机器人运动学
第三章机器人运动学
第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。
它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。
本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。
机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。
DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。
通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。
2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。
在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。
2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。
2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。
代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。
3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。
机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。
机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。
逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。
机器人运动学
机器人运动学随着科技的不断发展，机器人已经逐渐成为了人们生活中不可或缺的一部分。
机器人的出现不仅改变了人们生活的方方面面，还为工业、医疗等领域带来了巨大的变革。
作为机器人领域的核心技术之一，机器人运动学是机器人技术中的重要组成部分。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学分析、运动规划等方面进行详细的阐述。
一、机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人运动的学科，主要研究机器人的运动规律、运动学模型、运动学分析和运动规划等问题。
机器人运动学的基本概念包括机器人的自由度、坐标系、位姿等。
1. 机器人的自由度机器人的自由度是指机器人能够自由运动的方向和数量。
机器人的自由度通常是由机器人的关节数量决定的。
例如，一个具有6个关节的机器人，其自由度就是6。
机器人的自由度越大，机器人的运动能力就越强。
2. 坐标系坐标系是机器人运动学中的重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
机器人通常使用笛卡尔坐标系或者极坐标系来描述机器人的位置和姿态。
在机器人运动学中，通常使用基座坐标系和工具坐标系来描述机器人的运动。
3. 位姿位姿是机器人运动学中的另一个重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
位姿通常由位置和方向两个部分组成。
在机器人运动学中，通常使用欧拉角、四元数或旋转矩阵来描述机器人的位姿。
二、机器人运动学分析机器人运动学分析是指对机器人的运动进行分析和计算，以确定机器人的运动规律和运动学模型。
机器人运动学分析通常涉及到逆运动学、正运动学和雅可比矩阵等内容。
1. 逆运动学逆运动学是机器人运动学分析中的重要内容，用于确定机器人关节的运动规律。
逆运动学通常包括解析解法和数值解法两种方法。
解析解法是指通过数学公式来计算机器人关节的运动规律，数值解法是指通过计算机模拟来计算机器人关节的运动规律。
2. 正运动学正运动学是机器人运动学分析中的另一个重要内容，用于确定机器人末端执行器的位置和姿态。
正运动学通常包括前向运动学和反向运动学两种方法。
第3章 机器人运动
3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
机器人运动学
58
斯坦福机器人反向运动学方程求解
• 已知斯坦福机器人的运动学方程为T6=A1A2A3A4A5A6， 以及T6 矩阵与各杆参数a、α、d，求关节变量θ1~θ6 ， 其中θ3= d3。
• 求θ1：
59
斯坦福机器人反向运动学方程求解
• 求θ1：
• “+”号对应右肩位姿，“-”号对应左肩位姿。60
斯坦福机器人反向运动学方程求解
2 机器人运动学
