微分方程变分法的产生和发展43页PPT
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积分变换与微分方程PPT课件
In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}]
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
第五讲常微分方程PPT课件
5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
第37页/共47页
综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
第26页/共47页
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
第25页/共47页
练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
第16页/共47页
二阶齐次线性方程解的结构
变分法PPT
变分法
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
最新微积分发展史PPT课件
(微分法)， 次年5月又建立了“反流数术”(积分 法)．1666年10月，牛顿将前两年的研究 成果整理成一篇总结性论文，此文现以 《流数简论》著称 ,是历史上第一篇系统的 微积分文献 .
牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种 特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流 数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关 系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他 超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们
18世纪的时候，欧陆数学家们力图以代数化 的途径来克服微积分基础的困难，这方面 的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格 朗日。
达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它 作为微积分的基础，他认为微分运算“仅 仅在于从代数上确定我们已通过线段来表 达的比的极限” ；欧拉提出了关于无限小 的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积 分可以在极限理论的基础上建立起来，但 他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出 我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉 和拉格朗日在分析中引入了形式化观点， 而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格 化提供了合理内核。
说牛顿发明了微积分。
莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重
要结果： “由一条曲线的法线形成 的图形，即将这些法线(在 圆的情形就是半径)按纵坐 标方向置于轴上所形成的图 形，其面积与曲线绕轴旋转 而成的立体的面积成正比”。
在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼 茨分享荣誉
着数学本身发展的需要和解决问题的需要， 仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。 有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进 一步拓展到一般的微分流形。
外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式 产生了。然而经典的Green公式、 Ostrogradsky—Gauss公式、以及 Stokes公式也得到了统一。
牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种 特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流 数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关 系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他 超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们
18世纪的时候，欧陆数学家们力图以代数化 的途径来克服微积分基础的困难，这方面 的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格 朗日。
达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它 作为微积分的基础，他认为微分运算“仅 仅在于从代数上确定我们已通过线段来表 达的比的极限” ；欧拉提出了关于无限小 的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积 分可以在极限理论的基础上建立起来，但 他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出 我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉 和拉格朗日在分析中引入了形式化观点， 而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格 化提供了合理内核。
说牛顿发明了微积分。
莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重
要结果： “由一条曲线的法线形成 的图形，即将这些法线(在 圆的情形就是半径)按纵坐 标方向置于轴上所形成的图 形，其面积与曲线绕轴旋转 而成的立体的面积成正比”。
在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼 茨分享荣誉
着数学本身发展的需要和解决问题的需要， 仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。 有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进 一步拓展到一般的微分流形。
外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式 产生了。然而经典的Green公式、 Ostrogradsky—Gauss公式、以及 Stokes公式也得到了统一。
《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
变分法简介剖析课件
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
第2章变分法
第一章 变分法变分法（Variational calculus ）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合，若对于每一个函数Ω∈)(t x 有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在Ω上的泛函，记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合，Ω∈)(t x 称为宗量。
例1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x yx y x y J π 容许函数集合可表示为})(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω绪论中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也称麦耶（Mayer ）型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=2）积分型性能指标还称拉格郎日（Lagrange ）型性能指标⎰=1))(),(,()(0t t dt t xt x t f x J 3）混合型性能指标也叫包尔查（Bolza ）型性能指标⎰+Φ=1))(),(,()),(()(011t t dt t xt x t f t t x x J 它们都是泛函，并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ，它是如下微分方程初值问题的解)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x则拉格郎日（Lagrange ）型性能指标就化为⎰=≡Φ1))(),(,()()),((01011t t dt t xt x t f t x t t x 变成麦耶（Mayer ）型性能指标。
变分法原理与技术 PPT
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利 曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向 数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂 的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水 珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是 悬链线（catenary）。
q
2. 离散系统 Jx2(i)2u2(i) i1
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ，
x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 间的弧长为：
解一个二阶常微分方程
d2y
dy
a 1 ( )2
dx2
y(0)
dx y0
y (0) 0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努 利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在 所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
x
x(t)
x0(t)
o t1 图2－3 t2
t
一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 数 x ( t ) 和 x 0 ( t ) 之差的绝对值，即
微分方程PPT(罗兆富等编)第十章-变分迭代法简介全篇
)
g
(
)d
(10.1.02)
合并 un (t),un (t),un(t), 零, 得到关于,,,
的同类项, 然后让它们的系数等于
在条件 =t下的等式,由此解出().
3
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再将()代入(10.1.02)并取消变分就得到递推公式
un1(t) un (t)
t 0
(
)
Lun
(1 ( ) x )un (x, y) ()un (, y)d
1 ( ) x 0
(
) x
0
( ) 1.
5
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例1. 求解一阶偏微分方程
ux yu 0,u(x,0) 1,u(0, y) 1.
解: 方程的修正泛函为
un1(x, y) un (x, y)
2!
3!
.......................................
un
(
x,
t
)
cosh
x
t
cosh
x
1t 2!
2
cosh
x
(1)n 1 tn cosh x 3!
所以方程的精确解为
u2
(ux(,xt),
t)
conlsimhxun(txc, ot )shxet
c1ots2hcxo.sh 2!
