第十一篇相似三角形的应用
相似三角形的性质和实际应用
相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。
即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。
4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。
设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。
二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。
例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。
2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。
这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。
3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。
通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。
4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。
通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。
相似三角形的性质与应用
相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在解决各个数学问题中起到了关键的作用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际应用中的运用。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
根据这个定义，我们可以得到相似三角形的一些重要性质。
1. AA相似定理：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。
这个定理可以用来判断两个三角形是否相似，从而简化了计算。
2. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。
这个定理说明了对应角相等是相似三角形的充分条件。
3. 相似三角形的对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的比值相等。
这个性质可以用来求解相似三角形的边长。
二、相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛，涉及到几何、数学和物理等多个领域。
下面列举了一些常见的应用场景。
1. 测量高度：当我们无法直接测量一个高大物体（如树或大楼）的高度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
具体的步骤包括：在地面上选取一个适当的距离和角度，测量该距离所对应的高度与距离的比值；然后测量眼睛与地面的高度与测量距离的比值；最后利用相似三角形的对应边成比例的性质，可以计算出物体的实际高度。
2. 相似图形的绘制：在绘制图形时，我们可以利用相似三角形的性质进行比例放大或缩小。
例如，当要将一个城市的地图缩小到一张纸上时，可以通过选取一些关键点的坐标，然后利用相似三角形的对应边成比例的性质，将实际尺寸转换为纸上的尺寸，从而绘制出相似的地图。
3. 解决几何问题：相似三角形的性质在解决几何问题中起到了重要的作用。
例如，当我们需要计算一个不规则图形的面积时，可以利用相似三角形的面积比来简化计算。
此外，在解决直角三角形的问题时，相似三角形的性质也常常被使用。
4. 推导物体的相似性：在物理学中，我们经常需要推导物体的相似性。
比如，在计算机图形学中，我们可以通过计算两个物体的相似三角形，从而得出它们的相似性，并进行进一步的分析和计算。
《相似三角形的应用》课件
力学中杠杆原理和滑轮组设计原理
杠杆原理
杠杆是一种简单机械，通过力矩的平衡来实现力的传递和转 换。利用相似三角形原理，可以计算出杠杆两端的力和力臂 之间的关系。
滑轮组设计
滑轮组是由多个滑轮组成的复杂机械，可以实现力的方向和 大小的改变。利用相似三角形原理，可以分析出滑轮组中各 个滑轮之间的受力关系。
光学中镜像和折射现象分析
平面镜成像
当光线碰到平面镜时，会遵循“ 入射角等于反射角”的规律，形 成虚像。利用相似三角形原理， 可以计算出物体与镜像之间的距
离关系。
透镜折射
透镜可以改变光线的传播方向， 形成实像或虚像。利用相似三角 形原理，可以分析出光线在经过
透镜前后的路径变化。
凹面镜和凸面镜
凹面镜和凸面镜具有会聚和发散 光线的作用，其成像原理也涉及
回顾如何利用相似三角形证明线段比例、 角度相等等问题。
强调相似三角形在测量、建筑设计等领域的 应用，如利用相似三角形计算高度、距离等 。
学生自我评价报告分享
知识掌握情况
01
学生分享自己在本节课中对相似三角形相关知识的理解和掌握
情况。
学习方法与技巧
02
学生分享自己在学习相似三角形时采用的方法和技巧，如记忆
老师点评与总结
老师对学生的讨论和提问进行点评 和总结，强调相似三角形的重要性 和应用价值，鼓励学生继续深入学 习和探索。
感谢您的观看
THANKS
02
相似三角形在几何问题中 应用
利用相似三角形解决线段比例问题
通过相似三角形的性 质，确定线段之间的 比例关系
应用实例：利用相似 三角形解决建筑物高 度测量问题
利用比例关系，求解 未知线段的长度
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
课件--相似三角形的应用
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
