微积分公式与运算法则 (1)
微积分 中常见的基本公式
设 u = u(x)，v = v(x) 为可导函数，则
(1)
(u
±
v)′
=
u′
±
v′； (2)
(uv)′
=
u′v
+
uv′；(3)
u v
′
=
u′v − uv′ v2
(v
≠
0).
(4) 若 uk = uk (x) (k = 1，2，L，n) 均为可导函数，则
(u1u2 Lun )′ = u1′u2 Lun + u1u2′Lun + L + u1u2 x2 + x4 + o(x4)； 2! 4!
(4) tan x = x + x3 + 2 x5 + o(x5)； 3 15
(5) arcsin x = x + x3 + 3 x5 + o(x5)； (6)arctan x = x − x3 + x5 + o(x5)
6 40
1 n
n
单调递增.
六、 微积分中值定理
1、罗尔 (Rolle) 定理： 假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(1) f (x) 在 [a，b] 上连续；(2) f (x) 在 (a，b)内可导；(3) f (a) = f (b).
则：∃ξ ∈ (a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0.
2、拉格朗日(Lagrange) 中值定理：假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(6)
(loga
x)′
=
1 x ln a
(a > 0且 a ≠ 1)；
(8) (cos x)′ = −sin x；
(9) (tan x)′ = sec2 x；
高数微积分公式大全(考试必考)
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
积分的基本公式和法则
积分的基本公式和法则积分是微积分的一个重要概念，它在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍积分的基本公式和法则，帮助读者更好地理解和应用积分。
一、基本公式在介绍积分的基本公式之前，我们先来了解一下积分的定义。
积分可以理解为曲线与坐标轴所围成的面积。
具体来说，对于函数f(x)在[a,b]区间上的积分，可以表示为∫(a到b)f(x)dx。
1. 不定积分不定积分是指对一个函数进行积分，但没有明确的积分上下限。
不定积分可以表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示与x的无穷小增量。
不定积分具有以下基本公式：∫kdx = kx + C （k为常数，C为常数项）∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1，C为常数项）∫e^xdx = e^x + C （C为常数项）其中，kx表示k乘以x，x^n表示x的n次方。
2. 定积分定积分是指对一个函数在一个闭区间上进行积分，可以表示为∫(a到b)f(x)dx。
定积分的结果是一个具体的数值。
定积分的计算方法有多种，其中最常用的是牛顿-莱布尼茨公式和换元积分法。
牛顿-莱布尼茨公式可以简化定积分的计算，其表达式为：∫(a到b)f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)为f(x)的一个原函数。
二、积分的法则积分的法则是指在进行积分运算时，可以根据一些规律和性质简化计算过程。
积分的法则包括线性法则、分部积分法、换元积分法等。
1. 线性法则线性法则是指对于两个函数相加或相减的积分，可以分别对每个函数进行积分，然后再相加或相减。
具体表达式为：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx2. 分部积分法分部积分法是一种将积分运算转化为乘法运算的方法。
其基本公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这里的u(x)和v'(x)是原函数f(x)的两个因子，可以根据具体情况选择合适的函数进行求导和积分。
微积分中的极限运算法则及其应用
微积分中的极限运算法则及其应用微积分中的极限是一个非常基础的概念，几乎每个学习微积分的人都要学习和掌握。
在微积分中，极限运算法则是一个非常重要的概念，它不仅是解决微积分问题的基础，还能用来证明微积分中的很多定理。
一、极限运算法则极限运算法则是微积分中的一个基本概念，也是解决微积分问题的基础。
与其它数学概念一样，它有一些基本法则，如下：1、常数定理如果K是一个常数，那么：lim K = Kx→a这个定理是非常简单的，意思就是说，如果一个函数在极限运算的过程中只包含一个常数K，那么这个极限就等于这个常数K 本身。
2、幂指函数定理如果a是一个正数，并且f(x)是一个幂指函数，那么：lim f(x) = a^xx→a这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中包含一个幂指函数时，这个极限的结果就等于这个幂指函数的解。
3、和、差、积、商定理如果f(x)和g(x)是两个函数，如下：那么：lim [f(x)±g(x)] = lim f(x)±lim g(x) x→a x→alim [f(x)×g(x)] = lim f(x)×lim g(x) x→a x→alim f(x) = lim g(x) (注：lim g(x)≠0) x→a x→a那么：lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x) x→a x→a这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中不只包含一个函数时，可以通过将这些函数进行和、差、积、商运算来求出其极限。
4、复合函数定理如果f 和 g是两个函数，如下：那么：lim f(g(x)) = lim f(L)x→a x→L其中L是 g(x) 在x→a 时的极限。
这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中包含多个函数时，可以将其拆分为不同的函数来求解。
二、极限运算法则的应用极限运算法则可以用来解决很多微积分问题。
以下是一些常见的应用：1、求导求导是微积分的一个重要部分，其核心就是使用极限运算法则。
微积分常用公式及运算法则(上册)
0,
π 2
1
lim nn = 1
n→∞
1
lim x x = 1
x→+∞
lim
x→∞
1
+
1 x x
=
e,
lim
x→∞
1
−
1 x x
=
1 , lim (1+
e x→0
1
x)x
=e
等价无穷小： 当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;(1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0);
2!
n!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 −⋯ 3! 5!