0
2
2 x2
x2t
t
(
t)
0 x2
d
x2t
x2
t3
0
3!
u2 (x,t) u1(x,t)
t
(
0
t
)(
微积分发展史课件
文艺复兴时期的数学与微积分思想的突破
文艺复兴时期，欧洲的数学家们开始系统地研究微积分，如意大利数学家卡瓦列里等人对极限、连续 等概念进行了系统化的研究。
英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立地发展出了微积分的基本理论，从而宣告了微积分 的诞生。
02
微积分的创立
牛顿的贡献
牛顿对微积分的贡献主要体现在他的 著作《自然哲学的数学原理》中。他 提出了流数术，也就是微积分的基本 理论和方法。
05
微积分的未来发展
微积分的理论发展
01
数学建模与仿真
微积分理论在未来的发展将更加深入 地与数学建模和仿真技术相结合，研 究更加复杂、精细的数学模型，提高 微积分的应用范围和效果。
02
机器学习和大数据分 析
随着机器学习和大数据分析技术的不 断发展，微积分理论将与这些技术相 结合，实现更高效、准确的微积分计 算和应用。
高等教育普及
微积分作为一门重要的数学课程将在高等教 育中得到更加广泛的普及和教育，提高大学 生的数学素养和思维能力。
中小学教育改革
微积分教育将进一步渗透到中小学教育中， 促进中小学教育改革和数学教育的创新发展 。
06
参考文献
参考文献
01
02
03
1. 罗伯特·卡尼格尔. 《微积分的 历程》. 人民邮电出版社.
2. 李大潜. 《微积分发展史》. 北 京高等教育出版社.
3. 张顺燕. 《微积分的思想和方 法》. 北京大学出版社.
THANKS
感谢观看
投资组合优化
微积分被广泛应用于投资组 合优化中，通过求解最优化 问题来获得最大收益或最小
化风险。
期权定价
微积分在期权定价模型中也 有着重要的应用，例如Black-
微分方程ppt课件
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
14
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推得
c1 v0
c2 H
于是，得到满足上述初值条件的特解为
xx(t()t)H12gt122 gt2c1t v0ct 2
(1.14)
22
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它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运 动规律.
求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值 问题.
于是我们称(1.14)是初值问题
4
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目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
5
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第一讲
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
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例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
第六讲 微分方程、变分法的产生和发展,变量思想应用及其开拓的若干分支
第六讲
§2.4 微分方程、变分 法的产生和发展 §2.5 变量思想应用及 其开拓的若干分支
分析及相关数学分支的大发展
常微分方程 偏微分方程 变分法 微分几何 概率论 复变函数论
常微分方程
1690年雅格布•伯努利(瑞, 1654-1705)提出 悬链线问题
莱布尼茨、惠更斯、约翰•伯努利给出问题的解
瑞士法郎上的欧拉
偏微分方程
• 热传导方程： 1807年傅里叶(法, 1768-1830)提出， 1822年傅里叶获 得求解的傅里叶 级数方法
偏微分方程
• 波动方程：1818年 泊松(法, 17811840)获得初值问 题的解, 1859年黎 曼(德, 1826-1866)、 1882年基尔霍夫 (德, 1824-1887)进 一步发展
变分法
• 等时曲线
微分几何－－曲线论
• 术语1894年比安基(意, 1856-1928)第一次使用 • 平面曲线理论17世纪基本完成: 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)关于渐伸线、渐屈线，1671年和1686年 牛顿和莱布尼茨关于曲率与曲率半径，1691年和 1692年约翰•伯努利关于包络等，1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线 理论 • 空间曲线理论: 1729年克莱罗(法, 1713-1765)关于曲 线弧长、曲率, 1774年欧拉关于曲率半径, 1806年朗 克雷(法, 1774-1807)关于挠率, 1826年柯西发展了这 理论, 1851年和1852年获得了赛雷特(法, 18191885)-弗朗内(法, 1816-1900)公式
偏微分方程
包含未知函数以及偏导数的等式 偏微分方程理论研究一个方程(组)是 否有满足某些补充条件的解, 有多少个 解, 解的各种性质与求解方法, 及其应用
§2.4 微分方程、变分 法的产生和发展 §2.5 变量思想应用及 其开拓的若干分支
分析及相关数学分支的大发展
常微分方程 偏微分方程 变分法 微分几何 概率论 复变函数论
常微分方程
1690年雅格布•伯努利(瑞, 1654-1705)提出 悬链线问题
莱布尼茨、惠更斯、约翰•伯努利给出问题的解
瑞士法郎上的欧拉
偏微分方程
• 热传导方程： 1807年傅里叶(法, 1768-1830)提出， 1822年傅里叶获 得求解的傅里叶 级数方法
偏微分方程
• 波动方程：1818年 泊松(法, 17811840)获得初值问 题的解, 1859年黎 曼(德, 1826-1866)、 1882年基尔霍夫 (德, 1824-1887)进 一步发展
变分法
• 等时曲线
微分几何－－曲线论
• 术语1894年比安基(意, 1856-1928)第一次使用 • 平面曲线理论17世纪基本完成: 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)关于渐伸线、渐屈线，1671年和1686年 牛顿和莱布尼茨关于曲率与曲率半径，1691年和 1692年约翰•伯努利关于包络等，1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线 理论 • 空间曲线理论: 1729年克莱罗(法, 1713-1765)关于曲 线弧长、曲率, 1774年欧拉关于曲率半径, 1806年朗 克雷(法, 1774-1807)关于挠率, 1826年柯西发展了这 理论, 1851年和1852年获得了赛雷特(法, 18191885)-弗朗内(法, 1816-1900)公式
偏微分方程
包含未知函数以及偏导数的等式 偏微分方程理论研究一个方程(组)是 否有满足某些补充条件的解, 有多少个 解, 解的各种性质与求解方法, 及其应用