高中数学不等式练习题
(完整)高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋ ＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页 共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16． 当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。
高中数学经典代数不等式100题及解答
x2 y 2 x y 2 xy xy 2 2 x y
x y x y
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7 : a, b, c 0, prove : solution one : S .O.S .
2(a 3 b3 c 3 ) 9(a b c) 2 2 33 abc (a b 2 c 2 )
2(a 3 b3 c 3 ) 9(a b c) 2 6 27 2 abc (a b 2 c 2 ) 9 abc 2 a b2 c2 abc solution two : pqr 做代换 : p a b c, q ab bc ca, r abc
8 : x, y, z 0, prove : 3 xyz
x yz 3 3 2x 2z x y z x y 不妨x y z , 原不等式 3 xyz 3 xyz z 3 3 3 3 x y y 注意到 : 3 xyz 3 y 2 z z , done. 3 3 3
x y yz zx
9 : a, b, c, x, y, z 0, prove : 3 (a x)(b y )(c z ) 3 abc 3 xyz
3 a b c abc 3 3 ( a x )(b y )(c z ) a x b y c z 注意到 : 3 xyz y z x 3 a x b y c z 3 ( a x )(b y )(c z ) 两式相加整理得原不等式
高中数学-不等式的应用练习
高中数学-不等式的应用练习一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出⎣⎢⎡⎦⎥⎤如前10天的平均售出为f 1010的月饼最少为( ) A ．18 B ．27 C ．20D ．16解析：平均销售量y ＝f t t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18，当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈[1,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18. 答案：A2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )A ．大B ．小C ．相等D ．不能确定解析：设单程为s ，则上坡时间t 1＝sa ，下坡时间t 2＝s b， 平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b＜a ＋b2. 答案：B3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．答案：B4．如图，建立平面直角坐标系，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为( )A ．20 kmB ．10 kmC ．5 kmD ．15 km解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0.故x＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1k，即k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. 答案：B 二、填空题5．设三角形的三边长分别为3,4,5，P 是三角形内的一点，则点P 到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.解析：设点P 到三角形三边的距离分别为h 1，h 2，h 3. 由题意，得三角形为直角三角形，S ＝12×3×4＝6.∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6. ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3. ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.答案：16156．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____________m.解析：如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH⇒AF ＝x ⇒FH＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20 m.答案：20 三、解答题7．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)? (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由．解：(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y ＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12·4－98＝－2n 2＋40n －98.由y ＞0，得n 2－20n ＋49＜0.解得10－51＜n ＜10＋51(n ∈N ＋)． 所以3≤n ≤17.故捕捞3年后开始盈利．(2)①由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98.所以平均盈利为y n ＝－2n －98n＋40≤－22n ·98n＋40＝12，当且仅当2n ＝98n，即n ＝7时，年平均盈利最大．故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(万元)． ②由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102. 所以当n ＝10时，函数y 的最大值为102.故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利102＋8＝110(万元)． 因为两种方案盈利相等，但方案②的时间长， 所以方案①合算．8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200 m 2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式； (2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？ 解：(1)设DQ ＝y m ，则x 2＋4xy ＝200，即 y ＝200－x24x.所以S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2(0＜x ＜102)． (2)由(1)，得S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2≥38 000＋216×108＝118 000，当且仅当4 000x 2＝400 000x2，即x ＝10时取等号． 因为118 000元＝11.8万元，所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．一、选择题1．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21解析：设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y 万元，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝[x (x ＋1)]万元，所以x 年的年平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋1x＝x ＋100x＋1.5万元．由平均值不等式，得y ＝x ＋100x＋1.5x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．答案：A2．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t 万元．则⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N ＋，100－x1＋1.2x %t ≥100t .解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16. 答案：B 二、填空题3．制造一个容积为π2 m 3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为________m 、高为________m 时，所使用的材料成本最低．解析：设此圆柱形桶的底面半径为r m ，高为h m ，则底面面积为πr 2m 2，侧面积为2πrh m 2.设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . 因为桶的容积为π2 m 3，所以πr 2h ＝π2，即rh ＝12r.所以y ＝30πr 2＋20rπ＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π·333，当且仅当3r 2＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.答案：393 3924．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________.解析：设底面边长为x ，高为h ，则34x 2h ＝V ，即h ＝43V 3x2. 所以S 表＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋3x ·43V 3x 2＝32x 2＋43Vx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8V x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4V x ＋4V x ≥32×3316V 2＝33·32V 2， 当且仅当x 2＝4V x，即x ＝34V 时取等号．答案：34V 三、解答题5．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．(1) (2)解：设正六棱柱容器的底面边长为x (x ＞0)，高为h ，由下图，可得2h ＋3x ＝ 3.所以h ＝32(1－x )，V ＝S 底·h ＝6×34x 2h ＝ 332x 2·32(1－x )＝23×332·x 2·x 2·(1－x )≤9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x2＋1－x 33＝13，当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大，为13.6．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 kg ，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5 t 时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应隔x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元． 因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， 所以x 天饲料的保管与其他费用共 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元． 从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417，当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时取等号．故每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)该厂可以考虑利用此优惠条件．理由如下：若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料．设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．因为y ′2＝－300x2＋3，所以当x ≥25时，y 2′＞0，即函数y 2在区间[25，＋∞)上是增函数． 则当x ＝25时，函数y 2取得最小值为390. 而390＜417，故该厂可以考虑利用此优惠条件．。
高中数学不等式经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学不等式经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共10小题，每题2分，共20分）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b2．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x-y（）A．有最小值0，有最大值6B．有最小值-2，有最大值3C．有最小值3，有最大值6D．有最小值-2，有最大值63．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．-1B．C．D．4．不等式x2-|x|-2＜0的解集是（）A．{x|-2＜x＜2}B．{x|x＜-2或x＞2}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x＜-1或x＞1}5．若不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．6．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a7．设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（）A．a2＜ab＜1B．C．ab＜b2＜1D．2b＜2a＜28．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＞cosα+cosβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＜cosα+cosβ9．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2n C．D．log2m＞log2n10．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞-b D．二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）11．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．12．已知a，b∈R+，且2a+b=1则的最大值是______．13．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为______．14．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是______．15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．16．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．17．若实数a+b=2，a＞0，b＞0，则的最小值为______．18．若x，y满足约束条件，则z=3x-y的最小值是______．19．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的范围是______．20．已知f（x）=，不等式f（x）≥-1的解集是______．三．简答题（共10小题，共60分）21．（6分）已知x＞0，y＞0，（1）若2x+y=1，求+的最小值．（2）若x+8y-xy=0，求xy的最小值．