高考数学(理)二轮练习【专题1】(第2讲)不等式与线性规划(含答案)

第2讲 不等式与线性规划

考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．

1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法

①变形⇒f (x )

g (x )

>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；

②变形⇒f (x )

g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.

(3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0a g (x )⇔f (x )

①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0log a g (x )⇔f (x )0，g (x )>0. 2．五个重要不等式

(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．

(4)ab ≤(a ＋b 2)2

(a ，b ∈R )．

(5)

a 2＋

b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab

a ＋b

(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划

(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．

(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论

(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪

⎧ a >0，Δ<0.

(2)ax 2

＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩

⎪⎨⎪⎧

a <0，

Δ<0.

热点一 一元二次不等式的解法

例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集

为( )

A ．{x |x <－1或x >－lg 2}

B ．{x |－1

C ．{x |x >－lg 2}

D ．{x |x <－lg 2}

(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－24}

D ．{x |0

思维启迪 (1)利用换元思想，设10x ＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0. 答案 (1)D (2)C

解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x

2＝－lg 2.

(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．

即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立， 故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. 故选C.

思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．

(1)不等式x －1

2x ＋1

≤0的解集为( )

A ．(－1

2，1]

B ．[－1

2

，1]

C ．(－∞，－1

2)∪[1，＋∞)

D ．(－∞，－1

2

]∪[1，＋∞)

(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2

＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的

取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2]

答案 (1)A (2)C

解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－1

2

所以不等式的解集为(－1

2

，1]，选A.

(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2

例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l .

①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；

②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．

(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2

z 的最

大值为( )

A ．0

B ．1 C.9

4

D ．3

思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xy

z 取得最大值时的条件．

答案 (1)①1 900 ②100 (2)B

解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000v

v 2＋18v ＋121