北京市海淀区2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

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北京市海淀区高一数学上册期中试卷解析版

2019-2020学年北京市海淀区高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥22．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）3．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．4．已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6}B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅6．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）7．设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c8．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f （x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是______．10．已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为______．11．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=______．12．函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）______f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）13．用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为______．14．已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=______．15．函数f（x）=的值域是______．16．函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为______．17．设2a=5b=m，且+=2，m=______．18．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．x 1.5 3 5 6 8 9lg x 4a﹣2b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3[1﹣（a+c）]2（2a﹣b）其中错误的对数值是______．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．20．已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c是常数且a≠0，满足条件：f（0）=3，f（3）=6，且对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京市海淀区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合间的包含关系运算，列出不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x丨﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x丨x≥a}，且A⊆B，∴a≤﹣2故选：C．2．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出f（x）的函数图象，根据图象判断m的值．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=m，作出y=f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m＜0或m≥1时，f（x）=m只有一解．故选D．3．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．4．已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】不等式的基本性质．【分析】分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．由于2014a=2015b，可得a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确，即可得出结论．【解答】解：分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．∵2014a=2015b，∴a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确；因此只有：③，④不正确．故选：B．5．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6}B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴∁U A={5，6}，则B∩∁U A={5，6}，故选：A．6．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数单调性进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数f（x）=x2+3x在（0，+∞）上是单调增函数，满足条件；对于B，函数y=（x﹣1）2在（0，1）是单调减函数，在（1，+∞）上是单调增函数，不满足条件；对于C，函数g（x）=2﹣x=在（﹣∞，+∞）上为单调减函数，不满足条件；对于D，函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是单调减函数，不满足条件．故选：A．7．设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵1＞a=（）0.2＞（），b=1.30.7＞1，则a，b，c的大小关系是b＞a＞c．故选：B．8．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】函数的值．【分析】首先，根据函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，求出n，可求出函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，∴2﹣=n，∴n=1，∴f（x）=1+，∴f（）=7，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据f（x）的对称轴判断f（x）的单调性，得出（﹣∞，﹣2]与对称轴的关系，从而解出a的范围．【解答】解：f（x）=﹣（x﹣2a）2+4a2，∴f（x）的图象开口向下，对称轴为x=2a，∴f（x）在（﹣∞，2a]上单调递增，在（2a，+∞）上单调递减，∵在（﹣∞，﹣2]上单调递增，∴﹣2≤2a，解得a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．10．已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为（﹣1，3）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】令2x+3=1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【解答】解：令2x+3=1，可得x=﹣1，此时y=3．即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．11．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，a=f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），求出a，b，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=f（0）=0．f（﹣1）=﹣f（1），∴﹣1+b=﹣（1﹣1），∴b=1，∴a+b=1．故答案为：1．12．函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）=f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）【考点】二次函数的性质．【分析】方法一、运用作差法，化简整理，即可得到结论；方法二、求出二次函数的对称轴方程，即可所求结论．【解答】解法一、函数f（x）=x2﹣x+a，可得f（1﹣m）﹣f（m）=（1﹣m）2﹣（1﹣m）+a﹣（m2﹣m+a）=（1﹣m）（﹣m）﹣m（m﹣1）=m（m﹣1）﹣m（m﹣1）=0，则f（m）=f（1﹣m）．解法二、函数f（x）=x2﹣x+a的对称轴为x=，由m+（1﹣m）=1，可得f（m）=f（1﹣m）．故答案为：=．13．用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为（1.5，2）．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】函数f（x）=x3﹣2x﹣1，确定f（1），f（2），f（1.5）的符号，根据零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：由二分法由f（1）=1﹣3+1＜0，f（2）=8﹣6+1＞0，取区间[1，2]作为计算的初始区间取x1=1.5，这时f（1.5）=1.53﹣3×1.5+1=﹣0.125＜0，故x0∈（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．14．已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【考点】函数的值．【分析】求出2a的值，代入f（2），求出f（2）的值即可．【解答】解：f（﹣2）=（﹣2）5﹣2a﹣8=10，则2a=﹣25﹣18，则f（2）=25+2a﹣8=25﹣25﹣18﹣8=﹣26，故答案为：﹣26．15．函数f（x）=的值域是[0，2）．【考点】函数的值域．【分析】先求出函数的定义域，进而结合指数函数的图象和性质分析被开方数的取值范围，进而得到答案【解答】解：若使函数的解析式有意义则4﹣2x≥0，解得x≤2此时0＜2x≤4则0≤4﹣2x＜40≤＜2故函数的值域是[0，2）故答案为：[0，2）16．函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为0或﹣1．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】分二次函数f（x）的图象的对称轴比较靠近所给的闭区间的左侧、比较靠近所给的闭区间的右侧两种情况，分别利用二次函数的性质，结合函数的最大值为4，求得a的值，综合可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2ax+a2=（x+a）2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，区间[﹣1，2]的中点为，二次函数f（x）的图象的图象的对称轴为x=﹣a，当﹣a＜时，即a＞﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（2）=4+4a+a2=4，a=0．当﹣a≥时，即a≤﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=1﹣2a+a2=4，求得a=﹣1，综上可得，a=0或a=﹣1，故答案为：0或﹣1．17．设2a=5b=m，且+=2，m=．【考点】指数函数与对数函数的关系；对数的运算性质．【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填18．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．x 1.5 3 5 6 8 9lg x 4a﹣2b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3[1﹣（a+c）]2（2a﹣b）其中错误的对数值是lg1.5．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质即可判断出．【解答】解∵lg9=2lg3，适合，故二者不可能错误，同理：lg8=3lg2=3（1﹣lg5），∴lg8，lg5正确．lg6=lg2+lg3=（1﹣lg5）+lg3=1﹣（a+c）+（2a﹣b）=1+a﹣b﹣c，故lg6也正确．故答案为：lg1.5．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可，（2）根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：（1）a••==；（2）log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3=1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3=1﹣1+2+3=5．20．已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质．【分析】（1）求解函数f（x）的定义域（2）利用好定义f（x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．判断即可（3）利用单调性转化求解得出范围即可．【解答】解：函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）∵﹣1＜x＜1∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，∴求解得出：0＜x＜1故x的取值范围：（0，1）21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km）；（2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时；（3）根据t的值对应求S，然后解答．【解答】解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）∴S=•t•3t=当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2）∴S=S△AOE +S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70∴D点坐标为（t，﹣2t+70）∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3）∴S=S 梯形OABC ﹣S △DCT =（10+35）×30﹣（35﹣t ）（﹣2t +70）=﹣（35﹣t ）2+675；（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km ），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km ），而450＜650＜675，∴N 城会受到侵袭，且侵袭时间t 应在20h 至35h 之间，由﹣（35﹣t ）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h 它将侵袭到N 城．22．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c ，a ，b ，c 是常数且a ≠0，满足条件：f （0）=3，f （3）=6，且对任意的x ∈R 有f （1+x ）=f （1﹣x ）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）问是否存在实数m ，n （m ＜n ），使f （x ）的定义域和值域分别是[m ，n ]，[2m ，2n ]？若存在，求出m ，n ；若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；（2）根据函数的单调性得到关于m ，n 的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵对任意的x ∈R 有f （1+x ）=f （1﹣x ），∴函数的对称轴是x=﹣=1①，又f （0）=3，f （3）=6，∴f （0）=c=3②，f （3）=9a +3b +c=6③，由①②③组成方程组解得：a=1，b=﹣2，c=3，∴f （x ）=x 2﹣2x +3；（2）f （x ）=x 2﹣2x +3=（x ﹣1）2+2，对称轴x=1，函数的最小值是2，由于函数f （x ）的定义域为[m ，n ]，值域为[2m ，2n ]，m ＜n ，．∴函数f （x ）在定义域为[m ，n ]上是增函数，∴f （m ）=2m ，f （n ）=2n ，即，解得：m=1，n=3，∴m=1，n=3．。

【优质文档】2018-2019学年北京海淀十一学校高一上学期期中考试数学试题(解析版)

0 的解集
x
①方程
有一个正实根，一个负实根，则
；
②函数
是偶函数，但不是奇函数；
③命题 “若
，则 ”的否命题为 “若
，则 ”；
第 2 页（共 4 页）
④命题 “ ，使得
”的否定是 “ ，都有
”；
⑤ “ ”是 “
”的充分不必要条件．
正确的是 __________．
20．设是整数集的一个非空子集，对于
取值范围．
24 ．对
，记
，函数
．
（ 1）求
．
（ 2）写出函数的解析式，并作出图像．
第 3 页（共 4 页）
（ 3）若关于 x 的方程
有且仅有 3 个不等的解，求实数 m 的取值范围．（只需写出结论）
25．已知函数
是定义在上的奇函数，且
．
（）求函数的解析式．
（）用函数单调性的定义证明
在上是增函数．
号位封座
密
号场不考
订
装号证考准
只
2018-2019 学年北京海淀十一学校高一上学期期中考试数学试题
数学
（考试时间： 120 分钟，满分 150 分）
注意事项：
1 ．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用
，则．
________.
3．满足条件
的集合有 __________ 个．
4．函数 y
x1
的定义域为 _________.
x
5．已知函数 6．设
，，
，并且函数的最小值为，则的取值范围是 __________ ．，能表示从集合到集合的函数关系的是 __________ ．