柯西中值定理： 若f , g ∈C[a,b],并且f , g ∈ D(a,b),在(a,b)内 g(x) ≠ 0, 那么至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) g(b) − g(a) g′(ξ )
泰勒中值定理：
如果函数f (x)在含x0的某个开区间(a, b) 内具有(n +1)阶导数，即f ∈ Dn+1(a,b)，
u v
′
=
u′v − uv′ v2
设x = ϕ ( y)，它的反函数是y = f (x)，则有
f
′( x)
=
1 ϕ′( y)
链式求导法则：d y = d y id u dx du dx
对数求导法则：
求幂指函数y = [u(x)]v(x)的导数时，
可先取对数，得 ln y = v(x) ln u(x)，
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
微积分定理和公式
一、函数【定义 1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作.),(D x x f y ∈=x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性1．单调性（1）【定义1.2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义1.3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义 1.4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义 1.5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数；)()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4．周期性【定义 1.6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义1.7】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作 .),(1R y y f x ∈=-并称其为)(x f y =反函数. 习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x fy ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义 1.8】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数{}f D x x x x f y ∈∈=)(|)],([ϕϕ为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：f D x x f x F ∈=,0))(,(其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数. 如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即 ]1,0[,)1()(2∈-==x x x f ye n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义1.10】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作.)(lim A x f n =∞→当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作.)(lim )(lim )(lim ).)(lim ()(lim A x f A x f A x f A x f A x f n n n n n ===⇔===+∞→+∞→∞→-∞→+∞→3．0x x →时的极限【定义 1.11】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作.)(lim 0A x f x x =→4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0.)(lim )(lim )(lim 000A x f A x f A x f x x x x x x ===⇔=-+→→→（三）函数极限的性质1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B .2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻 域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。
微积分(上)复习资料——公式
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
13、
1 1 x2
dx
arctanx
c
14、 tan xdx ln cosx c
cot(A B) cot A cot B 1 cot B cot A
sin 2A 2sin Acos A
tan
2
A
1
2
tan tan
A 2A
3.半角公式
cos 2A cos2 A sin2 A 1 2sin2 A 2cos2 A 1
sin A 1 cos A
2
2
cos A 1 cos A
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
log a x
1 dx x ln a
⒀ d arcsin x 1 dx
1 x2
⒁ d arccos x 1 dx
1 x2
微分运算法则 ⑴ d u v du dv
⑶ d uv vdu udv
⒂
d
arctan
x
1 1 x2
dx
⒃
d
arc cot
x
1
1 x2
dx
⑵ d cu cdu
lim n a (a o) 1
n
微积分ab公式
微积分ab公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：微积分是数学中非常重要的一个分支，它主要研究函数的极限、连续性、微分和积分等概念。
在微积分的学习过程中，经常会遇到各种各样的公式，其中最为经典的莫过于微积分AB公式。
AB公式是微积分中常用的一组基本公式，它包括导数和积分的基本公式，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解微积分知识，提高解题效率。
接下来，本文将为大家介绍微积分AB公式。
一、微积分AB公式之导数基本公式1.1 常数导数法则若f(x)=C，则f'(x)=0，其中C为常数。
1.2 变量幂函数导数法则若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数。
1.3 和差法则若f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
1.4 积法则若f(x)=u(x)v(x)，则f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
1.5 商法则若f(x)=u(x)/v(x)，则f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2。
1.6 复合函数法则若f(x)=g(u(x))，则f'(x)=g'(u(x))u'(x)。
以上便是部分导数基本公式，它们在微积分的学习中起着至关重要的作用。
掌握这些基本公式可以帮助我们求解各种函数的导数，进一步推导出更加复杂的微积分问题。
二、微积分AB公式之积分基本公式2.1 不定积分基本公式∫kdx=kx+C∫x^n dx=1/(n+1)x^(n+1)+C，其中n不等于-1∫1/x dx=ln|x|+C∫e^x dx=e^x+C∫a^x dx=(1/ln(a))a^x+C其中k、a为常数，C为常数。
2.2 定积分基本公式∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)为f(x)的原函数。
积分基本公式是微积分中另一个重要的内容，它主要用于求函数在某一区间上的面积、弧长等问题。