22．（6分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．23．（6分）已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥；（2）a2+b2+c2≥24．（6分）设函数f（x）=|x+3|-|x-4|①解不等式f（x）＞3；②求函数f（x）的最小值．25．（6分）已知向量=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC 面积的最大值．26．（6分）27．（4分）已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．28．（4分）若a，b，c∈R+，且++=1，求a+2b+3c的最小值．29．（10分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数．（I）把每件产品的成本费p（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（Ⅱ）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）（元），且Q（x）=1240-．试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润．（总利润=总销售额-总的成本）30．（6分）已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．参考答案一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b答案：D解析：解：由题意知，a=sin14°+cos14°==，同理可得，b=sin16°+cos16°=，=，∵y=sinx在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b，故选D．2．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x-y（）A．有最小值0，有最大值6B．有最小值-2，有最大值3C．有最小值3，有最大值6D．有最小值-2，有最大值6答案：D解析：解：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．当目标函数z=2x-y过直线x=3与直线y=0的交点（3，0），目标函数取得最大值6；当目标函数z=2x-y过直线x=0与直线x-y+2=0的交点（0，2）时，目标函数取得最小值-2．故选D．3．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．-1B．C．D．答案：D解析：解：y=sinx+cosx+sinxcosx=sinx（1+cosx）+1+cosx-1=（1+sinx）（1+cosx）-1≤[（1+sinx）2+（（1+cosx）2]-1（当且仅当1+sinx=1+cosx时成立，此时sinx=cosx=）即y（max）=+故选D4．不等式x2-|x|-2＜0的解集是（）A．{x|-2＜x＜2}B．{x|x＜-2或x＞2}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x＜-1或x＞1}答案：A解析：解：原不等式化为|x|2-|x|-2＜0因式分解得（|x|-2）（|x|+1）＜0因为|x|+1＞0，所以|x|-2＜0即|x|＜2解得：-2＜x＜2．故选A5．若不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），∴a＜0，且-2，1是对应方程ax2-x-c=0的两个根，∴（-2，0），（1，0）是对应函数f（x）=ax2-x-c与x轴的两个交点，∴对应函数y=f（x）的图象为B．故选B．6．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a答案：A解析：解：∵函数y=0.2x是减函数，0.3＞0.2，故有a=0.20.3＜0.20.2=1，又a=0.20.3＞0，可得b＞a ＞0．由于函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，故c=log20.4＜log21=0，即c＜0．综上可得，b＞a＞c，故选A．7．设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（）A．a2＜ab＜1B．C．ab＜b2＜1D．2b＜2a＜2答案：D解析：解：采用特殊值法，取a=，b=．则a2=，b2=，ab=，故知A，C错；对于B，由于函数y=是定义域上的减函数，∴，故B错；对于D，由于函数y=2x是定义域上的增函数，∴2b＜2a＜2，故D对．故选D．8．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＞cosα+cosβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＜cosα+cosβ答案：D解析：解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选D9．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2n C．D．log2m＞log2n 答案：C解析：解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为C．10．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞-b D．答案：D解析：解：∵a＜b＜0，∴，A正确，-a＞-b＞0，，B正确，|a|＞|b|=-b，C正确；，故D不正确．故选D．二．填空题（共__小题）11．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．答案：3解析：解：∵x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，∴x+1＞0且x+1+2y=3，∴=（）（x+1+2y）=[5++]≥（5+2）=3，当且仅当=即x=0且y=1时取等号，故答案为：3．12．已知a，b∈R+，且2a+b=1则的最大值是______．答案：解析：解：∵2a+b=1，∴4a2+b2=1-4ab，∴S==4ab+2-1，令=t＞0，则S=4-，∵2a+b=1，∴1≥2⇒0＜t≤故当t=时，S有最大值为：故答案为：．13．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为______．答案：8解析：解：∵∴4（x-1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为814．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是______．答案：25解析：解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y）（+）=17++≥17+2=25当且仅当=，即x=5，y=20时取等号，∴x+y的最小值是25，故答案为：25．15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．答案：20解析：解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，⇒40=x+y≥2，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m2．故答案为：20．16．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．答案：3解析：解：∵x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，∴x+1＞0且x+1+2y=3，∴=（）（x+1+2y）=[5++]≥（5+2）=3，当且仅当=即x=0且y=1时取等号，故答案为：3．17．若实数a+b=2，a＞0，b＞0，则的最小值为______．答案：解析：解：∵实数a+b=2，a＞0，b＞0，则=+=++≥+2=+，当且仅当b=a=4-2时取等号．故答案为：．18．若x，y满足约束条件，则z=3x-y的最小值是______．答案：-4解析：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x-y为y=3x-z，由图可知，当直线y=3x-z过点C（0，4）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-4．故答案为：-4．19．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的范围是______．答案：[2，]解析：解：∵a，b∈R，且4≤a2+b2≤9；∴设a=rcosθ，b=rsinθ，且2≤r≤3，∴s=a2-ab+b2=r2cos2θ-r2sinθcosθ+r2sin2θ=r2（1-sinθcosθ）=r2（1-sin2θ），由三角函数的图象与性质，得；当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，s取得最小值2，当sin2θ取最小值-1且r取最大值3时，s取得最大值；综上，a2-ab+b2的范围是[2，]．故答案为：．20．已知f（x）=，不等式f（x）≥-1的解集是______．答案：{x|-4≤x≤2}解析：解：∵已知f（x）=，故由不等式f（x）≥-1可得①，或②．解①可得-4＜x≤0，解②可得0＜x≤2．综上可得，不等式的解集为{x|-4≤x≤2}，故答案为{x|-4≤x≤2}．三．简答题（共__小题）21．已知x＞0，y＞0，（1）若2x+y=1，求+的最小值．（2）若x+8y-xy=0，求xy的最小值．答案：解：（1）+=（+）（2x+y）=2+++1=3++≥3+2，当且仅当2x2=y2等号成立，∴+的最小值为3+2．（2）∵x+8y-xy=0，∴xy=x+8y≥2，当且仅当x=8y时等号成立．∴≥4，∴xy≥32，∴xy的最小值为32．解析：解：（1）+=（+）（2x+y）=2+++1=3++≥3+2，当且仅当2x2=y2等号成立，∴+的最小值为3+2．（2）∵x+8y-xy=0，∴xy=x+8y≥2，当且仅当x=8y时等号成立．∴≥4，∴xy≥32，∴xy的最小值为32．22．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．答案：证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．解析：证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．23．已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥；（2）a2+b2+c2≥．答案：证明：∵a，b，c∈R+∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1，∴a+b+c≥++；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∵ab+bc+ac=≥=++，∴a2+b2+c2≥++．解析：证明：∵a，b，c∈R+∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1，∴a+b+c≥++；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∵ab+bc+ac=≥=++，∴a2+b2+c2≥++．24．设函数f（x）=|x+3|-|x-4|①解不等式f（x）＞3；②求函数f（x）的最小值．答案：解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，故不等式的解集为{x|x＞2}．…（3分）②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）解析：解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，故不等式的解集为{x|x＞2}．…（3分）②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）25．已知向量=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC 面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x-cos2x，=1+sin2x-cos2x，=1+sin（2x-），∴当2x-=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A-）=，∴A-=2kπ+或A-=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，∴S△ABC=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴△ABC面积的最大值为1．解析：解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x-cos2x，=1+sin2x-cos2x，=1+sin（2x-），∴当2x-=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A-）=，∴A-=2kπ+或A-=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，∴S△ABC=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴△ABC面积的最大值为1．26、解：由柯西不等式：（1+3+5）²≤（a+b+c）（）因为：a+b+c=12所以（1+3+5）²≤12*（）81≤12*（）≤当且仅当==时取等号即：最小值为27．已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．答案：解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．即：（x-2y-3z）2≤14即：x-2y-3z的最大值为．故答案为．解析：解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．即：（x-2y-3z）2≤14即：x-2y-3z的最大值为．故答案为．28．若a，b，c∈R+，且，求a+2b+3c的最小值．答案：解：∵a，b，c∈R+，，∴=1+1+1，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．即a+2b+3c≥9，∴a+2b+3c的最小值为9．解析：解：∵a，b，c∈R+，，∴=1+1+1，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．即a+2b+3c≥9，∴a+2b+3c的最小值为9．29．某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数．（I）把每件产品的成本费p（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（Ⅱ）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）（元），且Q（x）=1240-．试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润．（总利润=总销售额-总的成本）答案：解：（I）P（x）=50++=+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40=220．当且仅当=x，即x=90时，等号成立．所以P（x）=+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（Ⅱ）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=，f′（x）==（x-100）（x+120）当0＜x＜100时，f′（x）＞0，当x＞100时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，100）单调递增，在（100，170）单调递减，所以当x=100时，ymax=f（100）=故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为．解析：解：（I）P（x）=50++=+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40=220．当且仅当=x，即x=90时，等号成立．所以P（x）=+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（Ⅱ）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=，f′（x）==（x-100）（x+120）当0＜x＜100时，f′（x）＞0，当x＞100时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，100）单调递增，在（100，170）单调递减，所以当x=100时，ymax=f（100）=故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为．30．已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．答案：解：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和，如图：则x在[-2，1]上时，函数f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．解析：解：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和，如图：则x在[-2，1]上时，函数f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．。
