二项式定理考点大全(详解)
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：()nn n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数kn C )3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=叫做二项式系数。
对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()nb a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()nb a +二、二项展开式的通项：kk n k nk b a C T -+=1 二项展开式的通项kk n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项kk n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=的理解：（1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n（3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1．nnn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 （ ）A ．n4 B 。
第03讲二项式定理(精讲)(原卷版)_1
第03讲 二项式定理目录第一部分：知识点必背 .............................................. 1 第二部分：高考真题回归 ............................................. 2 第三部分：高频考点一遍过 ........................................... 3 高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数） ...................... 3 高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题 ................ 3 高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题 .................... 4 高频考点四：二项式系数和与系数和 ................................ 5 高频考点五：二项展开式的逆应用 .................................. 6 高频考点六：二项式系数最大问题 .................................. 6 高频考点七：系数最大问题 ........................................ 7 第四部分：数学文化题 . (9)第一部分：知识点必背知识点一：二项式定理 （1）二项式定理一般地，对于每个k （0,1,2,k n =），()n a b +的展开式中n k k a b -共有k n C 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：nn n r r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(++++++=+--- （n N *∈）.0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：()02131*2n n n n n C C C C n N -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=∈第二部分：高考真题回归第三部分：高频考点一遍过高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数）高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知实数x不为零，则26+-的展开式中x x(1)(1)2x项的系数为.高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题高频考点四：二项式系数和与系数和1010a x ++，则22101359)()a a a a a -++++++的值为 2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设()220230122023a a x a x a x x +++⋅⋅⋅+∈R .32023a a ++的值.22023a a +++.云南昆明·高二校考阶段练习）高频考点五：二项展开式的逆应用典型例题例题1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-=（ ）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-=，则n 的值为 ．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知12n n a -=，解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2024n n n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习）化简：设n +∈N ，则()()011C 2C 21C 21C knn n k n kn n n n n ---++-++-= ．2．（2023春·上海浦东新·高二校考期中）0122C 2C 2C 2C n n n n n n ++++= .3．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）0122332022202220232023202320232023202320232023C 2C 2C 2C 2C 2C -+-++-的值是 .高频考点六：二项式系数最大问题高频考点七：系数最大问题典型例题例题1．（2023·全国·高二随堂练习）已知()1nx +的展开式中第5，6，7项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．(2)求展开式中项的系数最大的项.第四部分：数学文化题1．（2023春·吉林延边·高二延边二中校考期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，()mod5a b ≡=，则b 的值可以是（ ）A ．2004B ．2005C ．2025D ．20262．（多选）（2023·全国·高二专题练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）A ．在第10行中第5个数最大B ．22222348C C C C 84++++=C ．第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D ．在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为12n -3．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于 .（用一个组合数作答）4．（2023春·高二单元测试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则813年以后是年.。
考点35二项式定理（讲解）（解析版）
考点35二项式定理【思维导图】一项式定虔（・♦姻咯♦…'"，_・C5kn）云术1敷的组杞Y6・7v丸，smr政用-iJE^irWWft^C,皿M砖为负；⑴WWKir: 7^・CV*①■58210为0二项式景致升一州.心眼u.ci・5.y・r ■NM1卜3・末等蹈第牌个一#果■［棚等・・。
i:'g”号'N.Ji犬的，■人＜1.怎u*m，・忡而的一沔式，■■人力分ent金*可由：衣啄。
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+。
（山），土+席（心）8土+...+徭（1+打土人人通10的展开式中，X2的系数即为(1+4°的F(X(l+x)10展开式的通项为7；引=0'1，令10-r=2,故r=8,所以J的系数为篇=45.故选：C.4.若曲线)，=3ln(x+l)在x=l处的切线斜率为。
二项式定理