• • • • 齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述 齐次变换 机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵 机器人运动学方程及其求解
1
齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述 • • • • • 点的直角坐标描述 点的齐次坐标描述 坐标轴方向的齐次坐标描述 动坐标系位姿的齐次坐标描述 对象物位姿的齐次坐标描述
n cos30 cos60 cos90 0 T 0.866 0.500 0.000 0
P 2 1 cos90 0 T 0.500 0.866 0.000 0 a 0.000 0.000 1.000 0
2
点的直角坐标描述
式中：Px、Py、Pz是点P在坐标 系{A}中的三个位置坐标分量。
点的直角坐标描述
3
点的齐次坐标描述
• 齐次坐标的表示不是惟一的，将其各元素同 乘一非零因子ω后，仍然代表同一点P，即
4
坐标轴方向的齐次坐标描述
坐标轴方向的描述
5
• 4 1列阵[a b c w]T中第四个元素不为零，则表示空 间某点的位置； • 4 1列阵[a b c w]T 中第四个元素为零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则表示某轴（矢量）的方向。
44
正向运动学方程求解
机器人 运动学
机器人运动学机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科。
它是机器人技术的重要组成部分，对于机器人的设计、控制和应用具有重要意义。
机器人运动学主要研究机器人在空间中的运动规律，包括位置、速度和加速度等。
通过研究机器人的运动学特性，可以实现对机器人的精确控制和规划。
机器人运动学主要包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是指根据机器人关节的位置和长度，求解机器人末端执行器的位置。
它通过解析几何、向量运算和矩阵变换等数学方法，将机器人关节的位置参数转化为末端执行器的位置参数，从而实现对机器人的位置控制。
逆运动学是指根据机器人末端执行器的位置，求解机器人关节的位置和长度。
逆运动学是机器人运动学的核心内容，也是机器人控制的关键问题之一。
通过逆运动学，可以实现对机器人末端执行器的精确控制，从而实现机器人在空间中的精确定位和定向。
机器人运动学的研究还包括机器人的姿态和轨迹规划。
姿态是指机器人在空间中的朝向和姿势，轨迹是指机器人在运动过程中的路径和速度。
通过研究机器人的姿态和轨迹规划，可以实现机器人在复杂环境中的灵活运动和避障控制。
机器人运动学的应用非常广泛。
在工业领域，机器人运动学被应用于自动化生产线的控制和优化，实现了生产效率的提高和生产成本的降低。
在医疗领域，机器人运动学被应用于手术机器人的控制和操作，实现了微创手术和精确手术的目标。
在军事领域，机器人运动学被应用于无人飞机和无人车辆的控制和导航，实现了作战效能的提高和战场风险的降低。
机器人运动学的发展离不开先进的传感器和控制技术的支持。
传感器可以实时感知机器人的位置和环境信息，控制技术可以根据机器人的位置和运动规律，实现对机器人的精确控制和运动规划。
总结起来，机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科，主要包括正运动学、逆运动学、姿态和轨迹规划等内容。
机器人运动学的研究和应用对于机器人技术的发展和应用具有重要意义，将为我们创造更多的便利和机会。
机器人运动学
T
o = [ cos120° cos 30° cos 90° 0]
T
T
a = [ 0.000 0.000 1.000 0]
T
P = [ 2 1 0 1]
T
⎡0.866 −0.500 0.000 2.0 ⎤ ⎢0.500 0.866 0.000 1.0 ⎥ ⎥ T =⎢ ⎢0.000 0.000 1.000 0.0 ⎥ ⎢ 0 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦
构件坐标系
全局参考坐标系
3.2 位姿表示和齐次变换
向量计算
设
⎧ A = (a x , a y , a z , aω )T ⎪ ⎪ B = (bx , b y , bz , bω )T ⎨ T ⎪ R = (rx , ry , rz , rω ) ⎪ ⎩α = cont
a ⎞ 则有 αA = ⎛ ⎜ ax , a y , az , ω α ⎟ ⎝ ⎠ ay
3.2 位姿表示和齐次变换
四、复合（旋转加平移）变换
依次左乘变换矩阵，顺序不同，结果不同 将两个旋转变换和平移变换结合起来，矩阵表达式为：
自动化学院
第三章 机器人运动学
