).其他两种情形同上.(8)【答案】(D).【解】方法一令S”="]+“2------"”，因为工"”收敛，所以lim“”=0且limS…存在.”=]"-88设limS”=S，令S：=("]+“2)+("2+"3)+…+("”+«…+i)=2S”一"i+“卄i.OO因为limS：,=2S—-，所以级数工("”+"”+i)收敛，应选(D).心00”=1■(—1\H g/_1\W°°1方法二取U n=丄1、，级数工|/,1、收敛，而工丄1、发散，(A)不对;ln(z?+1)/z=1ln(n+1) z/=1n ln(7?+1)取"”=上?，级数》>7 =工丄发散，(B)不对；寸Tln = \” = 1"(—1 \n~l00 吕1取U ” ='，级数工(“2”T — “2”)= Y —发散，(C)不对，应选(D).n n=\n=\ n(9) 【答案】(D).【解】 令 A =( a 1 .a?,…，a ”)，B = (0i ，02，・"‘0,”).由 a i ,a 2, ,a m 线性无关，得 r (A ) =m .若山，卩-…仇线性无关，则r (B )=m,因为r(A) =r(B) 所以矩阵A.B 等价；反之,若矩阵A .B 等价，则r(A) — rCB ),因为r(A)—加，所以r(B)=加，又因为矩阵的秩与矩阵列向量组的秩相等，所以你，02,…，血的秩为加，即你心，…0”线性无关，应选(D).(10) 【答案】(E).【解】W 诃不相关的充分必要条件是Cov(f ，^) =0.而 Cov(Wq) =Cov(X + Y,X — Y) =Cov(X,X) -Cov(Y,Y) =D(X) -D(Y),又 D(X) =E(X 2) -[E(X )T ， D(Y) =E(Y 2) ~[E(Y)]2,所以不相关的充分必要条件是D(X) =D(Y),即 E(X 2) ~[E(X)J 2 =E(Y 2) -[E(Y)]2,应选(E).三、解答题(11)【解】— . 1/2 + sin j - \ 2 -h e 7由 lim T + I I = lim -------r + lim z-o+'l+e ’ 1 1 ' 乂_°* 1 += 0 + 1=1,— . 1/2 + e J . sin jc \ 9 4- e 7 sin rlim ( T x I j = lim ------------lim --------=2 — 1 = 19/2 + e T sin x \得啸匚/ +甘)7(12)【解】由复合函数求偏导法则，得券= yf ； + —fi —气 g'， dx y xdy=f\ + y (工咒y 〃-------gX1l —i £〃 无 〃〃 1 / y >—f 2 + ^yf 11 J 22 g s y yQ («Z 9』)=(13)【解】令 PCx.y) = , 2 24j ? + ydQ dp y 2 — 4 工23jc (4jc 2 + y 2 )2((乂，』)# (0,0)).如图所示，作L 0：4^2+y 2=r 2(r> 0且L 。
(详细解析)2000年高考数学试题(全国旧课程)理科.docx
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3 至9页.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.设集合A 和3都是自然数集合N,映射把集合A 中的元素斤映射到集合3中 的元素2"+〃，则在映射/下，象20的原象是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】2"+〃 = 20,解得,1 = 4.2-在复平面内’把复数3一®寸应的向量按顺时针方向旋吟所得向量对应的复数是A. 2^3B. -2吕C. V3-3ZD. 3 + 希,【答案】B3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是血，蕭,、怎，这个长方体对角线的长是A. 2A /3B. 3>/2C. 6D. V6【答案】D【解析】设长、宽和高分别为a,b,c ,则ah = y[2.bc = = V6 , A abc = V6 ,a = \fl.b = l,c = A /3，•:对角线长 I = A /2 + 1 + 3 = V6 .【解析】4. 已知sina>sin0,那么下列命题成立的是A. 若G,0是第一象限角，贝ijcosa>cos0B. 若Q,0是笫二象限角，则tan<z> tan^D.若Q,0是第四彖限角，贝'J tan^z> tan/?【答案】D【解析】用特殊值法：取4 = 60。
,0 = 30。
，A 不正确；取0 = 120。
,0 = 150。
，B 不正确;取a = 210。
,0 = 240。
，C 不正确；D 正确.5.函数y = -xcosx 的部分图像是【答案】D【解析】函数y = —xcos 兀是奇函数，A 、C 错误；且当XG (0,-)时，y<0. 26.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过80()元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5% 超过500元至2 000元的部分 10% 趙过2 000元至5 000元的部分15% ■• • •某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A. 800-900 元B. 900〜120()元C. 120()〜1500 元D. 1500-2800 元【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为25 + 20 = 45元, 所以选C.C.若％0是第三象限角,则 cosa 〉cos0A B C D7.若a>b>l t P = yj\gaAgb 9Q = -(\ga^\gb\R = \gJ【答案】B【解析】方法一：丄(lga + lgb)>丄(2jlgd lgb) = Jlga ・lgb ； 丄(lgQ + lg/?),所以B 正确.2方法二：特殊值法：取a = \OO,b = \O,即可得答案.8.