广州大学数学分析第二学期试卷(A)
广州大学高等数学期末试题2006-2007(2)(90) (11)
广州大学2007-2008学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx ∂=∂1y yx -,z y∂=∂ln y x x.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx ∂=∂(,)2(,)u v yf u v f u v ''+,(,)u f u v y ∂'=∂(,)3(,)uuuv xf u v f u v ''''+.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T = (1,2,3),切线方程为111123x y z ---==.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为x =sin cos r ϕθ,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=.在球面坐标下,体积元素dv =2sin r drd d ϕϕθ.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰73.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1)221(1)n n x x -++-+=211x +;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+ arctan x.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为(1,1)-.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =2312x xC e C e +,微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =2312x x xC e C e e ++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分.解: 定义域为:20x y ->。
《数学分析下册》期末考试卷及参考答案
数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知u =则u x∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。
2、设22L y a +=2：x ，则Lxdy ydx -=⎰ 。
3、设L ⎧⎨⎩x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L（x +y ）= 。
4、改变累次积分32dy f dx ⎰⎰3y （x ，y ）的次序为 。
5、设1D x y +≤：，则1)Ddxdy ⎰⎰= 。
二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。
( )2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。
( )3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则必有 0000(,)(,)x y y x f x y f x y =。
( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =⎰⎰。
( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ）在D 上可积。
( )三、计算题 （ 每小题9分，共45分）1、 用格林公式计算曲线积分(sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =-+-⎰ ，其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。
、计算三重积分22()V xy dxdydz +⎰⎰⎰，是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。
、计算第一型曲面积分SI d S =⎰⎰ ，其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部（z a ≥）。
11-12 高等数学2试题(A)及解答
广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________任课教师 是否重修考（ ）（是打√）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯= .2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为 . 3．(,)(0,2)limx y →= .4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ .5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为 .6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数： 13x=- ，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y = .8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y = .9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -= .10．已知曲线L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰________.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.1．计算d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=与两坐标轴所围成的闭区域.2．设L 是由曲线22y x x =-与x 轴所围区域D 的正向边界曲线，利用格林公式计算曲线积分22()d ()d LI y x y x x xy y =-++⎰.判断级数12! nnnn n∞=⋅∑的收敛性. 五．(本题满分11分)求幂级数1(1) 2n nn nx∞=+-∑的收敛域及和函数.设Ω是由曲面224z x y =--及xOy 面所围成的有界闭区域，求Ω的表面积.七．(本题满分8分)假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为020c 时，一物体由0100c 冷却到060c 须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100c 降低到030c .试证曲面(,)0f x az y bz ++=上任一点处的切平面与平面z ax by =+垂直，其中f 可微，,a b 为常数.广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试参考解答与评分标准（A 卷）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯=(4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--. 3．(,)(0,2)limx y →=18.4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==. 6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程x y y e -'+=的通解为y =()xe x C -+. 8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e+.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+， 。
广州大学大一公共课高等数学期末考试卷及答案5
广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷课 程：高 等 数 学（下）（本科） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题：（每小题3分，共计15分）1．已知 {3,5,6},{1,2,3}a b ==-，则 a b ⋅= 。
2．由上半球面 z =和锥面 )(322y x z += 所围成的立体在xoy 面上的投影为_______________________________________ 。
3．已知2z e z x y +=+，则zx∂=∂_____________________ 。
4．设 33ln()z x y =+， 则 (1,1)|dz =___________ 。
5．部分和数列 {n s }有界是正项级数1nn u∞=∑ 收敛的____________条件。
二．单项选择题：选出正确答案填入下表中（每小题3分，共计15分）1．直线L ：11111x y z --==-和平面 :2(1)3(1)0x y z π+-+-= 的位置关系是 [ ](A)L 在π上； (B)L 与π平行但不在π上。
(C) L 与π垂直；2． 函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(4,2)-的方向的方向导数为 [ ]（A ） 2-； （B ） 2； （C ） 45。
3．10(,)dy f x y dx =⎰ [ ](A) 2110(,)xdx f x y dy ⎰⎰；(B) 2101(,)x dx f x y dy ⎰⎰；(C)10(,)dx f x y dy ⎰。
4．设L 为取正向的圆周 229x y +=, 则曲线积分 2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-=⎰ [ ] (A) 0 ；(B)18π； (C)18π-。
5． 级数nn ∞=为 [ ](A) 绝对收敛级数；(B) 条件收敛级数； (C) 发散级数。
三．解答下列各题（每小题6分，共计12分）1．验证：函数r =满足方程 22221r r x y r∂∂+=∂∂。
2002高等数学试题A卷解答.
