线性规划灵敏度分析

淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号***********指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。

关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’, the variety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition‘i b ’in the economic management ‘shadow price problem’.Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resourcescondition ，cost coefficient目录引言 (1)一、价值系数的变化分析 (2)二、技术系数的变化分析 (5)三、右端常数的变化分析 (6)四、增加新约束条件的灵敏度分析 (8)五、增加一个新变量的灵敏度分析 (9)六、线性规划灵敏度分析的应用 (9)七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用 (14)八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)引言灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济 管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义： 定义 线性规划的标准形：（LP ）max ..0Z CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩ (1.1)(1.2)(1.3) 其中()12,,,n C c c c =为行向量，()12,,,Tn X x x x =，()12,,,Tm b b b b =均为列向量，()ij m nA a ⨯=为m n ⨯矩阵；0b ≥，并假设A 的秩为m ，在问题（LP ）中，约束方程（1.2）的系数矩阵A 的任意一个m m ⨯阶满秩子矩阵B （0B ≠）称为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵B 是由矩阵A 中m 个线形无关的列向量组成的，不失一般性，可假设()111121,,,m m m mm a a B p p p a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭并称()1,2,i p i m =为基向量，与基向量相对应的变量()1,2,i X i m =称为基变量不在B 中的列向量()1,2,j p j m m n =++称为非基向量，与非基变量相对应的变量()1,2j X j m m n =++称为非基变量，并记()1,11,12,1,,,m m m m n m m mn a a N p p p a a ++++⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭，则系数矩阵A 可以写成分块形式，不失一般性(,)A B N =， （1.4） 将基变量和非基变量组成的向量分别记为()12,,,TB m X x x x =，()12,,,TN m m n X x x x ++=，则向量X 相应的写成分块形式B N X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1.5）再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得(),B N X B N b X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵的乘法可得B N BX NX b +=，又因为B 是非奇异方阵，所以1B -存在，将上式两边乘以1B -，移项后，得11B N X B b B NX --=-现在可以把N X 看作一组自由变量（又称独立变量），给他们任意一组值N X ，则相应的B X 的一组值B X ，于是B N X X X ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭便是约束方程组（1.2）的一个解.特别令0N X =时，则1N X B b -=，现把约束方程组的这种特殊形式的解10B b X -⎛⎫= ⎪⎝⎭，称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可行解. 现在来研究线性规划的灵敏度分析.灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度.具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简便的方法找到新的最优解.现考虑标准形线性规划问题：（LP ）max ..0Z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有没有变化.但这样做即麻烦又没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵B 有关，表中每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此可以把个别参数的变化直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件，如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.下面就各个参数改变后的情况进行讨论：一、 价值系数j c 的变化分析（一）非基变量j x 的价值系数j c 的变化若非基变量j x 的价值系数j c 的改变为j j j c c c '=+∆，则变化后的检验数为1j j j B j c c C B p σ-'=+∆-，0要保持原最优基不变，即当j c 变化为j c ∆后，最终单纯形表中这个检验数小于或等于零，即10j j j B j c c C B p σ-'=+∆-≤，因此j j c σ∆≤-∆，这就确定里在保持最优解不变时非基变量j x 的目标函数j c ，的变化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.例1 已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++()12341234123423280054341200..3453100001,2,3,4j x x x x x x x x s t x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩（Ⅰ）为保持原最优解不变，分别求非基变量13,x x 的系数13,c c 的变化范围 （Ⅱ）当1c 变为5时，求新的最优解.解 （i ）由图表可知：113/4σ=-，311/4σ=-，于是由公式j j c σ∆≤-∆知，保持原最优解不变，则有 1313/4,11/4c c ∆≤∆≤，当111113/417/4c c c '=+∆≤+=，333311/423/4c c c '=+∆≤+=时，原最优解不变.