2019届浙江省名校协作体高三下学期2月联考数学试题(解析版)

2019届浙江省名校协作体高三下学期2月联考数学试题一、单选题1．设集合{}23A x x =-≤<，N 是自然数集，则A N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}1,2【答案】C【解析】由自然数的涵义即可求出交集. 【详解】由题意得{}0,1,2A N =I ， 故选:C ． 【点睛】本题考查集合的运算，熟记集合的交集运算法则是解题的关键． 2．二项式的展开式中常数项为（ ）A ．－15B ．15C ．－20D ．20【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为.【考点】二项式定理.3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥B ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βC ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βD ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】C【解析】对于A ，可以翻译为：垂直于同一个平面的两个平面垂直，显然容易判断； 对于B ，由线面平行的定义即可判断； 对于C ，利用线面平行的判定及性质可判断；对于D ，由空间两直线的位置关系来判断. 【详解】对A ：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故平面α与平面γ平行或相交，故错误；对B ：直线m 可能在平面β内，也可能与平面β平行，故错误；对C ：由//m α得存在m α'⊂使得//m m '，又因为//αβ，所以存在m β''⊂，使得//m m '''，则//m m ''，又因为m β⊄，所以//m β，故正确；对D ：直线m 与直线n 可能相交、平行或异面，故错误. 故选：C. 【点睛】本题考查线线关系、线面关系中的平行的判定、面面关系中垂直的判定，要注意判定定理与性质定理的综合运用，是基础题.4．将函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 【答案】A【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则232k πϕπ=+，即6k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为6π=ϕ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移变换求出解析式是解决本题的关键．5．函数()2()2ln ||f x x x =-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据函数解析式，先判断函数()f x 奇偶性，再结合01x <<的函数值，即可排除错误选项. 【详解】函数()2()2ln ||f x x x =-⋅的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，()22()()2ln ||2ln ||()f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦， 所以函数()2()2ln ||f x x x =-为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，D ；当01x <<时，()()22()2ln ||2ln 0f x x x x x =-=->，排除C ； 故选：B. 【点睛】本题考查函数的图象与性质，由函数解析式判断函数图象的应用，属于基础题. 6．非零实数x ，y 满足||||||x y xy x y xy ++=+-的充要条件是（ ）A ．0x y +=B ．0xy <C ．()0x y xy +>D ．()0x y xy +≤【答案】D【解析】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案. 【详解】由绝对值不等式的性质，可得||||||x y xy x y xy ++≥+-，当且仅当()0x y xy +≤时，等号成立，所以“||||||x y xy x y xy ++=+-”的充要条件为“()0x y xy +≤”． 故选：D 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质、充要条件，属于基题．|||||()()|a b c d a b c d +++≥+±+是绝对值不等式中常用的性质．7．不等式组0,40,(0)x y x y m x m +⎧⎪-+>⎨⎪⎩……„表示的平面区域的面积是9，则m 的值是（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．1【答案】D【解析】画出不等式组所表示的平面区域，求得顶点的坐标，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】画出不等式组0,40,(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示，得到平面区域是以(2,2),(,),(,4)m m m m --+为顶点的三角形区域（包含边界），则该区域的面积为1[(2)][4()]92m m m --+--=，解得1m =（舍负）. 故选：D .【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及三角形面积公式的应用，其中解答中准确作出不等式组所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力.8．连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，记ξ为出现6点的次数，则()D ξ=（ ） A ．16B ．12C ．156D ．512【答案】D【解析】根据连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，是一个独立重复试验，服从二项分布，得到成功概率，然后代入()D ξ公式求解， 【详解】由题意得每次掷骰子的概率都为16，且每次的结果互不影响， 则1~3,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以115()316612D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查二项分布的方差的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．