材料力学扭转和剪切
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（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 M。 北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
2.实验后：
①圆周线的大小、形状、间距不变； ②纵向线变成斜直线,倾角相同。
3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力.
②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相 对转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力. ④各纵向线均倾斜了同一微小角度 →切应力均匀分布. 北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
二、剪切胡克定律
s p
B A
a
O
a
b
b
a
b
在弹性极限内
b
G
剪切虎克定律
G －剪切弹性模量
d
d
c
c
d
c
c
E G 2(1 ) 北京建筑大学力学系
§3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件
北京建筑大学力学系
§3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件
三、强度条件
塑性材料 [ ] (0.6 ~ 0.8)
FS A
基于两方面的假设
假定应力均匀分布。
脆性材料 [ ] (0.8 ~ 1.0) 许用切应力
Leabharlann Baidub
n
在假定的前提下进行实物或模型实验，
确定许用应力。
用剪切强度条件也可解决三类强度问题 (强度校核,截面设计,确定许可载荷).北京建筑大学力学系
铆钉 北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件 －连接件
销轴
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件 －连接件
键块
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
一、剪切的概念
剪切面
P
受力特点：杆件两侧受到一对 大小相等、方向相反、作用线 相距很近的横向力作用。 变形特点：位于两作用力间的 杆件横截面发生相对错动。
F
F
Fb
Fb
有效挤压面积 Ab 挤压力过大，接触面附近 被压溃或发生塑性变形
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
挤压强度条件
Fb bs bs Ab
计算挤压应力 名义挤压应力 许用挤压应力
塑性材料 [ bs ] (1.7 ~ 2.0)
北京建筑大学力学系
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩 可通过传递功率和转数来换算。 若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟 功率作功： W 60 P 力偶作功：
e
W M 2 n
60 P Me 2 n
PPS PkW M e Nm 7024 M e Nm 9550 nr/min nr/min
P
解：受力分析如图
P FS F 4
1 2 3 P P
P
t
d
t
P
4
北京建筑大学力学系 1 2 3
§3-8 剪切和挤压的实用计算
切应力和挤压应力的强度条件
FS P 110 7 10 136.8MPa 2 2 A d 3.14 1.6
F P 110 bs 107 171.9MPa bs Abs 4td 4 11.6
x
t
x
x x
oz
M
0 y dxdydz x dydzdx 0
x y
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数 该定理具有普遍性，不仅对只有切应力的单元体成 值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线， 立，对正应力和切应力同时作用的单元体亦成立。 或共同背离交线。 北京建筑大学力学系
材料力学
第三章 扭转和剪切
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3-3 薄壁圆筒的扭转纯剪切
§3-5 圆轴扭转时的应力与强度条件
§3-6 圆轴扭转时的变形与刚度条件
§3-8 剪切和挤压的实用计算
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件 －连接件
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
四、强度计算应用
1 、校核强度： [ ]； bs [ bs ]
FS F 2、设计尺寸：A ；Abs [ ] [ bs ]
3、设计外载：FS A [ ] ；F Abs [ bs ]
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
对轴线的矩 r0 dA
A
A
r0 dA T
r0 dA r0 dA 2 r0 r0 T
A
T 2 2 r0
北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
微小矩形单元体如图所示： ①横截面上无正应力 ②周向无正应力 ③横截面上各点处，只产生垂直 于半径的均匀分布的切应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面 的扭矩方向一致。
M2
M3
M1
M4
n A B C D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300
P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) 北京建筑大学力学系 n 300
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设） m2
x
Me
T
北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图: 各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数
表示各截面扭矩沿轴线方向变化规律的图线.