第3讲二项式定理[必备知识]考点1二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．2．二项展开式的通项T k＋1＝C k n a n－k b k为展开式的第k＋1项．3．二项式系数二项展开式中各项的系数C k n(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．考点2二项式系数的性质[必会结论]二项展开式形式上的特点： (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，…一直到C n －1n ，C nn .二、小题快练1．[2014·湖南高考]⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 2．[课本改编]若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 3．[课本改编]若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．1204．[2015·广东高考]在(x －1)4的展开式中，x 的系数为______． 5．[2015·天津高考]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为______ 考向二项展开式中特定项或系数问题例1(1)[2015·陕西高考]二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( )A ．7B ．6C ．5D ．4(2)[2015·重庆高考]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是______(用数字作答)．52考向 二项式系数的和或各项系数的和例2 (1)[2015·湖北高考]已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29(2)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝____.364二项式定理中赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.考向项的系数的最值问题例3 已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中前三项x 的系数为等差数列．(1)求二项式系数最大项； (2)求展开式中系数最大的项．1．求二项式系数最大项(1)如果n 是偶数，那么中间一项(第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项)的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，那么中间两项(第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大．2．求展开式系数最大项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得.【变式训练3】 [2016·宜昌高三测试]已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．命题角度1 几个多项式积的展开式问题例4 [2015·课标全国卷Ⅱ](a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.3命题角度2 与整除有关的问题例5 [2016·潍坊模拟]设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12命题角度3 求近似值的问题例6 求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) [解] 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C28·0.022＋C 38·0.023≈1.172. 命题角度4 二项式定理与函数的交汇问题 例7 [2013·陕西高考]设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15【变式训练4】[2016·昆明调研]⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．3核心规律1.二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数时，要根据通项公式讨论对k 的限制.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以，在解题时，根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的重要方法.题型技法系列24——拆分法破解三项展开式中特定项(系数)问题 [2015·课标全国卷Ⅰ](x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60(1)[2016·皖南八校联考](x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是_____．－5120(2)[2016·河北名校联考](x 2－x ＋2)5的展开式中x 3的系数为_______．－2001.[2016·沈阳模拟]⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5.则x 等于( )A.17 B ．－17C ．7D ．－72．[2015·大连模拟](2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．[2016·唐山模拟]⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 8二项展开式中的常数项为( )A ．56B ．－56C ．112D ．－1124．[2014·四川高考]在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．105．若对于任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2014·湖北高考]若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.34 C ．1 D.242．[2016·唐山模拟]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( )A ．－8B ．－12C ．－20D ．203．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3 4．[2016·洛阳二测](x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为( )A ．－100B ．－15C ．35D ．220 5．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．286．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b .若a ＋2b ＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．27．[2015·四川高考]在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________(用数字填写答案)．40-8．[2016·安徽江南十校联考]二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________.19．[2014·山东高考]若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．211．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 23的项．12．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数．[B 级 知能提升](时间：20分钟)1．[2016·洛阳统考]设n 为正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．2 2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 3．[2016·江西八校联考]若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是________．125。
二项式定理(讲解部分)
考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题
例2 (1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二 项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 ( )
A.-960 B.960
C.1 120 D.1 680
(2)若
x2
-
1 x
n
的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
的展开式的常
数项是60,则a的值为 ( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
(2)(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为30,则a等
于( )
A. 1 B. 1 C.1 D.2
3
2
解题导引 (1)常数项是指x0项的系数,展开式的通项是什么?化简通项时
用到什么运算,指数幂的运算性质有哪些?根式如何化成指数幂形式?结合
令10-2r=6,解得r=2, 所以x6项的系数为C120,
所以(x2-a)·
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为C130
-a
C120=30,
解得a=2.故选D.
答案 (1)D (2)D
方法总结 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项 后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数 等),解出r,代回通项即可.
指数幂运算化通项为最简形式再求解.