高中数学不等式解法15种典型例题
c
= =
− + = − 1
1 = (− 1 )(−
− 1
1
),
,
a
∴ x2 + b x + a 0 ，即 x2 + (− 1 − 1 )x + (− 1 )(− 1 ) 0 ， 即 (x − 1 )(x − 1 ) 0 ． 又 0 ，∴ 1 1 ，
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解． 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
不等式解法 15 种典型例题
例 1 解不等式：（1） 2x3 − x2 −15x 0 ；（2） (x + 4)(x + 5)2 (2 − x)3 0 ．
分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f (x) 0（或 f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，
但要注意处理好有重根的情况． 解：（1）原不等式可化为
当 a 2 时，不等式组(1)无解，(2)的解是 x a ． 2
) 综上可知，当 0 a 2 时，原不等式的解集是 a + 1 −
2a ,+
；当 a
2
时，原不等式的解集是
a 2
,+
．
说明：本题分类讨论标准“ 0 a 2 ， a 2 ”是依据“已知 a 0 及(1)中‘ x a ， x 1 ’，(2)中‘ x a ， x 1 ’”
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高中数学必修一不等式习题
高中数学必修一不等式习题1.（2022·山东滕州·高一期末）“x6”是“sinx1”的充要条件。
2.（2022·四川广元·高二期末（理））命题“x R，均有x2cosx12”的否定为“x R，使得x cosx12”。
3.（2011·上海·高考真题（文））若a,b R，且ab0，则恒成立的不等式是a b2ab。
4.（2013·重庆·高考真题（文））关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1,x2)，且：x2x115，则a=15/2.5.（2015·湖南·高考真题（文））若实数a,b满足a+b=1，则ab的最小值为1/4.6.（2021·全国·高一单元测试）若不等式ax22x c0的解集是(-∞,-1/3]∪[1/2,+∞)，则不等式cx22x a0的解集是[1/1,1/2]。
7.（2021·XXX（XXX）高一阶段练）若正实数a,b满足a+b=1，则a+b的最大值为2，ab的最小值为1/4.8.（2021·全国·高一期中）已知a>0，若a+4b=4ab，则a+b的最小值是2.9.（2021·XXX高一期中）对于所有的实数x，不等式（a-2）x+2（a-2）x-4<XXX成立，则a的取值范围是a≤-2或a≥2.10.（2020·XXX高一期末）不等式(x+3)2-2}。
11．（2022·北京石景山·高一期末）函数不等式 $ax^2-x+c>0$ 的解集为 $\{x| -4\leq x\leq -2\} \cup (-2<x<1)$，则函数$y=ax^2+x+c$ 的图像大致为选项 $\text{B}$。
13．（2021·XXX高一阶段练）若两个正实数 $x$，$y$ 满足 $14y+x=\dfrac{1}{4}$，且存在这样的 $x$，$y$ 使不等式 $x+2<m^2+3m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是选项$\text{B}$。
高中数学不等式证明题目训练卷及答案
高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。
A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。
B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。
C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。
D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。
高中数学不等式经典练习题1(含答案)
高中数学 不等式 经典练习题【编著】黄勇权一、选择题1、若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A 、a ²+1≥ aB 、a ²+4＞4aC 、 1a＞1 D 、2a ＞2a-1 2、已知x ＞y ＞0，若x+y=1，则下列数中最大的是（ ） A 、12 B 、 x+y 2C 、2xyD x ²+y ² 3、a ∈R ，b ∈R ，若a ²+b ²=1，则a+b （ ）A 、 有最小值 - 2B 、有最小值-1C 、 有最小值 2D 、有最小值14、a ，b 为任意实数，若a ＞b ，则有（ ）A 、 a ²＞b ²B 、（a-1 ）²＞（b-1）²C 、丨a-1丨＞ 丨b-1丨D 、2a-1＞2b-15、实数a ，b ＞0，则ba b a ++的最大值是 。
A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 26、已知 x ＞0，y ＞0，z ＞0，若 x+y+z= 3，则 xy+xz+yz 的最大值是 。
A 、3、B 、 3C 、 2D 、 17、已知a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，以下不等式成立的是（ ）A 、 ac ＞bcB 、 a ³＞b ³C 、1b 11a 1++＞ D 、22b1a 1＞ 8、实数a ≥1，b ≥0，若3a ²+6a+2b ²=3，则（a+1）1b 32+的最大值 。
A 、 2B 、 3C 、 53 2D 、 523 9、已知a 、b 为正实数，且满足2ab=2a+b+3，则a+2b 的最小值是 。
A 、 1 B 、 3 C 、4 D 、610、已知x ，y ，z 为正数，若ab+bc+ca=1，则a+b+c 的最小值是A 、 2B 、 3C 、2D 、3二、填空题1、已知实数x ，y 满足 1x + 4y= 2 xy ，则xy 则最小值是 。
高中数学习题课(二)--不等式
习题课（二） 不等式一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B . 2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}解析：选A ∵A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A. 3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选C 因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5＝Q .当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立，故选C.4．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1}C ．{x |x <1或x >2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 解析：选D ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1. 5．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤3解析： 选D 因为x >1，所以x －1>0，则x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，由x ＋1x －1≥a 恒成立得a ≤3. 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．[－1,0)B ．(0,1]C ．(－∞，－2)D ．[0,1]解析：选B 因为A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}＝[－1,1]，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x －2x ≤0＝{x |(x －2)x ≤0，且x ≠0}＝(0,2]．所以A ∩B ＝(0,1]．7.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 解析：选D 由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b 2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B 设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b ，∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故选B.二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 解析：∵1a －b －1a ＝b (a －b )a ，a ＜b ＜0.∴a －b ＜0，∴1a －b －1a ＜0.∴1a －b＜1a .答案：1a －b ＜1a10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：∵x >2，m >0，∴x ＋m x －2＝x －2＋mx －2＋2≥2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 答案：411．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，1)，则不等式x ＋2ax －b>0的解集为________．解析：∵关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，1)，∴a <0，且－ba ＝1.∴不等式x ＋2ax －b >0可化为x ＋2x －b a <0，即x ＋2x ＋1<0，解得－2<x <－1.答案：(－2，－1)12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意，对任意的x ≥4，有y ＝(mx ＋1)·(m 2x －1)＜0恒成立，结合图像分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1m＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <－12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <－12 三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．解：∵x >3，∴x －3>0.∴2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3 ＝2(x －3)＋18x －3＋12≥2 2(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋a 7⎝⎛⎭⎫x －a8<0. ①当－a 7<a 8，即a >0时，－a 7<x <a 8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为∅；③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8<x <－a7.综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－a 7<x <a 8；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a 8<x <－a 7.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．解：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a >1，且b >1，1a ＋1b ＝1变形为a ＋b ab ＝1，∴ab ＝a ＋b ，∴ab －a －b ＝0， ∴(a －1)(b －1)＝1，∴a －1＝1b －1， ∵a －1>0，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6， 当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝1±13时取“＝”，由于a >1，故取a ＝43，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y ＝kx 2， ∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000，∴y ＝6 000x 2， ∴此钻石的价值与重量的关系式为y ＝6 000x 2.(2)证明：若两颗钻石的重量为m ，n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2， 现有价值是6 000m 2＋6 000n 2，价值损失的百分率：6 000(m ＋n )2－6 000m 2－6 000n 26 000(m ＋n )2×100%＝2mn(m ＋n )2×100%≤2×⎝⎛⎭⎫m ＋n 22(m ＋n )2＝12，当且仅当m ＝n 时取等号．∴当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
完整版)高中数学不等式习题及详细答案
完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。
A。
最大值为 5，最小值为 1B。
最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。
最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。
最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。
A。
3B。
$\frac{7}{2}$C。
4D。
$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。
A。
$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。
$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。
$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。