以极坐标系屮的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是A ・ p - 2cose — B. p = 2sin 0——< 4<C. p = 2cos(&-1)D. p - 2sin(^-l)【答案】C【解析】设圆上任意一点M(p®,直径为2,贝U2cos(l — &) = p,即p = 2cos(^-l).9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 1+2龙 1+4龙 1+2龙 1+4龙 A. -------- B. ------------------ C. ----------------- D. ------------------271 4龙 71 271【答案】A【解析】设圆柱的半径为厂，则高力=2帀，电=W +(2J)? = S 仙|(2龙厂)一 2龙【答案】C【解析】圆的标准方程为(X + 2)2 + / = 1,设直线的方程为kx-y = 0,由题设条件可得屮厂I,解得“士孕由于切点在第三象限，所以嗨,所求切线尸纠A. R<P<QB. P<Q<RC. Q<P<RD. P<R<Q10.过原点的直线与圆X 2 + /+4X + 3 = 0相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是A. y = y/3xB. y = -y/3xD.y=~4x—2k lg> ig =11.过抛物线歹二cue {a > 0）的焦点F 作一-直线交抛物线于P,Q 两点，若线段PF 与FQ的 长分别是p,q,则丄+丄等于p q宀 14 4 A. 2d B.—— C. 4a D ・一2aa【答案】C【解析】特殊值法.作P0丄y 轴，即将y =—代入抛物线方程得x = ±—,4a 2a—I — = 4a . p q【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程.12. 如图，04是圆锥底而中心A 到母线的垂线，04绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为厂，高为力，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂 线 AC,垂足为 C, OA = r cos 0, CA = OAcosO = rcos 2 0 f A V = - r cos 2 0）2h,原 3]0 1-7rr 2h = 2V. =-7crh^ 解得 cos& = 二 & = arccos 〒• 3 3 #2 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线.13. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第-、三.五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 ________ 种（用数字作答）. 【答案】252积相等的两部分， 则母线与轴的夹角为A. arccosB. 1arccos —2 C. arccosD. arccos圆锥的体积为V【解析】不同的出场安排共有= 252 .2 214. 椭圆詈+才=1的焦点为片，场，点P 为其上的动点，当ZF\PF?为钝角时，点P 横坐标的取值范围是3 3【答案】（-盘，詡【解析】方法一：（向量法）设P （x,刃，由题设P 片・P 鬥＜0,即（x + c,y ）・（x —c,y ）v0,A*? 彳 4 G又由矿才1得宀4-歹，代入一卄＜。
信息与计算科学2000级数学分析期末考试卷
信息与计算科学2000级《数学分析》期末考试卷一、 选择题（多项选择题，每题4分，共30分）1、下列说法正确的是:A:狄立赫莱（Dirichlet ）函数y =D （x ）=⎩⎨⎧为无理数，当为有理数，当x x 01，是偶函数，是以任何有理数为周期的周期函数，是有界函数.B:任何一个定义在),(l l -的函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和. C:两个偶函数的积是偶函数，两个奇函数的积是奇函数.D:符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是严格单调上升的函数.2、下列说法正确的是: A:aa Lim a a Limn n n n =⇒=∞→∞→. B:⇒=∞→a a Lim n n aa Lim n n =∞→.C:⇒=∞→0n n a Lim=∞→n n a Lim .D:aa Limk k =∞→2且⇔=+∞→a a Limk k 12aa Lim n n =∞→.3、下列说法正确的是::A ：⇔=→A x f Lim x x )(0=+→)(0x f Limx x Ax f Limx x =-→)(0. B ：11sin=∞→xx Limx .C ：1sin 1=∞→x xLimx . D ：exxx Limxx =+∞→1sin)11(.4、下列说法正确的是: A ：连续在连续则在],[)}(),(m in{)},(),(m ax {,],[)(),(b a x g x f y x g x f y b a x g y x f y ====B:⇔==点连续在0)(x x x f y=+→)(0x f Limx x )(0x f Limxx -→=)(0x f .C:⇔==点连续在0)(x x x f y )()(lim lim }{00x f x f x x x n n n n n ==∀∞→∞→，且有.D:.],[)()(),()(),()(0)(],[)(),(连续在连续且在b a x g x f y x g x f y x g x f y x g b a x g y x f y =⋅=±=⇒≠==5、下列说法正确的是:A:有上（下）界的数集必有上（下）确界，且确界唯一. B:设}{nI 为一个区间列，且),2,1(1⋅⋅⋅=⊂+n I In n则存在唯一的点ξ使得),2,1(⋅⋅⋅=∈n I n ξ.C:数列}{nx 的任一子列收敛⇔,0,,0>∀N ∈∃>∀p N ε当N>n时有:ε<-+n pn x x.D:设区间集E 覆盖Eb a ⇒],[中存在有限个区间覆盖],[b a .6、下列说法正确的是: A:设)(0x f '存在)(2)()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+⇒→.B:可导的偶函数的导数为奇函数，而可导的奇函数的导数为偶函数. C:)(x f y =在0x x =处可导)(x f y =⇔在0x x =处左、右导数存在且相等. D:)(x f y=在0x x =处不可导)(x f y =⇔在0x x =处左或右导数不存在或左、右导数存在不相等. 