第三章 机器人运动学
3.1 引言 3.2 位姿表示和齐次变换 3.3 机器人的正逆运动学方程 3.4 机器人的微分运动和雅可比矩阵
3.1 引言
问题一：已知杆件几何参数和关节
角矢量求机器人末端相对于参考坐 标系的位置和姿态？
问题二：给定机器人末端相对于参
考坐标系的期望位置和姿态，机器 人能否、如何使其末端达到这个位 姿？ －－实际应用问题
T
T
其中 r = a b − a b x y z z y
ry = a z bx − a x bz rz = a x by − a y bx rω = aω bω
机器人运动学
R3
Z
三个平移自由度 T1, T2, T3
三个旋转自由度 R1, R2, R3
T3
T1
T2
Y R2
X
2019/3/31
R1
2.2 刚体位姿描述
方位描述
第三章
机器人运动学
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿 态 (pose)。
在刚体 B上设置直角坐标系 {B} ，利用与 {B} 的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A
p R ( x , ) p
B
zB
zA
Bp
P
yB
{A}
1 0 R ( x , ) 0 c 0 s
c R ( y , ) 0 s 0 s 1 0 , 0 c
0 s c
s c 0 0 0 1
2019/3/31
i A iB A jB r11 r12
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示 相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的 方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标 系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。
{ B}
当表示位置时 当表示方位时
zA
iB
jB
A
kA 坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
pBo
kB
yA
{ A iB , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B
O
R { iB , jB , k B }
A A A
机器人运动学
机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的一门学科。
它通过分析机器人的构造和动力学参数，研究机器人在特定环境下的运动规律和遵循的动力学约束，以实现机器人的准确控制和运动规划。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学模型、运动学正解和逆解等方面进行介绍。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是机器人学中的一个重要分支，主要研究机器人在空间中的运动状态、末端执行器的位置和姿态等基本概念。
其中，运动状态包括位置、方向和速度等；末端执行器的位置和姿态是描述机器人末端执行器在空间中的位置和朝向。
通过研究和分析这些基本概念，可以实现对机器人运动的控制和规划。
2. 运动学模型运动学模型是机器人运动学研究的重要工具，通过建立机器人的运动学模型，可以描述机器人在运动过程中的运动状态和姿态变化。
常见的运动学模型包括平面机器人模型、空间机器人模型、连续关节机器人模型等。
每种模型都有其独特的参数和运动学关系，可以根据实际情况选择合适的模型进行分析和研究。
3. 运动学正解运动学正解是指根据机器人的构造和动力学参数，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
具体而言，根据机器人的关节角度、关节长度和连杆长度等参数，可以通过连乘法求解机器人末端执行器的位姿。
运动学正解是机器人运动学中的常见问题，解决这个问题可以帮助我们了解机器人在空间中的运动规律和运动范围。
4. 运动学逆解运动学逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人的关节角度。
反过来，控制机器人的运动状态就需要求解逆运动学问题。
运动学逆解是机器人运动学研究的重要内容之一，它的解决可以帮助我们实现对机器人的准确定位和控制。
总结：机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的学科，通过运动学模型、运动学正解和运动学逆解等方法，可以描述机器人的运动状态、末端执行器的位置和姿态。
深入研究机器人运动学，可以实现对机器人的准确控制和运动规划。
随着机器人技术的不断发展，机器人运动学的研究也得到了越来越广泛的应用和重视。