若平面向量a →，b →，e →满足||2a →=，||3b →=，||1e →=，且()10a b e a b →→→→→⋅-⋅++=，则||a b →→-的最小值是（ ）A ．1BC D【答案】B【解析】由题目条件可先求出||a b e →→→+-，再根据向量模的不等式求出||a b →→+的值域，由2226||||a b a b →→→→++=-即可求出min ||a b →→-.【详解】由题意得||a b e →→→+-===又因为||||||||||a b e a b e a b e →→→→→→→→→+-+-++剟，所以1||1a b →→+剟，当a b →→+与e →同向时，1=||a b →→+，a b →→+与e →反向时，1=||a b →→+，又因为2222||||2||||26a b a b a b →→→→→→⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭，所以min||a b →→-===故选：B 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以||a b e →→→+-为中间量是解题的关键.10．在三棱锥S ABC -中，SCA θ∠=，ACB πθ∠=-，SB 与AC 所成的角为α，下列判断一定正确的是（ ）A ．θα…B ．θα„C ．2πθα+…D ．2a πθ+„【答案】A【解析】先分析出三棱锥S ABC -可以看成是在ABS V 的边BS 上取一点C ，将ACS V 沿AC 折叠而成，分别分析C 点趋近于,B S 的结论，再对SCA ∠与2π的大小关系分析. 【详解】因为SCA θ∠=，ACB πθ∠=-，所以三棱锥S ABC -可以看成是在ABS V 的边BS 上取一点C ，将ACS V 沿AC 折叠而成，则易得当点C 趋近于点B 时，2πθα+„， 当点C 趋近于点S 时，2πθα+…，C ，D 错误；若2SCA πθ∠==，易得AC ⊥平面BCS ，有AC SB ⊥，则θα=；若2SCA πθ∠=>，因为异面直线的夹角不大于2π，所以此时a θ>； 若2SCA πθ∠=<，易得SA 是在以AC 为轴的圆锥上运动，由图易得当点S 运动到点2S 的位置时，直线SB 与AC 的夹角最大，为SCA θ∠=，所以θα>故选：A . 【点睛】本题考查空间异面直线的夹角,三棱锥的性质，考查了空间想象能力.二、双空题 11．若复数121i z i i -=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为________，z =________. 【答案】-3 3【解析】化简可得3z i =-即可求虚部与模长. 【详解】由题得()21222322i iz i i i --=-=-=-,z ∴的虚部为3-,()2033z =+-=. 故答案为：3-,3 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与虚部的定义和模长的计算等.属于基础题型.12．已知直线l 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为________，离心率为________【答案】3± 2【解析】设点1F关于直线l的对称点()00,F x y'，可得0022y ax c by x cab⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得求出点()00,F x y'，再根据点F'在双曲线C的另一条渐近线上，化简整理即可求出．【详解】双曲线22221()0,0x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±，设直线l为by xa=-，则另一条渐近线为by xa=，()1,0F c-Q，设点1F关于直线l的对称点()00,F x y'，∴0022y ax c by x cab⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得20022,b abx c yc c=-=，∴222ab b bcc a c⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，即22222a b c=-，∴22222222222,22a c a c ab a b=--=--，即2 3c a a b==，∴双曲线C的渐近线的斜率为32cea==.故答案为：32．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了点的对称，双曲线的渐近线方程，属于中档题．13．某几何体的三视图如图所示（数量单位是cm），则它的体积是________3cm，表面积是________2cm.【答案】931863+ 【解析】根据三视图还原几何体，根据锥体的体积公式和表面积计算，即可求得结果. 【详解】.由三视图得该几何体底面是一个以上底为2，下底为4，高为3的直角梯形，高为33的四棱锥，则其体积为1332493332+⨯⨯⨯=， 表面积为1332411133333234518632222222+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：93；1863+.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及求锥体的体积和表面积，根据三视图正确还原几何体是解题的关键，属于中档题.14．四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，H 是SBC V 的垂心，且AH ⊥平面SBC ，则三对对棱SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中互相垂直的有________对，若H 也是SBC V 的重心，则二面角S BC A --的正弦值为________.【答案】363【解析】利用垂直射影则垂直斜线，易证对棱垂直；先确定二面角的平面角，再结合垂心定理设值 计算即可. 【详解】解：因为SA ⊥平面ABC ，所以SA BC ⊥.连接BH 并延长交SC 于点D ，因为点H 是SBC V 的垂心，所以BD SC ⊥， 又因为AH ⊥平面SBC ，所以BD 为AB 在平面SBC 内的投影，则AB SC ⊥， 同理可得SB AC ⊥，所以SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中相互垂直的有3对. 