2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，则tan A的值为()A. 5B. 6C. −4D. −62.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√2，b=4，B=45°，则A=()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°3.方程√3sin2x+cos2x=2k−1，x∈[0,π]有两个不等根，则实数k的取值范围为()A. (−12,32) B. (−12,1)∪(1,32) C. [−12,32] D. [−12,1)∪(1,32]4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 23C. 4D. 435.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，则∠DEF的余弦值为()A. 1665B. 1965C. 1657D. 17576.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①m⊥n，m//α，α//β⇒n⊥β；②m⊥n，m⊥α，α//β⇒n⊥β；③m ⊥α，n//β，α//β⇒m ⊥n ；④m ⊥α，m//n ，α//β⇒n ⊥β．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④ 7. 若0<x ，y <π2，且sinx =xcosy ，则( ) A. y <x 4B. x 4<y <x 2C. x 2<y <xD. x <y8. 已知△ABC 的面积为，则角C 的度数为( ) A. B. C. D.二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）9. 已知3sin 2θ=5cosθ+1，则cos(π+2θ)=______．10. α是第二象限角，，则tanα=________．11. 在平行四边形ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A −BD −C ，且|√2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为______． 12. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，c =√3，A +B =2C ，则sinB =______．13. 已知函数f(x)=asinx +cosx 的一条对称轴为x =π3，则a =______．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，线段BC 上的点Q ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体P −BCD 的体积的最大值是 (1) ；当P −BCD 体积取最大值时，|PQ|min = (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−π2,0]上的最大值和最小值．16.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，2sinAcos2C2+2sinC⋅cos2A2=3sinB(1)证明a、b、c成等差数列；(2)若∠B为锐角，且a=btanA，求a：b：c的值．17.如图所示，直三棱柱ABC−A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，D为底棱AC的中点．(1)求证：A′B⊥平面AB′C′；(2)过B′C′以及点D的平面与AB交于点E，求证：E为AB中点；(3)求三棱锥D−AB′C′的体积．18.已知函数．(1)求函f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π个单位后得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间4[0,π]上的值域．2【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查解三角形中的正弦定理及应用，同时考查两角和差的余弦公式，诱导公式，以及同角三角函数的关系式，这些都是三角中的基本公式，务必要掌握，注意公式的逆用．运用正弦定理，把边化成角得到sinA=5sinBsinC，再与条件cosA=5cosBcosC相减，运用两角和的余弦公式，再用诱导公式转化为cos A，由同角公式，即可求出tan A．解：∵a=5bsinC，由正弦定理得：sinA=5sinBsinC①，又cosA=5cosBcosC②，②−①得，cosA−sinA=5(cosBcosC−sinBsinC)，=5cos(B+C)=−5cosA，∴sinA=6cosA，∴tanA=sinAcosA=6．故选B．2.答案：A解析：解：∵a=2√2，b=4，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：2√2sinA=4sin45∘，∴解得sinA=12，∵a<b，∴A<B，∴A=30°．故选：A．由已知及正弦定理解得sinA=12，结合大边对大角可求A为锐角，进而由特殊角的三角函数值可求A 的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：B解析：解：cos2x+√3sin2x=2k−1，得2(12cos2x+√32sin2x)=2k−1，即2sin(2x+π6)=2k−1，可得：sin(2x+π6)=2k−12=k−12，由0≤x≤π，得π6≤2x+π6≤13π6，∵y=sin(2x+π6)在x∈[0,π]上的图象形状如图，∴当12<k−12<1和−1<k−12<12时，方程有两个不同的根，解得：1<k<32，−12<k<1．故选：B．利用辅助角公式化简，由x的范围求出这个角的范围，画出此时正弦函数的图象，根据函数值y对应的x有两个不同的值，由图象得出满足题意的正弦函数的值域，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．本题考查了辅助角公式，正弦函数的图象与性质，以及正弦函数的定义域与值域，利用了数形结合的思想，属于中档题．4.答案：D解析：本题考查由三视图还原几何体，锥体体积的有关计算，还原几何体是解决问题的关键，属于基础题．由已知三视图还原几何体，代入四棱锥的体积公式计算可得．解：构造棱长为2的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥P−ABCD，其中B，D分别为棱的中点，则其体积V=13×[2×2−2×(12×2×1)]×2=43．故选D．5.答案：A解析：解：如图所示，作DM//AC交BE于N，交CF于M．DF=√MF2+DM2=√302+1702=10√298(m)，DE=√DN2+EN2=√502+1202=130(m)，EF=√(BE−FC)2+BC2=√902+1202=150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF=DE2+EF2−DF22DF×EF =1302+1502−102×2982×130×150=1665．故选A分别在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF，DE再算出EF=150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cos∠DEF的值．本题给出实际应用问题，求∠DEF的余弦值．主要考查了运用解三角形知识解决实际应用问题，考查了三角形问题中勾股定理、余弦定理的灵活运用，属于中档题．6.答案：D解析：解：①应该是n⊥β或n//β或n⊂β，即①错误；②应该是n//β或n⊂β，即②错误；③由线面垂直、线面平行和面面平行的性质定理可知③正确；④∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵α//β，∴n⊥β，即④正确；故选：D．根据空间中线面的位置关系、平行与垂直的判定定理和性质定理，即可得解．本题考查了空间中线线、线面和面面的位置关系，需要熟记其判定定理和性质定理，考查了学生的空间立体感，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵0<x，y<π2，∴0<sinx<x<tanx，又∵sinx=xcosy，∴cosy=sinxx >sinxtanx=cosx，故y<x，又∵sinx=xcosy，即12sinx=12xcosy，∴sin x2⋅cos x2=12xcosy，即cosy=sin x2⋅cos x212x<cos x2，故y>x2，综上所述，x2<y<x，故选：C．根据已知中0<x，y<π2，可得0<sinx<x<tanx，进而可将已知sinx=xcosy变形为cosy=sinxx>sinx tanx =cosx和12sinx=12xcosy，即cosy=sinx2⋅cos x212x<cos x2，进而结合余弦函数的单调性，得到答案．本题考查的知识点是三角函数线，余弦函数的单调性，本题的变形思路比较难，特别是对已知两个式子的变形．8.答案：D解析：试题分析：解：∵ab sin C，∴absinC=即.又根据余弦定理得，∴−2absinC=−2abcosC，即sinC=cosC.∴C=.故选D．考点：解三角形点评：关键是对于已知中的面积关系式的表示，再结合余弦定理来求解得到角的值，属于基础题。

海淀区-2018学年第二学期期中高一数学试题及答案

海淀区高一年级第二学期期中练习数学学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. =︒︒+︒︒12sin 18cos 12cos 18sin（） A ．21 B ．21-C ．23 D ．23- 2. 在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin =（）A ．43 B ．61C ．21D ．1 3. 函数()sin cos f x x x =的最大值为（）A ．1B ．12CD ．324. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为（） A ．3 B ．6 C． D ．125. 如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30︒，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75︒，这时B 处与地面目标C 的距离为（）正（主）视图侧（左）视图俯视图A ．5千米 B． C. 4千米D.6. 如图1，直线EF 将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合）下面说法正确的是（）A ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，//BF 平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立7. 在ABC ∆中，A B C <<，则下列结论中不正确．．．的是（） A ．sin sin A C <B ．cos cos AC > C ．tan tan A B <D ．cos cos B C <8. 在ABC ∆中，若2AC =，60B ∠=︒，45A ∠=︒，点D 为AB 边上的动点，则下列结论中不正确．．．的是（）A ．存在点D 使得BCD ∆为等边三角形B ．存在点D 使得1cos 3CDA ∠=C ．存在点D 使得:BD DC =D ．存在点D 使得1CD =二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 求值：22cos 15sin 15︒-︒= .ABCDEF1图ACDE F2图A C B 75︒30︒10. 已知tan32α=，则tan α的值为 . 11. 已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为 .12. 在△ABC 中，已知60A =︒，a =3b =，则c = .13.若α，β均为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是 .14. 如图，的正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 逆时针旋转θ（0θ>），若旋转后三棱锥111D DC A -与其自身重合，则θ的最小值是；三棱锥111D DC A -在此旋转过程中所成几何体的体积为 .三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()2sin (cos sin )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.16. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD AD =，45ACD ∠=︒，90BCD ∠=︒.（Ⅰ）求证：BC =；（Ⅱ）若AB =BC 的长.17. 如图，四棱柱的底面是平行四边形，，侧面底面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）在线段上是否存在点G ，使得平面？并说明理由．18．正四棱锥S ABCD -的展开图如右图所示，侧棱SA 长为1，记ASB α∠=，其表面积记为()f α，体积记为()g α．（Ⅰ）求()f α的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求()()g f ααa b c ，，为常数；（Ⅲ）试判断()()g f αα是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）()()()海淀区高一年级第二学期期中练习参考答案数学一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.注：第12题对一个给2分，有错误答案不给分；第14题每空2分。