机器人技术基础课件第三章 机器人运动学
30
3.2.1 机器人正运动学方程
如图所示是个三自由度的机器人， 三个关节皆为旋 转关节，第3关节轴线垂直于1、2关节轴线所在的平 面，各个关节的旋转方向如图所示，用D-H方法建立 各连杆坐标系，求出该机器人的运动学方程。
刚体的姿态可由动坐标系的坐
标的轴刚 位方置体向可Q在来用固表齐定示次坐。坐标令标系n形、O式oX、的YZa一中分
别为X′、y ′、z ′坐标轴的 个(4×1)列阵表示为： 单位方向矢量，每个单位方向 矢量在固定坐标系上的分量为 动坐标系各坐标轴的方向余弦， 用齐次坐标形式的(4×1)列阵 分别表示为：
y L1 sin1 L2 sin(1 2 )
通常的矢量形式：
r f ( )
29
3.2.1 机器人正运动学方程
机器人正运动学将关节变量作为自变量，研究机器人末 端执行器位姿与基座之间的函数关系。总体思想是：
（1）给每个连杆指定坐标系； （2）确定从一个连杆到下一连杆变换（即相邻参考系 之间的变化）； （3）结合所有变换，确定末端连杆与基座间的总变换 ； （4）建立运动学方程求解。 机器人运动学的一般模型为：
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T23T34T 45T56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
机器人学基础_第3章机器人运动学
移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
动到使其原点与连杆i坐标系原点重合的地方。 • (4) 绕Xi旋转αi角，使Zi–1转到与Zi同一直线上。 • 连杆i–1的坐标系经过上述变换与连杆i的坐标系
重合。如果把表示相邻连杆相对空间关系的矩阵 称为A矩阵，那么根据上述变换步骤，从连杆i到 连杆i–1的坐标变换矩阵Ai为
•
(3.13)
• 同理，对联轴器的齐次坐标变换矩阵有 •
• 手部的位置矢量为固定参考系原点指向手 部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢 量为n、o、a。于是手部的位姿可用4 4 矩阵表示为
•
•
nX oX a X PX
T
nY
oY
aY
PY
nZ 0
oz 0
aZ 0
PZ 1
• 思考：
• ①说明位姿矩阵的左上角3×3矩阵的几何 意义。
• ②分别说明n, o, a, P的几何意义。
a1 = l 1 =100
a2 = l 2 =100
旧课复习与总结
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
机器人运动学教学课件
工业机器人在物流仓储领域的应用包 括自动化分拣、搬运、装卸等作业， 提高仓储物流效率，降低人工成本。
服务机器人应用
家庭服务
服务机器人可以承担家庭 保洁、照料老人和儿童等 任务，提高家庭生活的便 利性和舒适度。
餐饮服务
服务机器人在餐厅中可以 协助送餐、点餐等工作， 提升餐饮服务效率，减少 人工成本。
机器人运动学教学课 件
目 录
• 机器人运动学概述 • 机器人运动学基础知识 • 机器人运动学实例分析 • 机器人运动学在实践中的应用 • 机器人运动学面临的挑战与展望 • 机器人运动学教学建议与资源
01
机器人运动学概述
定义与概念
定义
机器人运动学是研究机器人关节运动 和末端执行器位姿的一门科学。
新型机器人的运动学研究展望
总结词
随着技术的不断发展，新型机器人不断涌现，对运动 学研究提出了新的挑战和机遇。
详细描述
随着机器人技术的不断进步和应用领域的拓展，新型 机器人如柔性机器人、可穿戴机器人、微型机器人等 不断涌现。这些新型机器人的运动学特性与传统机器 人有很大的不同，需要针对其特点进行深入研究。同 时，随着机器学习和人工智能技术的快速发展，基于 数据驱动的运动学学习方法也成为了研究热点，有望 为新型机器人的运动学研究提供新的思路和方法。
THANKS
感谢观看
详细描述
三关节机器人是一个更接近实际应用的模型，其运动学分析能够帮助学生理解更复杂的运动。通过分 析三关节机器人的运动学方程，学生可以进一步了解如何处理多个关节的协同运动，以及如何实现复 杂的轨迹规划。
多关节机器人的运动学分析
总结词
高级模型，需要综合运用知识。
详细描述
多关节机器人是一个高级模型，其运动学分析需要学生综合运用所学的知识。通过分析 多关节机器人的运动学方程，学生可以进一步提高解决复杂问题的能力，为将来在实际
机器人学-第3章_机器人运动学
1, di）表示。
空间机械臂坐标系选择
为了获得机械臂末端执行器在3维空间的位置和姿态，需要在每个连杆上 定义与连杆固连的坐标系来描述相邻连杆之间的位置关系。
根据固连坐标系所在连杆的编号对固连坐标系命名，如在固连在连杆i上 的固连坐标系称为坐标系{i}。