$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。
A。
$(-1,+\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。
$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。
A。
2B。
$\frac{2}{3}$C。
4D。
$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。
A。
18B。
高中数学必修不等式练习题(附答案)
高中数学必修不等式练习题学校：______姓名：_____班级：_____考号：______一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b2．不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（-∞，0）C．（2，+∞）D．（-∞，0）∪（0，+∞）3．若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞24．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定不成立的（）A．ab＞ac B．c（b-a）＜0C．cb2≤ab2D．ac（a-c）＜06．下列各组的大小比较正确的是（）B．＞C．0.8-2＜D．＞A．＞7．若关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）D．2A．-1B．-2C．1二．填空题（共__小题）8．不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立的实数a的取值范围______．9．已知正数a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．10．若角α、β满足，则α-β的取值范围是______．11．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为______．12．比较a=2，b=3，c=4的大小关系为______．三．简答题（共__小题）13．求证：-≤≤．14．已知3b=6a-2a，4a=8b-5b，试判断实数a，b的大小关系，并给出证明．15．设a，b，c都是正实数，求证：（Ⅰ）a+b+c≥++（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．16．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．17．求证：-≤x≤．18．已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．19．解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．20．（1）设x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．（2）若x∈R，y∈R，求证：．21．已知a＞b＞0，求证：．22．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．23．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．24．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．参考答案一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b答案：D解析：解：由题意知，a=sin14°+cos14°==，同理可得，b=sin16°+cos16°=，=，∵y=sinx在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b，故选D．2．不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（-∞，0）C．（2，+∞）D．（-∞，0）∪（0，+∞）答案：A解析：解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．3．若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞2答案：C解析：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，因此C不正确．故选：C．4．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a答案：A解析：解：∵函数y=0.2x是减函数，0.3＞0.2，故有a=0.20.3＜0.20.2=1，又a=0.20.3＞0，可得b＞a ＞0．由于函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，故c=log20.4＜log21=0，即c＜0．综上可得，b＞a＞c，故选A．5．已知a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定不成立的（）A．ab＞ac B．c（b-a）＜0C．cb2≤ab2D．ac（a-c）＜0答案：B解析：解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，b-a＜0；∴ab＞ac，cb2≤ab2，c（b-a）＞0；ac（a-c）＜0；故选B．6．下列各组的大小比较正确的是（）B．＞C．0.8-2＜D．＞A．＞答案：D解析：解：A．考察指数函数y=0.45x在R单调递减，∴＜，不正确；B．考察幂函数在（0，+∞）上单调递减，∴=，不正确；C．∵0.8-2＞1，＜1，∴＜0.8-2，不正确；D．考察对数函数y=在（0，+∞）上单调递增，∴＞．正确．故选：D．7．若关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．-1B．-2C．1D．2答案：C解析：解：∵关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．二．填空题（共__小题）8．不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立的实数a 的取值范围______．答案：[9，+∞）解析：解：∵不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立，故|2-x|+|x+1|的最大值小于或等于a．|2-x|+|x+1|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，故当x∈[1，5]时，只有x=5时，|2-x|+|x+1|取得最大值9，∴a≥9，故答案为[9，+∞）．9．已知正数a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．答案：解析：证明：由于正数a，b，c满足abc=1，故有（a+2）（b+2）（c+2）=（a+1+1）（b+1+1）（c+1+1）≥3•3•3=27=27，当且仅当a=b=c=1时等号成立，故：（a+2）（b+2）（c+2）≥27成立．10．若角α、β满足，则α-β的取值范围是______．答案：解析：解：∵角α、β满足，∴-π＜-β＜-，∴-＜α-β＜，∵α-β＜0，∴-＜α-β＜0，故答案为：；11．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为______．答案：c，a，b解析：解：∵=，＜0，=log23＞1，∴c＞a＞b．故答案为：c，a，b．12．比较a=2，b=3，c=4的大小关系为______．答案：a＞c＞b解析：解：∵a=2＞1，b=3=，1＞c=4=＞．∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三．简答题（共__小题）13．求证：-≤≤．答案：证明：要证明-≤≤只需证明-≤，≤成立要证明-≤，只需证明-（2x2+3x+6）≤13（x+2）只需证明2x2+16x+32≥0又△=0，故2x2+16x+32≥0明显成立，∴-≤成立同理，≤成立综上可知，-≤≤14．已知3b=6a-2a，4a=8b-5b，试判断实数a，b的大小关系，并给出证明．答案：解：假设a≥b，则3a≥3b，4a≥4b．∴6a=3b+2a≤3a+2a，8b=4a+5b≥4b+5b，化为f（a）=≥1，g（b）=≤1，利用指数函数的单调性可知：f（x）与g（x）在R上单调递减，f（1）=＜1，g（1）=＞1，∴f（a）≥1＞f（1），g（b）≤1＜g（1），∴a＜1，b＞1，∴a＜1＜b，与假设a≥b，∴假设不成立．∴a＜b．15．设a，b，c都是正实数，求证：（Ⅰ）a+b+c≥++（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．答案：证明：（Ⅰ）∵a，b，c都是正实数，∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴把以上三个式子相加得：2（a+b+c）≥2+2+2∴a+b+c≥++；（Ⅱ）∵a，b，c都是正实数，∴a+b+c≥，a2+b2+c2≥相乘可得（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．16．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．答案：证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；∵2x+-2y=2（x-y）+=（x-y）+（x-y）+；又（x-y）+（x-y）+，当x-y=1时取“=“；∴2x+-2y≥3，即2x+≥2y+3．17．求证：-≤x≤．答案：证明：∵|x|≤=，∴-≤x≤．18．已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．答案：证明：∵x1，x2，x3为正实数，∴，，，∴三式相加，可得+x3≥2（x1+x2+x3），∵若x1+x2+x3=1，∴．19．解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．答案：解：|ax-1|＞a+1⇔ax-1＞a+1或ax-1＜-a-1⇔ax＞a+2或ax＜-a．…（2分）当-1＜a＜0时，x＜或x＞-1，∴原不等式的解集为（-∞，）∪（-1，+∞）．…（5分）当a=0时，原不等式的解集为φ．…（7分）当a＞0时，x＞，或x＜-1，∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（，+∞）．…（10分）20．（1）设x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．（2）若x∈R，y∈R，求证：．答案：证明：（1）∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）（+）=8+++2≥2+10=18（当且仅当x=12，y=6时取“=”），∴x+y的最小值为18．（2）∵x∈R，y∈R，∴-=-==≥0，∴≥．21．已知a＞b＞0，求证：．答案：证明：由于a+-（b+）=（a-b）+（-）=（a-b）（1+）=（a-b）•，因为a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，所以（a-b）•＞0．即a+-（b+）＞0．所以a＞b＞0时，成立．22．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．答案：证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则（ab+cd）（ac+bd）=a2bc+b2ad+c2ad+d2bc=（a2+d2）bc+（b2+c2）ad≥2adbc+2bcad=4abcd，当且仅当a=d，b=c取得等号．则有（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd成立．23．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．答案：证明：∵实数a，b，c满足a＞b＞c，∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，∴＞•＞0，∴+＞，∴++＞0．24．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．答案：证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）| x=1时，左式=右式=0，符合题意；x≠1时，x2+x+1=（x+）2+＞，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．解析：证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）| x=1时，左式=右式=0，符合题意；x≠1时，x2+x+1=（x+）2+＞，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．。
高中数学基本不等式训练题(含答案)
高中数学基本不等式训练题(含答案)高中数学基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：2 44．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.12x＋4x212x4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a＋a24aa＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22C．4 D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值164C．最小值64 D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．xy64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.答案：大1169．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋52 x＋14x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，y有最小值8.11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b －1)(1c－1)8.证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，同理1b－12acb，1c－12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200＝800(x＋225x)＋120191600x225x＋12019＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
高中数学不等式经典题型集锦(含答案)
