2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的相似三角形问题

2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的相似三角形问题

例1：如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；

（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

图1

满分解答

（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．

将点A(2, 4)代入

k

y

x

=，得k＝8．

（2）将点B(n, 2)，代入

8

y

x

=，得n＝4．

所以点B的坐标为(4, 2)．

设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．

所以点C的坐标为(0,－2)．

由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．

所以S△ABC＝1

2

BA BC

⋅＝

1

2242

2

⨯⨯＝8．

（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．

由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：

①如图3，当CE AD

CA AC

=时，CE＝AD＝22．

图2

此时△ACD≌△CAE，相似比为1．

②如图4，当CE AC

CA AD

=时，

210

21022

=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水

平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．

图3 图4

例2：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

图1 图2

满分解答

（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．

△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：

①如果BP BA

BQ BC

=，那么

510

848

t

t

=

-

．解得t＝1．

②如果BP BC

BQ BA

=，那么

58

8410

t

t

=

-

．解得

32

41

t=．

图3 图4

（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．

在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝

4

5

，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ． 当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．

所以AC CD QC PD =

，即68443t t t -=．解得78t =．

图5 图6

（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．

所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．

例3：如图1，已知抛物线211(1)444

b

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,

4

b )． （

2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115

2428

b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．

解得165x =．所以点P 的坐标为(1616

,55

)．

图2 图3

（3）由2111

(1)(1)()4444

b y x b x x x b =

-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA

=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14

b

b =-．解得843b =±Q 为(1,23+．

②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。 因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此

BO QA

CO OA =

，即14

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．