最新山东大学2000-数学分析

山东大学2000-2007

数学分析

2000年试题

一、 填空。

1. 22

2

333

12(1)lim[]?n n n n

n →∞-+++=

2.10

(1)

lim ?x

x e x x

→-+= 3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<则22?d y

dx =

4.21

2

1

[ln(1)]

?

1x x x dx x -++=+⎰ 5.设r =则

2216

[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰

6.设Γ表示椭圆22

149x y +=正向，则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰

7.级数1

3(2)(1)n n

n n x n ∞

=+-+∑的收敛范围为？ 8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、

1.设()f x 在[,]a b 上可积，令()(),x

a F x f t dt =⎰证明：()F x 在[,]a

b 上连续。 2.求2

0cos(2)(x e x dx αα∞

-⎰为实数）。 3.试求级数21n n n x ∞

=∑的和函数。

三、任选两题。

1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明：21

()().()

b

b

a a

f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰

2.求20cos sin n x nxdx π

⎰(1n ≥为正整数） 3.设(),()f x g x 在[0,)+∞上可微且满足

lim

(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞

→∞

=<<+∞≠

→∞

求证：存在数列{}(,)n n c c n →+∞→∞使得()()()().n n n n f c g c g c f c ''<-

2001年试题

一、1．220

cos 21

lim

?sin x x x x

→-=+

2.2!

lim

?n n

n n n →∞= 3.设ln(),u x xy =则22?u

x

∂=∂

4

0?x π

=⎰. 5.交换积分顺序2

1

20(,)?x x dx f x y dy -=⎰⎰

6.(3,4)

(0,1)?xdx ydy -+=⎰ 7.1(1)n n n n x ∞

=+∑的和函数为？

8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、

1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。

2.计算定积分2

.x e dx +∞

-⎰

3.叙述并证明连续函数的中间值定理。 三、本题任选两题。

1.设(,)f x y 处处具有连续的一阶偏导数且(1,0)(1,0).f f =-试证在单位圆上存在两点11(,)x y 和22(,)x y 满足下列两式：

(,)(,)0,1,2.i y i i i x i i x f x y y f x y i ''-==

2.设()f x 在[0,)+∞上连续且0,f ≥如果

2

2

2

()()()()()(),f x f y f z x yf z y zf x z xf y ≤++求证：5

20

().2

a

f x dx a ≤⎰

3.设()f x 在(0,)+∞上连续可微，且()

lim

0.x f x x

→+∞=求证：存在序列{}n x 使得n x →+∞且()0.n f x '→

2002年试题

一、

1. ?n =

2. 21

00sin lim ()?x x x x

→+= 3.设2

1(1)()(1),(1)0,x f x e

x f -

-=≠=求(1)?f '=

4.设3

3

cos ,sin ,x a t y a t ==求22?d y dx

=

5.设()arctan ,f x x =求(21)(0)?n f +=

6. 3()(),C x y dx x y dy -++⎰其中22:4C x y +=（正向）。 7．7(cos )?x x x e e x dx π

π-+=⎰ 8.求3

(1)V

dxdydz

x y z +++⎰⎰⎰

的值，其中V 是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围

成的四面体。 二、1. 0

(0)ax bx

e e dx b a x

--+∞

->>⎰。

2.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导且()0,f x ''≥证明：对任何

12,[,],x x a b ∈有1212()()

(

).22

x x f x f x f ++≤ 3.设有界函数()f x 在[,]a b 上的不连续点为1{}n n x ∞=，且lim n n x →∞

存在，证明：()f x 在[,]a b 上可积。 三、1.设0,b a ≥≥试证：sin 3.b

a

x

dx x

≤⎰ 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >证明：21

()().()

b

b

a a

f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰ 3. .设()f x 在[,]a b 上可导，且()().f a f b ''<证明：对任何((),()),r f a f b ''∈存在0(,),x a b ∈使得0().f x r '=

2003年试题

1. 设()f x 在(,)a b 上可微，()f x '在(,)a b 上单调，求证：()f x '在(,)a b 上连续。

2. 设()f x 在[,]a b 上连续，1

[,],(())n

n x a b f x ∞

=∀∈∑收敛，求证：1

(())n n f x ∞

=∑在

[,]a b 上一致收敛。

3. 设()f x 在圆盘221x y +≤上有连续的偏导数，且()f x 在其边界上为

0，求证：22

01(0,0)lim ,2x y S f x f y f dxdy x y ε

επ→+=-+⎰⎰

其中

222{(,):1}.S x y x y εε=≤+≤

4. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，且()()(),n f x x n =→∞证明：当

1k n ≥+时，(),..

lim ()0.k x x s t f x →+∞

∃=