若ai =0，两Z轴相交，则选Xi垂于Zi和Zi+1 ，坐标系{i}的选择不是唯一的。
9
轴i θi
轴 i-1
连杆坐标系中连杆参数确定
θi-1
连杆 i-1
DH参数按以下方法确定：
Zi
ai =沿Xi轴，从Zi移动到Zi+1的距离；
Yi
i =绕Xi轴，从Zi旋转到Zi+1的角度；
di =沿Zi轴，从Xi-1移动到Xi的距离；
系{1}与坐标系{0}重合。
对于坐标系{n}，原点位置可以在关节轴
上任意选取， Xn的方向也是任意的。但在选 择时应尽量使更多的连杆参数为1=0 1=-90o d1=0
Y2
a2=L2 2=0 q2=-90o d2=L1
(b)
Z1
X2
Y2
Y1
X1
a1=0 1=90o d1=0
相邻连杆间坐标变换公式
建立 {P}、{Q}和{R}3个中间坐标系， 其中{i}和{i-1}是固定在连杆 i 和 i-1 上的固 连坐标系，如图3-13所示。
连杆 i-1 Zi
ZP
Xi ai
di ZQ XQ
ZR
qi
Zi-1
Xi-1XR ai-1
XP
i-1
1. 绕 Xi-1 轴旋转 i-1角
第三章机器人的运动学
B R 表示坐标系{B}相对于{A}的方位， R 描述坐标系{A}相对于{B}的方 A B A 1 A T A B 位，且 B R 和 A R 都是正交矩阵，两者互逆。即 A R B R B R
例3.1 若从基坐标系
矩阵为
({B})到手爪坐标系
({E})的旋转变换
。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的
分别代表了ox，oy和oz轴的无穷远
点，用它们分别表示这三个坐标轴的方向。另外，
坐标原点， 没有意义。
代表
注意：位置矢量 究竟是3×1的直角坐标还是4×1的齐次坐标，应 根据上下文而定。
二、齐次变换
齐次变换矩阵是4×4的矩阵，它的完整形式可以看成是由 四个子矩阵组成：
R33 P31 旋转变换 位置矢量 T f13 11 透视变换 比例变换
pBO 1
综合地表示了平移和旋转变换。 对平移变换
A B
A
R I 33 (3阶单位矩阵)
对旋转变换
pBO ＝0 3（3行1列零向量） 1
一、齐次坐标
一般来说，以N+1维矢量表达N维位置矢量的方法称为齐次 坐标表示法。 在三维直角坐标系中，一个点可以表示 为 次坐标就是 ，它的齐
p p
A B
A p B R p A pBO —坐标旋转和坐标平移的复合变换 可规定一个过渡坐标系{C},{C}的坐标原点与{B}的方位重合，而{C} 的方位与{A}的相同，则
C A B B
C A p BR p BR p C A A B B
原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢
《机器人运动学》课件
机器人正向运动学建模
正向运动学
根据机器人关节参数，计算机器人末端执行器在笛卡尔坐标 系中的位置和姿态的过程。
正向运动学模型
描述机器人末端执行器位置和姿态与关节参数之间关系的数 学模型。
机器人逆向运动学建模
逆向运动学
已知机器人末端执行器在笛卡尔坐标系中的位置和姿态，求解机器人关节参数 的过程。
逆向运动学模型
02
它主要关注机器人在三维空间中 的位置和姿态，以及如何通过关 节运动来实现这些位置和姿态的 变化。
机器人运动学的研究内容
机器人位姿表示
研究如何用数学表达式表示机 器人在三维空间中的位置和姿
态。
运动学方程
建立机器人末端执行器位姿与 关节状态之间的数学关系，即 运动学方程。
运动学逆解与正解
研究如何通过给定的位姿求解 关节状态（逆解），以及如何 通过给定的关节状态求解位姿 （正解）。
关节坐标系
基于机器人关节建立的坐标系，常用于描述机器 人的关节运动状态。
工作坐标系
基于机器人工作需求建立的坐标系，常用于描述 机器人末端执行器的位置和姿态。
CHAPTER 03
机器人运动学建模
齐次变换与坐标变换
齐次变换
描述空间中物体位置和方向变化的数 学工具，包括平移和旋转。
坐标变换
将一个坐标系中的位置和方向信息转 换到另一个坐标系中的过程，涉及到 齐次变换的应用。
关节空间的轨迹规划
定义
关节空间是指机器人的各个关节角度 构成的坐标系，关节空间的轨迹规划 是指通过控制机器人的关节角度来实 现机器人的运动。
方法
常用的方法包括多项式插值、样条曲 线插值等，通过设定起始和目标位置 的关节角度，计算出一条平滑的关节 角度路径。
机器人运动学
机器人运动学介绍机器人运动学是机器人学中的一个重要分支，研究机器人的运动学原理和方法。
它关注的是机器人在二维或三维空间中的运动规律，包括位置、速度和加速度等。
机器人运动学是机器人控制的基础，它对于实现精确的运动控制和路径规划非常关键。
掌握机器人运动学理论和方法，能够帮助我们设计出更高效、更安全的机器人系统。
在本文档中，我们将介绍机器人运动学的基本概念和常用方法，包括前向运动学、逆向运动学和雅可比矩阵等。