测量不能到达顶部的物体的高度，通 常用“在同一时刻物高与影长成比例”的 原理解决。
A
C
B
D
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对 岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和 点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用 视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米， DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）
A
C
B
D
利用相似测量物体的高度
0.5m时,长臂端点升高______m。
B
0.5m
16m
C ┛1m O A
？ ┏
D
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人 的影长为3米,则树高为______。
在同一时刻，物体的高度与它在阳光下
的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为 1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长 为60米，那么这幢高楼的高度是多少米？
（2） 测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离,常构造
相似三角形求解。
生活实践
1、如图，是一池塘的平面图， 请你利用相似三角形的知识， 设计出一种测量A、B两点间 距离的方案，并对这种方案 作出简要的说明。
• 解：如图在池塘外选一点P，连AP并延长，
连BP并延长使 PA PB 2（或其他值），
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。
二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。
当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。
由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。
再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。
此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。
通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。
三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。
这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。
常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质与应用
相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中的重要概念，它们具有一些特定的性质和各种应用。
本文将介绍相似三角形的性质，以及在实际问题中如何应用相似三角形来解决一些实际问题。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的两个三角形。
相似三角形具有以下几个基本性质：1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即相等角所对的边成比例。
例如，若∠A≌∠D，则边AB与边DE的比等于边AC与边DF的比，即AB/DE = AC/DF。
2.对应边成比例性质：相似三角形中的对应边成比例，即边的比和角的比之间成立。
例如，若AB/DE = AC/DF，则∠A≌∠D。
3.三角形的扩大缩小性质：相似三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果AB/DE = AC/DF且BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用：1.测量高度：相似三角形可用于测量无法直接测量的高度。
例如，当直接无法测量一座建筑物的高度时，可以利用相似三角形原理，在地面上测量一个已知距离的长度，然后观察建筑物的倾斜角度，从而利用相似三角形的比例关系计算出建筑物的高度。
2.计算距离：相似三角形还可用于计算距离。
例如，当无法直接测量两个不相邻点之间的距离时，可以利用相似三角形与已知距离的比例关系计算出所需距离。
3.设计工程：在设计工程中，相似三角形可用于模拟大规模结构的小规模模型。
通过将真实结构缩小成模型，可以通过相似三角形的比例关系获得有关真实结构的信息，从而进行有效的设计和分析。
4.地图测绘：在制作地图时，为了将真实距离转换为地图上的距离，可利用相似三角形的比例关系来缩放。
这样可以保持地图的比例并准确表示真实距离。
总结：相似三角形的性质和应用是初中数学中的重要内容。
准确理解相似三角形性质，并能灵活运用到实际问题中，能够帮助我们解决许多几何和测量方面的困难。
课件相似三角形的应用(多场景)
课件：相似三角形的应用一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛应用于日常生活和工程实践。
相似三角形的应用不仅体现在数学领域，还涉及物理学、建筑学、地理学等多个领域。
本课件旨在介绍相似三角形的基本概念及其在不同领域的应用，帮助大家更好地理解相似三角形的实用价值。
二、相似三角形的基本概念1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。
2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都相等。
