第十一篇相似三角形的应用

第十一篇相似三角形的应用（1）

考点梳理

一、位似图形

1位似图形：

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2.位似图形的性质：

（1）位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）位似图形对应点连线的交点是位似中心。对应线段平行或共线。

（3）相似形具有的性质位似形都具有。

二、相似三角形的简单应用

1.利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；

2.利用三角形相似，求线段的长等

3.利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．

典例探究

【例1】下列关于位似图形的表述：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

其中正确命题的序号是（）

A．②③B．①②: C．③④D．②③④

变式训练：如图1，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（3，0），(2，-3)，则△AB' O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为(一1, 0)，则点B' 的坐标为___________.

【例2】如图2，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？

变式训练：如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？

【例3】阅读以下文字并解答问题：

在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．

小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．

小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ．

甲树的高度为

米．乙树的高度

米丙树的高度为为 米．丁树的高

图1 图2

图3

图4

度为 米．

变式训练1：在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是 1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ） A ．24m B ．22m C ．20m D ．18m

【例4】如图，已知AD 是△ABC 的中线，M 是边AC 上的一动点，=CM nAM ，BM 交AD 于N 点。

⑴ 如图①，若1n =，则=AN ND 。如图②，若2n =，则=AN

ND

。若3n =，则

=AN

ND

。 ⑵ 猜想，

AN

ND

与n 存在怎样的关

系？并证明你的结论。⑶ 当n =

时，恰有AN CM

ND AM

=

变式训练：如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S

△

DMN

∶S

四边形ANME

=

【例5】如图1，在△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M 是边AB 上的动点（M 不与A ，B 重合），MN ∥BC 交AC 于点N ，△AMN 关于MN 的对称图形是△PMN ．设AM=x ．

（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；

（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；

（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

变式训练：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值?最大值为多少?

【例6】等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC

于点E、F．

①探究1：△BPE与△CFP还相似

吗？（只需写出结论）

②探究2：连结EF，△BPE与△PFE 是否相似？请说明理由；

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．