高数5.5 定积分的元素法及其应用(1)
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因此所求弧长
例8(补充题) 求连续曲线段
的弧长.
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
1 y2 dx
2 2 0
1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
(自行练习课本 例8)
例9 计算摆线
一拱
的弧长 .
类似地,若函数( y) 、 ( y) 在[c, d] 上连续,且
(y) (y) ,则由曲线 x ( y) 、 x (y) 及直线 y c 、
yd
所围成的平面图形的面积为
A
d
c
(
y)
(
y)
d
y
其中面积 A 的元素为 d A ( y) ( y)d y .
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 y Mi1 Mi
并称此曲线弧为可求长的.
A M0 o
B Mn x
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略)
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
y ds o xxdx x
第五章
第五节 定积分的元素法及其应用
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、定积分在物理学上的应用 四、思考与练习
一、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
30
y
x
R x
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ?
提示:
2x y tan 2 tan y R2 y2
2 tan Ry R2 y2 dy 0
这就是课本中给出的解法!
y
o
(x, y)
R x
例7 计算由曲面
所围立体(椭球体)
的体积.(补充题)
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
y2 b2 (1
x2 a2
)
c2
z2 (1
x2 a2
)
1
它的面积为
z
c
xo
a
b
因此椭球体体积为
2
bc
x
x3 3a 2
a
0
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
3. 平面曲线的弧长
定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
(R x R)
利用对Baidu Nhomakorabea性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R
1. 平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在[a,b] 上连续,且 f (x) g(x) ,
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为
A
b a
f
(
x)
g
(
x)
d
x
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x .
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
当 a = b 时得圆面积公式
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
x
例 4 求曲线 2a cos (a 0) 围成圆的面积. y
解:因为 0 ,
所以 cos 0( π π)
0≤≤2一段的弧长 . (自行练习课本 例10)
解: ds r 2 ( ) r2 ( ) d a2 2 a2 d a 1 2 d
o r a
2
sa
1 2 d
(课本公式26)
0
a
2
1 2 1 ln
2
1 2
2
例 1 求直线 y x 与 y x2 所围成图形的面积.
解题步骤:
(1)画出函数的图形,
y
y x2
并求出交点。 (2)求出微元素
dA
1
yx
d A [x x2 ]d x
(3)把微元素累加起来,取极限 得图形的面积——定积分。
O x1 x
x dx
例 2 求抛物线 y2 2x 与直线 x y 4 所围成的图 形的面积. 解题步骤:
(1)画出函数的图形,并求出交点。 (2)求出微元素
(3)把微元素累加起来,取极限得图形的面积—— 定积分。
例3 求椭圆 解: 利用对称性 , 有
所围图形的面积 . y b
利用椭圆的参数方程
o x xdx a x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin2 t dt 0
则
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
y b
o x ax
(利用对称性)
方法2 利用椭圆参数方程
则
2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
解: 利用对称性 , 在第一象限
y
x2 2, 4 x2 ,
0 x 1 1 x 2
yB 3 A
故旋转体体积为
C
V 32 4 2 1 [3 (x2 2)]2 d x o 0
2x
2 2 [3 (4 x2 )]2 d x 1
36 2
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2
0
2a
sin
t 2
d
t
2a
2
cos
t 2
2
0
2 a x
例10(补充题)求阿基米德螺线
21
(1x
2
x12)
22
d
x
2
2 (x2 1)2 d x
00
1
2
2
于是得
O
x
A 1
2
π
2 π
2
(
)
d
2
1 2
π
2 π
4a2
cos2
d
2
4a2 1 π 22
π a2.
思考 曲线 2asin (a 0) 是什么图形?
2. 平行截面面积为已知的立体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
0
相应于 2 a x
内容小结
1. 掌握定积分的元素法,并会应用 元素法来解决一 些几何和物理方面的问题。
2. 定积分几何学上的应用 (1)平面图形面积(直角坐标系、极坐标和参数方程) (2)平行截面面积为已知的立体的体积(含旋转体) (3)平面曲线的弧长(三种形式)
作业
习题5-5 1 (2)(3) ;3;5
的体积元素为
因此所求立体体积为
A(x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
当考虑连续曲线段
oa x x
y f (x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
y
x (y)
c
ox
例5 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.(注意:课本例6是“绕 y 轴旋转” 解: 方法1 利用直角坐标方程
表示为
定积分定义
2. 如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
二、定积分在几何学上的应用
思考练习
1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为(1, 1), (9, 3), 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
A 3 1
dy
3 y
弧线段部分
直线段部分
s
3
1
1
dy
2. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积. (94 考研)
例8(补充题) 求连续曲线段
的弧长.