3.判定相似三角形的方法：AA（角角）相似定理、SAS（边角边）相似定理、SSS（边边边）相似定理。
三、相似三角形在数学领域的应用1.解直角三角形：利用相似三角形的性质，可以求解直角三角形中的未知边长和角度。
2.求解相似多边形：在解决多边形问题时，相似三角形的应用可以帮助我们求解多边形的边长、面积等几何量。
3.解析几何：在解析几何中，相似三角形的应用可以帮助我们求解直线、圆等几何图形的方程。
四、相似三角形在物理学领域的应用1.测量不规则物体的体积：利用相似三角形，可以求解不规则物体的体积，如测量岩石、木材等。
2.测量距离：在物理学实验中，相似三角形的应用可以帮助我们测量不易直接测量的距离，如测量地球到月球之间的距离。
3.解析力学：在解析力学中，相似三角形的应用可以帮助我们求解力的分解、力的合成等问题。
五、相似三角形在建筑学领域的应用1.设计建筑结构：相似三角形的应用可以帮助建筑师设计出稳定、美观的建筑结构。
2.测量建筑物的尺寸：在建筑物的施工过程中，相似三角形的应用可以帮助测量建筑物的尺寸，确保施工质量。
3.求解建筑物的高度：利用相似三角形，可以求解建筑物的高度，如测量塔的高度、建筑物之间的距离等。
六、相似三角形在地理学领域的应用1.测量地球表面距离：相似三角形的应用可以帮助测量地球表面两点之间的距离，如测量城市之间的距离。
相似三角形的性质及应用(解析版)
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅． 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断． 【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立； 同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立， 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为 （ ）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（ ）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确； 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（ ）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（ ）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（ ）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴， 故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8． 故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ． 故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=， 又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=． 故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=， 解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）． 答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长． 【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解． （1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， 即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案． （1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ． （2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长； （3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解． （1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△． （2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒， 故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ． （2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅． （3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。
初中数学知识归纳相似三角形的应用
初中数学知识归纳相似三角形的应用相似三角形是初中数学中重要的概念和应用之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
本文将归纳相似三角形的应用，以帮助初中数学学习者更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定在应用相似三角形之前，我们首先需要学习如何判定两个三角形是否相似。
对于两个三角形而言，如果它们对应的内角相等，并且对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
具体来说，可以利用下列方法判定两个三角形的相似性：1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的一个重要性质是对应边的比例关系。