(2)的展开式中x6项的来源有几个?结合多项式乘法法则,可分析出来有2个
来源,分别是哪两个?写出
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。
n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。
n4n34C。
13D.n431例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理1•二项式定理：(a b)n=C0a n Ca n」b • ||「c n a n=b r•- C；；b n(n・ N ),2. 基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数c n (r =0,1,2, , n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项c n a n-b r叫做二项式展开式的通项。
用丁i =C；a n」b r表示。
3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。
(a ■ b)n与(b ■ a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnw’c：,…,C；,…,c n.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4. 常用的结论：令a =1,b 二x, (1 - x)n=c0C：x C；x2十| • Qx r Fl C；x n(n N )令a =1,b = -x, (1 -x)n=C° -C：x C；x2-川C：x r ||( (-1)n C：x n(n N )5. 性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 - c n , •••C n^Cn J②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 ■ c1 ■ Cn- C；Jll ■ c；-2n,变形式c n C2-Cn^H c； =2^1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a =1,b = —1，贝y C0—c n +c2 —Cj+川+(_1)n c n =(1_1)n= 0 ,从而得到：C： +C： +C：…+- = cn +C；+IH+c：r41+ …二丄X2n= 2n_l2④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n OnO 小Jn」2n _22[[. nOn 1 2』』L n(a x) C n a x C n a x C*a x . C*a x a。
二项式定理十五大考点
二项式定理十五大考点二项式定理可是高中数学里超有趣的一个部分呢，它的考点也是多种多样的。
一、二项式展开式的通项公式。
这可是二项式定理的核心内容哦。
通项公式就是T_r + 1=C_n^r a^n - rb^r。
这里的n是二项式的指数，r呢，表示第几项（要注意这里是从0开始计数的哦）。
比如说(a + b)^5，当我们要求第3项的时候，n = 5，r = 2（因为第3项对应的r是2），然后代入通项公式就能求出这一项啦。
这个公式就像是一把万能钥匙，能帮我们打开二项式展开式中每一项的大门呢。
二、二项式系数与项的系数。
这两个概念可不能混淆哦。
二项式系数就是C_n^r，它只跟n和r有关，就像是一个固定的身份标识。
而项的系数呢，是包括前面的符号以及数字的，是在二项式展开式中该项实际的系数。
比如说在(2x - 3y)^4的展开式中，某一项的二项式系数是C_4^2，但是这一项的系数可就不是单纯的C_4^2啦，要把2和- 3这些数字也考虑进去计算才行呢。
这就像二项式系数是一个人的名字，项的系数是这个人穿上了各种衣服鞋子之后的整体形象。
三、二项式展开式的性质。
1. 对称性。
二项式展开式的系数是对称的哦。
比如说(a + b)^n，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
就像照镜子一样，两边是对称的呢。
这让我们在计算一些系数的时候，如果知道了前面的系数，后面对称位置的系数就不用再重新计算啦，多方便呀。
2. 增减性与最大值。
当n是偶数的时候，中间一项（也就是第(n)/(2)+ 1项）的二项式系数最大；当n是奇数的时候，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n + 3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。
这就像是在一群小伙伴里找最突出的那个或者那几个，很有趣吧。
四、求特定项。
1. 求常数项。
我们就根据通项公式，令a和b的指数满足一定条件来求出常数项。
比如在(x+(1)/(x))^6中，我们要让x的指数和(1)/(x)的指数相互抵消，也就是令6 - 2r = 0（这里a=x，b = (1)/(x)，根据通项公式得到x的指数为6 - r，(1)/(x)的指数为r，相乘为x^6 - 2r），解得r = 3，然后再代入通项公式求出常数项。
高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：()nn n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数kn C )3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=叫做二项式系数。
对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()nb a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()nb a +二、二项展开式的通项：kk n k nk b a C T -+=1 二项展开式的通项kk n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项kk n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=的理解：（1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n（3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1．nnn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 （ ） A ．n4 B 。
第三节 二项式定理
结合二项展开式系数所具有的性质，若
x3＋
1 x
n的展开式
的所有二项式系数之和为128，能否确定n的值？
解：由题意可得2n＝128，解得n＝7.
考点一 求展开式中的特定项或特定系数(基础之翼练牢固)
[题组练通]
1．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为
A．10
B.20
()
C．40
[解题方略] 求展开式系数最大项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采 用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1， 且第k项系数最大，应用AAkk≥ ≥AAkk－ ＋11， 从而解出k来即得．
[过关集训]
1．若
x＋ 1 3 x
n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，
82 020－a0＝82 020－1，故选B.
[答案] (1)B (2)B
[解题方略] 求二项式系数和的常用方法是赋值法
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋ bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋 值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求 其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
＝2r·C1r0·x10－2 5r.令10－2 5r＝0，得r＝2，故展开式中的常数项是 22·C210＝180.
(2)∵展开式中只有第11项的二项式系数最大，
∴n＝20，∴Tr＋1＝Cr20·( 3x)20－r31xr＝Cr203202－r·x20－43r.