2018-2019学年北京市海淀区高一第二学期期末复习测试数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市海淀区高一第二学期期末复习测试数学试题一、单选题1．不等式2230x x +-<的解集为（） A ．{|3x x <-或1}x > B ．{|1x x <-或3}x > C ．{|13}x x -<< D ．{|31}x x -<<【答案】D【解析】根据不含参数的一元二次不等式的解法，可直接求出结果. 【详解】由2230x x +-<得(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<. 故选D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式，熟记不含参数的一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.2．若等差数列{}n a 中，33a =，则{}n a 的前5项和5S 等于（） A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得到535S a =，进而可求出结果. 【详解】因为等差数列{}n a 中，33a =，则{}n a 的前5项和15535()5152a a S a +===. 故选B 【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的性质即可，属于基础题型. 3．当3,5,7a b c ===时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为（）A ．12B ．12-C．2D．【答案】B【解析】根据框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行程序框图如下：输入3,5,7a b c ===，则22219254915z a b c =+-=+-=-，2223530z ab ==⨯⨯=，则12151302z m z ==-=-，输出12m =-. 故选B 【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型. 4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．c a c b -<- B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 【答案】A【解析】 A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；B 项，当0c =时，该不等式不成立，故B 项错误；C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11a b <不成立，故C 项错误；D项，当1a =-，2b =-时，21b a =>，即不等式1b a<不成立，故D 项错误．综上所述，故选A ．5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为（） A ．14B ．12C ．23D ．34【答案】D【解析】记事件A={△PBC 的面积小于1}，基本事件空间是三角形ABC 的面积,(如图)事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE 是三角形的中位线)，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34，所以P(A)=34.本题选择D 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（） A ．2030x ≤≤ B ．2045x ≤≤ C ．1530x ≤≤ D ．1545x ≤≤【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则2(1602)(50030)2130500y x x x x x =-⋅-+=-+-，(080)x <<，根据题意知，221305001300x x -+-≥，解得：2045x ≤≤，所以当2045x ≤≤时，每天获得的利润不少于1300元，故选B ．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．7．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对应的边分别为a,b,c 若30,C a ︒∠==，则B Ð等于（）A ．45︒B ．105︒C ．15︒或105︒D ．45︒或135︒【答案】C【解析】根据题中条件，结合正弦定理，先求出A ∠，再由三角形内角和为180︒，即可求出结果. 【详解】因为在ABC ∆中，30,C a ︒∠==，由正弦定理可得sin sin a c A C =，所以sin 1sin 22a C A c ===，所以45A ∠=或135，因此1804530105B ∠=--=或1801353015B ∠=--=. 故选C 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班，如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”，这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：初一年级平均值为2，方差为2 初二年级平均值为1，方差大于0 高一年级中位数为3，众数为4 高二年级平均值为3，中位数为4从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（） A ．初一年级B ．初二年级C ．高一年级D ．高二年级【答案】A【解析】根据平均值、方差、中位数以及众数的实际意义，即可得出结果. 【详解】能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差；平均值反应数据的平均水平，方差反应数据的波动大小，方差越大，波动越大.高一年级，知道中位数与众数，不能判断出是否达标，高二年级知道平均数与中位数，也不能判断是否达标；故排除CD ；初二年级，方差大于0，但不确定具体取值，因此初二年级也不能判断是否达标；初一年级，平均数和方差均为2，满足题意，因为若有一个数据大于5，方差必然大于2. 故选A 【点睛】本题主要考查平均数、方差、中位数、众数等，熟记其实际意义即可，属于基础题型.二、填空题9．若实数a ， b 满足02a <<， 01b <<，则a b -的取值范围是__________．【答案】()1,2-【解析】01,10b b <<∴-<-<，02,12a a b <<∴-<-<，故答案为()1,2-.10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为_______. 【答案】12【解析】根据23412()a a q a a +=+，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等比数列{}n a 公比为2，且123a a +=，所以23412()12a a q a a +=+=.故答案为12 【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型. 11．如图，若5N =，则输出的S 值等于_______【答案】56【解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行框图如下：输入5N =，初始值1,0k S ==；第一步：110122S =+=⨯，15<，进入循环；第二步：112112,2233k S =+==+=´，25<，进入循环；第三步：213213,3344k S =+==+=´，35<，进入循环；第四步：314314,4455k S =+==+=´，45<，进入循环；第五步：415415,5566k S =+==+=´，结束循环，输出56S =；故答案为56【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为______,此时x 的值为______.【答案】-3 2【解析】先将原式化为4()()1f x x x=-++，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为244()()1x x f x x x x-+-==-++，又0x >，所以44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号；此时244()()1413x x f x x x x-+-==-++≤-+=-.即()f x 最大值为3-，此时2x =. 【点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a =__,现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20,30)年龄段抽取的人数应为__【答案】0.035 10【解析】根据频率之和为1，结合频率分布直方图中数据，即可求出a 的值；根据分层抽样确定抽样比，进而可求出抽取的人数. 【详解】由题意可得，(0.0050.0150.0200.025)101a ++++⨯=，解得0.035a =；因为在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，20岁到50岁的市民中20岁到30岁所占比例为0.02510.0250.0350.0153=++，故在[20,30)年龄段抽取的人数应为130103⨯=.故答案为(1). 0.035 (2). 10 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分组直方图即可，属于基础题型.14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为：___,64a 的最大值为__. 【答案】{3,1,1,3}-- 2016【解析】根据1n n a a n +-=，10a =，逐步计算，即可求出3a 所有可能的取值；由1n n a a n +-=，要使n a 取最大值，只需{}n a 为增数列，得到1n n n a a +-=，由累加法求出n a ，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n a a n +-=，所以211a a -=，因此21a =或21a =-；又322a a -=，所以322a a -=±，因此312a =±或312a =-±，即3a 所有可能的取值为3,1,1,3--，故3a 所有可能的取值构成的集合为{3,1,1,3}--；若n a 取最大值，则{}n a 必为增数列，即10n n a a +->，所以有1n n n a a +-=，因此211a a -=，322a a -=，…，11n n n a a -=--，以上各式相加得112...(1)n n a a =+++--，所以(1)12...(1)2n n n n a -=+++-=，因此64636420162a ⨯==. 故答案为 (1). {3,1,1,3}-- (2). 2016 【点睛】本题主要考查数列的应用，由数列的递推公式求解即可，属于常考题型.三、解答题15．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2n an b =，判断数列{}n b 是否为等比数列。

北京市2019届海淀区高三期中试题(解析版)

2019届北京市海淀区高三第一学期期中试卷高三地理一、选择题。

1.科学家预测在2019年至2020年太阳表面将再度出现“无黑子”现象，又称为“白太阳”，预示着太阳活动将进入“极小期”。

据此，“白太阳”现象持续期间，①地球降水均增多，洪涝灾害更加频繁②极地附近出现“极光”的范围将扩大③地球磁场受到的干扰减弱，磁暴减少④太阳活动对无线电短波通讯干扰减弱A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④【答案】D【解析】【分析】“白太阳”预示着太阳活动将进入“极小期”。

“白太阳”现象持续期间，地球降水有的地方增多，有的地方减少。

地球磁场受到的干扰减弱，磁暴减少。

太阳活动耀斑减少，对无线电短波通讯干扰减弱。

【详解】太阳表面将出现“无黑子”现象，又称为“白太阳”，预示着太阳活动将进入“极小期”。

据此，“白太阳”现象持续期间，地球降水有的地方增多，有的地方减少，①错。

极地附近出现“极光”的次数将减小，②错。

地球磁场受到的干扰减弱，磁暴减少，③对。

太阳活动减少，对无线电短波通讯干扰减弱，④对。

D对，A、B、C错。

2018年9月3日至5日，中非合作论坛北京峰会顺利召开。

图1为非洲部分地区年平均气温和年降水量分布图。

读图，回答下列各题。

2. 峰会期间，A. 北京比金沙萨正午太阳高度角大B. 北京昼长夜短，昼渐短，夜渐长C. 北京日出东南，比开普敦日出早D. 地球公转和自转速度都逐渐减慢3. 图示区域A. 年降水量自西向东逐渐增加B. 年平均气温自南向北逐渐降低C. 甲地受寒流的影响，降温明显D. 乙地受东南季风影响，降水丰富【答案】2. B 3. C【解析】【2题详解】峰会期间，日期是9月3日至5日，太阳直射点距金沙萨较近，北京比金沙萨正午太阳高度角小，A错。

太阳直射点在北半球，正向南移动，北京昼长夜短，昼渐短，夜渐长，B对。

夏半年，北京日出东北，比开普敦日出早，C错。

地球向近日点靠近，公转速度在逐渐加快，D错。

故选B。

【3题详解】根据图例，图示区域年降水量自南向北逐渐增加，A错。

北京市海淀区2019年高一下数学期中考试试题及答案

北京市海淀区2019年高一下数学期中考试试题及答案一、选择题.9.410.12, 3-- 11. 1, 45-12. ①②③ 13. 5274,1614.11123I 0)))43234（）或1 (II)(0,(,(, 说明：12题如果填写两个选项给2分，只填一个选项不给分；其余两空题目都是每个空2分. 三、解答题15.解: ( I ) 2()(cos 24222f ππ=++= …………………….2分. ( II ) 因为22()sin 2sin cos cos cos2f x x x x x x =+++所以 ()1sin2cos2f x x x =++ …………………….4分所以π())14f x x =++ …………………….6分所以()f x 的最小正周期为 2π2π=π||2T ϖ== …………………….8分（Ⅲ）令πππ2π22π242k x k -≤+≤+ 所以3ππππ88k x k -≤≤+ 所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k k -+∈Z （）, …………………….10分16.解: ( I )解法一：设{}n a 的公差为d , 因为112n n a a n ++=+，所以有1223112122a a a a ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩ ，两式相减得到，21d =，即12d = ………………….2分代入得到112a = ………………….4分所以11+1)222n na n =-⋅=（ ………………….6分解法二：设{}n a 的公差为d ,则1+1),n a a n d =-⋅（ 11+,n a a n d +=⋅ ………………….2分所以111221)22n n a a a n d dn a d ++=+-⋅=+-（所以有1122=2dn a d n +-+对*n ∈N 成立，所以有12=112=2d a d ⎧⎪⎨-⎪⎩，解得11=21=2d a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ………………….4分所以11+1)222n na n =-⋅=（ ………………….6分 (II) 因为1(),2n n a a S n += 所以(1)4n n nS +=………………….9分（Ⅲ）因为13,,m m a a a 成等比数列，所以213()=m m a a a ………………….10分即213422m m=⋅………………….11分解得3,m =0m =(舍掉）所以3m = ………………….12分17. 解: ( I ) 由正弦定理sin sin a bA B=得到sin sin a B b A = ………………….2分所以有sin cos a B a B = ………………….3分所以sin cos B B =,即tan 1B = ………………….4分因为0,)B ∈π（, 所以π4B ∠= ………………….5分（II ）在ACE ∆中，根据余弦定理222=2cos CE AC AE AC AE CAE +-⋅∠ ………………….7分得到222π=424cos4CE +-⋅⋅（化简得CE ………………….8分在ACE ∆中，sin sin ACE CAEAE CE∠∠= ………………….9分化简得到sin ACE ∠ ………………….10分因为π2ACE CAP ∠+∠=，所以cos sin CAP ACE ∠=∠=所以在Rt ACP ∆中，cos AC CAP AP ∠=代入得到2AP = ……………….12分18解: (I) 3a 可能取的值 3,3,1,1-- ………………….2分 (II) 存在 ………………….3分这个数列的前6项可以为 1,2,1,212---，，（或者取1,23,210---，，，） ………………….5分（Ⅲ）1210|...|a a a +++的最小值为1 ………………….6分解法一：因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数因此1210,,...,a a a 中一定有5个奇数，5个偶数，所以1210|...|a a a +++一定是奇数，所以1210|...|1a a a +++≥令这10项分别为1,2,1,2121212----，，，，，，（或者为 1,2,3,2101234----，，，，，，，或者为1234,3,21012----，，，，，，，）则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分解法二：因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数又因为221()(1)n n a a +=+ 所以221()()12n n n a a a +--= 所以有2211101012a a a --= 22109912a a a --= ......2232212a a a --= 2221112a a a --=把上面的10个式子相加，得到221111210102(...)a a a a a --=+++ 所以有21210111|...||11|2a a a a +++=- 因为离11最近的奇数的平方是 9，所以有12101|...||911|=12a a a +++≥- 令这10项分别为1,2,1,2121212----，，，，，，（或者为 1,2,3,2101234----，，，，，，，或者为1234,3,21012----，，，，，，，）则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