目 的
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
T
x
北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
二、功率、转速与外力偶矩间的关系
石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等
受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶. 变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。
（杆表面纵线螺旋线扭转变形）
A B O B m
O
A m
扭转角(相对扭转角)： 任意两横截面绕轴线 转动而发生的角位移。
剪切角(切应变)：直角的改变量。 北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1kW = 1000N· m/s = 1.36PS
北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
【例】已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
P 500 1 M 1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
§3-8 剪切和挤压的实用计算
连接件——螺栓、销钉、铆钉、键块
拉（压）杆 连接件
强度计算
连接件的强度
拉（压）杆的强度
一、连接件的剪切强度计算
FS A
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
二、连接件的挤压强度计算
挤压
－载荷作用下连接件与板孔壁接触面间相互 挤压的现象
挤压力 Fb
F bs bs ntd F n 2.4 td bs
F
需3个铆钉
综上，需4个铆钉
t
d
t
F
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例
传动轴
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例
扭转的概念
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
一、等直圆杆扭转实验观察
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
①变形几何方面 圆杆横截面应力 切 正 应 ╳ 应 力 力 ②物理关系方面 ③静力学方面
北京建筑大学力学系
§3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件
二、等直圆杆扭转时横截面上的切应力
o1
o2
a
A
D
B
o1
F
根据剪切强度
t
d
F n
F n
t
F
FS F /n 4F 2 A d / 4 n d 2 F /n 2 d /4
需4个铆钉 北京建筑大学力学系
4F n 3.64 2 d
§3-8 剪切和挤压的实用计算
根据挤压强度
Fb F / n F bs Ab tb ntb
一、扭矩和扭矩图
外力偶矩: 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上
等于杆件所受外力对杆轴的力矩。 记作 M e
扭矩: 构件受扭时，横截面上的内力偶矩。记作 T 求扭矩的方法：截面法
M
x
0 T Me
Me
Me
符号的规定：右手法则
右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩 的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭 矩为正，反之为负。
o2
b
A
D
dB
C
b’ c’
c
d
C B’
C’
B’
dx
dx
C’
c d a
b
北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一、切应力互等定理
y
a
Fx 0 y dxdz y dxdz 0
y y
dy
x
y
b
F
y
dydz x dydz 0 0 x
y
c dx z d
x
北京建筑大学力学系
9.56
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
【例】画图示杆的扭矩图。
4kN .m 6kN .m 8kN .m 6kN .m
2m
2m
1m 3m
6kN .m 4kN .m
扭矩图
⊕ ⊕
_ ○
2kN .m
北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 10
1
P
2
3
P
t
P
d
t
P/4
北京建筑大学力学系 1 2 3
§3-8 剪切和挤压的实用计算
钢板的2--2和3--3面为危险面
3 110 3P 107 155.7MPa 2 4t (b 2d ) 4 (8.5 2 1.6)
P 110 3 107 159.4MPa t (b d ) 1 (8.5 1.6)
综上，接头安全。
1
P
2
3
P
t
P
d
t
P/4
北京建筑大学力学系 1 2 3
§3-8 剪切和挤压的实用计算
【例】 铆接接头如图所示，已知受力F=130kN，钢板厚度为 t=10mm，铆钉直径 d=18mm ，铆钉材料的许用切应力为 []= 140MPa ，许用挤压应力为[bs]= 300MPa. 试求所需铆钉的个数。 解：设需要n个
北京建筑大学力学系
P
剪切面
§3-8 剪切和挤压的实用计算
二、剪力和剪应力
①截面法－沿剪切面截开
②受力分析
③列平衡方程，求内力（剪力）
剪力 剪切面
F
n
x
0 FS F
假设：截面上切 应力均匀分布
F
n n
n
FS
④应力求解
F
F
FS A
计算切应力（名义切应力） 北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
§3-8 剪切和挤压的实用计算
三、钢板的抗拉强度验算
被联接构件受力特点 1、 没有受剪力作用 2、同螺栓杆对应的半圆孔受到螺栓挤压，有可能导致 变形过大而失效（变成近似椭圆孔） 3、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开 （一般将端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对 此不计算）
Fb bs bs Ab
M
x
0
1
m3
2
m1
3
m4
T1 M 2 0 T1 M 2 4.78kN m
T2 M 2 M 3 0
A
1
B
2 C
n 3 D
T2 M 2 M 3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T3 M 4 0 T2 M 4 6.37kN m
求扭矩: 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶 矩的代数和. 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反 . 北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
③绘制扭矩图 T max 9.56 kN m BC段为危险截面。
m2
m3
m1 n
m4
A T
B
C
D
6.37
– 4.78 –
【例】 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为 t=1cm，宽度 b=8.5cm ，许用应力为[ ]= 160M Pa ；铆钉的直径 d=1.6cm，许用切应力为[]= 140M Pa ，许用挤压应力为[bs]= 320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）
P
b
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 M。 北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
2.实验后：
①圆周线的大小、形状、间距不变； ②纵向线变成斜直线,倾角相同。
3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力.
