最新山东大学2000-数学分析
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山东大学2000-2007
数学分析
2000年试题
一、 填空。
1. 22
2
333
12(1)lim[]?n n n n
n →∞-+++=
2.10
(1)
lim ?x
x e x x
→-+= 3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<则22?d y
dx =
4.21
2
1
[ln(1)]
?
1x x x dx x -++=+⎰ 5.设r =则
2216
[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰
6.设Γ表示椭圆22
149x y +=正向,则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰
7.级数1
3(2)(1)n n
n n x n ∞
=+-+∑的收敛范围为? 8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、
1.设()f x 在[,]a b 上可积,令()(),x
a F x f t dt =⎰证明:()F x 在[,]a
b 上连续。 2.求2
0cos(2)(x e x dx αα∞
-⎰为实数)。 3.试求级数21n n n x ∞
=∑的和函数。
三、任选两题。
1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明:21
()().()
b
b
a a
f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰
2.求20cos sin n x nxdx π
⎰(1n ≥为正整数) 3.设(),()f x g x 在[0,)+∞上可微且满足
lim
(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞
→∞
=<<+∞≠
→∞
求证:存在数列{}(,)n n c c n →+∞→∞使得()()()().n n n n f c g c g c f c ''<-
2001年试题
一、1.220
cos 21
lim
?sin x x x x
→-=+
2.2!
lim
?n n
n n n →∞= 3.设ln(),u x xy =则22?u
x
∂=∂
4
0?x π
=⎰. 5.交换积分顺序2
1
20(,)?x x dx f x y dy -=⎰⎰
6.(3,4)
(0,1)?xdx ydy -+=⎰ 7.1(1)n n n n x ∞
=+∑的和函数为?
8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、
1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。
2.计算定积分2
.x e dx +∞
-⎰
3.叙述并证明连续函数的中间值定理。 三、本题任选两题。
1.设(,)f x y 处处具有连续的一阶偏导数且(1,0)(1,0).f f =-试证在单位圆上存在两点11(,)x y 和22(,)x y 满足下列两式:
(,)(,)0,1,2.i y i i i x i i x f x y y f x y i ''-==
2.设()f x 在[0,)+∞上连续且0,f ≥如果
2
2
2
()()()()()(),f x f y f z x yf z y zf x z xf y ≤++求证:5
20
().2
a
f x dx a ≤⎰
3.设()f x 在(0,)+∞上连续可微,且()
lim
0.x f x x
→+∞=求证:存在序列{}n x 使得n x →+∞且()0.n f x '→
2002年试题
一、
1. ?n =
2. 21
00sin lim ()?x x x x
→+= 3.设2
1(1)()(1),(1)0,x f x e
x f -
-=≠=求(1)?f '=
4.设3
3
cos ,sin ,x a t y a t ==求22?d y dx
=
5.设()arctan ,f x x =求(21)(0)?n f +=
6. 3()(),C x y dx x y dy -++⎰其中22:4C x y +=(正向)。 7.7(cos )?x x x e e x dx π
π-+=⎰ 8.求3
(1)V
dxdydz
x y z +++⎰⎰⎰
的值,其中V 是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围
成的四面体。 二、1. 0
(0)ax bx
e e dx b a x
--+∞
->>⎰。
2.设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上二阶可导且()0,f x ''≥证明:对任何
12,[,],x x a b ∈有1212()()
(
).22
x x f x f x f ++≤ 3.设有界函数()f x 在[,]a b 上的不连续点为1{}n n x ∞=,且lim n n x →∞
存在,证明:()f x 在[,]a b 上可积。 三、1.设0,b a ≥≥试证:sin 3.b
a
x
dx x
≤⎰ 2. 设()f x 在[,]a b 上连续,且()0,f x >证明:21
()().()
b
b
a a
f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰ 3. .设()f x 在[,]a b 上可导,且()().f a f b ''<证明:对任何((),()),r f a f b ''∈存在0(,),x a b ∈使得0().f x r '=
2003年试题
1. 设()f x 在(,)a b 上可微,()f x '在(,)a b 上单调,求证:()f x '在(,)a b 上连续。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续,1
[,],(())n
n x a b f x ∞
=∀∈∑收敛,求证:1
(())n n f x ∞
=∑在
[,]a b 上一致收敛。
3. 设()f x 在圆盘221x y +≤上有连续的偏导数,且()f x 在其边界上为
0,求证:22
01(0,0)lim ,2x y S f x f y f dxdy x y ε
επ→+=-+⎰⎰
其中
222{(,):1}.S x y x y εε=≤+≤
4. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微,且()()(),n f x x n =→∞证明:当
1k n ≥+时,(),..
lim ()0.k x x s t f x →+∞
∃=