设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a、b、c和A、B、C，那么可以得到以下比例关系：1. 边比例关系：a/A = b/B = c/C2. 高比例关系：相似三角形的高与对应边成比例，即三角形的高与底边之间的比值相等。
三、相似三角形的应用相似三角形的应用十分广泛，下面将介绍相似三角形在几何学中的常见应用：1. 测量高度和距离：通过相似三角形的高比例关系，可以利用已知的三角形高度和距离，计算出未知的高度和距离。
这在实际生活中的测量和计算中具有重要意义，如测量建筑物的高度、飞机的高度和距离等。
2. 建模和缩放：在建模过程中，我们可以通过相似三角形将现实世界的物体缩小或放大，并保持其形状不变。
这种方法常用于制作模型、设计蓝图和三维计算机图形等领域。
3. 解决实际问题：相似三角形的应用也可以帮助求解实际生活中的问题。
例如，在日常生活中使用地图导航时，我们可以利用地图上的比例尺和相似三角形的原理，推算出实际距离与地图距离之间的比例关系。
4. 定比分点：相似三角形的比例关系还可以用于求解点的定比分点问题。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
它们不仅是数学中的重要概念，还具有广泛的实际应用价值。
一、测量物体的高度测量物体的高度是相似三角形常见的应用之一。
比如，我们想要测量一棵大树的高度，但直接测量非常困难。
这时候，我们可以利用相似三角形的原理来解决。
首先，在大树旁边立一根已知长度的杆子，比如一根2 米长的杆子。
然后，分别测量出杆子的影子长度和大树的影子长度。
假设杆子的影子长度为 1 米，大树的影子长度为 10 米。
因为太阳光是平行光，所以在同一时刻，杆子和大树与地面形成的夹角是相等的，那么杆子和大树与其影子分别构成的两个直角三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，对应边成比例。
设大树的高度为 h 米，则有：2/1 ＝ h/10通过交叉相乘可得：h ＝ 20（米）这样，我们就利用相似三角形求出了大树的高度。
二、测量河宽当我们面对一条无法直接测量宽度的河流时，相似三角形也能派上用场。
假设我们站在河的一岸，想要测量河的宽度。
我们可以在岸边选定一个点 A，然后沿着河岸向与河流垂直的方向走一段距离到达点 B。
接着，在点 B 处插上一根标杆。
然后，我们继续沿着与河岸垂直的方向走到点 C，使得点 A、标杆顶点和点 C 在同一条直线上。
测量出 AB 和 BC 的长度，以及从点 C 观测标杆顶点的仰角。
假设AB 为 50 米，BC 为 30 米，仰角为 60°。
我们可以构建两个相似的直角三角形，一个是由标杆、点 B 到标杆底部的垂线以及点 B 到观测点 C 的连线构成，另一个是由河宽、点 A 到河对岸的垂线以及点 A 到观测点 C 的连线构成。
因为这两个三角形的对应角相等，所以它们相似。
设河宽为 x 米，则有：（ x ／（50 ＋ 30) ）＝（标杆长度／ BC ）而标杆长度可以通过三角函数求出。
假设标杆长度为 h 米，因为仰角为 60°，所以 h ＝ BC × tan60°＝30√3 米。
相似三角形的几何意义与应用
相似三角形的几何意义与应用相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
在几何学中，相似三角形具有重要的意义和广泛的应用。
本文将讨论相似三角形的几何意义以及它在实际问题中的应用。
一、相似三角形的几何意义相似三角形中，对应角度相等，对应的边长成比例。
这意味着相似三角形保持了相同的形状，只是在大小上有所不同。
相似三角形的几何意义如下：1. 比例关系：相似三角形的边长成比例。
如果两个三角形的对应边长比值相同，那么这两个三角形就是相似的。
这个比例关系对于解决实际问题中的长度测量和比较非常有用。
2. 角度对应：相似三角形的对应角度相同。
这意味着相似三角形具有相似的内角，角度大小保持不变。
对于角度的测量和计算来说，相似三角形提供了一种简便的方法。
3. 边长比例：相似三角形的边长比例相同。
这意味着如果一个三角形的一个边长与另一个三角形的对应边长之比等于一个常数，那么这两个三角形就是相似的。
这个比例关系对于测量边长和确定位置关系非常有用。
二、相似三角形的应用相似三角形的几何特性赋予了它广泛的应用领域。
以下是一些相似三角形在实际问题中的应用：1. 测量高度：在实际测量中，经常会遇到无法直接测量的高度问题。
利用相似三角形的性质，可以通过测量已知高度的影子长度和目标物体的影子长度，计算出目标物体的高度。
这在建筑、测绘和天文学等领域非常常见。
2. 估算距离：在无法直接测量距离的情况下，可以利用相似三角形来估算距离。
例如，通过测量目标物体的视角和已知物体的实际尺寸，可以计算出目标物体的距离。
这在导航、激光测距和地理测量等领域有着广泛的应用。
3. 图像变换：相似三角形的比例关系使其成为图像变换中的重要工具。
例如，在计算机图形学中，可以利用相似三角形的性质进行图像的缩放、旋转和变形操作。
这对于图像处理、动画和计算机辅助设计等领域非常重要。
4. 比例模型：利用相似三角形的比例关系，可以制作比例模型。
比例模型在建筑、工程和地质学等领域中广泛使用，用于研究、展示和预测实际对象的特性和行为。
相似三角形的性质及其应用
相似三角形的性质及其应用
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
接下来分享相似三角形的性质和应用，供大家参考。
相似三角形的性质
1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
由 4 可得：相似比等于面积比的算术平方根。
5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项
7. a/b=c/d等同于ad=bc.