7、下列说法正确的是:A:连续是可导的必要但非充分条件. B:可微是可导的充要条件. C:函数)(x f y=在0x x =处可导,则dy y -∆是x ∆的高阶无穷小.D:连续函数存在原函数，可导函数也存在原函数. 8、下列说法正确的是:A:设Af =')0(且.)(lim0)0(0A xx f f x =⇒=→B:初等函数在其定义域的区间上一定连续、可导、可微、可积. C:)(x f y=，)(x g y =在0x x=处可导且)()(00x g xf <则)(lim)(limx g x f x x x x →→<且).()(00x g x f '<' D:设032<-b a则方程023=+++c bx axx有两个不相等的实根.9、设)(x f y =可导, 下列说法正确的是:A ：Cx f dx x f +='⎰)())((且⎰+=dxC x f dx x f d ))(()(.B:⎰+='C x f dx x f )()(. C:⎰+'=C x f dx x f )()(.D:⎰'dxx f )(是可导函数族.10、下列说法正确的是: A:若)()(x f x F ='，则.)()(⎰+=C x F x dFB:若)()(x f x F ='，则.)()(⎰=x F x dFC:若v u ,都是x 的可微函数，则.⎰⎰-=vdu uv udv D:若v u ,都是x 的可微函数，则.⎰⎰'-=du v u uv udv二、计算:（每题7分，共42分） 1：求椭圆⎩⎨⎧≤≤==π20sin cos t ty t a x 在)22,22(b a处切线方程.2：设)0(,sin >=x xy x求y '.3：求)12111(222lim nnnnn ++++++∞→4：求155345++-=xx x y在区间]2,1[-的最大值、最小值.5：求1） dxxx⎰sin；2）⎰++12x xdx6：设xx sin 是)(x f 的一个原函数，求dxx f x)(3⎰'.四、证明题:（每题7分，共28分） 1：用""N -ε定义证明2312322lim=-+∞→nn n n2：证明方程033=+-c x x 在]1,0[内不可能有两个不同的实根。
2000-数学二真题、标准答案及解析
( n +1)π
cos x dx
0
0
又因为 cos x 是以 π 为周期的函数，在每一个周期上积分值相等
所以
nπ
π
∫0 cos x dx = n∫0 cos x dx = 2n
∫ ∫ (n+1)π cos x dx = (n +1) nπ cos x dx = 2(n +1)
0
0
因此当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
二、选择题
（1）设函数
f
(x)
=
a
x + ebx
在 (−∞, +∞)
内连续，且
lim
x→−∞
f
(x)
=
0 ，则常数 a,b
满足
（A） a < 0,b < 0
（B） a > 0,b > 0
（C） a ≤ 0,b > 0
（D） a ≥ 0,b < 0
【答】 应选（D）
【】
【详解】 由题设，f ( x) 在 (−∞, +∞) 内连续，因此对任意的 x ∈ (−∞, +∞) ，有，，这只需 a ≥ 0
0
（1） 当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
S ( x)
（2） 求 lim x x→+∞
【详解】
（1）当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，主义到被积函数是非负得，于是有
∫ ∫ nπ cos x dx ≤ S ( x) <
⎢ ⎣
g
山东大学数学分析考研真题2000-2019
2001年山东大学数学分析真题一、填空题1．220cos 21lim sin x x x x→-=+______。
2．2!lim n n n n n→-∞=______。
3．设u ＝xln （xy ），则22u x∂=∂______。
4．积分220x x =⎰______。
5．交换积分次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰______。
6．积分(3,4)(0,1)d d x x y y -+=⎰______。
7．幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为______。
8．设f （x ）＝arctanx ，则f （2n ＋1）（0）______。
二、1．叙述函数f （x ）在[a ，b] 上一致连续和不一致连续的ε－δ型语言。
2．计算定积分20d x e x +∞-⎰。
3．叙述并证明连续函数的中间值定理。
三、本题任选两题1．设f （x ，y ）处处具有连续的一阶偏导数，且f （1，0）＝f （－1，0），试证在单位圆上存在两点（x 1，y 1）和（x 2，y 2），满足下列两式：x i f y ′（x i ，y i ）－y i f x ′（x i ，y i ）＝0，i ＝1，22．设f （x ）在[0，＋∞] 上连续且f ≥0，如果f （x ）f （y ）f （z ）≤x 2yf （z ）＋y 2zf （x ）＋z 2xf （y ） 求证：520()d 2a f x x a ≤⎰3．设f （x ）在（0，＋∞）上连续可微，且()lim 0x f x x →+∞= 求证：存在序列{x n }使得x n →＋∞且f′（x n ）→0。
2005年山东大学数学分析真题10．f （x ）对一切b 在[0，b]上可积，且lim ()2x f x →+∞=证明 00lim ()d 2t tx t t e f x x -→=⎰11．证明：2101d 16x x x π=-⎰2015年山东大学数学分析真题2016年山东大学数学分析真题2017年山东大学数学分析真题2018年山东大学数学分析真题2019年山东大学数学分析真题。