高中数学不等式经典题型集锦姓名班级学号得分注意事项：1、本试题满分100分，考试时间90分钟2、答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息3.请将答案正确填写在答题卡上一．单选题（每题3分，共48分）1．若t∈（0，1]，则t+有最小值（）A．2B．3 C．-2D．不存在2．不等式（1+x）（2-x）（3+x2）＞0的解集是（）A．φB．RC．{x|-1＜x＜2} D．{x|x＞2或x＜-1}3．如果实数x，y满足：，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．D．44．设变量x，y满足约束条件，则z=6x-y的最小值为（）A．-8 B．0 C．-2 D．-75．在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为（）A．B．C．D．26．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3 C．2 D．7．不等式x2-ax-12a2＜0（a＜0）的解集是（）A．（-3a，4a）B．（4a，-3a）C．（-3，4）D．（2a，6a）8．若第一象限的点（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上，则的最小值是（）A．1 B．3 C．D．9．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．910．若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．11．已知x，y满足，且z=2x-y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．2 D．-212．不等式的解集是（）A．[1，+∞）B．（2，+∞）∪（-∞，-1]C．[2，+∞）∪（-∞，-1] D．[3，+∞）∪（-∞，2）13．若不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）A．（，+∞）B．（-∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（-∞，0）∪（，+∞）14．若关于x的不等式-+ax＞-1的解集为{x|-1＜x＜2}，则实数a=（）A．B．C．-2 D．215．若a＞0，b＞0，则不等式-b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．-＜x＜C．x＜-或x＞D．x＜或x＞16．二次函数f（x）=ax2+bx+c中，a＞0且a≠1，对于任意的x∈R都有f（x-3）=f（1-x），设m=f（），n=f[]，则（）A．m＜n B．m=nC．m＞n D．m，n的大小关系不确定二．填空题（每题3分，共27分）17．设，x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=4，a+b=2，则的最大值为______．18．已知3a+2b=1，a，b∈R*，则的最小值______．19．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则的最小值是______．20．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为______．21．已知x，y为正数，且x++3y+=10，则x+3y的最大值为______．22．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是______．23．已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，则的最小值是______．24．设x，y∈R，且x2+xy+y2=9，则x2+y2的最小值为______．25．若x＞0，y＞0，且y=，则x+y的最小值为______．三．简答题（每题5分，共25分）26．已知a，b，c为正数，证明：≥abc．27．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x-4）（-9）+m恒成立，求实数m的（2）若∀a，b∈A，x∈R+取值范围．28．设，则的最小值为______．，x+y+z=3．29．已知x，y，z∈R+（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．30．已知关于x的不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值．参考答案一．单选题（共__小题）1．若t∈（0，1]，则t+ 有最小值（）A．2B．3 C．-2D．不存在答案：B解析：解：构造函数f（t）=t+，根据双勾函数的图象和性质，f（t）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以，当t∈（0，1]时，f（t）单调递减，=f（1）=3，即f（t）min故答案为：B．2．不等式（1+x）（2-x）（3+x2）＞0的解集是（）A．φB．RC．{x|-1＜x＜2} D．{x|x＞2或x＜-1}答案：C解析：解：∵3+x2＞0，∴原不等式即为（1+x）（2-x）＞0，再化为（1+x）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．故选C3．如果实数x，y满足：，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．D．4答案：C解析：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=4x+y在A（，）处取得最大，最大值，故选C．4．设变量x，y满足约束条件，则z=6x-y的最小值为（）A．-8 B．0 C．-2 D．-7答案：D解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得B（-1，1），化目标函数z=6x-y为y=-6x+z，由图可知，当直线y=-6x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最小为6×（-1）-1=-7．故选：D．5．在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为（）A．B．C．D．2答案：C解析：解：∵，∴=m+4n，又∵P为BE上一点，不妨设=λ，（0＜λ＜1），∴=+=+λ=+λ（）=（1-λ）+λ，∴m+4n=（1-λ）+λ，∵，不共线，∴，∴m+4n=1，∴=（）（m+4n）=5++≥5+2=9当且仅当=即m=且n=时，上式取到最小值，∴向量=（m，n）的模||==故选：C6．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3 C．2 D．答案：A解析：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2-2bc=12+（b-c）2≥12，当且仅当b=c时取等号，∴a+b+c≥故选项为A7．不等式x2-ax-12a2＜0（a＜0）的解集是（）A．（-3a，4a）B．（4a，-3a）C．（-3，4）D．（2a，6a）答案：B解析：解：x2-ax-12a2＜0，因式分解得：（x-4a）（x+3a）＜0，可化为：或，∵a＜0，∴4a＜0，-3a＞0，解得：4a＜x＜-3a，则原不等式的解集是（4a，-3a）．故选B8．若第一象限的点（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上，则的最小值是（）A．1 B．3 C．D．答案：C解析：解：设A（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点B（x0，y）在直线2x+y+3=0上，∴线段AB的中点（，）在直线x+y-2=0上，由题意得：，∴a+2b=9，∴+=+=++≥+2=，当且仅当：=即b=2a时“=”成立，故选：C．9．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．9答案：D解析：解：由x2+y2+2x-4y+1=0得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴该圆的圆心为O（-1，2），半径r=2；又直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，∴直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2），∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，又a＞0，b＞0，∴=（）•（a+b）=1+++4≥5+2=9（当且仅当a=，b=时取“=”）．故选D．10．若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．答案：D解析：解：若a，b，c＞0且，所以，∴，则（2a+b+c）≥，故选项为D．11．已知x，y满足，且z=2x-y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．2 D．-2答案：B解析：解：由题意可得，∴a＜1，不等式组表示的平面区域如图所示，三角形的三个顶点坐标分别为（a，a），（a，2-a），（1，1）．由z=2x-y可得y=2x-z，则z表示直线y=2x-z在y轴上的截距的相反数，截距越大，z越小作直线L：y=-2x，把直线向可行域平移，当直线经过（1，1）时，z最大为1，当直线经过点（a，2-a）时，z最小为3a-2，∵z=2x-y的最大值是最小值的4倍，∴4（3a-2）=1，即12a=9，∴a=．故选B．12．不等式的解集是（）A．[1，+∞）B．（2，+∞）∪（-∞，-1]C．[2，+∞）∪（-∞，-1] D．[3，+∞）∪（-∞，2）答案：B解析：解：不等式化为即，即，转化为：所以不等式的解集为：（-∞，-1]∪（2，+∞）．故选B．13．若不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）A．（，+∞）B．（-∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（-∞，0）∪（，+∞）答案：B解析：解：因为不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），所以1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2，所以不等式＜为，整理得，解得x＜0或者x＞，所以不等式的解集为：（-∞，0）∪（，+∞）．故选B．14．若关于x的不等式-+ax＞-1的解集为{x|-1＜x＜2}，则实数a=（）A．B．C．-2 D．2答案：A解析：解：由的解集是{x|-1＜x＜2}，可知-1与2是方程的两根，∴，解得 a=．故选A．15．若a＞0，b＞0，则不等式-b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．-＜x＜C．x＜-或x＞D．x＜或x＞答案：D解析：解：故选D．16．二次函数f（x）=ax2+bx+c中，a＞0且a≠1，对于任意的x∈R都有f（x-3）=f（1-x），设m=f（），n=f[]，则（）A．m＜n B．m=nC．m＞n D．m，n的大小关系不确定答案：A解析：解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c中，a＞0且a≠1，对于任意的x∈R都有f（x-3）=f（1-x），∴二次函数f（x）关于直线x==-1对称．∴m=f（）=f（-2），n=f[]=f（）=，∵a＞0且a≠1，∴函数f（x）在（-∞，-1]上单调递减，∴．∴n＞m．故选：A．二．填空题（共__小题）17．设，x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=4，a+b=2，则的最大值为______．答案：解析：解：∵a＞1，b＞1，a+b=2，∴，即ab≤2，当且仅当时取等号．∵a x=b y=4，∴xlga=lg4，ylgb=lg4，∴===．故答案为．18．已知3a+2b=1，a，b∈R*，则的最小值______．答案：解析：解；∵3a+2b=1，a，b∈R*，∴3a∵====∴的最小值为故答案：．19．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则的最小值是______．答案：解析：解：∵x＞y＞0且x+y=1，∴．则=+=+=f（x），f′（x）=-=，令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得，此时函数f（x）单调递减．∴当x=时，函数f（x）取得最小值，=．故答案为：．20．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为______．答案：解析：解：6x+5y===，当且仅当，a=时取等号．故答案为：．21．已知x，y为正数，且x++3y+=10，则x+3y的最大值为______．答案：8解析：解：∵x++3y+=10，∴（x+3y）（x++3y+）=10（x+3y），∴（x+3y）2-10（x+3y）+10++=0，∵+≥6（=，即x=y时取等号）∴（x+3y）2-10（x+3y）+16≤0，∴2≤x+3y≤8，∴x+3y的最大值为8，此时x=y=2．故答案为：8．22．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是______．答案：-2解析：解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤-2，当且仅当，即a=b=-1时取等号，∴a=b=-1时，a+b取最大值-2．故答案为：-2．23．已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，则的最小值是______．答案：解析：解：∵已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，∴0＜b＜1，2＜a，a-＞0．则=+=+=（a-）+（）+≥2+=4+=，当且仅当（a-）=（）且c=时，等号成立，故答案为：．24．设x，y∈R，且x2+xy+y2=9，则x2+y2的最小值为______．答案：6解析：解：∵，解得x2+y2≥6，当且仅当x=y=时取等号．故答案为6．25．若x＞0，y＞0，且y=，则x+y的最小值为______．答案：18解析：解：∵x＞0，y＞0，且y=＞0，解得x＞2．∴x+y===x-2++2≥+2=18，当且仅当x=6时取等号，此时x+y的最小值为18．故答案为：18．三．简答题（共__小题）26．已知a，b，c为正数，证明：≥abc．答案：证明：∵a，b，c为正数，∴a2（b2+c2）≥2a2bc①，b2（a2+c2）≥2b2ac②，c2（b2+a2）≥2c2ba③①+②+③可得：2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c）∴≥abc．27．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x-4）（-9）+m恒成立，求实数m的（2）若∀a，b∈A，x∈R+取值范围．答案：解：（1）不等式|x+2|+|x-2丨＜10等价于，或或，解得-5＜x＜5，故可得集合A=（-5，5）；，（2）∵a，b∈A=（-5，5），x∈R+∴-10＜a+b＜10，∴（x-4）（-9）=1--9x+36=37-（+9x）≤37-2=25，∵不等式a+b＞（x-4）（-9）+m恒成立，∴m+25≤-10，解得m≤-3528．设，则的最小值为______．答案：解：∵，∴1-2x＞0∴==13+≥13+=25 当且仅当，即x=时，的最小值为25故答案为：25，x+y+z=3．29．已知x，y，z∈R+（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．答案：，x+y+z=3．（1）解：∵x，y，z∈R+∴++===3，当且仅当x=y=z=1时取等号，∴++的最小值是3．（2）证明：∵（x-y）2+（x-z）2+（y-z）2≥0，∴2（x2+y2+z2）≥2xy+2xz+2yz，∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=32，∴x2+y2+z2≥3；又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-（x+y+z）2=-2（xy+yz+xz）＜0．综上可得：3≤x2+y2+z2＜9．解析：（30．已知关于x的不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值．答案：解：不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，设y=，∴x-1≥2，x≥3，故实数a的最小值3．。
高中数学必修一不等式习题