北京市101中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)

北京101中学2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数sin 3cos3y x x =+的最小正周期是（） A. 6π B. 2πC.23πD.3π 【答案】C 【解析】【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】sin 3cos32(3))224y x x y x x x π=+⇒=+=+, 223T ππω==，故本题选C. 【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.2.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（） A. 72B. 60C. 48D. 36【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可知：由51340a a +=，可得9240a =，所以可求出920a =，再次利用此性质可以化简8910a a a ++为93a ，最后可求出8910a a a ++的值.【详解】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=⇒=⇒=，89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC ∆一定是（） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】试题分析：利用正余弦定理将sinC ＝2sin （B ＋C ）cosB 转化为22222a c b c a a b ac+-=⨯∴=，三角形为等腰三角形考点：正余弦定理4.00sin15cos15-的值等于（）B. -C. 2-D.2【答案】C 【解析】【分析】因为000154530=-，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出00sin15cos15-的值.【详解】0sin(4530)c sin15cos os(43)5501=----，00000000sin 45cos30cos 45sin 30(cos 45cos3sin15co 0sin s1545sin 30)︒︒⇒=--+-，001122sin15cos 221522222⇒=⨯---⨯=--，故本题选C. 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：00sin15cos15==-，00sin15cos125⇒==--.5.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2【答案】A 【解析】【分析】由,,a b c 依次成等比数列，可得2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，这样就可以判断出函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数.【详解】因为,,a b c 依次成等比数列，所以2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，因此函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为零个，故本题选A.【点睛】本题考查了等比中项的概念、一元二次方程根的判别式与相应二次函数与x 轴的交点个数的关系.6.在ABC ∆中，若45,B b c ===A =（） A. 15B. 75C. 75或105D. 15或75【答案】D 【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A.详解：因为sin sin b B c C =，所以πsin sin c B C b === 所以π2π,33C = 因此5ππ,1212A =，选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．7.在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:1:A B C =12ABC S ∆=，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是（）A. 2C. 2-D.【答案】C 【解析】【分析】在ABC ∆中，根据正弦定理，可以把sin :sin :sin A B C =可以进一步判断三角形的形状，利用12ABC S ∆=和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值. 【详解】在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对边,,a b c ，根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,已知sin :sin :sin 1:1:A B C =::a b c =然ABC ∆是等腰直角三角形，即,a b c ==，12ABC S ∆=11122b b b ⇒⋅=⇒=，因此有1,a b c ===cos()cos()cos()2424AB BC BC CA CA AB cb ab bc ππππππ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-，故本题选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.8.数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A.2nn + B.22nn + C.1n n + D.21nn + 【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和公式，化简数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求出数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】(1)123...12,2n n n n n n n a ++++++===114(1)(2)n n a a n n +=++，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11114()233445(1)(2)S n n =+++⨯⨯⨯++,111111111124()4()23344512222nS n n n n ⇒=-+-+-+++-=-=++++，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，利用裂项相消法求数列的前n 项和.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==，则n a =_________. 【答案】3n －1【解析】因为在等比数列{}n a 中，1254133,81,{81a q a a a q ===∴=，解得111,3,3n n a q a -==∴= ，故答案为13n - .10.已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________．【答案】2425【解析】因为1sin cos5αα-=，所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，即11sin225α-=，则24sin225α=.11.在ABC ∆中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B = _________. 【答案】13【解析】【分析】运用正弦定理实现边角转化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式，化简cos (3)cos b C a c B =-，最后求出cos B 的值. 【详解】根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,由cos (3)cos b C a c B =-，可得 sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B ⋅=⋅-⋅sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B⇒⋅+⋅=⋅，sin()3sin cos B C A B ⇒+=⋅，sin()3sin cos sin 3sin cos A A B A A B π⇒-=⋅⇒=⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠,所以1cos .3B =【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式，考查了公式恒等变换能力.12.在数列{}n a 中，111,21n n a a a n +=-=+，则数列通项n a = ________. 【答案】2n 【解析】【分析】根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前n 项和公式，可以求出数列{}n a 的通项公式.【详解】当2n ≥时，1122332211()()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+-+，2(211)(21)(23)(25)5312n n n a n n n n -+⇒=-+-+-++++==，当11,n a =也适用，所以2n a n =.【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.13.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P （单位圆与x 轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于_________.【解析】【分析】由三角函数的定义可以求出2P ，判断点2P 的位置，由已知点2P 的横坐标为45-，利用同角的三角函数关系，可以求出点2P 的纵坐标，可以得到4cos()35πα+=-， 3sin()35πα+=，再利用二角差的余弦公式求出cos α的值.【详解】由三角函数的定义可知：点2P 的坐标为(cos(),sin())33ππαα++，因为02πα<<，所以5336πππα<+<，所以点2P 在第二象限，已知点2P 的横坐标为45-，即4cos()35πα+=-，所以3sin()35πα+==，因此有413cos[()]cos()cos sin()sin 333333525os c ππππππαααα+-=+++=-⨯+==.【点睛】本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.14.设等差数列{}n a 满足22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】9,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已知等式22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，化简为sin(4)1d -=，根据()1,0d ∈-，可以求出d 的值，利用等差数列前n 项和公式和二次函数的性质，得到对称轴所在范围，然后求出首项1a 的取值范围.【详解】22222244484857sin cos cos cos sin sin sin()a a a a a a a a -+-+2222484857sin (1sin )cos (1cos )sin()a a a a a a ---=+2222484857sin cos cos sin sin()a a a a a a ⋅-⋅=+4848484857(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin()a a a a a a a a a a ⋅-⋅⋅⋅+⋅=+484857sin()sin()sin()a a a a a a -⋅+=+,数列{}n a 是等差数列，所以4857a a a a +=+，484a a d -=-，所以有sin(4)1d -=，而()1,0d ∈-，所以4(0,4)d -∈，因此428d d ππ-=⇒=-，2111(1)(1)2281616n n n n n n S na d na a n πππ--⎛⎫=+=-⨯=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为：1162a n ππ+=，由题意可知：当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，所以1168.59.52a ππ+<<，解得198a ππ<<，因此首项1a 的取值范围是9,8ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前n 项和公式，以及前n 项和n S 取得最大值问题，考查了数学运算能力.三、解答题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.已知12cos θ13=，()θπ,2π∈，求πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭以及πtan θ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】127;2617- 【解析】【分析】根据同角三角函数，求出sin θ，tan θ；再利用两角和差公式求解. 【详解】12cos 013θ=>，(),2θππ∈ 3,22πθπ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭5sin 13θ∴==-，sin 5tan cos 12θθθ==-5121sin sin cos cos sin 66613132πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5tan tan17412tan 54171tan tan 11412πθπθπθ+-+⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭---⨯ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.16.已知等差数列{}n a 满足12 23n n a a n +-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为l ，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）221n n --. 【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由 1223n n a a n +-=+ ，令 12n =、可得11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩，解得112.a d =⎧⎨=⎩，从而可得结果；（Ⅱ）由数列{}n n ab +是首项为1，公比为2的等比数列，可得12n n n a b -+=，结合（1）可得()1221n n b n -=--，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列{}n b 的前n 项和. 详解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1223n n a a n +-=+，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以()()11211,2,3,n a a n d n n =+-=-=.（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以()1221n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则()()1124213521n n S n -⎡⎤=++++-++++-⎣⎦()12112122n n n +--=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积是30,12cos 13A =. （1）求AB AC ⋅；（2）若1c b -=，求a 的值. 【答案】（1）144；（2）5. 【解析】【分析】（1）由同角的三角函数关系，由12cos 13A =，可以求出sin A 的值，再由面积公式可以求出bc 的值，最后利用平面向量数量积的公式求出AB AC ⋅的值；（2）由（1）可知bc 的值，再结合已知1c b -=，可以求出,b c 的值，由余弦定理可以求出a 的值.【详解】（1）5(0,)sin 13A A π∈∴==，又因为ABC ∆的面积是30，所以 1sin 301562bc A bc ⋅=⇒=，因此12cos 156144;13AB AC cb A ⋅=⋅=⨯= （2）由（1）可知156bc =，与1c b -=联立，组成方程组：1561bc c b =⎧⎨-=⎩，解得1312c b =⎧⎨=⎩或1213c b =-⎧⎨=-⎩，不符合题意舍去，由余弦定理可知：5a ===. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求a ，可以不求出,b c 的值也可以，计算如下：5.a ====18.在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出sin C 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出sin A ，最后利用正弦定理求出BC 长；（2）利用余弦定理可以求出AB 的长，进而可以求出BD 的长，然后在BCD ∆中，再利用余弦定理求出AB 边上中线CD 的长.【详解】（1）(0,)sin C C π∈∴==，sin sin()sin cos cos sin 10A B C B C B C π=--=⋅+⋅=，由正弦定理可知中： sinsin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：2AB ===，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD ∆中，由余弦定理可知：CD===【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.19.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{}n a的前n项和n mS a=，则称{}n a 是“回归数列”.（1）①前n项和为2nnS=的数列{}n a是否是“回归数列”?并请说明理由；②通项公式为2nb n=的数列{}n b是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设{}n a是等差数列，首项11a=，公差0d<，若{}n a是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a，总存在两个“回归数列”{}n b和{}n c，使得()n n na b c n N*=+∈成立，请给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）①是；②是；（2）1-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①利用公式11(2,)(1)n nnS S n n NaS n*-⎧-≥∈=⎨=⎩和2nnS=，求出数列{}n a的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；②求出数列{}n b的前n项和，按照回归数列的定义进行判断；（2）求出{}n a的前n项和，根据{}n a是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出d的值；（3）等差数列{}n a的公差为d，构造数列111(1),(1)()n nb a n ac n a d=--=-+，可证明{}nb、{}n c是等差数列，再利用等差数列前n项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）①当2,n n*≥∈N时，111222n n nn n na S S---=-=-=，当1n=时，112a S==，当2,n n*≥∈N时，1n nS a+=，1m n∃=+，所以数列{}n a是“回归数列”；②因为2n b n =，所以前n 项和2n S n n =+，根据题意22n n m +=，因为2(1)n n n n +=+一定是偶数，所以存在(1)2n n m +=，使得n m S a =，所以数列{n b }是“回归数列”；（2）设{}n a 是等差数列为1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，由题意可知：对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+，公差0d <，所以2m ∴<，又*,1,1m N m d ∈∴=∴=-；（3）设等差数列n a =1(1)a n d +-，总存在两个回归数列111(1),(1)()n n b a n a c n a d =--=-+，显然{}n b 和{}n c 是等差数列，使得()n n n a b c n N*=+∈，证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=，数列{n b }前n 项和11(1)2n n n B ma a -=-，1,1;2,1n m n m ==== 3n ≥时，(3)22n n -+为正整数，当(3)22n nm -=+时，m n b B =，所以存在正整数(3)22n nm -=+，使得m n b B =，所以{n b }是“回归数列”，数列{n c }前n 项和n C =1(1)()2n n a d -+，存在正整数(1)12n n m -=+，使得n m C c =，所以{n c }是“回归数列”，所以结论成立.【点睛】本题考查了公式11(2,)(1)n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，等差数列的前n 项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.。