《山东大学数学分析2007-2017年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题 (2)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题 (3)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题 (5)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题 (6)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题 (7)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题 (8)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题 (10)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题 (12)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题 (14)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (16)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (16)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (22)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (34)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)Ⅰ历年考研真题试卷山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题科目代码：651科目名称：数学分析（答案必须写在答卷纸上，写在试卷上无效）1.求()sin 0lim cot xx x →2.求222222222222(),: 1.Vx y z x y z dxdydz V a b c a b c ++++=⎰⎰⎰3.求211.n n n x ∞-=∑()0,1x ∈4.证明：20lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰5.()()0,()f a f b f x ''==有二阶导数，证明：存在,ξ满足24()()().()f f b f a b a ξ''≥--6.22220(,)0,0.x y f x y x y +≠=+≠⎩，证明：(,)f x y 在（0，0）连续，有有界偏导数,x y f f ''在（0，0）不可微。
山东大学数学专题数学分析部分第八章
当������ → 0 + 0 时, ln ������ ln ������ ∼ . (1 − ������2 )������ (sin ������)������ ������������ 于是, 当������ < 1 时, 发散. 当������ → 1 − 0 时, ln ������ ln(1 − (1 − ������)) −1 = ∼ . (1 − ������2 )������ (sin ������)������ (1 − ������)������ (1 + ������)������ (sin ������)������ 2������ (sin 1)������ (1 − ������)������−1
1 特别地, 当������ → +∞ 时, ������ (������) 与 ������ 比较是������ 级无穷小(������ > 0), ∫ +∞ 则当������ > 1 时 ������ ������ (������)������������ 收敛, 反之发散. ∫ ������ (4) Dirichlet (狄里赫勒) 判别法: 若������ (������) = ������ ������ (������)������������ 有 ∫ +∞ 界, 而������ (������) 单调, 且当������ → +∞ 时, ������ (������) → 0, 则 ������ ������ (������)������ (������)������������
0 ������
∫ (2)
������
+∞
������������ . ������������ (ln ������)������ (ln ln ������)������ ������ )������������,
2000-数一真题、标准答案及解析
1- ( x -1)2( ) |( ) | ( ) |2000 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题(1)⎰02x - x dx = .2π【答】 .4【详解】⎰12x - x 2= ⎰1πdxx -1 = sin t ⎰ 2cos 2 tdt =0 4（2）曲面 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 21在点(1, -2, 2) 的法线方程为.【答】x -1 = y + 2 = z - 2 .1 【详解】 令-4 6F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 - 21 ，则有F ' 1, -2, 2 = 2x = 2, x (1,-2,2)F ' 1, -2, 2 = 4 y = -8,y(1,-2,2)F ' 1, -2, 2 = 6z = 12.z (1,-2,2)因此所求法线方程为：x -1 = y + 2 = z - 21 -4 6（3）微分方程 xy '' + 3y ' = 0 的通解为.【答】y = C 1 +C 2 .x2【详解】 令 p = y ' ，则原方程化为p ' + 3p = 0,x其通解为p = Cx -3.因此，π99y = Cx -3dx = C - C x -2 = C+ C 2 , C = - C⎰ 1 2 1 x 2 2 2ϒ1 2 1 / ϒ x 1 / ϒ1/ （4）已知方程组'2 3 a + 2∞ ' x ∞ = '3∞ 无解，则 a = .' ∞ ' 2 ∞ ' ∞【答】 -1.'≤1 a -2 ∞ƒ '≤ x 3 ∞ƒ '≤0∞ƒ【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有ϒ1 2 1 M 1/ ϒ1 2 1 M 1 / ϒ1 2 1 M 1 / '2 3 a + 2 M 3∞ → '0 -1 a M 1 ∞ → '0 -1 a M 1 ∞'∞ ' ∞' ∞ '≤1 a -2 M 0∞ƒ '≤0 a - 2 -3 M -1ƒ∞ '≤0 0 (a - 3)(a +1) M a - 3∞ƒ可见。
山东大学考研数学系数学分析考试大纲
山东大学数学与系统科学学院—基础数学专业科目大纲651—数学分析考试大纲：一、考查目标全国硕士研究生入学统一考试基础数学硕士专业学位（数学分析）考试是为高等院校和科研究所招收基础数学专业硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。
