南航流体力学chap1b

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矢量场的散度
电磁学的例子
Maxwell方程 Maxwell 方程
v ∇• E = ρ /ε v ∇•B = 0
不可压流动的例子 相关性质
散度定理 Laplacian
v ∇ •V = 0
∆p = ∇ • ∇ p
矢量场的散度
练习
求下式的散度 1. cx
u=
2.
x2 + y
,v= 2
cy x2 + y2
v 0 k ∂ ∂ = ∂ z ∂z Vz − ∂ ∂y
−
矢量场的旋度
柱坐标系
r 1 ∂ ∇ ×V = r ∂r Vr rθ ∂ ∂θ rVθ z ∂ ∂z Vz
球坐标系
r 1 ∂ ∇ ×V = 2 r sin θ ∂r Vr
rθ ∂ ∂θ rVθ
r sin θ φ ∂ ∂φ r sin θVφ
矢量场的积分
面积分
v pdS
∫∫
S
v v A ∫∫ • dS
S
v v A ∫∫ × dS
S
矢量场的积分
体积分
∫∫∫ ρdV
V
v A ∫∫∫ dV
V
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三条定理
Stokes 定理
散度定理 梯度定理
v v v A • d S = ( ∇ • A )dV ∫∫ ∫∫∫
S V
v v v v A • d l = ( ∇ × A ) • d S ∫ ∫∫
Leonhard Paul Euler (1707-1783)
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
微分观点、流体微元
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积分观点、控制体
控制体的体积变化率
运动流体微团单位体 积的体积变化率即其 速度的散度 对于质量恒定、有限大小的任意控制体
v v v DV = ∫∫ V • dS = ∫∫∫ (∇ • V )dV S V Dt
C S
∫∫
S
v pdS = ∫∫∫ ∇pdV
V
第一章 流体力学的基础知识
基本任务和应用领域 流体力学的研究方法 流体力学发展概述 流体介质的物理特性 气动力、力矩及气动力系数 矢量和积分 控制体、流体微团以及物质导数
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流动的模型化
Euler方法与 Euler 方法与Lagrange Lagrange方法 方法
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流 体 力 学
Fluid Mechanics
第二部分
张震宇 南京航空航天大学 航空宇航学院 C12-413 zyzhang@nuaa.edu.cn
第一章 流体力学的基础知识
基本任务和应用领域 流体力学的研究方法 流体力学发展概述 流体介质的物理特性 气动力、力矩及气动力系数 矢量和积分 控制体、流体微团以及物质导数
u=
cy − cx , v = x2 + y 2 x2 + y2
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矢量场的旋度
v curl V v ∇ ×V
笛卡尔坐标系
v i ∂ ∇ ×V = ∂x Vx v j ∂ ∂y Vy
v ∇ × F = lim
A→ 0
v v F ∫ • dl
C
A ∂ ∂z 0 ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ − V ∂x 0
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标量场的梯度
笛卡尔坐标系
∂p ∂p ∂p ∇p = ∂x , ∂y , ∂z
∇p = ( ∂p ∂p ∂p , , ) ∂r r∂θ ∂z
柱坐标系
球坐标系
∇p = (
∂p ∂p 1 ∂p , , ) ∂r r∂θ r sin θ ∂φ
矢量场的散度
v div F
v ∇ • F = lim
V →0
v v F ∫∫ • dS
S
V
笛卡尔坐标系 ∂Vx ∂V y ∂Vz + + ∂x ∂y ∂z 柱坐标系 1 ∂ ( rVr ) 1 ∂Vθ ∂Vz + + r ∂r r ∂θ ∂z 球坐标系
1 ∂ ( r 2Vr ) 1 ∂ (Vθ sin θ ) 1 ∂Vφ + + r 2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
典型的坐标系
笛卡尔坐标系 柱坐标系 球坐标系
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标量场的梯度
等值线、面
v p( r ) = const
标量场的梯度
梯度 grad p
∇p
量值：单位长度的最大变化率 方向：变化率最大的方向
p
p + ∆p N
en
M el
P
方向导数 全微分
dp v = ∇p • n ds
v dp = ∇p • dr
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矢量场上的微积分
标量场与矢量场 v q = q( r , t )
v v v V = V (r , t )
举例常见的标量和矢量 矢量代数 矢量加法、结合律、交换律
A+ B = B+ A A + ( B + C ) = ( A + B) + C
矢量叉乘与点乘、结合律、交换律
A • B = ∑ ai bi A • B = B • A = AB cos θ A • (B + C) = A • B + A • C
A× B = −B × A | A × B |= AB sin θ A × (B + C ) = A × B + A × C
v v e1 e2 A × B = a1 a2 b1 b2
v e3 a3 b3
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特殊的矢量混合运算法则
A • ( B × C ) = B • (C × A) = C • ( A × B) ( A • B)C ≠ A( B • C ) A × ( B × C ) ≠ ( A × B) × C
对于无限小的微元
v 1 DδV ∇ •V = δV Dt
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物质导数
移至第二章控制方程的推导部分
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电磁学的例子
v v ∂B Maxwell方程组 Maxwell 方程组 ∇ × E = − ∂t v v ∂E ∇ × B = µ0 J + ε 0 µ0 ∂t 位流的无旋条件 v ∇ ×V = 0
矢量场的积分
线积分
∫
b
a
v v A • dl
v v A ∫ • dl
C
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