必修一 不等式一、单选题1．（2022·山东滕州·高一期末）“06x π<<”是“1sin 2x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2022·四川广元·高二期末（理））命题“x R ∀∈，均有2cos 10x x ++<”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，均有2cos 10x x ++≥B ．0x R ∃∈，使得200cos 10x x ++<C ．0x R ∃∈，使得200cos 10x x ++≥D ．x R ∀∈，均有2cos 10x x ++>3．（2011·上海·高考真题（文））若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥4．（2013·重庆·高考真题（文））关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1525．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12a b+ab 的最小值为A B ．2 C ．D ．46．（2021·全国·高一单元测试）若不等式220ax x c ++<的解集是121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是. A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-2，3]D ．[-3，2]7．（2021·福建·福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）若正实数,a b 满足1a b +=，则 A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C D ．22a b +有最小值28．（2021·全国·高一期中）已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是（ ）A ．2B 1C ．94D ．529．（2021·湖南·长沙市实验中学高一期中）对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥10．（2020·吉林·长春市第二实验中学高一期末） 不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}11．（2022·北京石景山·高一期末）不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·全国·高一期中）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为（ ） A ．10-B ．14-C ．10D ．1413．（2021·全国·高一单元测试）若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-14．（2021·福建·龙岩市第一中学锦山学校高一阶段练习）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且存在这样的x ，y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,4)- B ．(4,1)-C ．()(),41,-∞-+∞ D ．()(),30,-∞-⋃+∞15．（2021·全国·高一专题练习）已知a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不一定能成立的是 A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ca <D ．()0ac a c -<16．（2021·广西·蒙山县第一中学高二阶段练习（理））“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件17．（2021·贵州金沙·高一阶段练习）“0a b >>”是“1ab>”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件18．（2021·全国·高一专题练习）已知a >1，b >1，记M ＝11a b+，N ，则M 与N的大小关系为（ ） A ．M >N B ．M ＝N C ．M <ND ．不确定19．（2021·江西·上高二中高一阶段练习）不等式111x ≥--的解集为（ ） A ．(],0-∞ B ．(](),01,-∞+∞C ．[)()0,11,+∞D ．[)0,+∞20．（2021·全国·高一课时练习）若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥421．（2021·新疆·哈密市第八中学高一期中）若,a b c d >>，则下列关系一定成立的是（ ） A ．ac bd > B ．ac bc > C ．a c b d +>+D ．a c b d ->-22．（2021·全国·高一单元测试）当01x <<时，141x x+-的最小值为（ ）A ．0B ．9C ．41ee e +- D ．1023．（2022·广东广雅中学高一期末）若命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．12a ≥C ．12a ≤D ．1a ≤24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若0a <，则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -->的解集为（ ）A ．12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1{x x a<或2}x > D ．{2x x <或1}x a>二、多选题25．（2022·辽宁营口·高一期末）下列选项中，满足p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．:1p x >，:0q x > B ．:2≠p x ，2:4≠q x C ．:0p x =，:0=q xyD ．:p x y >，22:q x y >26．（2021·全国·高一专题练习）已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 27．（2022·全国·高一期末）若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值1228．（2021·全国·高一课时练习）解关于x 的不等式：2(24)80ax a x +-->，则下列说法中正确的是（ ）A ．当0a =时，不等式的解集为{}4x x >B ．当0a >时，不等式的解集为{|4x x >或2x a ⎫<-⎬⎭C ．当0a <时，不等式的解集为24x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．当12a =-时，不等式的解集为∅29．（2021·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）若0a b <<，下列不等式中不成立的是（ ） A ．1ab < B ．11a b< C ．|a|>b - D ．22b a >30．（2021·全国·高一专题练习）设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法中正确的是（ ）A ．124m n ->B ．mn 的最大值为1C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为231．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）已知,,,a b c d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若,a b c d >>，则a d b c ->-32．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期末）设0a >，0b >，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．296a a +> C ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题33．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．34．（2021·全国·高一课时练习）函数y R ，则实数k 的取值范围为______．35．（2021·广东北江实验学校高一阶段练习）设0a >，1b >，若2a b +=，则911a b +-的最小值为__________．36．（2017·北京·高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.37．（2020·江苏镇江·高二期末）不等式2320x x -++>的解集为____________． 38．（2021·全国·高一单元测试）若4x >，1y >，且124xy x y =++，则x y + 最小值是_____．39．（2021·全国·高一单元测试）已知x 、y 都是正数，且满足230x y xy ++=，则xy 的最大值为_________．40．（2021·全国·高一单元测试）已知0x >，则97x x--的最大值为________．41．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高一阶段练习）不等式3442x x +≥-的解集是___________．四、解答题42．（2021·河北雄县·高一阶段练习）()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值；()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．43．（2021·陕西·西安一中高二期中）设函数()21f x mx mx =--（1）若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围：44．（2021·全国·高一单元测试）已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.45．（2021·全国·高一单元测试）已知0,0x y >>，且41x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求1y x y+的最小值.。
高中数学不等式多选题(AB组)含答案
《不等式》多选题（A组）1、下列命题正确的是（ A CD ）A 、对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 [－2，＋∞）B 、当0>x 时， 1C 、若0a b <<，则22a ab b >>D 、若0c a b >>>，则a bc a c b>-- 2、已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ABD ）A 、b c a a >B 、log log b c a a <C 、c c a b b a+>+ D 、b cb ac a>++ 【解】对于A ：由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 正确；对于B ：由1a >，01c b <<<，c c a b b a +-+ 可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++ ，c c a b b a+<+ ，故B 错误；对于C ：由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log c a a c =，则log log 0a a c b <<，则 110log log a a b c<<，可得log log b c a a <，故C 正确； 对于D ：由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确．3、下列结论错误的是（ AB ）A 、若22a b >，则11a b< B 、若3>x ，则44x x+≥ C 、若0a b >>，则lg lg a b > D 、若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 4、若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ AD ）A 、11b aa b -<- B 、11a b a b->- C 、ln()0b a -> D 、()()cca b b a>5、下列函数中，最小值为4的是 （ C D ）Ａ、4y x x =+)2(>x Ｂ、4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ、e 4e x x y -=+ Ｄ、3log 4log 3x y x =+（1>x ） 6、下列各式中最小值是2的是( A D )A 、)23(tan 1tan παπαα<<+B 、4522++x xC 、xx 1+D 、xx -+227、下列各函数中，最小值为2的是 ( A D )A 、122224+++=x x x y B 、x x y cos 1cos += (ππ223<<x ) C 、2y =D 、1y x =- 8、已知x 、 y 是正实数，则（ A C D ） A 、 若422=-+y x y x ，则11x y+的最小值为4；B 、若1log log 22=⋅y x ，则xy 的最小值为4； C 、若yx 91+= 4, 则x+y 的最小值为4；D 、若0>>y x ，则)(112y x x xy x -++的最小值是 4 9、已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ B C ）A 、110x y-> B 、sin sin 0x y -> )(π<+y x 满足 C 、11()()022x y-< D 、ln ln 0x y +>10、若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值可能是（ A B C ）A 、2B ．1C ．0D ．－1【解】∈a (－1,+∞)11、如果实数x y ，满足221x y +=，则(1)(1)xy xy -+（ AD ） Ａ、有最大值1， B 、有最小值12C 、有最大值，无最小值D 、有最小值3412、若101a b c >><<，,则( C D ) A 、 c c a b < B 、 c c ab ba < C 、 log log b a a c b c < D 、c c b a log log > 13、已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ACD ）A 、1≤abB 、 21≥ab C 、222≥+b a D 、422≤+b a14、如果a >b ，那么下列不等式中成立的是 （ AB ）A 、3131b a > B 、 a 3 > b 3 C 、3131-->b aD 、3232b a >15、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，记m 的取值范围为集合M ，则M 的子集不可能是（ CD ）A 、)9,13(--B 、)5,9(--C 、)1,5(--D 、)3,1(- 【解】5m -≤16、下列命题是假命题的是（ ACD ）A 、a b >是22ac bc >的充要条件B 、1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件C 、),2(+∞∈∀x ， x2＞2x D 、0x ∃∈R ，≤xe ln 0 （e 为自然对数的底数）17、下列结论不正确的是（ AC ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【解】对于A ：当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确；对于B ：若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增，所以11()()f f a b >，即3311()()a b>，所以B 正确； 对于C ：若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确；对于D ：若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤= 所以D 正确.18、给出下面四个推断，其中不正确的为（ BC ）.A ．若,(0,)a b ∈+∞，则2≥+baa b B ．若,(0,)x y ∈+∞则y x y x lg lg 2lg lg ⋅≥+ C ．若a ∈R ，0a ≠，则44≥+a a D ．