当点H 也是SBC V 的重心时易得三棱锥A SBC -为底面为等边三角形， 侧面为等腰直角三角形的正三棱锥，则各个侧面与底面所成的二面角相等， ∴二面角S BC A --的大小与二面角B SC A --的大小相等， 设底面SBC V 的边长为a ，则易得3HD a =，12AD a =，则6AH a =，所以二面角S BC A --的正弦值等于6sin AH ADH AD ∠==.故答案为：3；6本题考查空间直线垂直的判定、二面角、三棱锥的性质，根据三棱锥的性质确定直线间的位置关系是解题的关键，属于中档题.三、填空题15．某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有________种不同的报名方法（用数字作答）. 【答案】150【解析】根据5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，将5位同学分为三组，由2，2，1和1，1，3两种分组方式，分别求得报名方法，然后再利用分类计数原理求解. 【详解】由题意得：将5位同学分为三组，由2，2，1和1，1，3两种分组方式，当分组为2，2，1时，有22353322C C A A 种报名方法，当分组方式为1，1，3时，有31352322C C A A 种报名方法，综上:不同的报名方法共有2233135335232222C C A C C A 150A A +=种. 故答案为：150 【点睛】本题主要考查分类计数原理，排列组合应用题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.16．若正数a ，b ，c 满足2221a b c ab bc ++--=，则c 的最大值是________.【答案】2【解析】将2221a b c ab bc ++--=看成关于a 的方程，则问题等价于关于a 的方程22210a b c ab bc ++---=有解，则()222()410b b c bc ∆=--+--…，再将问题转化为关于b 的不等式2234440b c bc --++…有解，从而()22(4)4(3)440c c -⨯--+…，进而得到结果.解：把式子2221a b c ab bc ++--=看作是关于a 的方程，则问题等价于关于a 的方程22210a b c ab bc ++---=有解，则()222()410b b c bc ∆=--+--…，即2234440b c bc --++…，则问题转化为关于b 的不等式2234440b c bc --++…有解，则()22(4)4(3)440c c -⨯--+…，化简得232c ≤，所以max 6c =，此时6a =，6b =，符合条件. 故答案为：62【点睛】本题考查函数与方程，注意转化思想在解题中的应用，属于中档题.四、解答题17．若()00,P x y 是抛物线21:4C y x =上的点，过点P 作射线PAB ，交圆222:(4)1C x y ++=于A ，B 两点，且||2||PA AB =，则0x 的取值范围是________.【答案】[0,356]【解析】由已知长度转化到弦AB 的长，由弦AB 不超过直径长得范围要求，连接PC 交圆于点M ，延长PC 交圆于点N ，将||||PM PN ⋅将转为切线长，进而由切割线定理近一步转化并由点P 在抛物线上且由两点间的距离公式表示不等式组，最后求得答案. 【详解】由题意得2||||2||3||6||PA PB AB AB AB ⋅=⋅=，因为A ，B 是圆上两点，所以||[0,2]AB ∈，则2||||6||[0,24]PA PB AB ⋅=∈， 连接PC 交圆于点M ，延长PC 交圆于点N ，则易得2||||(||1)(||1)||1PM PN PC PC PC ⋅=-+=-，且2||1PC -等于过点P 向圆C 引切线所得切线长，由切割线定理得2||1||||PC PA PB -=⋅，则2||1[0,24]PC -∈， 设点P 的坐标为()()000,,0x y x ≥，即()()()222200000414416[0,22]14x y x x x ++-=++-=+∈-，所以()()202062106662124x x x ⎧+-≥⎪⇒-≤≤⎨+-≤⎪⎩066x ≤≤，所以06]x ∈-.故答案为：6]- 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切割线定理，根据切割线定理得到点P 的坐标满足的不等式是解题的关键，属于较难题.18．三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且222sin sin sin sin B C B C A +-=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC V 的面积1S =，求a 的最小值. 【答案】（1）4π；（2）【解析】（1）利用正弦定理将题中的等量关系转化为边的关系，进而利用余弦定理求解角的大小；（2）根据（1）中的结论及三角形的面积公式得到边长的乘积，进而利用余弦定理结合基本不等式求解边长的最值. 【详解】解：（1）由正弦定理得222b c a +-=，∴222cos 22b c a A bc +-==，从而4A π=. （2）1sin 12S bc A ==，从而bc =∴222222cos 4244a b c bc A b c bc =+-=+--=….故min a =.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题.19．四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4AB =，60ABC ∠=︒，M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且13BN ND =，若5PA PC ==，21PB =.（1）求证：//MN 平面PAC ； （2）求证：PN ^平面ABCD ；（3）求直线PN 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3311【解析】（1）通过证明直线与平面内的一条直线平行证明直线与平面平行；（2）通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直证明直线与平面垂直；（3）利用等体积法求解三棱锥的高，进而求解线面角的正弦值或通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式求解. 