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式 (2) 微分公式(xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx(a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx(loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx(sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx(con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx(tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx(cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx(sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）= αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成 dy = fˊ(μ) dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
微积分基本定理
A．
d
f (x)dx
a
B．
d
f (x)dx
a
C．
b
f (x)dx
c
f (x)dx
d
f (x)dx
a
b
c
y
D．
b
c
f (x)dx f (x)dx
y loga x (a 0, a 1, x 0)
y 1 x ln a
y sin x
y cos x
y cos x
y sin x
注：ln a loge a ，称为 a 的自然对数，其底为e ，e 是一个和 π 一样重要的无理数e 2.7182818284 ． 注意 (ex ) ex ．
0
2
【答案】 2π
【例3】
求定积分
1
(
1 (x 1)2 x)dx ．
0
【解析】
1
(
1 (x 1)2 x)dx
1
1 (x 1)2 dx
1 xdx ，
0
0
0
设 y 1 (x 1)2 ，则 (x 1)2 y2 1( y ≥0) ，
∵ 1 1 (x 1)2 dx 表示以1 为半径的圆的四分之一面积， 0
2π
| cos x | dx
0
π
2 cos xdx
0
3π
2 π
( cos
x)dx
2π 3π
cos
xdx
．
2
2
3 / 15
同步课程˙微积分基本定理 y
1
O
2 x
【答案】
2π
| cos x | dx
0
π
2 cos xdx
经济数学微积分极限运算法则
二、求极限方法举例
x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 lim x 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2 2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
x x0
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
x 2＋ax b 例4 设 lim 2 2, 求a、b. x 1 x 2 x 3 , 而商的极限存在 . 解 x 1时, 分母的极限是零
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0.
第四节
极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
微积分一导数的基本公式与运算法则
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例1.计算下列函数的导数.
1） ( e 2 ) 0____
3） ( x 2 ) _2_x_
5）(sin 3
(sec x) sec x tan x
这是因为
(csc x) csc x cot x
(tan x) ( sin x ) cos x
(sin
x)
cos x sin cos2 x
x(cos
x)
sin2 x cos2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
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3 指数函数的导数 (ax)axln a (ex)ex
这是因为
(axx) lim hh00
a xxhh a xx h
axx lim hh00
ahh 1 h
ax
lim
h0
h ln a h
ax
ln a
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1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
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二、反函数的导数
设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函 数xf 1(y)在相应点处连续 则[f 1(y)]存在 并且
[ f 1(y)]
1 f (x)
或
f
(x) [
f
1 1( y)]
简要证明 这是因为
[
f
11(
y)]
lim
1 (c)0
2 幂函数的导数
(xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
微积分常用公式及运算法则上
微积分常用公式及运算法则上微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
在学习微积分的过程中，掌握常用的公式和运算法则是非常重要的。
下面是微积分中常用的公式和运算法则的详细介绍。
一、常用公式1.导数公式（1）常数的导数：若c为常数，则d/dx(c)=0。
（2）乘方函数的导数：若y=x^n，则dy/dx=nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数：若y=e^x，则dy/dx=e^x。
（4）对数函数的导数：若y=ln(x)，则dy/dx=1/x。
（5）三角函数的导数：（a）若y=sin(x)，则dy/dx=cos(x)。
（b）若y=cos(x)，则dy/dx=-sin(x)。
（c）若y=tan(x)，则dy/dx=sec^2(x)。
（d）若y=cot(x)，则dy/dx=-csc^2(x)。
（e）若y=sec(x)，则dy/dx=sec(x)tan(x)。
（f）若y=csc(x)，则dy/dx=-csc(x)cot(x)。
2.积分公式（1）不定积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
（2）定积分：若f(x)在区间[a, b]上可积，则∫[a, b]f(x)dx是f(x)在[a, b]上的定积分。
3.常用等式（1）和差化积：(a+b)(a-b)=a^2-b^2（2）完全平方差：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2（3）二次方程的根：若ax^2+bx+c=0(a≠0)有实根，则判别式D=b^2-4ac≥0。
（4）勾股定理：在直角三角形ABC中，设∠C=90°，则a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边。
二、运算法则1.四则运算法则（1）加法法则：(f+g)'=f'+g'。
（2）减法法则：(f-g)'=f'-g'。
（3）乘法法则：(f*g)'=f'*g+f*g'。
高数微积分公式大全(总结的比较好)
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫=⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =++九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos axe xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。
积分求导公式运算法则上下项
积分求导公式运算法则上下项积分求导是微积分中的重要概念之一、它是求导和积分两个运算的逆运算，也就是说，如果我们对一个函数进行求导操作，然后再对它进行积分操作，我们将恢复到原来的函数。
积分求导的公式运算法则有很多，下面将介绍其中一些常用的法则。
1. 常数法则：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0。
即d/dx(c) = 0。
2. 线性法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，而a和b是常数，那么d/dx(a*f(x) + b*g(x)) = a*d/dx(f(x)) + b*d/dx(g(x))。