北京市师大附中2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)

N1 : N2
:: N
”，据此在已知每层间的个体数量
或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．
【此处有视频，请去附件查看】
7.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为 4S，则它的一个底面面积是( )
A. 4S
B. 4πS
C. πS
D. 2πS
【答案】C
【解析】
由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径 2R，则 2R·2R＝4S，得 R2＝S.所以底面面积为πR2
2
6
棱锥 M ABCD 的体积小于 1 的长方体的体积V ' 11 1 1 ,四棱锥 M ABCD 的
6
22
体积小于 1 的概率 P V ' 1 ，故答案为 1 .
6
V2
2
15.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表
面积为_______________.
12
a2 2a
4
0
12 4 a2 即
0
3 a
5.
4
a 0
故答案为：A.
【点睛】本题考查了锐角三角形的概念以及余弦定理的应用，属于基础题.
5. 将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容
量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003．这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300
事件包含
AB
、
AB
、
AB
，又
P A
1 2
，
PB 1
6
，所以所事件的概率为
P
P
AB
P
AB
P

2019届北京市海淀区高三第二学期期中练习(一模)数学(理)试题(解析版)

2019届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，且，则可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用子集概念即可作出判断.【详解】∵∴，即故选：A【点睛】本题考查子集的概念，属于基础题.2．若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正确故选：D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．3．已知等差数列满足，则中一定为零的项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由得，，解得：，所以，，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.4．已知，则下列各式中一定成立（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用不等式的性质与指数函数性质即可作出判断.【详解】x，y的符号不确定，当x＝2，y＝－1时，，对于A，不成立，所以错误；对于B、也错；对于C，是减函数，所以，也错；对于D，因为，所以，，正确，故选D【点睛】本题考查不等式的性质，指数函数的单调性及均值不等式，考查反例法，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，即可得出结论．【详解】解：第1步：S＝2，x＝4，m＝2；第2步：S＝8，x＝6，m＝；第3步：S＝48，x＝8，m＝，退出循环，故选B【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．已知复数，则下面结论正确的是（）A．B．C．一定不是纯虚数D．在复平面上，对应的点可能在第三象限【答案】B【解析】利用共轭复数概念，模的计算，及几何意义即可作出判断.【详解】的共轭复数为：，所以A错误；，所以B正确；当时，是纯虚数，所以C错误；对应的点为（，1），因为纵坐标y＝1，所以，不可能在第三象限，D也错误.故选B.【点睛】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．7．椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．【详解】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．8．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）层化学化学层层生物层生物层A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.二、解答题9．已知函数的最大值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）化简f（x）为A sin（ωx+φ）+b的形式，根据最大值列出方程解出a；（2）结合正弦函数的单调性列出不等式解出【详解】（1）因为,所以函数的最大值为 ,所以,所以 .（2）因为的单调递增区间为，, 令 ,所以，函数的单调递增区间为，.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值及单调性，属于基础题.10．据《人民网》报道，“美国国家航空航天局发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少？（3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）甘肃省，青海省；（2）；（3）.【解析】(1)根据表格即可得到结果；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果；(3)的取值为0,1,2，分别求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望．【详解】(1) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省,人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.(2) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过，则.（3）新封山育林面积超过五万公顷有个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有个地区：内蒙、河北、重庆，所以的取值为所以，，.随机变量的分布列为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查古典概型概率公式，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.11．如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.【解析】(1)方法一：取中点为,连结,，要证平面，即证：,；方法二：以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，又因为,即可得证.(2)方法一：要证平面平面，转证平面即证；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.【详解】方法一：(1)取中点为,连结,由且,又点为中点，所以 ,又因为分别为,中点,所以 ,所以,所以共面于平面 ,因为,分别为中点, 所以,平面,平面,所以平面 .方法二：在直三棱柱中，平面又因为,以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题意得,.所以,,设平面的法向量为，则，即,令，得,于是 ,又因为,所以 ,又因为平面，所以平面 .（2）方法一：在直棱柱中，平面,因为，所以,又因为，且,所以平面 ,平面，所以,又，四边形为正方形,所以 ,又，所以,又，且,所以平面 ,又平面,所以平面平面 .方法二：设平面的法向量为，,，即 ,令，得,于是 ,,即，所以平面平面.（3）设直线与平面所成角为，则,设，则 ,,所以 ,解得或（舍）,所以点存在，即的中点，.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.12．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：函数存在极小值；（3）请直接写出函数的零点个数．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【解析】(1) 求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)，说明有可变零点即可；(3)由题意可得函数的零点个数．【详解】（1）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为（2）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以在上递减，在递增；所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以在上递减，在递增；所以时，函数取得极小值，问题得证.（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【点睛】本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判断，以及分类讨论思想方法，属于中档题．13．已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1），；（2）平行.【解析】(1)由到的准线的距离是与距离的3倍可得p值，从而得到抛物线的方程和的坐标；(2)方法一：设直线的方程为，对m分类讨论，分别计算二者的斜率，即可作出判断.方法二：先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可得出结论.【详解】(1)抛物线的准线方程为，焦点坐标为 ,所以有，解得 ,所以抛物线方程为，焦点坐标为 .(2)直线 ,方法一：设，，设直线的方程为联立方程消元得，,所以， ,,显然，直线的方程为 ,令，则，则,因为，所以 ,直线的方程为，令，则，则① 当时，直线的斜率不存在，，可知，直线的斜率不存在，则② 当时，，，则综上所述，方法二：直线(i) 若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，直线的方程为，则直线的方程为，即，令，则，则直线的斜率不存在，因此(ii) 设，，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消元得，，整理得，由韦达定理，可得，，因为，可得.显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则，则综上所述， .【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，直线的斜率和直线的位置关系，属于中档题．14．首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②.（1）请直接写出的所有可能值；（2）记，若对任意成立，求的通项公式；（3）对于给定的正整数，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）当为奇数时的最大值为; 当为偶数时，的最大值为.【解析】(1)由递推关系得到的所有可能值；(2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3)由（2）的证明知，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）的值可以取 .（2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，即数列的偶数项是单调递增数列，根据条件，，所以当对成立，下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，假设数列中存在同时为非负数，因为，若则有，与条件矛盾，若则有，与条件矛盾，所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，此时对成立，所以当时，，即，所以，，所以，即，其中，即，其中，又，，所以是以，公差为的等差数列，所以 .（3）记，由（2）的证明知，不能都为非负数，当，则，根据，得到，所以，当，则，根据，得到，所以，所以，总有成立，当为奇数时，，故的奇偶性不同，则，当为偶数时，，当为奇数时，，考虑数列：，，可以验证，所给的数列满足条件，且,所以的最大值为，当为偶数时，，考虑数列：，，-，， ,可以验证，所给的数列满足条件，且，所以的最大值为.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题.三、填空题15．已知成等比数列，且，则____．【答案】4【解析】利用等比中项可得＝16，结合对数运算性质可得结果.【详解】解：依题意，得：＝16，所以，＝4故答案为：4【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.16．在中，，则_______；_________.【答案】6【解析】利用余弦定理可得c值，由平方关系得到，借助可得结果.【详解】解：由余弦定理，得：＝36，所以，c＝6，由得：，所以，＝【点睛】本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．17．已知向量，同时满足条件①，②的一个向量的坐标为_____ .【答案】（答案不唯一）【解析】设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，结合，可得x的范围，进而可得结果.【详解】解：设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，＋＝（1＋x，－2＋y），由，得：，把y＝－2x代入，得：，化简，得：，解得：，取x＝－1，得y＝2，所以，＝（－1,2）（答案不唯一）故答案为：＝（－1,2）（答案不唯一）【点睛】本题考查向量共线的性质，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.18．在极坐标系中，若圆关于直线对称，则_____.【答案】【解析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a值.【详解】解：圆方程化为：，化为直角坐标方程为：，直线化为直角坐标方程为：，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（，0），所以，，解得：＝－1.故答案为：－1【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.19．设关于的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，则（1）当时，____；（2）若，则的取值范围是____．【答案】2【解析】(1)当时,作出可行域，数形结合即可得到结果，（2）恒过定点（0，1），对k分类讨论，数形结合即可得到结果.【详解】（1）当时，不等式组为，表示的平面区域如下图1，区域上的点B与点距离的最小，最小值为｜AB｜＝2，所以， 2（2）恒过定点（0，1），（i）当k＞0时，如图1，，符合题意（ii）当k＝0时，如图2，，符合题意（iii）当k＜0时，如图3，，解得：，综上可知的取值范围是.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.20．已知函数，，其中.若，使得成立，则____．【答案】【解析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果. 【详解】解：依题意，得：，化简，得：，因为.，所以，，即，所以，，因为，且，因为，有成立，所以，，所以，所以，，所以，.故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