（ii ）当1517/4c =>时，已经超出了1c 的变化范围，最优解发生了变化，下面来求新的最优解.首先求出的检验数：()11111/450,4,523/403/4B c C B p σ-⎛⎫⎪''=-=-=> ⎪ ⎪-⎝⎭故1x 为换入基，用新的检验数13/4σ'=代替原来的检验数113/4σ=-，其余数据不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：表（1.2） 由表中可看出已得到新的最优解()*100,175,0,0,75Tx =及新的目标函数最优值 *1375Z =.（二）基变量j x 的价值系数j c 的变化若r c 是基变量r x 的价值系数，因为r B c C ∈，当r c 变为r r c c +∆时，就引起BC 的变化，则()()()1111120,,,0,,,B B B rB r r r rnC C B A C B A c B A C B A c a a a ----'''+∆=+∆=+∆其中 ()12,,,r r rn a a a '''是矩阵1B A -的第r 行.于是，变化后的检验数为1j j B j r rj j r rj c C B p c a c a σσ-'''=--∆=-∆ （j = 1，2，，n ）若要求最优解不变，则必须满足0j j r rj c a σσ''=-∆≤ （j = 1，2，，n ）由此可以导出当0rj a <时，有/r j rj c a σ'∆≤ ； 当0rj a >时，有/r j rj c a σ'∆≥. 因此，r c ∆的允许范围是{}{}max /|0min /|0j rj rj r j rj rj jja a c a a σσ''''>≤∆≤<使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量r x 所在行中的元素()1,2,,rj a j n '=，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出r c ∆的上下界.例2 为保持现有最优解不变，分别求出例1 中基变量24,x x 的变化范围.若当B C 由（0，4，5）改变为（0，6，2）时，原最优解是否保持最优，如果不是，该怎么办？解 根据上述公式，利用表（1.1），为使最优基变量()245,,x x x 不变，4c ∆的变化范围是413/41/413/41/4max ,min ,213/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭即4114c -≤∆≤ 故当41554c ≤≤时，原最优解不变， 现在4c 变为6，已超出了4c ∆的允许变化范围.同样的，2c ∆的允许范围是211/4113/41/4max ,min ,11/413/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，即2113c -≤∆≤故当21643c ≤≤时，原最优解不变，现在2c 变为2，也不在2c ∆的允许变化范围内，当B c 由（0，4，5）变为（0，6，2）即4c 变为6，2c 变为2，都超过了它们的允许变化范围，需要求新的最优解.为此用变换后的B c '代替B c ，将表（1.2）改成表1.3（I ），在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解()*0,0,0,300,200,0,100Tx =及目标函数最优值*1800Z =.j 最优解对目标函数中的价值系数j c 的改变不十分灵敏，而对价值系数j c 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅度内改变价值系数j c 的值，来积极应对市场挑战.二、 技术系数ij a 的变化分析由于对价值系数j c 的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数，现也可以按这种方法把对技术系数ij a 的分析分为两类：（一）、非基向量列j P 改变为j P ' 12j j j nj a a P a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这种情况指初始表中的j P 到数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是非基向量.这一改变直接影响最优单纯形表上的第j 列数据与第j 个检验数.最终单纯形表上的第j 列数据变为1j B P -'，而新的检验数1j j B j c c B P σ-''=-，若0j σ'≤，则原最优解仍是新问题的最优解.若0j σ'>，则最优基在非退化情况下不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第j 列数据1j B P -'和j σ'，把j x 作为换入变量，用单纯形法继续迭代.（二）、基向量列j P 改变为j P '这种情况指初始表中的j P 列数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.三、 右端常数i b 的变化分析右端常数i b 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.当第r 个约束方程的右端常数由原来的r b 变为r r r b b b '=+∆，其它系数都不变，即初始表上新的限定向量12000r r m b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中1200,0r r n b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设原最优解为121m B B B B x x X B b x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则新的最优解为1111100B r X B b B b B b B b B b -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥''⎢⎥==+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若原最优基B 仍是最优的，则新的最优解0B X '≥，即1111000r B r ir B r r mr d X B b B b B b d X b D d ---⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=+∆=+=+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦其中r D 是1B -的第r 列，即12r r r mr d d D d ⎡⎤'⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦故()01,2,,i B r ir x b d i m '+∆≥=因此，r b 的允许变化范围是：max |0min |0i iB B ir r ir i iir ir x x d b d d d ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪''->≤∆≤-<⎨⎬⎨⎬''⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭如果r b ∆超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于r b 的变化不影响检验数，故仍保持检验数0σ≤，即 满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用对偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当b 变为b '时，也可以直接计算1B b -，若有10B b -≥，则原最优基B 仍是最优基，但最优解和最优值要重新计算.