8. 不必是在同一平面内的三角形里。
应用
1.求物高，求距离。
2.设x的方程思想=等式如下：
面积公式
勾股定理
全等三角形或相似三角形
三角函数
3.步骤
看实际问题（给定）
提取关键信息
画相应图形（建立数学模型）
找出等量关系（设X求解）
4.默认已知的条件：
太阳光是平行光线
同一时刻，甲物高/乙物高=甲影长/乙影长。
相似三角形的应用及性质
相似三角形的应用及性质【知识点讲解】一、利用相似三角形测高1、测量原理：相似三角形对应边成比例2、测量旗杆（或路灯杆）的高度的三种方法：（1）利用阳光下的影子；（2）利用标杆；（3）利用镜子的反射。
二、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、图形的位似1、如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形【例题讲解】例1、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D。
此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB。
1、小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如上图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A 、10米B 、12米C 、15米D 、22.5米2、小明再打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度 h 。
3、小明同学用自制的三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm ，EF=20cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=8m ，则树高AB= m 。
例2、小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为1.5米，左边的影子长为3米，自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，求路灯的高。
图2 图31、小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到P点时，发现身后的影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他再向前走12m到达Q点时，发现身前的影子刚好接触路灯B的底部，已知小亮身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=x m。
相似三角形的判定及应用
相似三角形的判定及应用相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
判定两个三角形是否相似可以通过以下几种方法，同时这些方法也可以应用于解决实际问题：1. AAA判定法：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三个角分别对应相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如测量倾斜物体的高度等。
2. AA判定法：若两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的两个角分别对应相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算山坡的斜率等。
3. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的一个角相等，且两条与该角相对应的边的比例相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算高塔的阴影长度等。
4. SSS判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三条边的比例相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算建筑物的缩放比例等。
相似三角形的应用在几何学和现实生活中都非常广泛。
以下是一些应用示例：1. 建筑和工程：通过相似三角形的概念，可以计算建筑物的缩放比例，包括建筑物的高度、宽度和深度等。
这对于设计和规划新建筑物或改建现有建筑物非常有用。
2. 地形测量：利用相似三角形的原理，可以测量山坡的斜率、高塔的阴影长度等。
这对于地理测量和地形分析非常重要，可以用于制作地形图和地图。
3. 倾斜物体测量：对于无法直接测量的高物体（如高塔、山峰等），可以利用相似三角形的原理，通过测量影子长度和角度，计算物体的高度。
这在地理测量和旅行中很常见。
4. 统计学：在统计学中，相似三角形的概念可以被用于创建样本的代理数据集，从而更好地理解和解释真实数据集的特征和趋势。
5. 生物学：在生物学中，相似三角形的原理可以应用于研究和分析动物和植物的形态特征以及它们之间的关系。
相似三角形及其应用
相似三角形及其应用相似三角形是指两个或多个三角形的对应角度相等，并且对应的边长成比例。
在几何学中，相似三角形是一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及它在实际问题中的应用。
一、相似三角形的性质1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的两边成比例，且包含这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。
4. 相似三角形中对应边的比例关系：如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么AB与DE的比例等于AC与DF的比例，BC与EF的比例等于AC与DF的比例，AB与DE的比例等于BC与EF的比例。
二、相似三角形的应用1. 测量难以直接获取的距离：通过相似三角形的比例关系，可以利用已知的距离和长度来计算无法直接测量的距离和长度。
例如，在实际测绘中，可以通过测量一棵树的阴影以及测量人的身高和阴影长度，来计算树的高度。
2. 解决高空物体的测量问题：在很多时候，无法直接测量高空物体的高度，但可以通过相似三角形的比例关系来间接计算。
比如，在测量高楼的高度时，可以通过测量建筑物的阴影长度以及测量阴影与高楼的投影角度，来计算出高楼的实际高度。
3. 三角测量法的应用：在导航、航海和地理测量等领域，三角测量法是一种常用的测量技术。
这种方法利用相似三角形的性质，通过测量三角形的边长和角度来计算未知的长度和距离。
4. 建筑工程中的应用：在建筑工程中，相似三角形的概念经常被应用于设计、施工和测量。
通过相似三角形的比例关系，可以确定建筑物的尺寸、高度和角度，保证工程的准确性和稳定性。
5. 几何模型的相似：在计算机图形学和动画制作中，相似三角形的概念被广泛应用。