其目的是科学、公平，有效地测试考生是否具备攻读基础数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家培养具有良好职业道德和专业知识、具有较强分析与解决实际问题能力和高层次数学专业人才。
考试要求是测试考生掌握数学分析理论的基本知识与内容、分析处理和证明基本问题的方法与技巧。
具体来说，要求考生：①掌握了基本的数学分析知识。
②掌握实分析理论的基本方法和技巧。
③掌握数学分析的基本原理。
④具有运用时分析方法论证和解决问题的基本能力。
二、考试形式和试卷结构1. 试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。
2. 答题方式答题方式为闭卷、笔试。
不使用计算器。
3. 试卷内容与题型结构本试卷基于理解与计算，分析与证明、综合与提高的原则，题型一般包括计算题及证明题。
三、考查内容1. 函数、集合、映射的概念和基本理论。
2. 极限理论与方法。
3. 函数的连续性和连续函数的性质。
4. 一元微分学基本理论与应用。
5. 一元积分学理论与应用。
6. 无穷级数理论。
7. 多元函数的微分学理论与应用。
8. 广义积分理论。
9. 含参变量的积分与广义积分理论。
10. 多重积分理论。
11. 线积分与面积分理论与应用。
12. 傅里叶级数与傅里叶积分。
注：参考教材：《数学分析》（上下册）华东师范大学数学系编（第四版），高等教育出版社.1。
山东大学2000-2007年硕士研究生入学考试试题(数学分析)
山东大学2000-2007年硕士研究生入学考试试题（数学分析）2000年试题 一、 填空。
1. 22233312(1)lim[]?n n n n n →∞-+++= 2.10(1)lim?xx e x x→-+=3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<则22?d ydx =4.2121[ln(1)]?1x x x dx x-++=+⎰ 5.设r =则2216[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰6.设Γ表示椭圆22149x y +=正向，则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰ 7.级数13(2)(1)n nn n x n ∞=+-+∑的收敛范围为？8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、1.设()f x 在[,]a b 上可积，令()(),xa F x f t dt =⎰证明：()F x 在[,]ab 上连续。
2.求2cos(2)(x ex dx αα∞-⎰为实数）。
3.试求级数21n n n x ∞=∑的和函数。
三、任选两题。
1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明：21()().()bb a af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰2.求20cos sin n x nxdx π⎰(1n ≥为正整数）3.设(),()f x g x 在[0,)+∞上可微且满足lim(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞→∞=<<+∞≠→∞求证：存在数列{}(,)n n c c n →+∞→∞使得()()()().n n n n f c g c g c f c ''<-2001年试题一、1．220cos 21lim?sin x x x x→-=+2.2!lim ?n n n n n→∞=3.设ln(),u x xy =则22?ux∂=∂40?x π=⎰.5.交换积分顺序2120(,)?x xdx f x y dy -=⎰⎰6.(3,4)(0,1)?xdx ydy -+=⎰7.1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为？8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。
(完整)山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)
山东大学《数学分析III 》期末复习参考题一.选择题（共 10 小题，40 分） 1.函数⎩⎨⎧+=,1,),(22y x y x f 00≠=xy xy 在（0，0）点处（ ）。
A ）不存在偏导数； B ）存在函数极限；C ）存在两个偏导数但不连续；D ）存在两个偏导数且连续。
2.下列命题关于),(y x f 在),(000y x P 的全微分描述错误的是（ ）。
A ）dz 是x ∆与y ∆的线性函数；B ）dz 与z ∆之差比ρ为高阶无穷小；C ）),(y x f 在),(000y x P 可微，则),(y x f 在),(000y x P 连续；D ）),(y x f 在),(000y x P 存在两个偏导数，则在),(y x f 在),(000y x P 一定可微。
3.函数)0(>=x x z y，而,cos ,sin t y t x ==则=dtdz（ ）。
A ）x t x t yx y y ln sin cos 1--； B ）x t x t yx y y ln sin cos 1+-； C ）x t x t yxy y ln cos sin 1--； D ）x t x t yx y y ln sin sin 1--。
4.如果函数),(y x f 在),(000y x P 的邻域G ( ),则),(),(00''00''y x f y x f yx xy =.A ）),(),,(''y x f y x f yx xy 存在且在),(000y x P 连续； B ）),(),,(''y x f y x f yx xy 存在且可导;C ）),(),,(''''y x f y x f yx xy 存在且在),(000y x P 连续；D ）),(),,(''''y x f y x f yx xy 存在。
2000-数学二真题、标准答案及解析
【答】
因此对任意的 x ∈ ( −∞, +∞ ) ， 有， ， 这只需 a ≥ 0 【详解】 由题设，f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内连续，
飞
即可.
