线性规划灵敏度分析

淮北师范大学

2011届学士学位论文

线性规划灵敏度分析

学院、专业数学科学学院数学与应用数学

研究方向运筹学

学生姓名陈红

学号***********

指导教师姓名张发明

指导教师职称副教授

2011年4月10日

线性规划的灵敏度分析

陈 红

（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）

摘 要

本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。

关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数

Sensitivity Analysis of Linear Programming

Chen Hong

(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)

Abstract

This thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’, the variety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition‘i b ’in the economic management ‘shadow price problem’.

Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resources

condition ，cost coefficient

目录

引言 (1)

一、价值系数的变化分析 (2)

二、技术系数的变化分析 (5)

三、右端常数的变化分析 (6)

四、增加新约束条件的灵敏度分析 (8)

五、增加一个新变量的灵敏度分析 (9)

六、线性规划灵敏度分析的应用 (9)

七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用 (14)

八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征 (16)

结论 (17)

参考文献 (18)

致谢 (19)

引言

灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济 管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.

在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义： 定义 线性规划的标准形：

（LP ）

max ..0

Z CX AX b s t X ==⎧⎨

≥⎩ (1.1)

(1.2)(1.3) 其中()12,,,n C c c c =为行向量，()12,,,T

n X x x x =，()12,,

,T

m b b b b =均为列向

量，()

ij m n

A a ⨯=为m n ⨯矩阵；0b ≥，并假设A 的秩为m ，在问题（LP ）中，约

束方程（1.2）的系数矩阵A 的任意一个m m ⨯阶满秩子矩阵B （0B ≠）称为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵B 是由矩阵A 中m 个线形无关的

列向量组成的，不失一般性，可假设()11

1121,,,m m m mm a a B p p p a a ⎛⎫ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

并称()1,2,

i p i m =为基向量，与基向量相对应的变量()1,2,

i X i m =称为基变

量不在B 中的列向量()1,2,j p j m m n =++称为非基向量，

与非基变量相对应的变量()1,2

j X j m m n =++称为非基变量，并记

()1,1

1,12,1

,,,m m m m n m m mn a a N p p p a a ++++⎛⎫ ⎪

==

⎪ ⎪⎝⎭

，

则系数矩阵A 可以写成分块形式，不失一般性

(,)A B N =， （1.4） 将基变量和非基变量组成的向量分别记为()12,,

,T

B m X x x x =，

()12,,,T

N m m n X x x x ++=，则向量X 相应的写成分块形式

B N X X X ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（1.5）

再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得(),B N X B N b X ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，由矩阵的乘法可得

B N BX NX b +=，又因为B 是非奇异方阵，所以1B -存在，将上式两边乘以1B -，

移项后，得