海淀区2018-2019学年第一学期期中高一数学试题及答案

高一年级期中统一练习数学2019.04学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）sin30cos15cos30sin15︒︒+︒︒等于 ( )（A ）12（B）2 （C ）cos15︒ （D ）sin15︒（2）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）12（3）在ABC △中，1a =，2c =，30A ∠=，则C ∠等于 ( )（A ）45 （B ）60 （C ）90 （D ）120（4）已知直线m 和平面,αβ，则下列四个命题中正确的是（）（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若m α，m β，则αβ（C ）若αβ，m α，则m β（D ）若αβ，m α⊥，则m β⊥（5）如图，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和三棱锥1D ACD -后，得到一个n 面体，则这个n 面体的左视图和n 值为（）111A. B. C. D.（A ）6 （B ）6 （C ）7 （D ）7（6）已知π0,(,π)2αββ<<∈，1sin 2α=，4sin 5β=，则cos()αβ-等于（）（A（B（C（D （7）已知球O 的半径为1，,A B 是该球面上的两点，且线段1AB =，点P 是该球面上的一个动点（不与,A B 重合），则APB ∠的最小值与最大值分别是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（8）由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ 是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是（）（A ）BJ ⊥平面ADJ （B ）平面BCJ平面EAD（C ）平面ECB ⊥平面EAD （D ）BE ⊥AJ二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为. （10）在ABC △中，sin sin ,B C a ==，则B ∠=______.（11）已知正方形ABCD 的边长为1，将ADC △沿对角线AC 折起，若折叠后平面ACD ⊥平面ACB ，则此时点,B D 之间的距离是 . （12）已知π,(0,)2αβ∈，11tan ,tan 32αβ==，则αβ+= . （13）在ABC △中，4c =，30B ∠=︒，请给出一个b 的值，使得此三角形有两解，则bJI H G FEDCBA的一个值是 .（14）如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，111B B B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：. ① 四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形F BED 1的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知()2cos (sin )f x x x x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间; （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的取值范围.(16)（本小题共11分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，2AD =,AC =,60ADC ∠=︒.（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若△ABD的面积为2，求sin BAC ∠的值.ED 1C 1B 1A 1D CBA(17)（本小题共12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形. （Ⅰ）求证：//AD PBC 平面；（Ⅱ）若PB PD =，求证：BD PAC ⊥平面；（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4分，第（2）问满分5分） ①,E F 分别是,A B P D 上的点，若//EF PBC 平面,2AE EB =，求PF PD的值.②若60DAB ∠=︒，PAD ABCD ⊥平面平面，PB PD ⊥ ，判断△PAD 是否为等腰三角形？并说明理由.(18)（本小题共10分）已知非常数函数()f x 的定义域为R ，如果存在正数T ，使得x ∀∈R ，都有()()f x T T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有性质T . （Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;① 1()21f x x =-；②2()cos(2π1)f x x =+.（Ⅱ）若函数()sin()(0)f x x ωφω=+>具有性质T ，求ω的最小值; （Ⅲ）设函数()g x 具有性质T ，且存在0M >，使得x ∀∈R ，都有()g x M <成立，求证：()g x 是周期函数.DCBAP附加题：（本题满分5分。

北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套)

北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

人教版北京市海淀区2018-2019学年七年级(下)期中考试数学试卷(含答案)

2018-2019学年北京市海淀区七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共30分，每小题3分）第1～10题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．4的算术平方根是（）A．16B．±2C．2D．2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（）A．B．C．D．4．如图所示，AB∥CD，若∠1＝144°，则∠2的度数是（）A．30°B．32°C．34°D．36°5．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是（）A．内错角相等，两直线平行B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，内错角相等D．两直线平行，同位角相等6．如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是（）A．4B．5C．6D．77．小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A的坐标为（1，0），那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是（）A．（3.2，1.3）B．（﹣1.9，0.7）C．（0.7，﹣1.9）D．（3.8，﹣2.6）8．我们知道“对于实数m，n，k，若m＝n，n＝k，则m＝k”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余．其中正确的命题是（）A．①B．①②C．②③D．①②③9．如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值x后，输出的y值为4，则输入的x 值可能为（）A．1B．6C．9D．1010．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是x1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916 x2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256（）A．＝1.59B．235的算术平方根比15.3小C．只有3个正整数n满足15.5D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．（2分）将点A（﹣1，4）向上平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为．12．（2分）如图，数轴上点A，B对应的数分别为﹣1，2，点C在线段AB上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数．13．（2分）如图，直线a，b相交，若∠1与∠2互余，则∠3＝．14．（2分）依据图中呈现的运算关系，可知a＝，b＝．15．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知线段AB与x轴平行，且AB＝5，若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标是．16．（2分）一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在斜边AB上．现将三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数是．17．（2分）如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收．若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中号点的位置时，接收到的信号最强（填序号①，②，③或④）．18．（2分）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．回答下列问题：（1）如图1，直线P A，PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），当点Q落在区域时，线段PQ与AB相交（直接填写区域序号）；（2）在设计印刷线路板时，常常会利用折线连接元件，要求所有连线不能相交．如图2，如果沿着图中的格线连接印有相同字母的元件，那么一共有种连线方案．三、解答题（本大题共24分，第19，20题每题8分，第21～22每题4分）19．（8分）计算：（1）+（）2﹣；（2）．20．（8分）求出下列等式中x的值：（1）12x2＝36；（2）．21．下图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标：；（2）若中国人民大学的坐标为（﹣3，﹣4），请在坐标系中标出中国人民大学的位置．22．有一张面积为100cm2的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5：3，面积为150cm2，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．四、解答题（本大题共11分，23题5分，24题6分）23．（5分）如图，点D，点E分别在∠BAC的边AB，AC上，点F在∠BAC内，若EF∥AB，∠BDF＝∠CEF．求证：DF∥AC．24．（6分）已知正实数x的平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，求m；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，求x的值．五、解答题（本大题共19分，25～26每题6分，27题7分）25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（a，a﹣3），其中a为整数．点C在线段AB上，且点C的横纵坐标均为整数．（1）当a＝1时，画出线段AB；（2）若点C在x轴上，求出点C的坐标；（3）若点C纵坐标满足1，直接写出a的所有可能取值：．26．（6分）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°．（1）当∠AEF＝时，α＝；（2）当MN⊥EF时，求α；（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值：．27．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：若x1x2＝1，y1y2＝1，则称点A，B互为“倒数点”．例如，点A（，1），B（2，1）互为“倒数点”．（1）已知点A（1，3），则点A的倒数点B的坐标为；将线段AB水平向左平移2个单位得到线段A′B′，请判断线段A′B′上是否存在“倒数点”．（填“是”或“否”）；（2）如图所示，正方形CDEF中，点C坐标为（），点D坐标为（），请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由；（3）已知一个正方形的边垂直于x轴或y轴，其中一个顶点为原点，若该正方形各边上不存在“倒数点”，请直接写出正方形面积的最大值：．2018-2019学年北京市海淀区七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共30分，每小题3分）第1～10题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．【解答】解：∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选：C．2．【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限，故选：B．3．【解答】解：根据垂线段的定义可知，过点B画线段AC所在直线的垂线段，可得：故选：D．4．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CAB＝144°，∵∠2+∠CAB＝180°，∴∠2＝180°﹣∠CAB＝36°，故选：D．5．【解答】解：有平行线的画法知道，得到同位角相等，即同位角相等两直线平行．∴同位角相等两直线平行．故选：B．6．【解答】解：根据题意得：平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的图形为矩形ABCD，所以其面积为2×3＝6，故选：C．7．【解答】解：由图可知，（﹣1.9，0.7）距离原点最近，故选：B．8．【解答】解：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，是假命题．③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α＝∠γ，是假命题；故选：A．9．【解答】解：A．将x＝1代入程序框图得：输出的y值为1，不符合题意；B．将x＝6代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；C．将x＝9代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；D．将x＝10代入程序框图得：输出的y值为4，符合题意；故选：D．10．【解答】解：A．根据表格中的信息知：，∴＝1.59，故选项不正确；B．根据表格中的信息知：＜，∴235的算术平方根比15.3大，故选项不正确；C．根据表格中的信息知：15.52＝240.25＜n＜15.62＝243.36，∴正整数n＝241或242或243，∴只有3个正整数n满足15.5，故选项正确；D．根据表格中的信息无法得知16.12的值，∴不能推断出16.12将比256增大3.19，故选项不正确．故选：C．二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．【解答】解：将点A（﹣1，4）向上平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为（﹣1，7），故答案为：（﹣1，7），12．【解答】解：由C点可得此无理数应该在﹣1与2之间，故可以是，故答案为：（答案不唯一，无理数在﹣1与2之间即可），13．【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠3＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135°．14．【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2019的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2019，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2019；又∵n的平方根是2019和b，∴b＝﹣2019．故答案为：﹣2019，﹣2019．15．【解答】解：∵线段AB与x轴平行，∴点B的纵坐标为2，点B在点A的左边时，3﹣5＝﹣2，点B在点A的右边时，3+5＝8，∴点B的坐标为（﹣2，2）或（8，2）．故答案为：（﹣2，2）或（8，2）．16．【解答】解：∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝45°，∴∠EDB＝∠DFB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，故答案为15°．17．【解答】解：根据垂线段最短，得出当OQ⊥直线l时，信号最强，即当当P点运动到图中①号点的位置时，接收到的信号最强；故答案为：①．18．【解答】解：（1）当点Q落在区域②时，线段PQ与AB相交；（2）点A沿向上两个格、向右三个格、向下一个格连接，也可以沿向上两个格、向右两个格、向下一个格、向右一个格连接，两种方法；点B沿向下两个格、向右一个格连接，或向下一个格、向右一个格、向下一个格连接，或向右一个格、向下两个格连接，或向右一个格、向下一个格、向左一个格、向下一个格、向右一个格连接，共四种方法；点C只有一种连接方法，所以共6种方法．故答案为：②，6．三、解答题（本大题共24分，第19，20题每题8分，第21～22每题4分）19．【解答】解：（1）原式＝＝（2）原式＝＝．20．【解答】解：（1）x2＝3∴x＝±（2）x3﹣24＝3x3＝27∴x＝321．【解答】解：（1）北京语言大学的坐标：（3，1）；故答案是：（3，1）；（2）中国人民大学的位置如图所示：22．【解答】解：设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm．由题意得：5x•3x＝150，解得：x＝（负值舍去）所以长方形信封的宽为：3x＝3，∵＝10，∴正方形贺卡的边长为10cm．∵（3）2＝90，而90＜100，∴3＜10，答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．四、解答题（本大题共11分，23题5分，24题6分）23．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，∵∠BDF＝∠CEF，∴∠BDF＝∠A，∴DF∥AC．24．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b ∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x＝．五、解答题（本大题共19分，25～26每题6分，27题7分）25．【解答】解：（1）（2）由题意可知，点C的坐标为（a，a），（a，a﹣1），（a，a﹣2）或（a，a﹣3），∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标为0．由此可得a的取值为0，1，2或3，因此点C的坐标是（0，0），（1，0），（2，0），（3，0）（3）a的所有可能取值是2，3，4，5．故答案为：2，3，4，5．26．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵∠CFE＝α，∠AEF＝，∴α+＝180°，∴α＝120°；（2）如，1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD．∵∠ANM＝160°，∴∠NMP＝180°﹣160°＝20°，又∵NM⊥EF，∴∠NMF＝90°，∠PMF＝∠NMF﹣∠NMP＝90°﹣20°＝70°．∴α＝180°﹣∠PMF＝180°﹣70°＝110°；（3）如图2，∵FQ平分∠CFE，∴∠QFM＝，∵AB∥CD，∴∠NEM＝180°﹣α，∵MN∥FQ，∴∠NME＝，∵∠ENM＝180°﹣∠ANM＝20°，∴20°++180°﹣α＝180°，∴α＝40°．故答案为：120°，40°．27．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2＝1，y1y2＝1，A（1，3），∴x2＝1，y2＝，点B的坐标为（1，），将线段AB水平向左平移2个单位得到线段A′B′，则A′（﹣1，3），B′（﹣1，），∵﹣1×（﹣1）＝1，3×＝1，∴线段A′B′上存在“倒数点”，故答案为：（1，）；是；（2）正方形的边上存在“倒数点”M、N，理由如下：①若点M（x1，y1）在线段CF上，则x1＝，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则y1＝，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则y1＝，点N（x2，y2）应当满足y2＝，∴点N只可能在线段DE上，N（，），此时点M（，）在线段EF上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点”M（，），N（，）；（3）如图所示：一个正方形的边垂直于x轴或y轴，其中一个顶点为原点，则该正方形有两条边在坐标轴上，∵坐标轴上的点的横坐标或纵坐标为0，∴在坐标轴上的边上不存在倒数点，又∵该正方形各边上不存在“倒数点”，∴各边上点的横坐标和纵坐标的绝对值都≤1，即正方形面积的最大值为1；故答案为：1．。