翔 考
应选（D）
研
梦
另外，由 lim f ( x ) = 0 知， lim a + e
x →−∞ x →−∞
(
bx
所以必有 b < 0 故正确答案为（D） （2）设函数 f ( x ) 满足关系式 f （A） f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值 （B） f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值
x →0
sin 6 x + xf ( x ) 6 + f ( x) = 0, 则 lim 为 3 0 x → x x2
（B）6 （C）36 （D） ∞ 【 】
（A）0 【答】 【详解】 应选（C） 方法一：
因为 sin 6 x = 6 x − 所以有
1 3 ( 6 x ) + o ( x3 ) 3!
x 0
【详解】
梦
飞
根据题设，有
1 2 ⎧ t ,0 ≤ t ≤1 ⎪ 2 ⎪ ⎪ 1 S ( t ) = ⎨− t 2 + 2t − 1,1 < t ≤ 2 ⎪ 2 1, t > 2 ⎪ ⎪ ⎩
翔 考
S ( t ) 表示正方形 D 位于直线 l 的左下方部分的面积，试求 ∫ S ( t )dt ( x ≥ 0 ) .
可见正确选项为（B）
【详解】设 ln x = t , 则 x = e ，于是
t
et
从而
e
x
= x − (1 + e x ) ln (1 + e x ) + C
2000-数学三真题、标准答案及解析
x→a
lim+
= − lim
x→a +
可见当 f '( a ) ≠ 0 时,
f ( x) 在点 x = a 处的左、右导数不相等,因此导数不存在.
故 f ( a ) = 0 且 f '( a ) ≠ 0 是 f ( x) 在点 x = a 处不可导的充分条件. （3）设 a1 , a2 , a3 是四元非齐次线形方程组 AX = b 的三个解向量，且秩 (A)=3, a1 = (1, 2,3, 4) , a2 + a3 = (0,1, 2,3) ,c 表示任意常数，则线形方程组
x
.