②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相 对转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力. ④各纵向线均倾斜了同一微小角度 →切应力均匀分布. 北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
二、剪切胡克定律
s p
B A
a
O
a
b
b
a
b
在弹性极限内
b
G
剪切虎克定律
G －剪切弹性模量
d
d
c
c
d
c
c
E G 2(1 ) 北京建筑大学力学系
§3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件
北京建筑大学力学系
§3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件
三、强度条件
塑性材料 [ ] (0.6 ~ 0.8)
FS A
基于两方面的假设
假定应力均匀分布。
脆性材料 [ ] (0.8 ~ 1.0) 许用切应力
Leabharlann Baidub
n
在假定的前提下进行实物或模型实验，
确定许用应力。
用剪切强度条件也可解决三类强度问题 (强度校核,截面设计,确定许可载荷).北京建筑大学力学系
铆钉 北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件 －连接件
销轴
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件 －连接件
键块
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
一、剪切的概念
剪切面
P
受力特点：杆件两侧受到一对 大小相等、方向相反、作用线 相距很近的横向力作用。 变形特点：位于两作用力间的 杆件横截面发生相对错动。
F
F
Fb
Fb
有效挤压面积 Ab 挤压力过大，接触面附近 被压溃或发生塑性变形
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
挤压强度条件
Fb bs bs Ab
计算挤压应力 名义挤压应力 许用挤压应力
塑性材料 [ bs ] (1.7 ~ 2.0)
北京建筑大学力学系
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩 可通过传递功率和转数来换算。 若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟 功率作功： W 60 P 力偶作功：
e
W M 2 n
60 P Me 2 n
PPS PkW M e Nm 7024 M e Nm 9550 nr/min nr/min
P
解：受力分析如图
P FS F 4
1 2 3 P P
P
t
d
t
P
4
北京建筑大学力学系 1 2 3
§3-8 剪切和挤压的实用计算
切应力和挤压应力的强度条件
FS P 110 7 10 136.8MPa 2 2 A d 3.14 1.6
F P 110 bs 107 171.9MPa bs Abs 4td 4 11.6
x
t
x
x x
oz
M
0 y dxdydz x dydzdx 0
x y
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数 该定理具有普遍性，不仅对只有切应力的单元体成 值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线， 立，对正应力和切应力同时作用的单元体亦成立。 或共同背离交线。 北京建筑大学力学系
材料力学
第三章 扭转和剪切
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3-3 薄壁圆筒的扭转纯剪切
§3-5 圆轴扭转时的应力与强度条件
§3-6 圆轴扭转时的变形与刚度条件
§3-8 剪切和挤压的实用计算
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
工程构件 －连接件
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
四、强度计算应用
1 、校核强度： [ ]； bs [ bs ]
FS F 2、设计尺寸：A ；Abs [ ] [ bs ]
3、设计外载：FS A [ ] ；F Abs [ bs ]
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
对轴线的矩 r0 dA
A
A
r0 dA T
r0 dA r0 dA 2 r0 r0 T
A
T 2 2 r0
北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
微小矩形单元体如图所示： ①横截面上无正应力 ②周向无正应力 ③横截面上各点处，只产生垂直 于半径的均匀分布的切应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面 的扭矩方向一致。
M2
M3
M1
M4
n A B C D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300
P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) 北京建筑大学力学系 n 300
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设） m2
x
Me
T
北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图: 各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数
表示各截面扭矩沿轴线方向变化规律的图线.
