人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制导学案(1)

1.1.2 弧度制
1.了解弧度制，明确1弧度的含义.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握弧度数的计算公式及其应用.
1.弧度制
(1)定义：以 为单位度量角的单位制叫做弧度制.
(2)度量方法：长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图所示，圆O
的半径为r ，»
AB 的长等于r ，∠AOB 就是1弧度的角.
一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关.
(3)记法：弧度单位用符号 表示，或用“弧度”两个字表示.在用弧度制表示角时，单位通常省略不写.
【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 2.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个 数，负角的弧度数是一个 数，零角的弧度数是 .
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .
(1)弧长公式：l ＝|α|r .
(2)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12
|α|r 2
.
【做一做2】 已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是 .
3.弧度制与角度制的换算
(1)角度转化为弧度：360°＝ rad,180°＝ rad ，1°＝ rad≈0.017 45 rad.
(2)弧度转化为角度：2π rad＝ ，π rad＝ ，1 rad ＝() °≈57.30°＝57°18′.
之间建立起 关系：每一个角都有唯一的一个 (即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
【做一做3－1】 把50°化为弧度为( )
A.50
B.518π
C.185π
D.9 000
π
【做一做3－2】 把2
5
π rad 化为度为( )
A.52°
B.36°
C.72°
D.90°
答案：1．(1)弧度 (2)半径长 (3)rad 【做一做1】 D
2．正 负 0 l r
【做一做2】 4 3．(1)2π π
π180 (2)360° 180° 180π (3)π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6
π 2π (4)一一对应 实数 角
【做一做3－1】 B 【做一做3－2】 C
1.用弧度制表示象限角与轴线角
剖析：主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑.
(1)从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以“度”为单位度量角的单位制.因此弧度制和角度制一样，都是度量角的方法.
(2)从意义上：1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小，而1°是圆的周长的1360所对的圆心角(或该弧)的大小；任意圆心角α的弧度数的绝对值|α|＝l
r ，其中
l 是以角α作为圆心角时所对的圆弧长，r 为圆的半径.
(3)从换算上：1 rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°，1°＝π180 rad. (4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数；如果以度“°”为单位表示角时，度“°”就不能省去.
题型一 角度与弧度的互化
【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
(1)310°；(2)5π
12
rad.
分析：利用下列公式换算：1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°. 反思：n °＝n π180rad ，x rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫180πx °. 题型二 比较大小
【例2】 利用计算器比较sin 1和sin 1°的大小.
反思：比较sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β的大小时，通常使用计算器来完成，要注意α与β的单位.
题型三 扇形的弧长和面积公式 【例3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积为多少？
分析：设出扇形的半径r ，弧长l ，面积S ，列出S 关于r 的函数解析式，转化为求二次函数的最大值.
反思：(1)在弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式简洁明了，灵活应用这些公式列方程组求解是解决这类问题的关键；
(2)在研究实际问题中的最值问题时，往往转化为二次函数的最值问题，这是经常用到的思想方法.
题型四 易错辨析
易错点 混淆了用弧度制和角度制表示的角 【例4】 α＝π，β＝π°，则有( ) A.α＝β B.α＞β
C.α＜β
D.α与β的大小不确定 错解：由于π＝π，则α＝β，故选A.
错因分析：错解中混淆了π与π°的区别，π的单位是弧度，而π°的单位是度. 反思：角度制下的单位不能省略，而弧度制下的单位通常省略不写，因此要注意区分弧度制和角度制表示的角.
答案：
【例1】 解：(1)310°＝π180 rad×310＝31π
18 rad.
(2)5π12rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π×5π12°＝75°.
【例2】 解：由计算器 MODE MODE 2
sin 1＝0.841 470 984. MODE MODE 1
sin 1。

， ，，＝0.017 452 406.
∴sin 1＞sin 1°.
【例3】 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r cm ，弧长为l cm ，面积为S cm 2
，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .
∴S ＝12lr ＝12
×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2
＋100.
∴当r ＝10时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2
，这时θ＝l
r
＝2.
【例4】 B 正解：α＝π＝180°，因为180°＞π°，所以α＞β.
1．下列各式正确的是( ) A.
2
π
＝90 B.
18
π
＝10° C.3°＝
60
π
D.38°＝
38
π
2．下列各式正确的是( )
A.cos 3.7°＜cos 3.8°
B.sin 5.1＞sin 2.7°
C.tan 46°＞tan 44
D.tan 1.23＜tan 1.22 3．把－900°化为弧度为________.
4．若扇形的周长是16 cm ，圆心角是2 rad ，则扇形的面积是________.
5．如图所示，扇形AOB 的面积是4 cm 2
，它的周长是10 cm ，求扇形的圆心角α的弧度数.
答案：1．B
2．C 借助于计算器有：cos 3.7°≈0.997 9＞cos 3.8°≈0.997 8，所以A 项不正确； sin 5.1≈－0.925 8＜sin 2.7°≈0.047 1，所以B 项不正确； tan 46°≈1.035 5＞tan 44≈0.017 7，所以C 项正确； tan 1.23≈2.819 8＞tan 1.22≈2.732 8，所以D 项不正确．
3．－5π－900°＝－900×
π
180
＝－5π.
4．16 cm2设扇形的半径是r cm，弧长为l cm，则
216,
2.
l r
l
r
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
解得l＝8，r＝4.则
扇形的面积是1
2
lr＝16 cm2.
5．分析：列方程组求出扇形的弧长l和半径R，再由|α|＝l
R
求解．
解：设长为l cm，扇形半径为R cm，
则由题意，得
210, 1
4, 2
l R
l R
+=
⎧
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
解得
4,
2,
R
l
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1,
8,
R
l
=
⎧
⎨
=
⎩
∴|α|＝
2
4
＝
1
2
或|α|＝
8
1
＝8＞2π(舍去)．∴α＝
1
2
.
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