若,x y ∈R ，0xy <，则2x y y x+≤-【解】对于选项A ，因为,(0,)a b ∈+∞，则22b a b aa b a b+⨯=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，即选项A 正确；对于选项B ，当,(0,1)x y ∈时，lg ,lg (,0)x y ∈-∞，lg lg 2lg lg x y x +⋅B 错误；对于选项C ，当0a <时，44a a+显然不成立，即选项C 错误；对于选项D ，0xy <，则0,0y x x y ->->，则[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-，当且仅当()()x yy x-=-，即x y =-时取等号，即选项D 正确， 19、设 a b <<<-11，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ CD ）A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b >D ．020212021>+b a20、如下的四个命题中真命题有（ ABD ）A ．已知实数a ，b ，c 满足2743b c a a +=-+，254c b a a -=-+，则c b a >>B ．若22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围是)0,(π-C ．如果ln 33a =，ln 44b =，ln 55c =，那么c b a << D ．若0>>b a ，则不等式 2022202220212021++<++a b a b 一定成立【解】对A ，由2245(2)10c b a a a -=-++=->，c b ∴>．再由2347b c a a +=-+①，245c b a a -=-+②，-①②得：2222b a =+，即21b a =+．22131()24a a a +-=-+，21b a a ∴=+>，c b a ∴>>，故A 正确；对C ，由ln x y x =，则'21ln x y x-=，当x e >时，1ln 0x -<，∴ln x y x =在(,)e +∞上单调递减，345e <<<，ln 3ln 4ln 5345∴>>，c b a ∴<<，故C 正确；21、已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，下列说法中正确的是（ BCD ）A ． a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在b 方向上的投影为22C ．24m n +=D ．mn 的最大值为2【解】由题意知，10a b ⋅=>，所以a 与b 的夹角为锐角，故选项A 错误；向量a 在b 方向上的投影为2a b b⋅==，故选项B 正确； ()1,2a b -=，因为()//a b c -，,m n 均为正数，所以c 为非零向量，且24,24n m m n -=-+=，故选项C 正确；由基本不等式知，42m n =+≥2mn ≤，当且仅当22m n ==时取等号， 故mn 的最大值为2，故选项D 正确.22、若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ABC ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值4 D ．22a b +有最大值12【解】对于A ：2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确；对于B ：22a b a b a b =++≤+++=,≤当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确对于C ：()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4 对于D ：()()2222222121a b a ab b a a b b +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误23、对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为（ CD ）A ．若a ＞b ，则11a b＜B ．若a ＞b ，则ac 2>bc 2C ．若a ＞b ，则b a 20212021>D ．若c ＞a ＞b ＞0，则abc a c b--＞ 【解】A ．根据a ＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，则11a b＜不成立，故A 错误； B ．∵a ＞b ，∴由不等式的基本性质知ac 2≥bc 2成立，故B 错误；D ．∵c ＞a ＞b ＞0，∴（a ﹣b ）c ＞0，∴ac ﹣ab ＞bc ﹣ab ，即a （c ﹣b ）＞b （c ﹣a ）， ∵c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，∴a bc a c b--＞，故D 正确．24、下列判断正确的是（ ACD ）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞ 【解】A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性有()()240.79P P ξξ≥-=≤=，所以()()21210.790.21P P ξξ≤-=-≥-=-=，A 选项正确； B 选项，因为//αβ，直线l ⊥平面α，所以直线l ⊥平面β，又直线//m 平面β，所以l m ⊥，充分性成立；设n αβ=，在α内取平行于n 的直线m n ≠，则l m ⊥且βn//，但是α与β相交，必要性不成立，B 不正确； C 选项，因为14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1414E np ξ==⨯=，C 正确；D 选项，由题意知32a b +=，因为20a >，3820b b =>，所以2824a b +≥=，当且仅当11,3a b ==时取等号，故D 正确. 25、设a ，b ，c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（ BD ）A ．44--<b aB ．12021<-abC ．ln ln a b >D ．()()2211a c b c +>+【解】对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确； 对于C ，函数ln y x =的定义域为0,，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.26、已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ BC ）A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 【解】若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故B 对； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错；27、设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ AD ）A ．11a b+有最小值4 B12C1 D ．22a b +有最小值12【解】对于A ：正实数a ，b 满足1a b +=，即有a b +≥，可得104ab <≤，即有1114a b ab +=≥，即有a b =时，11a b+取得最小值4，无最大值，故A 正确； 对B：由102<≤12，故B 错误；对于C==≤a b =C 错误；对于D ：由222a b ab +≥可得2222()()1a b a b +≥+=，则2212a b +≥，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，故D 正确．《不等式》多选题（B组）1、已知a ，b 为正实数，则下列命题错误的是（ B D ）A 、若221a b -=，则1a b -<B 、若111b a-=，则1a b -< C 、若1a b e e -=，则1a b -<D 、若ln ln 1a b -=，则1a b -<【解】选项A ：221a b -=时，()()1a b a b -+=⋅．0,0a b >>，0a b a b ∴<-<+，11a b a b∴-=<+，故A 正确； 选项B ：111b a-=时，不妨取33,4a b ==满足条件，则914a b -=>，所以B 错误.选项C ：由1a b e e -=，可得(1)1a b b b b a b e e e e -+--=-=．0b >，1b e ∴>，11a b e -∴-<，即2a b e -<，ln 2ln 1a b e ∴-<<=，故C 正确．选项D ：不妨取2,a e b e ==满足条件，则21a b e e -=->，所以D 错误．2、已知函数()e 2x f x x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中不成立的是（ AB ） A 、e ln 2a b +>B 、e ln 2a b +<C 、223a b +<D 、1ab <【解】由()0f x =，()0g x =得e 2x x =-，ln 2x x =-，函数e x y =与ln y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数e x y =，ln y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),e aA a ，(,ln )B b b ．由反函数性质知,A B 关于(1，1)对称，则2a b +=，e ln 2a b +=，2()14a b ab +<=，∴A ､B 错误，D 正确．()e 10x f x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增，且(0)10f =-<，13022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，102a ∴<<．又∵点(e ),aA a 在直线2y x =-上，即e 2a a b =-=，22221e e 34a ab a ∴+=+<+<，故C 正确.3、已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论错误的是( C D ) A 、122x x +=B 、122x x e e e +>C 、0ln ln 1221>+x x x xD 、12ex x >【解】函数x y e =与ln y x =互为反函数，则x y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确；对于B，122x x e e e ≥=+==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与x y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2x f x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln ln ln x x x x x x x x +=-＜()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 错误；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤，由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 4、已知实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ABC ）A 、21(1)(2)a a a a +++>+B 、1log (1)log (2)a a a a ++>+C 、12log (2)1a a a a +++<+ D 、1log (1)a a a a++<【解】令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可 得21(1)(2)a a a a +++>+，选项A 正确；选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦．因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，选项B 正确；选项C ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，故选项C 正确. 选项D ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a aa a+⇔<+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项D 错误；5、若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( B D) A 、222≤+b a B 、()21log 2a b a b a b<+<+ C 、()21log 2a ba ab b +<+< D 、222>+b a 6、当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值可以是（ ABC ） A 、－6 B 、－4 C 、－2 D 、0 【解】当x =0时，原式恒成立；当(0,1]x ∈时，原式等价于2max 343()x x a x--≥恒成立；当[2,0)x ∈-时，原式等价于2min 343()x x a x--≤恒成立；2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x--=∈-，232343143()x x f x x xx x--==--，令1t x =，即3234y t t t =--+，2'981y t t ∴=--+，可知1(1,)9-为y 的增区间，1(,1),(,)9-∞-+∞为y 的减区间，所以当(0,1]x ∈时，即[1,)t ∈+∞时，t =1时max 6y =-，即max ()66f x a =-∴≥-；当[2,0)x ∈-时，即1(,)2t ∈-∞-时，y 在(,1)-∞-上递减，在1(1,]2--上递增，所以t =-1时min 2y =-，即min ()22f x a =-∴≤-；综上，可知a 的取值范围是[6,2]--7、已知,x y R ∈，且0x y >>，则下列说法错误的是（ ABD ）A 、110x y->B 、sin sin 0x y ->C 、11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 、ln ln x x y y >8、已知：0>>y x ，则下列不等式恒成立的是（ BC ）A 、yx)31()31(> B 、y x 3131log log <C 、)1ln()1ln(22y y x x -+<-+D 、yx y x lg lg >9、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的是（ A B C ）A 、c b c a b a -+-≤-B 、a a a a 1122+≥+C 、a a a a -+<+-+213D 、21≥-+-ba b a 10、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围不可能是（ AD ）A 、[2,2]-B 、C、( D、[【解】由230,a -<或2030a a >⎧⎨-=⎩，或⎪⎩⎪⎨⎧>->≥--=∆,03,0,0)3(4222a a a a得，(a ∈11、下列结论不正确的是( BD )A ．若0,0a b c d >><<，则一定有b ac d> B ．若0x y >>，且1xy =，则()21log 2xyx x y y +>>+C ．设{}n a 是等差数列，若210a a >>，则2a >D ．若[)0,x ∈+∞，则()21ln 18x x x +≥-【解】选项A ，由0c d <<，可得0c d ->->，则110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，则b ac d>，故A 正确. 选项B ，取12,2x y ==，则221154,,log ()log 1282x y x x y y +==+=>，不等式不成立，故B 不正确.选项C ，由题意得1322a a a +=且13a a ≠，所以21311=()22a a a +>⨯C 正确. 选项D ，设21()ln(1)8h x x x x =+-+，则1(3)()1144(1)x x x h x x x -'=-+=++，当03x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，()(0)0h x h <=，故D 不正确. 12、已知曲线()32213f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 不可能的取值为（ ACD ）A ．