通过构建相似的几何模型，可以实现图形的放大、缩小和形变，从而实现各种特效和动画效果。
总结：相似三角形是几何学中一个重要的概念，用于描述两个或多个三角形的形状和尺寸关系。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：如果两个三角形相似，那么它们的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边长度之比相等。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形在实际生活中的应用1、测量高度在测量一些无法直接测量高度的物体时，如大树、高楼等，可以利用相似三角形的原理。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的位置，立一根已知长度的标杆，然后测量标杆的影子长度和大树的影子长度。
由于太阳光线是平行的，所以标杆和大树与各自影子构成的三角形相似。
设标杆长度为 a，标杆影子长度为 b，大树影子长度为 c，大树高度为 h，则根据相似三角形的性质可得：a/b ＝ h/c，从而可以计算出大树的高度 h ＝ ac/b。
2、测量距离在测量一些无法直接到达的距离时，也可以运用相似三角形。
比如，要测量一条河流的宽度，在河的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达 A 点的点 B，接着在河的这一侧再选一点 C，使得AC 垂直于河岸。
测量 AC 和 BC 的长度，以及角 BAC 的大小。
因为三角形 ABC 和三角形 ABD（D 为过点 C 作与 AB 平行的线与对岸的交点）相似，所以可以通过相似三角形的性质计算出河流的宽度 BD。
3、计算角度在一些几何问题中，通过相似三角形可以计算出某些角度的大小。
例如，在一个复杂的图形中，如果能够找出相似三角形，根据已知角的大小和相似三角形对应角相等的性质，就可以求出其他角的度数。
4、地图比例尺地图上的比例尺也是基于相似三角形的原理。
(详细版)相似三角形的性质和应用
(详细版)相似三角形的性质和应用
1. 相似三角形的性质
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
相似三角形的性质如下：
- 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
- 对应边成比例性质：相似三角形的对应边的长度成比例。
2. 相似三角形的应用
相似三角形的性质在实际生活和数学问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
- 测量高度：通过相似三角形的性质，我们可以利用测量出的一个三角形的高度来计算另一个相似三角形的高度。
这在实际中可以用于测量高楼、山峰等的高度。
- 图形设计：相似三角形的性质可以用于图形设计中的缩放问题。
通过改变三角形的大小来实现图形的缩放效果。
- 工程测量：在土木工程中，相似三角形的性质可以用于测量地形的坡度、直角三角形的边长等。
3. 实例分析
为了更好地理解相似三角形的性质和应用，以下是一个实际问题的分析：
假设有一根高大的电线杆，测得其高度为30米。
为了确定杆子的阴影长度，我们利用测量出的相似三角形来推算。
测量阴影的长度为10米，而测量器与杆子的距离为4米。
根据相似三角形的性质，可以建立如下比例关系：(30高度/4距离) = (阴影长度/10距离)。
通过解这个比例关系，我们可以计算出杆子的阴影长度为75米。
以上是相似三角形的性质和应用的一些简要介绍，通过理解和运用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，提高数学和几何的应用能力。
(Word count: 229 words)。
相似三角形的性质及应用
相似三角形的性质及应用相似三角形可是数学世界里特别有趣的一部分呢！今天咱们就来好好聊聊相似三角形的性质以及它在实际生活中的那些神奇应用。
先来说说相似三角形的性质吧。
相似三角形的对应角相等，这就好比两个长得有点像的三角形，它们对应的角就像是同一个模子里刻出来的，度数完全一样。
还有啊，相似三角形的对应边成比例。
这啥意思呢？就比如说有两个相似三角形，一个大一个小，大三角形的边和小三角形对应的边，它们的长度之比是固定的，就像双胞胎的身高比例一样稳定。
那相似三角形在生活中有啥用呢？我给您讲个事儿。
有一次我去逛街，看到路边有个工人师傅在测量一个很高的大楼的高度。
他手里拿着个测量工具，一会儿看看大楼，一会儿在本子上写写画画的。
我好奇地凑过去问：“师傅，您这是咋量的呀？”师傅笑着说：“这大楼太高了，直接量可不行。
我就利用相似三角形的原理呢！”他在大楼旁边立了一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大楼的影子长度。
因为杆子和大楼以及它们的影子分别构成了相似三角形，通过已知的杆子长度和影子长度，还有测量出来的大楼影子长度，就能算出大楼的高度啦！当时我就觉得，这相似三角形可真是太神奇了，能解决这么实际的问题。
咱们再回到相似三角形的性质哈。
相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
这两个性质在解决很多数学问题的时候可管用了。
比如说，给您两个相似三角形，告诉您它们的相似比是 2:3，其中一个三角形的周长是 10，那另一个三角形的周长不就能轻松算出来是 15 嘛。
要是再告诉您其中一个三角形的面积是 8，那另一个三角形的面积就是 18 啦。
相似三角形在建筑设计里也大有用处。
建筑师在设计大楼的时候，经常要考虑比例和尺寸的问题。
他们会利用相似三角形来确保大楼的各个部分比例协调，美观又稳固。
想象一下，如果没有相似三角形的知识帮忙，说不定盖出来的大楼就会歪歪斜斜，那可就糟糕啦！在地图绘制中，相似三角形也发挥着重要作用。
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第十一篇相似三角形的应用（1）考点梳理一、位似图形1位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。
位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2.位似图形的性质：（1）位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似图形对应点连线的交点是位似中心。
对应线段平行或共线。
（3）相似形具有的性质位似形都具有。