由题得20－43r为整数，则r是3的倍数，
∴r可取0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共7项．
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。
+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。
C(n,2)。
…。
C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。
②b的指数由0到n（升幂）。
XXX和b的指数和为n。
3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。
m) + C(n。
m-1)C(n,0) + C(n,1) +。
+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。
= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。
+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理考点与题型归纳
二项式定理考点与题型归纳一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)❶；(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06 ·(－1)0·C 24＋C 16 ·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240.2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________.解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x .(2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.答案：－3或13.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n－2n ＋C n－1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.答案：C715(3x)7和C815(3x)8考点三二项展开式的应用[典例精析]设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解析]由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a，又0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12.[答案]D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.32C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7 ·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7 ·(－2)r ·x 14－3r .令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r 82－(r －1)C r －18＝9－r 2r≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r ≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15。
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二项式定理高考知识点总结1．求103)1(xx -展开式中的常数项2．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49,求常数a 的值３.求84)21(xx +展开式中系数最大的项;4.若n xx )21(-+的展开式的常数项为－20．求n .５求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数?6.已知n xx )21(4⋅+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列.(1)求展开式中所有的x 的有理项； （2)求展开式中系数最大的项.7. 已知二项式n xx )2(2-,(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：１，(1）求展开式中各项的系数和（2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项8.求6998.0的近似值,使误差小于001.0；9．求证：15151-能被7整除。
１0．求证:３2n ＋2-８n-9能被64整除.11 求9192除以100的余数.1２ 求证：C n 0＋21C n 1+31C n 2+…+11+n C n n ＝11+n (２n+1－1）.1３ 计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-； 14.求值：１5、已知数列{a n }（n 为正整数)是首项为a 1,公比为q 的等比数列。
（1)求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-(2）由(1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （３)设q ≠1,S n 是等比数列｛ａn }的前ｎ项和,求:.)1(134231201nn n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+-16．规定!)1()1(m m x x x C mx +--=,其中x ∈R ，m 是正整数,且10=x C ，这是组合数mn C （n 、m 是正整数,且m ≤n )的一种推广. (1) 求315-C 的值；(2） 设x >０，当x 为何值时，213)(x xC C 取得最小值？(3) 组合数的两个性质;①m n n m n C C -=． ②mn m n m n C C C 11+-=+．ﻩ是否都能推广到mx C (ｘ∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由．１解：r r rr rr r xC xx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-=令0655=-r ，即6=r 。
所以常数项是210)1(6106=-C2 解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r r r r r r r r r x a C x x a C T令3923=-r ，即8=r 依题意,得492)1(894889=⋅⋅---a C ,解得1-=a 3 解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kk k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴K K K K 1922211 解得43≤≤k ， ∴系数最大的项为第３项2537x T =和第４项2747x T =。
４ 解：当x >0时，n x x )21(-+＝n xx 2)1(-, 其通项为：1+r T =r rn n xx C )1()(22--=rn r n r xC 222)1(--,令2n -2r ＝0,得：n =r ,∴展开式中的常数项为:nn r C 2)1(-；当x ＜0时,n x x )21(-+=n xx 2)1(-+-, 同理:展开式中的常数项为:nn r C 2)1(-； 无论哪一种情况，常数项均为nn r C 2)1(-． 令nn r C 2)1(-=-20，得n =3．5 解法①:2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r rr T C x x -+=+,当且仅当1r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =。