+∞ +∞ dx e x dx dt 1 t +∞ ex = t ∫ = = arctan 2 2− x 2 2 x ∫ 1 1 e +t e +e e e0 ex + (ex )
∫
+∞
1
1⎛π π ⎞ π = ⎜ − ⎟= e ⎝ 2 4 ⎠ 4e
（3）已知四阶矩阵 A 与 B 相似；矩阵为 A 的特征值
f ( x) = x 2 在点 x = 1 处， f (1) > 0 ， f ' (1) > 0 ，但 f ( x) = x 2 在点 x = 1 处可导，
排除（C） ； 同样， f ( x) = − x 在点 x = 1 处， f (1) < 0 ， f (1) < 0 ,但
2 '
f ( x) = x 2 ,在点 x = 1
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(B)存在但不一定为零 (D) 不一定存在 【 】
−x
, g ( x) = 1 + e
−x
山东省考研数学复习资料数学分析常用公式整理
山东省考研数学复习资料数学分析常用公式整理数学分析是数学的重要分支，作为考研数学的一部分，掌握数学分析的相关知识与技巧是非常必要的。
在数学分析的学习过程中，熟悉并掌握各种常用公式是关键。
本文将为大家整理一些山东省考研数学复习资料中常用的数学分析公式，希望对大家的复习提供帮助。
一、导数与微分1. 导数定义：若函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，当极限存在时，称此极限为f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即：f'(x0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/(Δx)〗2. 常用导数公式：(1) 常数函数导数：(c为常数)(d/dx)(c) = 0(2) 幂函数导数：(a为常数)(d/dx)(xⁿ) = n*x^(n-1)(3) 自然对数函数导数：(d/dx)(lnx) = 1/x(4) 三角函数导数：(d/dx)(sinx) = cosx(d/dx)(cosx) = -sinx(d/dx)(tanx) = sec^2x(5) 反三角函数导数：(d/dx)(arc sinx) = 1/√(1-x^2 )(d/dx)(arccosx) = -1/√(1-x^2 )(d/dx)(arctanx) = 1/(1+x^2 )3. 高阶导数：f'(x)的导数记作f''(x)，即二阶导数，也可记作d^2y/dx^2。
同理，f''(x)的导数即三阶导数，记作f'''(x)，也可记作d^3y/dx^3，以此类推。
4. 微分定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，则称函数f(x)在x0处可微分，记作df，其微分df满足：df = f'(x0)dx二、积分与定积分1. 不定积分：若函数f(x)在区间[a, b]上有原函数F(x)，即F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)在[a, b]上的一个不定积分，也可记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C 为常数。
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山东大学2000-2007数学分析2000年试题一、 填空。
1. 22233312(1)lim[]?n n n nn →∞-+++=2.10(1)lim ?xx e x x→-+= 3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<则22?d ydx =4.2121[ln(1)]?1x x x dx x -++=+⎰ 5.设r =则2216[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰6.设Γ表示椭圆22149x y +=正向，则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰7.级数13(2)(1)n nn n x n ∞=+-+∑的收敛范围为？ 8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、1.设()f x 在[,]a b 上可积，令()(),xa F x f t dt =⎰证明：()F x 在[,]ab 上连续。
2.求20cos(2)(x e x dx αα∞-⎰为实数）。
3.试求级数21n n n x ∞=∑的和函数。
三、任选两题。
1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明：21()().()bba af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰2.求20cos sin n x nxdx π⎰(1n ≥为正整数） 3.设(),()f x g x 在[0,)+∞上可微且满足lim(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞→∞=<<+∞≠→∞求证：存在数列{}(,)n n c c n →+∞→∞使得()()()().n n n n f c g c g c f c ''<-2001年试题一、1．220cos 21lim?sin x x x x→-=+2.2!lim?n nn n n →∞= 3.设ln(),u x xy =则22?ux∂=∂40?x π=⎰. 5.交换积分顺序2120(,)?x x dx f x y dy -=⎰⎰6.(3,4)(0,1)?xdx ydy -+=⎰ 7.1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为？8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。
2.计算定积分2.x e dx +∞-⎰3.叙述并证明连续函数的中间值定理。
三、本题任选两题。
1.设(,)f x y 处处具有连续的一阶偏导数且(1,0)(1,0).f f =-试证在单位圆上存在两点11(,)x y 和22(,)x y 满足下列两式：(,)(,)0,1,2.i y i i i x i i x f x y y f x y i ''-==2.设()f x 在[0,)+∞上连续且0,f ≥如果222()()()()()(),f x f y f z x yf z y zf x z xf y ≤++求证：520().2af x dx a ≤⎰3.设()f x 在(0,)+∞上连续可微，且()lim0.x f x x→+∞=求证：存在序列{}n x 使得n x →+∞且()0.n f x '→2002年试题一、1. ?n =2. 2100sin lim ()?x x x x→+= 3.设21(1)()(1),(1)0,x f x ex f --=≠=求(1)?f '=4.设33cos ,sin ,x a t y a t ==求22?d y dx=5.设()arctan ,f x x =求(21)(0)?n f +=6. 3()(),C x y dx x y dy -++⎰其中22:4C x y +=（正向）。