北京市海淀区2018-2019学年高一下期中练习数学试卷及答案

海淀区高一年级第二学期期中练习数学 2019.4学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-=A．2 B．2 C ．12- D ．122. 已知1tan 3α=，则tan2α=A.34B.38C.1D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα=4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为12的等比数列 5.在△ABC 中，∠B ＝60°，c ＝2，bC ＝ A. 45°6.1135(2n -+++++-A.21n -B. 7. 已知△ABC A ．310 C ．35 8.已知钝角．．三角形ABC 则该等差数列的公差d A.02d << B. 1sin10-=A ．2B ．2-C ．4D ．4-10.已知数列{}n a 的通项公式2n a n =，数列{}n b 的通项公式2n n b =,则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭A.既有最大值，也有最小值B. 仅有最大值，而无最小值C.既无最大值，也无最小值D. 仅有最小值，而无最大值二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.若等差数列{}n a 的通项公式12n a n =-，则其公差d =_______.12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________. 13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=_________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________.16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N . （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1：步骤1：还需要直接测量的线段为步骤2：计算线段计算步骤：步骤3：计算线段计算步骤：步骤4：计算线段计算步骤：A γαβ海淀区高一年级第二学期期中练习答案数学 2019.4学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.2- 13.31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分（Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=-- ----------------------------------------------------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分 18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分 1cos2sin2x x =++------------------------------------------------------------8分π1)4x =+-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x ∈，所以ππ3π2[,]444x +∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x 在区间π[0,]4上的值域为[2,1.------------------------------------------------12分19. （本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124a S =-，即1124a a =-，-------------------1分解得14a =-. ----------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124,1,n n a S n n --=->∈N ，--------------------------3分所以1122,1,n n n n a a S S n n ---=->∈N ，即122,1,n n n a a a n n --=>∈N ，----------------4分整理得12,1,n n a a n n -=>∈N ， --------------------------------------5分因为140a =-≠，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列. ----------------------------------------------------------6分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a 是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n n n a -+=-⨯=-， ----------------------------------------------------------------7分所以212222n n n b a n n +=+=-+， ---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b 的前n 项和n T 是一个等比数列与等差数列的前n 项和的和-----------------9分由等比数列和等差数列的前n 项和公式可得8(14)(22)142n n n nT --+=+- ----------------------------------------------------------11分 28(41)3nn n =+-⨯-.20. （本小题共10分）Aγαβ解1：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC -------------------------------------------2分步骤2：计算线段PC 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；---------------3分由正弦定理可得sin sin BC PCBPC PBC =∠∠， --------------------------------5分整理可得sin sin()BC PC ββγ=-； ---------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC =∠∠， ---------------------------------------8分整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB =∠∠， ---------------------------------5分整理可得sin sin()BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。

北京海淀区2018-2019年高二下学期期中考试数学试卷及答案(可编辑修改word版)

海淀区高二年级第二学期期中练习数学2019.4 本试卷共4 页，100 分。

考试时长90 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数1-i 对应的点位于A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）函数f (x) =x ln x 的导数f '(x) 为A.ln x +1B.ln x -1C. 1+1xD. 1-1x（3）在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 且过原点的圆的方程可以是A．(x -1)2 +(y -1)2 = 2 B．(x +1)2+(y + 2)2=C．(x -1)2 +(y +1)2 = 4 D．(x - 2)2 +y2 = 4（4）双曲线2x2 -y2 = 4 的焦点坐标为A．(0，- 6) 和(0，6)B． (- 6, 0) 和( 6, 0)C．(0，- 2) 和(0，2)D． (- 2, 0) 和( 2, 0)（5）如图，曲线y =f (x) 在点P(1, f (1)) 处的切线l 过点(2, 0) ，且f '(1) =-2 ，则f (1) 的值为A．-1 B．1C． 2 D．32y （6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t 0 时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h 0 . 水面高度 h 是时间t 的函数，这个函数图象只可能是CD（7）设 z 为复数，则“ z = -i ”是“ i ⋅ z = z 2 ”的A ．充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C ．充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（ 8）已知直线 l 1 ： mx - y + m = 0 与直线 l 2 ： x + my -1 = 0 的交点为 Q ，椭圆x 2 + 24= 1 的焦点为 F 1 , F 2 ，则 QF 1 + QF 2 的取值范围是A ．[2, +∞)B ．[2 3, +∞)C ．[2, 4]D ．[2 3, 4]AB二、填空题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。