前向运动学前向运动学是机器人运动学中的一种基本方法，用于计算机器人末端执行器的位置和姿态。
它通过将每个关节的运动传递下去，从而得到机器人的整体姿态。
在前向运动学中，我们需要了解机器人的连杆长度、关节角度和坐标系的定义。
通过这些参数，我们可以构建一个运动学模型，用于计算机器人的末端执行器位置和姿态。
通常，采用矩阵变换的方法来表示前向运动学。
我们可以通过一系列的坐标转换和旋转矩阵，将关节角度转化为末端执行器的位置和姿态。
逆向运动学逆向运动学是机器人运动学中的另一种重要方法，与前向运动学相反，它通过已知机器人末端执行器的位置和姿态，计算各个关节的角度。
逆向运动学常用于机器人路径规划和精确定位。
在机器人控制中，我们通常通过末端执行器的位置和姿态，来确定关节角度，从而实现期望的运动。
逆向运动学的计算过程相对复杂，通常采用优化算法或迭代求解的方法。
我们需要根据机器人的运动学模型和关节限制条件，对目标函数进行建模，并求解使目标函数最小化的关节角度。
雅可比矩阵雅可比矩阵是机器人运动学中的一个重要工具，用于描述机器人的运动学性能和控制能力。
它描述了机器人末端执行器的速度和姿态变化，对于路径规划和动力学分析非常有用。
雅可比矩阵的计算采用了线性近似的方法，通过对机器人运动学模型的导数进行计算。
它可以描述机器人关节角度和末端执行器的关系，从而可以帮助我们分析机器人的运动性能和控制精度。
雅可比矩阵在机器人运动学中有广泛的应用，例如用于机器人轨迹规划、碰撞检测和机器人力学优化等方面。
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特殊情况坐标系的建立原则
zi zi-1
两个关节轴相交
xi
oi
yi
Oi— Ai与Ai+1关节轴线的交点
Zi— Ai+1轴线
Xi— Zi和Zi-1构成的面的法线
Ai+1
Yi— 右手定则
Ai
两个关节轴线平行
• 先建立
Ai-1
∑0i-1
• 然后建立 ∑0i+1
• 最后建立 ∑0i
Ai
Ai+1
Ai+2
yi-1 zi-1
Z
为横滚、俯仰和偏航角，这种形
式主要用于航空工程中分析飞行
横滚
器的运动，其旋转矩阵为（这种
方法也叫做横滚、俯仰和偏航角
表示方法）
俯仰
Y
R R（z,) R( y, ) R(x,)
c s 0 c 0 s 1 0 0
s
c
0
0
1
0
0 c
s
0 0 1 s 0 c 0 s c
cc sc
设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的
齐次变换为oTN，做微动，①绕任意轴w轴转 d ；②绕
各坐标轴平移dx,dy,dz On s
求： 0N 在 00 中的位置和姿态. Z0
a
n
• 定义 dTN 为微动齐次变换矩阵
（0 TN）变化后 Trans (dx, dy, dz)R(w, d )0TN
1
• di 是从第i-1坐标系
的原点到Zi－１轴和
Ｘi轴的交点沿Ｚi-1 Ai-1
轴测量的距离
• i 绕 Zi-1轴由Ｘi-1
轴转向Ｘi轴的关节
角
Ai
i
li
li1 di
i
坐标系的建立原则
Ai+
• 为右手坐标系
1
• 原点Oi：设在Li与
Ai+1轴线的交点上 • Zi轴：与Ai+1关节轴
Ai-1
Ai
q1
（1 T2）-1（0 T1）-1 0 T6 2 T3 3 T4 4 T5 5 T6 q2
(4 T5 )1(3 T4 )1(2 T3 )（1 1 T2）-1（0 T1）-1 0 T6 5 T6 q5
(5 T6 )-1 （0 T1）-1 0 T6 E q6
机器人末端操作器位姿的其它描述方法
y s
O
a
z
x n
nx sx ax px
实际要求 ny nz
sy sz
ay az
py pz
机T手爪
0
0
0
1
ox yz
z物
z机 y机
O机
x物 O物 y物
a : 手爪开合方向与物体 y向重合 有s [ 1 0 0]T
b : 从上向下抓，指出手爪 的a方向物体z方向相反 则有a [0 0 1]T
s
c
0
0
c
s
s
c
0
0 0 1 0 s c 0 0 1
cc scs sc ccs
ss
cs scc ss ccc
sc
ss
cs
c
x(u)
பைடு நூலகம்
z (w)
w"
W① ׳׳׳ ③ψ o
w′ v׳׳׳
φψ
θ
v" v′
φ
②ψ
y (v)
θ
φ
u" u׳׳׳ u′
类型2：所得的转动矩阵为右乘
rxrz(1 cosd ) rysin d
rxry (1 cosd ) rzsin d ry2 (1 cosd ) cosd ryrz (1 cosd ) rxsin d
rxrz(1 cosd ) rysin d
ry
rz
(1
cosd
)
rxsin
d
r2 (1 cosd ) cosd
1 rzd ryd 0
3种最常见的欧拉角类型