目 的
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
T
x
北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
二、功率、转速与外力偶矩间的关系
石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等
受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶. 变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。
（杆表面纵线螺旋线扭转变形）
A B O B m
O
A m
扭转角(相对扭转角)： 任意两横截面绕轴线 转动而发生的角位移。
剪切角(切应变)：直角的改变量。 北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1kW = 1000N· m/s = 1.36PS
北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
【例】已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
P 500 1 M 1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
§3-8 剪切和挤压的实用计算
连接件——螺栓、销钉、铆钉、键块
拉（压）杆 连接件
强度计算
连接件的强度
拉（压）杆的强度
一、连接件的剪切强度计算
FS A
北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
二、连接件的挤压强度计算
挤压
－载荷作用下连接件与板孔壁接触面间相互 挤压的现象
挤压力 Fb
F bs bs ntd F n 2.4 td bs
F
需3个铆钉
综上，需4个铆钉
t
d
t
F
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例
传动轴
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例
北京建筑大学力学系
§3-1 扭转的概念和实例
扭转的概念
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
一、等直圆杆扭转实验观察
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
①变形几何方面 圆杆横截面应力 切 正 应 ╳ 应 力 力 ②物理关系方面 ③静力学方面
北京建筑大学力学系
§3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件
二、等直圆杆扭转时横截面上的切应力
o1
o2
a
A
D
B
o1
F
根据剪切强度
t
d
F n
F n
t
F
FS F /n 4F 2 A d / 4 n d 2 F /n 2 d /4
需4个铆钉 北京建筑大学力学系
4F n 3.64 2 d
§3-8 剪切和挤压的实用计算
根据挤压强度
Fb F / n F bs Ab tb ntb
一、扭矩和扭矩图
外力偶矩: 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上
等于杆件所受外力对杆轴的力矩。 记作 M e
扭矩: 构件受扭时，横截面上的内力偶矩。记作 T 求扭矩的方法：截面法
M
x
0 T Me
Me
Me
符号的规定：右手法则
右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩 的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭 矩为正，反之为负。
o2
b
A
D
dB
C
b’ c’
c
d
C B’
C’
B’
dx
dx
C’
c d a
b
北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一、切应力互等定理
y
a
Fx 0 y dxdz y dxdz 0
y y
dy
x
y
b
F
y
dydz x dydz 0 0 x
y
c dx z d
x
北京建筑大学力学系
9.56
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
【例】画图示杆的扭矩图。
4kN .m 6kN .m 8kN .m 6kN .m
2m
2m
1m 3m
6kN .m 4kN .m
扭矩图
⊕ ⊕
_ ○
2kN .m
北京建筑大学力学系
§3-3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 10
1
P
2
3
P
t
P
d
t
P/4
北京建筑大学力学系 1 2 3
§3-8 剪切和挤压的实用计算
钢板的2--2和3--3面为危险面
3 110 3P 107 155.7MPa 2 4t (b 2d ) 4 (8.5 2 1.6)
P 110 3 107 159.4MPa t (b d ) 1 (8.5 1.6)
综上，接头安全。
1
P
2
3
P
t
P
d
t
P/4
北京建筑大学力学系 1 2 3
§3-8 剪切和挤压的实用计算
【例】 铆接接头如图所示，已知受力F=130kN，钢板厚度为 t=10mm，铆钉直径 d=18mm ，铆钉材料的许用切应力为 []= 140MPa ，许用挤压应力为[bs]= 300MPa. 试求所需铆钉的个数。 解：设需要n个
北京建筑大学力学系
P
剪切面
§3-8 剪切和挤压的实用计算
二、剪力和剪应力
①截面法－沿剪切面截开
②受力分析
③列平衡方程，求内力（剪力）
剪力 剪切面
F
n
x
0 FS F
假设：截面上切 应力均匀分布
F
n n
n
FS
④应力求解
F
F
FS A
计算切应力（名义切应力） 北京建筑大学力学系
§3-8 剪切和挤压的实用计算
§3-8 剪切和挤压的实用计算
三、钢板的抗拉强度验算
被联接构件受力特点 1、 没有受剪力作用 2、同螺栓杆对应的半圆孔受到螺栓挤压，有可能导致 变形过大而失效（变成近似椭圆孔） 3、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开 （一般将端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对 此不计算）
Fb bs bs Ab
M
x
0
1
m3
2
m1
3
m4
T1 M 2 0 T1 M 2 4.78kN m
T2 M 2 M 3 0
A
1
B
2 C
n 3 D
T2 M 2 M 3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T3 M 4 0 T2 M 4 6.37kN m
求扭矩: 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶 矩的代数和. 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反 . 北京建筑大学力学系
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
③绘制扭矩图 T max 9.56 kN m BC段为危险截面。
m2
m3
m1 n
m4
A T
B
C
D
6.37
– 4.78 –
【例】 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为 t=1cm，宽度 b=8.5cm ，许用应力为[ ]= 160M Pa ；铆钉的直径 d=1.6cm，许用切应力为[]= 140M Pa ，许用挤压应力为[bs]= 320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）
P
b