若1B b -不恒大于零，则原最优基B 对于新问题来说不再是可行基，但由于所有检验数0σ≥，现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终表的右端列改为11B B b C B b --'⎡⎤⎢⎥'-⎢⎥⎣⎦，就可用对偶单纯形法求解新问题. 例3 线性规划问题12121122312max 232212416..515,0Z x x x x b x b s t x b x x =++≤+∆⎧⎪≤+∆⎪⎨≤+∆⎪⎪≥⎩分别分析123,,b b b ∆∆∆在什么范围内变化，问题的最优基不变.解 先分析1b ∆的变化，由公式10B B X X B b -'=+∆≥知，使问题最优基不变的条件是1111101325324421042053031005b λλ⎛⎫-⎡⎤ ⎪+⎢⎥∆⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+-=-≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭由此推得162λ-≤≤同理由23403λ⎡⎤⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得， 24λ-≤≤∞，3331354405135λλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦从而3515λ-≤≤.四、 增加新约束条件的灵敏度分析若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即 有1,11nm jj m j ax b ++=≤∑，即11m m A X b ++≤ （4.1） 其中 ()11,11,21,,,,m m m m n A a a a ++++=，()12,,,Tn X x x x =，由于增加一个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原问题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满足这个新约束，那么现再来求新的最优解.设原来的最优基为B ，各基向量集中于A 的前m 列，最优解为 10B N x B b X x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对新增加的约束（4.1），引进松弛变量1n x +，又因为()()()111,m m m BNA A A +++=，则（4.1）式变成()()1111m B m N n m B N A X A X X b ++++++= （4.2）显然，1n x +是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基B '、()1B -'及右端向量b '如下：()101m B B B A +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，()()111101m B B B A B ---+⎡⎤'=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，1m b b b +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦， 对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量()1j x j m ≠+，的检验数是：()()()111111,0,01j j j j j B j j B j B j j m m j B P B c z c C B P c C c C B P A B a σσ----++⎡⎤⎡⎤'''''=-=-=-=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦它与不增加约束时相同.又因为1n x +是基变量，故10n σ+'=.因此，现行的基本解是对偶可行的，现行基本解是：()()()1111111111101B n m m n m m B B B b X bb B B b b A B X b A B b -----++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 若()()1110m m B b A B b -++-≥，则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解，即最优解.若()()1110m m B b A B b -++-<，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列1n P +化为单位阵，再用对偶单纯形法继续求解.五、 增加一个新变量的灵敏度分析假设要增加一个非负的新变量1n x +，其相应的系数列向量为1n P +，价值系数为1n C +.又知原问题的最优解是B ，显然，增加这个新变量，对原最优解的可行性没有影响.现计算新的检验数1111n n B n C C B P σ-+++=-若10n σ+≤，则原最优解是新问题的最优解；若10n σ+>则原最优解不再是最优解.这时，把11n B P -+加入到原最终表内，并以新变量1n x +作为换入变量，按单纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.六、线性规划灵敏度分析的应用线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件b 的分析的一个重要应用是：“影子价格问题”定义 设线性规划对偶问题1max nj j j Z c x CX ===∑ min W Yb =（P ）()()11,2,,..01,2,,nij j i j ja x AXb b i m s t x j n =⎧=≤==⎪⎨⎪≥=⎩∑ （D ） ..0YA Cs t Y ≥⎧⎨≥⎩右端常数()1,2,,i b i m =表示第i 种资源的现有量下面讨论i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的变化. 