北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷

北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷2018年11月7 日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 设集合A ＝{a ,2a ,0}，B ＝{2,4}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．±2 CD2.计算2log A ） A. 43 B. 34 C. －43 D. －343. 下列函数中，是偶函数的是（D ）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝x x e e --D ．f (x )＝|x |4. 函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是（B ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5.已知(1)f x +()f x 的大致图象是（A ）A. B. C. D.6. 设a ＝2log 5，b ＝3log 5，c ＝3log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（B ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b7. 已知[1,2]x ∈，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞8. 设函数()1[]f x x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数log a y x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（D ）A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9. 计算：ln1e ＝________. 110. 已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是 .(,1]-∞11.函数()log ()x a f x a a =-(01)a <<的定义域为__________.(1,)+∞ 12. 已知()f x ＝21,11,1x x x x ⎧-⎨-+>⎩≤，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．－1；0或213. 已知函数2()22f x ax x =--在区间[1,)+∞上不．单调，则实数a 的取值范围是________. (0,1)14. 如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f作用下的象，则下列说法中： ① 映射f 的值域是；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，其中正确说法的序号是___________.③说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.（本小题满分10分）已知集合2{0}A x x x =-<，2{20}B x x x m =--<.（Ⅰ）求A R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由20x x -<得，01x <<，故(0,1)A =， .. 2分所以A R ð=(,0][1,)-∞+∞． .................... 5分（Ⅱ）法1：若B =∅，则2(2)40m -+≤，故1m ≤-； 7分若B ≠∅，则不满足A B =∅． ............... 9分综上所述，实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ..... 10分法2：由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立，即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立． ......... 7分22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-， .......... 9分所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ... 10分16. （本小题满分10分）R 上的奇函数．（Ⅰ）求()f x 的解析式及值域；（Ⅱ）判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明．解：（Ⅰ）由题知，(0)0f =，即：00212a -=+，故1a = .................... 3分因为2(0,)x ∈+∞，所以12(1,)x +∈+∞，212x+(0,2)∈， ()(1,1)f x ∈-．............................. 5分（Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ............... 6分证明：设12,x x ∀∈R ，12x x <，则210x x x ∆=->，21()(y f x f x ∆=- 所以函数()f x 在R 上是增函数． ............. 10分17.（本小题满分10分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元．（Ⅰ）求出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？解：（Ⅰ）当030,x x ≤≤∈N 时，40010001400y x x x =+=； 2分当3060,x x <≤∈N 时，400[100020(30)]y x x x =+--⋅2202000x x =-+， ............................ 4分故21400,030,202000,3060,x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N............ 5分（Ⅱ）当030,x x ≤≤∈N 时，14003042000y ≤⨯=元，此时x ＝30； ........... 7分当3060,x x <≤∈N 时，2205020005050000y ≤-⨯+⨯=元，此时x ＝50． .... 9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元．10分 Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18. 已知函数121()log f x x x =-，若0＜a ＜b ＜c ，且满足()()()0f a f b f c <，则下列说法一定正确的是（AB ）A ．()f x 有且只一个零点B ．()f x 的零点在(0,1)内C ．()f x 的零点在(,)a b 内D ．()f x 的零点在(,)c +∞内 19.关于函数()f x =的性质描述，正确的是（ABD ）A ．()f x 的定义域为[1,0)(0,1]- B ．()f x 的值域为(1,1)- C ．()f x 在定义域上是增函数 D ．()f x 的图象关于原点对称20. 在同一直角坐标系下，函数x y a =与log a y x =(0a >,1a ≠)的大致图象如图所示，则实数a 的可能值为（A. 32B. 43C. 75D. 107 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21. 已知函数3, 0()1, 0x a x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[1,)+∞ 22. 非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．{0,1}或{－1,1}，23. 已知直线y ax =上恰好存在一个点关于直线y =x 的对称点在函数ln y x =的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．只需满足0a <或a e =即可．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.（本题满分14分）若函数()f x 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数()f x 为“0-1函数”. （Ⅰ）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①1y x -=； ②22y x x =-+.（Ⅱ）若函数()x f x a b =+是“0-1函数”，求()f x ；（Ⅲ）设()log a g x x =(0,1)a a >≠，定义在R 上的函数()h x 满足：① 对∀1x ,2x ∈R ，均有121221(1)()()()2h x x h x h x h x x +=⋅--+；② [()]g h x 是“0-1函数”，求函数()h x 的解析式及实数a 的值．7分解：（Ⅰ）①不是，因为图象不过(0,0)点；②是，因为图象恒过(0,0)和(1,1)两点． ..... 4分（Ⅱ）由(0)0f =得，00a b +=，故1b =-；由(1)1f =得，11a b +=，故2a =．所以，()21x f x =-． ........................ 7分（Ⅲ）令120,x x x ==得，(1)(0)()()2h h h x h x =-+，令12,0x x x ==得，(1)()(0)(0)2h h x h h x =⋅--+，所以，()(0)h x h x =+． ....................... 10分由②知，[(0)]0g h =，又函数()g x 是单调函数，故(0)1h =，从而()1h x x =+，(1)2h =， ........... 13分由②又知，[(1)]1g h =，于是log 21a =，故2a =． .. 14分。

北京市海淀区北京一零一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题含解析

北京101中学2018－2019学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.不等式1 xx->0的解集是（）A. （－∞，0）U（1，+∞）B. （－∞，0）C. （1，+∞）D. （0，1）【答案】A【解析】【分析】由题意可得，()1010xx xx->⇔->，求解即可.【详解】()1010xx xx->⇔->，解得1x>或0x<，故解集为（－∞，0）U（1，+∞），故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.2.如图，长方体1111ABCD A B C D-的体积为1V，E为棱1CC上的点,且113CE CC=，三棱锥E－BCD的体积为2V，则21VV=（）A.13B.16C.19D.118【答案】D【解析】【分析】分别求出长方体1111ABCD A B C D -和三棱锥E －BCD 的体积，即可求出答案. 【详解】由题意，11ABCD V S CC =⋅，21111113321318BCD ABCD ABCD V S CE S CC S CC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭V ，则21118V V =. 故选D.【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是所在棱的中点，则MN 与平面1BB D 的位置关系是（）A. MN ⊂平面1BB DB. MN 与平面1BB D 相交C. MN //平面1BB DD. 无法确定MN 与平面1BB D 的位置关系【答案】C 【解析】【分析】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，可证明平面//EMN 平面1BB D ，由于MN ⊂平面EMN ，可知//MN 平面1BB D .【详解】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，显然11//,////EM BD EN CC BB ，因为EM ⊄平面1BB D ，EN ⊄平面1BB D ，所以//EM 平面1BB D ，//EN 平面1BB D ，又EM EN E =I ，故平面//EMN 平面1BB D ，又因为MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面1BB D . 故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线面平行、面面平行的证明，属于基础题.4.已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（） A. 11x y x y->- B. cos cos 0x y -<C.110x y-> D. ln x +ln y >0【答案】A 【解析】【分析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确；对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确；对于选项C ，110y x x y xy--=<，故C 错误；对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.5.等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A. a 1＝1 B. a 3＝1 C. a 4＝1 D. a 5＝1【答案】B 【解析】分析：由题意知25511T a q （）==，由此可知211a q =，所以一定有31a =．详解2342551111111T a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅⋅==：（）， 211a q ∴= ，31a ∴= ．故选：B ．点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6.设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（） A. α内有无数条直线与β平行 B. α，β平行于同一条直线 C. α，β垂直于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面【答案】C 【解析】【分析】对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】对于选项A ，当α，β相交于直线l 时，α内有无数条直线与β平行，即A 错误；对于选项B ，当α，β相交于直线l 时，存在直线满足：既与l 平行又不在两平面内，该直线平行于α，β，故B 错误；对于选项C ，设直线AB 垂直于α，β平面，垂足分别A,B ，假设α与β不平行，设其中一个交点为C ，则三角形ABC 中，90ABC BAC ︒∠=∠=，显然不可能成立，即假设不成立，故α与β平行，故C 正确；对于选项D ，α，β垂直于同一平面，α与β可能平行也可能相交，故D 错误. 【点睛】本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7.如图，A ，B 是半径为1的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中△P AB 的面积的最大值为（）A.1sin 2β+sin2β B. sin β+12sin2β C.β+sin βD.β+cos β【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得，22sin AB R APB==∠，则2sin AB β=，12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大，求解即可. 【详解】在ABP △中，由正弦定理可得，22sin ABR APB==∠，则2sin AB β=.12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB 的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大. 取AB 的中点C ，过点C 作AB 的垂线，交圆于点D ，取圆心为O ，则2221sin cos OC OB BC ββ=-=-=（β为锐角），1cos CD DO OC β=+=+.所以ABP △的面积最大为()()1112sin 1cos sin sin cos sin sin 2222S AB DC βββββββ=⋅=⋅+=+=+. 故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.8.已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A=PB=PC ，△ABC 2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°.则球O 的体积为（） A. 86π B. 43πC.6πD.3π2【答案】D 【解析】【分析】计算可知三棱锥P －ABC 的三条侧棱互相垂直，可得球O 是以P A 为棱的正方体的外接球，球的直径23d PA O 的体积.【详解】在△P AC 中，设PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，,0EC y x =>，0y >，因为点E ，F 分别是P A ，AB 的中点，所以1,2EF PB x AE x ===，在△P AC 中，22cos 222x θ=⨯⨯，在△EAC 中，22cos 22x θ=⨯⨯整理得221x y -=-，因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以6CF =，又因为∠CEF =90°，所以2232x y +=，所以12x =，所以21PA PB PC x ====.又因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以P A,PB,PC 两两垂直，则球O 是以P A 为棱的正方体的外接球，则球的直径233d PA ==，所以外接球O 的体积为33443πππ3322d V r ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.二、填空题。

北京市海淀区2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上.
9.已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则其侧面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.
【详解】由题意，圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，
17.已知四棱锥
的底面是菱形.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
求证：
；
（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分 4 分，第（2）问满分 5 分）
① 分别是
上的点，若
,
，求的值.
②若
，
，
，判断△ 是否为等腰三角形？并说
明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由四边形是菱形，所以
沿对角线折起，若折叠后平面 ⊥平面，
则此时点之间的距离是__________________.
【答案】1
【解析】
【分析】
取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，证明平面，得出
，利用勾股定理，即可求
解.
【详解】取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，
因为
为的中点，所以
，
因为平面
平面，平面
【详解】由题意
，
，则
，所以
，
因为
，所以或（舍去），
则
，
则
，故选 A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.