27 B ．413 C ．3 D ．4 【解】由题可知，322()13f x x x ax =-+-，则2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >，可得切线斜率2223k m m a =-+=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨>⎩，即48(3)0302a a -->⎧⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<13、对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ACD ）A ．若22am bm >，则a b >B ．若a b >，则22am bm >C ．若0>>>m b a ，则bam b m a <-- D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ 【解】对实数a ，b ，m ．2220am bm m ∴>>，a b ∴>，A 正确；0b a >>，0m >，若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a∴+=+， 设()()121f a a a a=+>，根据双勾函数的单调性知，()f a 在区间()1,+∞上单调递增， ()(1)3f a f ∴>=，即()23,a b +∈+∞，D 正确．14、已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（AD ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12=【解】1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，A 正确．由基本不等式及12x x ≠，可得12=+>12256x x >，B 错误； 知()()10f x x x'=>，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=1211x x =-12=，D 正确；15、设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2120x x +-≤的解可以为（ BCD ）A ．10B ．2.5C ．－4.1D ．10-【解】因为不等式[][]2120x x +-≤，所以[]()[]()340x x -+≤，所以[]43x -≤≤，又因为[]x 表示不小于实数x 的最小整数16、如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ AC ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 【解】A.∵24,u x x =+24v x x =+，24,22u v u vx x +-+==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确． B.241235x x t +-=+126510u v u v +-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1616153623644t u u u u=++≥⋅+=，16u u =即4u =时取等号，由244x x ++=，解得31.52x ==，C 正确； D.4x =时，25835t =+，2571052150044130351515t ---=-==>，3t >，D 错．17、下列命题中正确．．的是（ BD ） A ．设m 为直线，,αβ为平面，且m α⊥；则“//m β”是“αβ⊥”的充要条件 B ．设随机变量1)0(N ζ，，若()3P p ζ≥=，则()1302P p ζ-<<=- C ．若不等式922x m x+≥+(0x >)恒成立，则m 的取值范围是(,2)-∞ D ．已知直线2ax by +=经过点(1)3，，则28a b +的取值范围是[4)+∞， 【解】A 选项，如图所示：αβ⊥，m α⊥，m β⊂，不一定//m β，因此不是充要条件，故A 错误.B 选项，对称轴为0x =，由对称性可知：121(30)22p P p ζ--<<==-.故B 正确. C 选项，由9926x x x x+≥=，可得622m ≥+，所以m 的范围为(]2-∞，，故C 不正确. 选项D ，由直线2ax by +=经过点(1,3)，可得32a b +=，则422823=≥++b a b a ，当且仅当31a b ==等号成立， 所以取值范围是[4,)+∞，故D 正确．18、实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（ CD ）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -D ．1y x -的最小值为【解】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值．设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得k =，所以[1y x ∈-，即1yx -的最大CD .19、已知a 、b 为实数，则（ BC ）A ．若1>>b a 则a b b a >B ．若1>>b a 则a b b a <C ．若b a >>31则a b b a > D ．若b a >>31则a b b a < 20、若0>≥y x ，则下列不等式中正确的是（ ACD ）A ．yx --≤20212021 B ．20222022y x ≥ C ．20212021y x ≥ D ．y x 20212021log log ≥ 【解】对A ，由指数函数的单调性可知，当x y ≥，有22x y ≥，故A 正确；对B ，当0,0,x y x y <<>时，2x y+≥B 错误； 对C ，当0x y ≥≥时，22x y ≥不成立，故C 错误；。
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1、设恒成立的c的取值范围是A．B．C．D．2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D．3、若实数、满足，则的取值范围是A．B．C．D．4、已知，，，则的最小值是（）（Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ）5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是(A)(B)(C)(D)6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7、已知正实数满足，则的最小值为。
8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D）的最大值与最小值之和为9、函数，当时，恒成立,则D.10、已知正数满足，则的最小值为A．3B．C．4D．11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。
（1）证明：；（2）证明：；（3）若满足不等式的取值范围。
12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为.13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a<b，则的最小值是____。
14、若不等式的解集为区间,且,则k=________15、已知满足，则的取值范围是.16、关于的不等式在上恒成立，则实数k的范围为．17、已知函数，若，则实数的取值范围是.18、已知，有下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）。
其中一定成立的不等式的序号是_________________。
19、设函数，。
（1）证明：；（2）求不等式的解集；（3）当时，求函数的最大值。
20、已知函数是定义在上的奇函数,若对于任意,都有且＞0时,有＞0（1）用单调性的定义证明在上为单调递增函数；（2）解不等式＜；（3）设,若＜,对所有,恒成立,求实数的取值范围．21、已知不等式的解集为，（1）求的值；（2）解关于的不等式：22.设实数y x ,满足1)1(22=-+y x ，当0≥++c y x 时，求c 的取值范围。
23.若x 2+y 2=1，则的最大值为___________．1、如图所示，当关闭K 时，向A 中充入1molX 、1molY ，向B 中充入2molX 、2molY ，起始时，V （A ）＝V （B ）＝aL 。
在相同温度和催化剂存在的条件下，两容器中各自发生下列反应：2X （g ）＋2Y （g ）Z （g ）＋2W （g ）ΔH ＜0，达到平衡（Ⅰ）时，V （B ）＝。
请回答：（1）用中X 的转化率α(X)B 为；（2）A 中W 和B 中W 的物质的量比较：n(W)A n(W)B （填大于、小于、等于）；（3）打开K ，过一段时间重新达平衡（Ⅱ）时，B 的体积为（用α的代数式表示，连通管中气体体积不计）。
2、对达到平衡状态的可逆反应：X+YW+Z ，在t ℃时增大压强，则正逆反应速率变化如图所示（V 代表速率，t 代表时间）下列有关X 、Y 、Z 、W 的状态叙述正确的是：A ．X 、Y 、W 为气体，Z 不是气体B ．X 、Y 为气体，W 、Z 中有一种是气体C ．W 、Z 为气体，X 、Y 中有一种是气体D ．W 、Z 中有一种为气体，X 、Y 都不是气体3、某化学科研小组研究在其他条件不变时，改变某一条件对化学平衡的影响，得到如下变化规律（图中P 表示压强，T 表示温度，n 表示物质的量）： 根据以上规律判断，上列结论正确的是（）A ．反应Ⅰ：△H ＞0，P 2＞P 1B ．反应Ⅱ：△H ＜0，T 1＜T 2C ．反应Ⅲ：△H ＞0，T 2＞T 1；或△H ＜0，T 2＜T 1D ．反应Ⅳ：△H ＜0，T 2＞T 1 4、在容积不变的密闭容器中存在如下反应： 2SO 2（g ）＋O 2（g ）2SO 3（g ）；△H ＝－mol －1某研究小组研究了其他条件不变时，改变某一条件对上述反应的影响，下列分析正确的是（）IIIIIIA ．图I 研究的是t 0时刻增大O 2的浓度对反应速率的影响B ．图II 研究的是t 0时刻加入催化剂后对反应速率的影响C ．图III 研究的是催化剂对平衡的影响，且甲的催化效率比乙高D ．图III 研究的是温度对化学平衡的影响，且乙的温度较低 5、在容积不变的密闭容器中进行反应：2SO 2(g)＋O 2(g)2SO 3(g)；ΔH <0。
下列各图表示当其他条件不变时，改变某一条件对上述反应的影响，其中分析正确的是A.图Ⅰ表示温度对化学平衡的影响，且甲的温度较高B.图Ⅱ表示t0时刻使用催化剂对反应速率的影响C.图Ⅲ表示t0时刻增大O2的浓度对反应速率的影响D.图Ⅳ中a、b、c三点中只有b点已经达到化学平衡状态.6、在容积不变的密闭容器中有反应：X(g)+Y(g)z(g)，若Z(g)的物质的量浓度c(Z)与温度T的关系如右图所示。
则下列说法不正确的是A．A点与B点相比，B点的c(X)大B．A点与C点的化学反应速率：前者<后者C．在反应进行到D点时，V正＜V逆D．A、B、C点都表示该反应达平衡状态7、某密闭容器中充入等物质的量的气体A和B，在一定压强和温度下发生反应：A(g)＋x B(g)2C(g)，达到平衡后，只改变反应的一个条件，测得容器中物质的浓度、反应速率随时间的变化如下图所示。
下列说法中正确的是( )时降低温度，40min时升高温度～8min内A的平均反应速率为·L－1·min－1C.反应方程式中的x＝1，正反应为吸热反应时C的体积分数大于40min时8、在一密闭容器中充入2molA和1molB发生如下反应：2A(g)+B(g)xC(g),达到平衡后，C的体积分是为W%；若维持容积体积和温度不变，按起始物质的量A:::充入容器后，C的体积分数仍为W%，则x的值为（）A、只能为2B、只能为3C、可能为2，也可能为3D、无法确定9、一定温度和压强下，下列各可逆反应达到化学平衡状态，各反应有如图所示的对应关系：（1）N2(g)+3H2(g)2NH3(g)；ΔH＜0（曲线Ⅰ）（2）H 2(g)＋I2(g)2HI(g)；ΔH＞0（曲线Ⅱ）（3）2SO3(g)2SO2(g)+O2(g)；ΔH＞0（曲线Ⅲ）则下列y轴的表达意义均符合上述三个平衡状态的是A.平衡混合气中一种生成物的物质的量浓度B.平衡混合气中一种反应物的体积分数C.平衡混合气的平均相对分子质量D.平衡混合气中一种反应物的转化率10、在一个容积为2L的密闭容器中，加入的A2气体和气体，一定条件下发生如下反应：A2(g)+B2(g)―2AB(g)△H<0，反应中各物质的浓度随时间的变化情况如图所示。
(1)该反应进行到__________时达到平衡，用AB表示的平均反应速率为：__________(分数表示)。
(2)图中对应的a的数值是_________，该反应的化学平衡常数Kc=__________(保留分数)。
温度升高Kc值___________(填“增大”、“减少”或“不变”)。
(3)在上述反应达到平衡后，第4min时，若将容器的体积快速扩大一倍(其他条件不变)，请在上图中画出4min～5min的AB浓度的变化线。
(4)在相同条件下，若开始时向此容器中加入的A2(g)、B2(g)和AB(g)的物质的量分别为、、。
则反应向__________方向进行(填“正反应”或“逆反应”)。
判断依据是______________；反应达到平衡后，各物质的体积分数与原平衡相比___________(填序号)①A2、B2减小，AB增大②A2、B2增大，AB减小③均不变④无法确定11、I．恒温、恒压下，在一个可变容积的容器中发生如下发应：A(g)＋B(g)C(g)（1）若开始时放入1molA和1molB，到达平衡后，生成amolC，这时A的物质的量为mol。
（2）若开始时放入3molA和3molB，到达平衡后，生成C的物质的量为mol。
（3）若开始时放入xmolA，2molB和1molC，到达平衡后，A和C的物质的量分别是ymol和3amol，则x＝mol，y＝mol。
平衡时，B的物质的量（选填一个编号）（甲）大于2mol （乙）等于2mol（丙）小于2mol（丁）可能大于、于或小于2mol作出此判断的理由是。
（4）若在（3）的平衡混合物中再加入3molC，待再次到达平衡后，C的物质的量分数是。
II．若维持温度不变，在一个与（1）反应前起始体积相同、且容积固定的容器中发生上述反应。
（5）开始时放入1molA和1molB到达平衡后生成bmolC。
将b与（1）小题中的a进行比较（选填一个编号）。
（甲）a＜b（乙）a＞b（丙）a＝b（丁）不能比较a和b的大小作出此判断的理是。
12、向体积为2L的固定密闭容器中通入3molX气体,在一定温度下发生如下反应：2X(g)Y(g)+3Z(g)(1).经5min后反应达到平衡,此时测得容器内的压强为起始时的倍,则用Y表示的速率为mol/L·min。
(2)若上述反应在甲、乙、丙、丁四个同样的密闭容器中进行,在同一段时间内测得容器内的反应速率分别为:甲、v(X)=L·min;乙、v(Y)=2mol/L·min;丙、v(Z)=L·min;丁、v(X)=L·s。
若其它条件相同,温度不同,则温度由高到低的顺序是(填序号〉(3)若向达到(1)的平衡体系中充入惰性气体,则平衡向(填"左"或"右"或"不)移动；若向达到(1)的平衡体系中移走部分混合气体,则平衡向(填"左"或"右"或"不")移动。
(4)若在相同条件下向达到(1)所述的平衡体系中再充入气体,则平衡后X的转化率与(1)的平衡中的X的转化率相比较A．无法确定B．前者一定大于后者C．前者一定等于后者D．前者一定小于后者(5)若保持温度和压强不变,起始时加入X、Y、Z物质的量分别为amol、bmol、cmol,达到平衡时仍与(1)的平衡等效,则:a、b、c应该满足的关系为(6)若保持温度和体积不变,起始时加入X、Y、Z物质的量分别为amol、bmol、cmol,达到平衡时仍与(1)的平衡等效,且起始时维持化学反应向逆反应方向进行,则c的取值范围应该为13、Ⅰ）如图所示，甲、乙之间的隔板K和活塞F都可左右移动，甲中充入2molA和1molB，乙中充入2molC和1molHe，此时K停在0处。
在一定条件下发生可逆反应：2A（g）+B（g）2C（g）；反应达到平衡后，再恢复至原温度。
回答下列问题：（1）可根据()现象来判断甲、乙都已达到平衡。
（2）达到平衡时，隔板K最终停留在0刻度左侧a处，则a的取值范围是()（3）若达到平衡时，隔板K最终停留在左侧刻度1处，则甲中C的物质的量为()mol，乙中C的转化率______50％（填：＞、＜、＝），此时，乙中可移动活塞F最终停留在右侧刻度()处（填下列序号）①＜6②＞6③＝6。