类型1 类型2 类型3
步1
绕OZ轴转φ角 绕OZ轴转φ角 绕OX轴转φ角
步2 绕当前OU' 轴转θ角 绕当前OV '轴转θ角
绕OY轴转θ角
步3
绕当前OW″轴转ψ角 绕当前OW″轴转ψ角
绕OZ轴转ψ角
类型1：表示法通常用于陀螺运动
0 TN R(Z,) R(, ) R(w,)
c s 0 1 0 0 c s 0
ox yz
z物
z机 y机
O机
x物 O物 y物
则有a [0 0 1]T
i j k
c : n s a 1 0
0
0i
j
0k
[0
1
0]T
0 0 1
0 1 0
因此：姿态矩阵为 1 0
0
0 0 -1
0 1 0 11
当手爪中心 与物体中心
机T物
1 0
0 0
0 10 -1 1
重合时
0
0
0
1
R R(Z , ) R(v, ) R(w,)
c s 0 c 0 s c s 0
s
c
0
0
1
0
s
c
0
0 0 1 - s 0 c 0 0 1
ccc ss scc cs
ss
ccs sc scs cc
sc
px
T
R
py
pz
0 0
0
1
cs
ss
c
X
偏航
类型3： 一般称此转动的欧拉角
重合，指向任意
i zi
yi
•
Xi轴：与公法线Li 重合，指向沿Li由
Ai轴线指向Ai+1轴线
• Yi轴：按右手定则
li
xi oi
li1 di
zi1 oi1
yi1
i
xi1
Li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
li-1
oi-1xi-1
di
A
C
zi oi di+1
B D
（yi） （yxiixil）i+1
zi+1 yi+1 oi+1xi+1
举例：Stanford机器人
解：
运动学逆问题解法
Paul 等人提出的方法:
• 用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵 方程的元素决定未知数，即用逆变换把一 个未知数由矩阵方程的右边移到左边
杆件坐标系间的变换过程 -相邻关节坐标系的齐次变换
• 将xi-1轴绕zi-1轴转i 角度，将其与xi轴平行； • 沿zi-1轴平移距离di ，使zi-1轴与zi轴重合； • 沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重
合； • 绕xi 轴转i角度，两坐标系完全重合．
D-H变换矩阵
c os i
i1 Ai
0
0
0 1
因此微动率△= Transdx, dy, dzRw, d E
0 dz dy dx
dz
0 dx dy
dy dx 0 dz
0
0
0
0
微动的齐次变换：dT= △•T
0 1 0 7
己知变换矩阵 T 0 0 1 3
1 0 0 0
求d T
0 0 0 1
解：
转动：d 0.1i 0 j 0k, 平移：dp 0.3i 0 j 0.6k
s1 px c1 py d2
作三角变换：
式中：
得到： 即有：
（
）
由1, 4和2, 4元素对应相等，得：
1A211T6 2T6
式中第四列： 2 A312T6 3T6
式中第三列：
微动矩阵和微动齐次变换
• 对象: 微动矩阵主要是描述机器人在微动 范围内各关节的位移运动关系
• 定义: 各关节当角度移小于5°时，平移 在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用
因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T
处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的 ∑O机根据T2画出
-Y，X，Z轴平行。
解2：
nx sx ax px
实际要求 ny nz
sy sz
ay az
py pz
机T手爪
0
0
0
1
a : 手爪开合方向与物体 y向重合 有s [ 1 0 0]T
b : 从上向下抓，指出手爪 的a方向物体z方向相反
有：机T物 机T摄 摄T物 （T2）-1T1
ox yz
1 0 0 10 0 1 0 1
0 -1 0 20 1 0 0 10 0 0 -1 10 0 0 -1 9
z物
0 0
0
1
0
0
0
1
0 1 0 11 -1 0 0 10
0 0 1 1
z机 y机
O机
x物 O物 y物
0
00
1
∑O物根据T1画出
1 0 0 0.31 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.3
0 1 0
0 0
1
0.1 0 0 1 0 0 0
0
0.1
0
0 0 1 0.60 0.1 1 0 0 0 1 0 0 0.1 0 0.6
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0
0
0 0 0 0.30 1 0 7 0 0 0 0.3