设B 是问题（P ）的最优基，则*1****1122B m m Z C B b Y b y b y b y b -===+++，当i b 变为1i b +时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基B ）目标函数最优值变为*****1122(1)i i m m Z y b y b y b y b '=++++++，于是目标函数最优值的改变量为****i Z Z Z y '∆=-=，由上式可以看出*i y 的意义，它表示当右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的改变量，也可以写成**i iZ y b ∂=∂()1,2,,i m =，即*i y 表示*Z 对i b 的变化率.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若（P ）的某个约束条件的右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值*Z 的改变量*i y 称为第i 个约束条件的影子价格，又称边际价格.由定义可知，影子价格*i y 的经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量i y 就是第i 个约束条件的影子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.影子价格又称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解.如果原规划模型属于一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对偶模型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.影子价格在经济管理中的应用很多，下面就下面这个问题进行分析： 影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.设线性规划模型（LP ）：()()11max 1,2,,..01,2,,nj jj nij ji j iZ c x a x b i m s t x j n ===⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得：min ..0Z C X AX b s t X ''='=⎧⎨'≥⎩ 其中(),0c c '=-，0是m 维行向量， (),A A I '=为m m *单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基*x ，最优解为： ***11n n j j j j j j Z c x c x =='==∑∑ ，并可设()()1****,,0B B N N x B b x c c c x -⎡⎤⎡⎤'''⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()1*11*****111,0n n m j j j j B N B B i j j i i B b Z c x c x c c c B b c B b ---===⎡⎤⎡⎤'''''⎢⎥=====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 所以可令**ii Z y b∂=∂，即()()1**,1,2,,iB i y c B i m -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦因此，有***11nmj ji i j i Z c x y b ====∑∑ （6.1）再令()()1*****12,,,m B y y y y c B -'==，由单纯形法最优原则可知：()1**0B y A c c B A c -'''''-=-≤ （6.2） 即()()*(,),0,0y A I c c ≤-=-因此，有*0y ≥ （6.3） 而由（6.2），（6.3）及线性规划的对偶结构可知：*y 是对偶问题的可行解. 再由（6.1）及对偶定理可知：*y 是对偶问题的最优解.可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格*0y >，则对应的是*x 的起作用约束.因此，影子价格*0i y =表示第i 种资源i b 未得到充分利用；而*0i y >则表示第i 种资源i b 已得到充分利用.影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价格时出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.“影子价格问题”：影子价格 设线性规划模型（LP ）Max∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 有最优解*x ，最优解为**j j z c x =∑则可令iib z ∂∂=**ϖ 则必有∑∑--==mi i i nj j j b x c z 1*1**ϖ和0*≥i ϖMax∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得min x c ''..t s 0Ax b x '=⎧⎨'≥⎩其中3(,)T x x x '=（5x 为松弛变量，是m 维列变量），(,0)c c '=-,这里0是m 维行向量，而(,)A A I '=为*m m 单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基可行解*x ，最优解为：∑∑--'==nj nj j j jj x c xc z 11***并可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-N B x x b B x **1**0)(，),(N B c c c ''=' i m i i B B nj N B jj n j j j b B c b B c b B c c xc x c z ∑∑∑------'='=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''='==11*1*11**1**])([)(0)(),( 所以可令iib z ∂∂=**ϖ，即[]i B i B c 1**)(-=ϖ，),,2,1(m i = 因此有∑∑--==n j mi i i j j b x c z 11***ϖ （6.4）再令1***2*1*)(),,(-'==B c Bm ϖϖϖϖ 由单纯形法最优准则可知0)(1**≤'-''='-'-c A B c c A B ϖ （6.5） 即)0,()0,(),(*c c I A -=-≤ϖ因此有0*≥ϖ (6.6) 而由(6.5)和(6.6)，由线性规划的对偶规划结构可知：*ϖ是对偶规划的可行解，再由(6.4)，以及对偶定理可知：*ϖ是对偶规划的最优解.）称*ϖ为第i 种资源的影子价格，****12(,,)n ωωωω=为影子价格向量.*ϖ表示，第i 种资源bi 对最优值的边际贡献.从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资源条件的灵敏度分析可知，对于最优解*x 的不起作用约束而言，若此约束的资源条件bi 在灵敏度范围内变动时，则最优值*z 不变，所以0**=∂∂=iib z ϖ 可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零。