解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.6解：(1）展开式前三项的系数分别为)1(81)21(,221,12221-=⋅=⋅=n n C n C C n n n . 由题设可知：)1(81122-+=⋅n n n解得:ｎ=８或ｎ=1（舍去).当ｎ＝８时，r r rr x x C T --+⋅⋅=)2()(4881=r r r xC 43482--⋅⋅.据题意,4－r 43必为整数,从而可知r 必为4的倍数, 而０≤r ≤8,∴r ＝0,4，8.故x 的有理项为:41x T =，x T 8355=,292561x T =． （2）设第r ＋1项的系数1+r t 最大，显然1+r t >0, 故有rr t t 1+≥1且12++r r t t ≤1.∵r r t t 1+＝r rC C r r r r 29221188-=⋅⋅+---,由rr29-≥1，得r ≤３． ∵12++r r t t ＝r r C C rr r r -+=⋅⋅---+8)1(2228118, 由rr -+8)1(2≤1,得r ≥2.∴r =2或r ＝3，所求项分别为2537x T =和4747x T =．7 解：(1)∵第５项的系数与第３项的系数的比是10:1,∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn ,解得n ＝8 令ｘ=1得到展开式中各项的系数和为(1-2）8=１(2) 展开式中第ｒ项, 第ｒ+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C --⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ，若第ｒ+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C--⋅218≤r rC 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅,解得５≤r ≤6;所以系数最大的项为T 7=179２111x ⋅;二项式系数最大的项为T 5=11２061x ⋅ 8分析：因为6998.0=6)002.01(-,故可以用二项式定理展开计算。
解：6998.0=6)002.01(-＝621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ， 且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈＝988.0012.01=- ９证明:15151-=1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051-+++++C C C C C=49Ｐ+1251-(*∈N P )又 1)2(1217351-=-=(7+1)171-=17.....7.7.7.17171617152171611717017-+++++C C C C C=7Q （Q *∈N ))(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除。
1０证明:ﻫ能被64整除.11 分析 转化为二项展开式来求．解法一 9１92=（1００-9)9２=１0092—C 192·1０091·９+C 292·1００９0·92— …—C 9192·1０0·９９１+９92,前面各项均能被1０0整除，只有末项９92不能被10０整除，于是求99２除以1０0的余数．∵992=(10－1)92=1092—C 192·1091＋C 292·１０90—…+C 9092·10２—C 9192·10+(－1)92=1092—C 192·1０９1+C 292·１０90—…＋C 9092·102—９2０＋１ ＝(1０92—C 192·1０91+C 292·1090—…＋C 9092·１0２—100０)+81 ∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为８1． 解法二 ∵９1９2=（90+1）９2=C 092·9092+C 192·90９1+ …+C 9092·902+C 9192·9０+1 由于前面各项均能被10０整除,只有末尾两项不能被100整除， 由于C 9192·90+１=８28１＝820０+8１ ∴被10０除余81.1２分析 ∵2n+１=C n 01++C n 11++C n 21+＋…＋C n n 1+＋C n n 11++ ∴右边＝11+n （C n 11+＋C n 21++…+C n n 1+＋C n n 11++) 比较左、右两边和，只要证明k 1·C k n 1-＝11+n C k n 1+即可.证明 k 1·C k n 1-＝k1·)!1()!1(!+--k n k n =)!1(!!+-k n k n ＝11+n ·)!1(!)!1(+-+k n k n ＝11+n C k n 1+∴C n 0+21C n 1＋31C n 2+…＋11+n C n n=11+n （C n 11++C n 21++…＋C n n 1+＋C n n 11++）=11+n （２ｎ＋1－1）１３解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 14分析:注意将此式还原成二项展开式的结构 ﻫ 原式=15解:（1）,)1(2212111223122021q a q a q a a C a C a C a -=+-=+-.)1(3331312111334233132031q a q a q a q a a C a C a C a C a -=-+-=-+-归纳概括的结论为:若数列{ａn}是首项为a1,公比为q 的等比数列,则n nn n n n n n n q a C a C a C a C a C a )1()1(1134231201-=-++-+-+ ,n 为整数． 证明：nn n n n n n n C a C a C a C a C a 134231201)1(+-++-+- n n n n n n n n C q a C q a C q a qC a C a 133********)1(-++-+-= .)1(])1([13322101n n n n n n n n nq a C q C q C q qC C a -=-++-+-= （3）因为,111qq a a S nn --=所以nn n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-nn n n n n n C qq a a C q q a a C q q a a C q q a a ---++--+-----=+1)1(11111123111211011 --++-+--=])1([132101nn n n n n n C C C C C qa .)1(1])1([113322101n nn n n n n n n q q q a C q C q C q qC C q q a --=-++-+--１6．解:(１）680!3)17)(16)(15(315-=---=-C ． （4分）(２）)32(616)2)(1()(2213-+=--=xx x x x x C C x x . （6分) ∵ x > ０ , 222≥+xx .当且仅当2=x 时，等号成立. ∴ 当2=x 时，213)(x xC C 取得最小值. (８分）（３）性质①不能推广,例如当2=x 时,12C 有定义,但122-C 无意义; (１0分）性质②能推广,它的推广形式是m x m x m x C C C 11+-=+,ｘ∈R , m 是正整数. （12分)事实上,当ｍ=1时,有11011+=+=+x x x C x C C . 当m ≥２时．)!1()2()1(!)1()1(1----++--=+-m m x x x m m x x x C C m xm x⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+--=11)!1()2()1(mm x m m x x x !)1)(2()1(m x m x x x ++--= mx C 1+=.（14分)。