7．7(cos )?x x x e e x dx ππ-+=⎰ 8.求3(1)Vdxdydzx y z +++⎰⎰⎰的值，其中V 是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围成的四面体。
二、1. 0(0)ax bxe e dx b a x--+∞->>⎰。
2.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导且()0,f x ''≥证明：对任何12,[,],x x a b ∈有1212()()().22x x f x f x f ++≤ 3.设有界函数()f x 在[,]a b 上的不连续点为1{}n n x ∞=，且lim n n x →∞存在，证明：()f x 在[,]a b 上可积。
三、1.设0,b a ≥≥试证：sin 3.baxdx x≤⎰ 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >证明：21()().()bba af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰ 3. .设()f x 在[,]a b 上可导，且()().f a f b ''<证明：对任何((),()),r f a f b ''∈存在0(,),x a b ∈使得0().f x r '=2003年试题1. 设()f x 在(,)a b 上可微，()f x '在(,)a b 上单调，求证：()f x '在(,)a b 上连续。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，1[,],(())nn x a b f x ∞=∀∈∑收敛，求证：1(())n n f x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛。
3. 设()f x 在圆盘221x y +≤上有连续的偏导数，且()f x 在其边界上为0，求证：2201(0,0)lim ,2x y S f x f y f dxdy x y εεπ→+=-+⎰⎰其中222{(,):1}.S x y x y εε=≤+≤4. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，且()()(),n f x x n =→∞证明：当1k n ≥+时，(),..lim ()0.k x x s t f x →+∞∃=5. 设0()sin ,n f x tdt π=⎰求证：当n 为奇数时，()f x 是以2π为周期的周期函数；当n 为偶数时，()f x 是一线性函数与一以2π为周期的周期函数之和。
6. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微；(0)(0)0,lim ()0.n x f f f x →+∞'≥=证明：()11{},,0,..()0.n n n n n n x n x x s t fx ∞=+∃∀≤≤= 7. 设()f x 在(,)a +∞上连续，且lim sin(()) 1.x f x →+∞=求证：lim ().x f x →∞∃2004年试题1. 叙述数列{}n a 发散的定义，并证明数列{cos }n 发散。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，对[,],x a b ∈定义()inf ().a t xm x f t ≤≤=证明：设()m x 在[,]a b 上连续。
3. 设()f x 在(,)c -∞内可导，且lim ()lim ().x x c f x f x A →-∞→-==求证：存在一点(,)..()0.c s t f ξξ'∈-∞=4. 设()f x 在(0,1]上连续，可导，并且320lim ().x x f x →+'∃求证： ()f x 在(0,1]上一致连续。
5. 设0,1,2,3,n a n >=且有1lim (1)0,nn n a n c a →∞+-=>求证：11(1)n n n a ∞+=-∑收敛。
6.求级数2112n n n ∞=++∑的和。
7. 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且有[0,1]1(0)(1)0,min ().2x f f f x ∈===-证明：(0,1),..() 4.s t f ξξ''∃∈≥8. 证明：对于任意2()00,sin x e tdx αα+∞-+>⎰关于(0,)t ∈+∞一致收敛。
9. 设()f x 在[,][,]a b c d ⨯上连续，函数列()n x ϕ在[,]a b 上一致收敛，且(),n a x b ϕ≤≤函数列()n x ψ在[,]a b 上一致收敛，且(),n c x d ψ≤≤求证：函数列((),())n n n F f x x ϕψ=在[,]a b 上一致收敛。
10. 设()f x 在[0,1]上可积，且在1x =处连续，证明：1lim ()(1).n n x f x dx f →∞=⎰11. 设33()ij A a ⨯=是实对称正定矩阵， Ω是椭球体：3,11,ij i j i j a x x =≤∑求Ω的体积。
12. 设()ij a 是n 阶实对称方阵，定义n上的齐二次函数,1().nij i j i j h x a x x ==∑证明：函数()h x 在条件211ni x =∑下的最小值是A 的最小特征值。
13. 计算积分：222222()()(),I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰其中Γ为平面32x y z ++=和立方体0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的交线，站在第一象限32x y z ++>处看Γ为逆时针方向。
2005年试题一、1.求极限1222limnn a a na n →∞++，其中lim .n n a a →∞=2.求极限21lim (1).x x x e x-→+∞+ 3.证明区间（0，1）和(0,)+∞具有相同的基数（势）。
4.计算积分：21,Ddxdy y x+⎰⎰其中D 是由0,1,x y y x ===所围成的区域。
5.计算：2222,:21Cydx xdy I C x y x y-+=+=+⎰方向为逆时针。
6.设0,0,a b >>证明：11()().1b b a ab b++≥+二、设()f x 为[,]a b 上的有界可测函数且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明: ()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。
三、设()f x 在(0,)+∞内连续且有界，试讨论()f x 在(0,)+∞内的一致连续性。
四、设222220(,)0,0x y f x y x y +>=+=⎩，讨论(,)f x y 在原点的连续性，偏导数存在性及可微性。
五、设()f x 在(,)a b 内二次可微，求证：2()(,),..()2()()().24a b b a a b s t f b f f a f ξξ+-''∃∈-+=六、()f x 在上二次可导，,()0,x f x ''∀∈>又00,()0,lim ()0,lim ()0.x x x f x f x f x αβ→-∞→+∞''∃∈<=<=>证明：()f x在上恰有两个零点。