3. 幂法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，那么它的导数为d/dx(x^n) = n*x^(n-1)。
例如，d/dx(x^3) = 3*x^24. 和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么d/dx(f(x) +g(x)) = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))。
类似地，d/dx(f(x) - g(x)) =d/dx(f(x)) - d/dx(g(x))。
这条法则说明了求导运算在函数的和与差上是可分配的。
5. 乘积法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么d/dx(f(x)*g(x)) = f(x)*d/dx(g(x)) + g(x)*d/dx(f(x))。
这条法则告诉我们对于一个函数的乘积，可以首先对其中一个函数求导，然后再乘以另一个函数，并将相乘的结果相加。
6. 商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么d/dx(f(x)/g(x)) = (g(x)*d/dx(f(x)) - f(x)*d/dx(g(x)))/[g(x)]^2、这条法则指导我们在求导一个函数的商时如何进行运算。
7. 反函数法则：如果y = f(x)是一个可导函数，而x = g(y)是它的反函数，那么d/dx(g(y)) = 1/[d/dy(f(x))]，(x = g(y))。
这条法则说明了如何对一个函数的反函数求导。
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.基本导函数：(1)常数函数导数公式：若f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。
(2) 幂函数导数公式：若f(x) = x^n，其中n是常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
(3) 指数函数导数公式：若f(x) = a^x，其中a是正常数且a≠1，则f'(x) = a^x * ln(a)。
(4) 对数函数导数公式：若f(x) = log_a(x)，其中a是正常数且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
(5)三角函数导数公式：- sin函数导数：(sinx)' = cosx。
- cos函数导数：(cosx)' = -sinx。
- tan函数导数：(tanx)' = sec^2(x)。
- cot函数导数：(cotx)' = -csc^2(x)。
- sec函数导数：(secx)' = secx * tanx。
- csc函数导数：(cscx)' = -cscx * cotx。
(6)反三角函数导数公式：- arcsin函数导数：(arcsinx)' = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- arccos函数导数：(arccosx)' = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- arctan函数导数：(arctanx)' = 1 / (1 + x^2)。
- arccot函数导数：(arccotx)' = -1 / (1 + x^2)。
- arcsec函数导数：(arcsecx)' = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))，其中，x， > 1- arccsc函数导数：(arccscx)' = -1 / (x * sqrt(x^2 - 1))，其中，x， > 1(1)常数乘法法则：若f(x)=C*g(x)，其中C是常数，则f'(x)=C*g'(x)。
微积分知识点
微积分知识点微积分是数学中重要的分支之一，它研究的是变化与运动的规律，能够描述和解决各种实际问题。
本文将介绍微积分的基本概念和常用的知识点。
一、导数与微分1.导数的定义在微积分中，导数表示函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx，定义为极限lim Δx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx。
导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
2.求导法则求导法则是计算导数的基本规则，常用的法则有：- 常数规则：常数的导数为0；- 变量规则：变量的导数为1；- 基本初等函数的导数：如幂函数、指数函数、对数函数的导数等；- 四则运算法则：加减乘除的导数计算规则。
3.高阶导数高阶导数表示函数的导数的导数，记作f''(x)，也可以表示成dy^2/dx^2。
高阶导数的计算方法与一阶导数类似，可以通过多次求导来得到。
4.微分微分是导数的另一种表示形式，它表示函数在某一点上的变化量。
如果y是函数f(x)在x点的值，dx是x的增量，dy是它对应的函数值的增量，那么微分dy可以表示成dy=f'(x)dx。
微分的应用十分广泛，例如在数值计算、误差分析等领域中都有重要的作用。
二、积分与不定积分1.积分的定义积分是导数的逆运算，它表示函数在一定区间上的累积变化量。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的积分记作∫[a, b] f(x)dx，表示在该区间上函数f(x)与x轴之间的面积。
2.定积分与不定积分积分有两种常见形式，一种是定积分，另一种是不定积分。
- 定积分是区间上的积分，表示计算函数在某一区间上的累积量，其结果是一个确定的数值；- 不定积分是函数的积分，表示求解一个函数的原函数（或称为原始函数）。
不定积分的结果是一个包含常数C的函数集合。
3.牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要公式，它连接了定积分和不定积分。
该公式表示定积分与不定积分之间的关系，即∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是函数f(x)的一个原函数。
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微积分公式与运算法则
1.基本公式
（1）导数公式 (2) 微分公式
(xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx
(a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx
(loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx
(sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx
(con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx
(tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx
(cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx
(sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）
（1）函数的线性组合积、商的求导法则
（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2
（2）函数和差积商的微分法则
d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ
d（μυ）=υdμ+μdυ
d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2
3.复合函数的微分法则
设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为
dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x)
所以复合函数的微分为
dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx
由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成 dy = fˊ(μ) dμ
由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。