【详解】解：（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，则12BM BNBP BO==， ∴//MN PO ，又PO ⊂平面PAC ，MN ⊄平面PAC ， 从而//MN 平面PAC . （2）证明：连接PN ， ∵PA PC =，O 是AC 中点， ∴PO AC ⊥，又5PA PC ==，2AO =， ∴21PO PB ==，又N 是BO 中点，∴PN BD ⊥， 且易求32PN =7NC =∴222PN NC PC +=，从而PN NC ⊥，又BD NC N ⋂=， ∴PN ^平面ABCD .（3）解法一：设N 到平面PCD 的距离为h ，PN 与平面PCD 所成角为θ，则sin h PNθ=∵N PCD P NCD V V --=， ∴PCD NCD S h S PN ⋅=⋅V V ，计算可得33NCD S =V ，35PD =， ∴311PCD S =V ，又∵32PN =， ∴3611h =，从而33sin 11θ=. 解法二：作OE ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC ，OD ，OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,23,0)B -，(2,0,0)C ，(0,23,0)D ，(0,3,0)N -，设()000,,P x y z ，由5PA PC ==，21PB =，得()()()222000222000222000225,225,2321,x y z x y z x y z ⎧+++=⎪⎪-++=⎨⎪+++=⎪⎩解得0000,3,32,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(0,3,32)P -.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，(2,23,0)CD =-u u u r ，3,32)PC =-u u u r ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，2230,23320,x y x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令1y =，得x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴2n =⎭r ，记直线PN 与平面PCD 所成角为θ，则||sin 11||||||n PN n PN θ⋅==r u u u r r u u ur . 【点睛】本题考查空间直线与平面平行以及垂直的判定、线面角、空间向量的应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.20．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21122n n n S a S ++-=-，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足23n n b a =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：54nT <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析【解析】（1）利用作差法求解数列的通项公式，注意对1n =的情况进行讨论； （2）利用裂项相消法求数列的和从而证明结论. 【详解】（1）由题意得2112122,(2)22nn nnn n a S S n a S S ++-⎧=+⎨=+⎩… ∴作差有()()()221111220n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+⇒--+=，∵0n a >，∴12(2)n n a a n +-=…， 令1n =时，则求得()2211122222822224a S S a a a a a =+++=⇒=+=或2-（舍），∴212a a -=，∴数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列， 故2n a n =.（2）证明：由（1）知234n b n =，113544T b ==<； 当2n …时，22333311441(21)(21)22121n b n n n n n n ⎛⎫=<==- ⎪-+--+⎝⎭， ∴2333311111144235572121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 531542214n =-⋅<+，即54n T <. 【点睛】本题考查等差数列的概念、数列的通项与裂项相消法求和，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且||2||AF FB =，求直线l 方程； （3）设O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，若1223k k =-，求AOB V 面积S 的值.【答案】（1）22132x y +=；（2220x y ±-=；（3）62【解析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程； （2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解；（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到三角形的面积的表达式，化简得到结论，注意对直线的斜率情况分类讨论. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则22:132c x ya b Ca=⇒=⇒=+=.（2）若直线l斜率为0，则||1,||1,||2||AF BF AF BF==-≠，不合题意，所以l斜率不为0，设其方程为1x ty=+，联立()2222123440236x tyt y tyx y=+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()11,A x y，()22,B x y，则122423ty yt-+=+，122423y yt-⋅=+，又()2121122211251222y yy y yy y y y y+=-⇒+=-⇒=-2224112322tt tt=⇒=⇒=±+故直线:0l y±-=.