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
1 y2 dx
2 2 0
1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
(自行练习课本 例8)
例9 计算摆线
一拱
的弧长 .
类似地,若函数( y) 、 ( y) 在[c, d] 上连续,且
(y) (y) ,则由曲线 x ( y) 、 x (y) 及直线 y c 、
yd
所围成的平面图形的面积为
A
d
c
(
y)
(
y)
d
y
其中面积 A 的元素为 d A ( y) ( y)d y .
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 y Mi1 Mi
并称此曲线弧为可求长的.
A M0 o
B Mn x
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略)
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
y ds o xxdx x
第五章
第五节 定积分的元素法及其应用
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、定积分在物理学上的应用 四、思考与练习
一、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
30
y
x
R x
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ?
提示:
2x y tan 2 tan y R2 y2
2 tan Ry R2 y2 dy 0
这就是课本中给出的解法!
y
o
(x, y)
R x
例7 计算由曲面
所围立体(椭球体)
的体积.(补充题)
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
y2 b2 (1
x2 a2
)
c2
z2 (1
x2 a2
)
1
它的面积为
z
c
xo
a
b
因此椭球体体积为
2
bc
x
x3 3a 2
a
0
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
3. 平面曲线的弧长
定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
(R x R)
利用对Baidu Nhomakorabea性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R
1. 平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在[a,b] 上连续,且 f (x) g(x) ,
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为
A
b a
f
(
x)
g
(
x)
d
x
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x .
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
当 a = b 时得圆面积公式
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
x
例 4 求曲线 2a cos (a 0) 围成圆的面积. y
解:因为 0 ,
所以 cos 0( π π)
0≤≤2一段的弧长 . (自行练习课本 例10)
解: ds r 2 ( ) r2 ( ) d a2 2 a2 d a 1 2 d
o r a
2
sa
1 2 d
(课本公式26)
0
a
2
1 2 1 ln
2
1 2
2
例 1 求直线 y x 与 y x2 所围成图形的面积.
解题步骤:
(1)画出函数的图形,
y
y x2
并求出交点。 (2)求出微元素
dA
1
yx
d A [x x2 ]d x
(3)把微元素累加起来,取极限 得图形的面积——定积分。
O x1 x
x dx
例 2 求抛物线 y2 2x 与直线 x y 4 所围成的图 形的面积. 解题步骤:
(1)画出函数的图形,并求出交点。 (2)求出微元素
(3)把微元素累加起来,取极限得图形的面积—— 定积分。
例3 求椭圆 解: 利用对称性 , 有
所围图形的面积 . y b
利用椭圆的参数方程
o x xdx a x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin2 t dt 0
则
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
y b
o x ax
(利用对称性)
方法2 利用椭圆参数方程
则
2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
解: 利用对称性 , 在第一象限
y
x2 2, 4 x2 ,
0 x 1 1 x 2
yB 3 A
故旋转体体积为
C
V 32 4 2 1 [3 (x2 2)]2 d x o 0
2x
2 2 [3 (4 x2 )]2 d x 1
36 2
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2
0
2a
sin
t 2
d
t
2a
2
cos
t 2
2
0
2 a x
例10(补充题)求阿基米德螺线
21
(1x
2
x12)
22
d
x
2
2 (x2 1)2 d x
00
1
2
2
于是得
O
x
A 1
2
π
2 π
2
(
)
d
2
1 2
π
2 π
4a2
cos2
d
2
4a2 1 π 22
π a2.
思考 曲线 2asin (a 0) 是什么图形?
2. 平行截面面积为已知的立体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
0
相应于 2 a x
内容小结
1. 掌握定积分的元素法,并会应用 元素法来解决一 些几何和物理方面的问题。
2. 定积分几何学上的应用 (1)平面图形面积(直角坐标系、极坐标和参数方程) (2)平行截面面积为已知的立体的体积(含旋转体) (3)平面曲线的弧长(三种形式)
作业
习题5-5 1 (2)(3) ;3;5
的体积元素为
因此所求立体体积为
A(x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
当考虑连续曲线段
oa x x
y f (x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
y
x (y)
c
ox
例5 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.(注意:课本例6是“绕 y 轴旋转” 解: 方法1 利用直角坐标方程
表示为
定积分定义
2. 如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
二、定积分在几何学上的应用
思考练习
1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为(1, 1), (9, 3), 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
A 3 1
dy
3 y
弧线段部分
直线段部分
s
3
1
1
dy
2. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积. (94 考研)