二、相似三角形的简单应用1.利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；2.利用三角形相似，求线段的长等3.利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．典例探究【例1】下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①②: C．③④D．②③④变式训练：如图1，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（3，0），(2，-3)，则△AB' O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为(一1, 0)，则点B' 的坐标为___________.【例2】如图2，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？变式训练：如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？【例3】阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ．甲树的高度为米．乙树的高度米丙树的高度为为 米．丁树的高图1 图2图3图4度为 米．变式训练1：在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是 1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ） A ．24m B ．22m C ．20m D ．18m【例4】如图，已知AD 是△ABC 的中线，M 是边AC 上的一动点，=CM nAM ，BM 交AD 于N 点。
⑴ 如图①，若1n =，则=AN ND 。
如图②，若2n =，则=ANND。
若3n =，则=ANND。
⑵ 猜想，ANND与n 存在怎样的关系？并证明你的结论。
⑶ 当n =时，恰有AN CMND AM=变式训练：如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S△DMN∶S四边形ANME=【例5】如图1，在△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M 是边AB 上的动点（M 不与A ，B 重合），MN ∥BC 交AC 于点N ，△AMN 关于MN 的对称图形是△PMN ．设AM=x ．（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？变式训练：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.（1）求证：△APE∽△ADQ；（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值?最大值为多少?【例6】等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连结EF，△BPE与△PFE 是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．变式训练：且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．课堂小结1.相似三角形作为一种数学工具在各种知识点中都可能用到2.相似三角形给我们引入新的证明角度相等、求线段长度的思路3.位似作为中考中的考点之一，偶尔出现得分率较低，需引起大家重视。
课后作业一、选择题1.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（-2，3）B．（2，－3） C．（3，-2）或（－2，3）D．（-2，3）或（2，-3）2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形△ADE，EB，CE分别交AD于点G，H．设△CDH，△GHE的面积分别为S1，S2，则（）A ．212S 3S =．B ．213S 2S =C ．21S 32S =．D ．21S 2S 3=3.如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A. b a c =+ B. b ac = C. 222b ac =+ D. 22b a c ==4.如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A.3217 B.21 C.3617 D. 38175.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30cm ，AB=50cm ，依次裁下宽为1cm 的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm ，则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27 二、填空题6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。
已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）。
若△ABC 与△A 1B 1C 1位似，则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为 .7.如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小 .8.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．9.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为．10.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是．三、解答题11.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）联结AE，交BD于点G，求证：=．12.一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.8m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m ，又测得地面部分的影长为5m ，请算一下这棵树的高是多少?13.如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．14.如图，在直角梯形OABC 中，BC //AO ，∠AOC =900，点A 、B 的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D 为AB 上一点，且BD =2AD .双曲线y =kx（x ＞0）经过点D ,交BC 于点E . （1）求双曲线的解析式； （2）求四边形ODBE 的面积15.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证CDADCF DE =； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得CDADCF DE =成立？并证明你的结论； （3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CFDE的值．。