（3）当直线l的斜率为0时，则12k k=-，不妨设1k>，由1223k k=-，得1k=，直线OA方程y x=与椭圆方程联立，223132y xx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得221,132x x y==±=±，所以,A B坐标分别为,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2⎛⎫-⎪⎝⎭或1⎫-⎪⎪⎝⎭，12⎛⎫--⎪⎝⎭，此时2AOBS=V；当直线l的斜率不为0时，设直线1:l x t y m=+，联立()1222122234260236x t y mt y t my mx y=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，则1122423t m y y t -+=+，21222623m y y t -⋅=+，∵12121223203k k y y x x =-⇒+=， 又()2212112112x x t y y m t m y y =+++， ∴()()2211211223220t y y t m y y m ++++=，化简得221232t m +=，从而()()22222111642326240t m t m m ∆=-+-=>，∴1211||||22AOBS m y y m =-===V .综上，AOB V 的面积2S =. 【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想．设而不求思想在此类问题中常常用到． 22．已知函数()ln af x x x=+. （1）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若()f x 在1x x =，()212x x x ≠处导数相等，证明：()()1212ln2f x f x +>+；（3）若函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点1x ，()212x x x ≠，证明：122x x e+>. 【答案】（1）0a >；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）对函数求导，根据导函数存在穿过型零点求解；（2）由12()()f x f x ''=得出1212x x x x +=，利用基本不等式得出12124x x x x +=>，然后计算12()()f x f x +可得证；（3）()0f x =转化为ln a x x -=，通过研究()ln g x x x =的单调性、极值得出()f x 的两个零点的范围，不妨设不妨设1210x x e <<<，然后分类讨论，若22x e…，则结论成立；若22x e <，即212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，构造新函数2()()h x g x g x e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，10,e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，通过导数（需两次求导）得出()h x 的单调性，由12,x x 的关系：2112()()()g x g x g x e=>-．可证得结论，【详解】解：（1）由题意知2()(0)x af x x x-'=>， 因为()f x 有极值，所以当0x >，0x a -=有解，所以0a >. （2）证明：21()x f x x-'=，由()()12f x f x ''=， 得12221211x x x x --=， 即1212x x x x +=，因为12,0x x >，且12x x ≠，所以1212x x x x =+>124x x >， 则()()1212121211ln ln ln 1ln 412ln 21f x f x x x x x x x +=+++=+>+=+. （3）证明：()ln 0af x x x=+=， 即ln a x x -=，令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+， 则函数()ln g x x x =在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令t x e -=，其中0t >， 则()ln ttttg x e ee --==-， 当t →+∞时，0t t e +→，故0t t e--→， 从而当1,0a e⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭时有两个零点，不妨设1210x x e<<<， 若22x e…，则结论成立； 若22x e <，即212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 令222()()ln ln h x g x g x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2()ln ln 2h x x x e '⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 令()()u x h x '=，则1211()022x e u x x x x x e e '⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=>⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴()h x '在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 则1()0e h x h ''⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴1()0h x h e ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 即2()g x g x e ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴()()2112g x g x g x e ⎛⎫=>-⎪⎝⎭， ∵212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1212,x e e e ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 而()g x 在12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴212x x e >-，即122x x e+>． 【点睛】本题考查导数在函数中的应用、函数的性质、不等式的证明，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，体现了分类讨论思想和函数与方程思想.。