广州大学2002-2003学年第二学期考试卷课 程：高 等 数 学（下）（本科） 考 试 形 式： 闭卷 考试参 考 答 案 及 评 分 标 准一．填空题：（每小题3分，共计15分）1．已知 ||1,||5,3a b a b ==⋅=，则 =⨯||b a4。
2．xoy 平面上的双曲线 224936x y -= 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是 22244936x z y +-=。
3．设 22(,)z f x y xy =+, 其中 f 具有一阶连续偏导数， 则zx∂=∂122xf yf ''+ 。
4．函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(4,2)-的方向的方向导数为2-。
5．若级数1nn u∞=∑ 条件收敛, 则级数1||nn u∞=∑ 必定发散。
二．单项选择题：选出正确答案填入下表中（每小题3分，共计15分）1．直线L ：223314x y z -+-==-和平面 :3x y z π++= 的位置关系是 [ ](A) L 与π垂直；(B) L 在π上；(C) L 与π平行但不在π上。
2． 函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数x z 及y z 存在是(,)f x y 在该点可微分的 [ ]（A ） 必要条件； （B ） 充分条件； （C ） 充要条件。
3． 若22:2D xy y +≤, 则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰ 极坐标形式的二次积分为 [ ](A) 2sin 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； (B) 2sin 00(cos ,sin )d f r r dr πθθθθ⎰⎰；(C) 1(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰。
4．设L 为取正向的圆周 222x y a +=, 则曲线积分 2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-=⎰[ ](A) 0 ；(B) 22a π； (C) 22a π-。
数学分析(下)_习题集(含答案)(1)
《数学分析（下）》课程习题集一、计算题 1. 设f xyz z yxf u),,(222++=具有二阶连续偏导数，求xz u ∂∂∂2.2. 设f z yxf u ),(222++=具有二阶连续偏导数，求22xu ∂∂，.2yz u ∂∂∂3. 0)cos(=--+xyz z y x ，求yz xz ∂∂∂∂,.4. 已知),(yx x f z=，求yz xz ∂∂∂∂,．5. 已知),(),,(v u f xy y x f z+=可微，求yx z ∂∂∂2．6. 设.,dz yx y x z 求-+=7. 设),(z x f u =,而),(y x z 是由方程)(z y x z ϕ+=所确的函数,求du ．8. 设)1,0(≠>=x x x zy，证明它满足方程z yzx xz y x 2ln 1=∂∂+∂∂．9. 设yxez=，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz yxz x．10. 已知zyxu= ，求yx u ∂∂∂2．11. 求曲面22yxz+=包含在圆柱x yx 222=+内部的那部分面积．12. 计算二重积分Dx d y ⎰⎰,其中积分区域为22{(,)|14}D x y x y=≤+≤．13. ⎰⎰-Dydxdy e2，其中D 是以点) 0 , 0 (、) 1 , 1 (和) 1 , 0 (为顶点的三角形域．14. 计算二重积分⎰⎰Ω+=dxdyy xI )(22，其中Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形．15. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：⎰⎰-+a xax dyy xdx2020222)(．16. 求级数11(1)nn n xn∞-=-∑的和函数．17. 求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的和函数．18. 求级数∑∞=+0)1(n nxn 的收敛域及和函数，并求∑∞=+021n nn 的和．19. 讨论∑∞=--11ln )1(n n nn 的收敛性．20. 判别级数∑∞=⋅1!2n nnnn 的收敛性．21.求幂级数11(1))2nnnn x ∞=--∑的收敛区间．22. 求幂级数∑∞=122n nnxn 的收敛区间.23. 计算nn nx n)1(21-∑∞=的收敛半径和收敛域．24. 求幂级数nn nx n∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域．25. 求下列幂级数的收敛区间:+⋅++⋅+⋅+⋅nn n xxxx 33332313322．二、 填空题26. 幂级数nn x n∑∞=11的收敛半径为（ ）.27. 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）.28. 设级数∑∞==14n n u ，则级数=-∑∞=1)2121(n nn u （ ）．29. 当1<x 时，幂级数∑∞=+-013)1(n n n x的和函数为（ ）．30. 若∑∞=-1)1(n n u 收敛，则=∞→n n u lim （ ）．31. 几何级数)0(11>∑∞=+a aqn n 当（ ）时收敛．32. 幂级数∑∞=+0!1n nxn n 的和函数为（ ）．33. 幂级数∑∞=12n n nx 的收敛域为（ ）．34. 幂级数∑∞=-12)1(n nn nn x的收敛域为（ ）．35.=)(x f x sin 的幂级数展开式为（ ）． 36. 级数∑∞=1n n u 发散的充分条件是（ ）．37. 设级数∑∞=+111n p n收敛，则p 的取值范围是（ ）．38. =∞→nnn nn ！2lim（ ）．39.2xe-的幂级数展开式为（ ）．40. =>∞→nk n an lim1a 时，当（ ）．41. =→→yxy y x sin lim0（ ）．42. 二元函数1122-+=y xz的定义域为（ ）．43.=++→→22220)sin(limyxy x y x （ ）．44.11lim22220-+++→→yx yx y x =（ ）．45.xyxy y x 11lim0-+→→=（ ）．46. 设22ln yxxy arctgz ++=，则=∂∂)1,1(xz （ ）． 47. 设='+=)0,1(),32ln(),(y f xy x y x f 则（ ）．48. 设=++=)1,1(,1ln ),(22df y xy x f 则（ ）． 49. 设),(y x z z=是由方程yz x ln =确定的隐函数，则xz ∂∂=（ ）．50. 设xu yx euy∂∂=-则,sin在点（2，π1）处的值为（ ）．51. 函数xy yxz333-+=的极小值为（ ）．52. 若函数y xyax x y x f 22),(22+++=在点（1，-1）处取得极值，则常数=a （ ）．53. 函数33812),(y xy xy x f +-=的极小值点为（ ）．54. 函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值为（ ）． 55. 函数y x yxy xy x f --++=2),(22的极值为（ ）．56. 设,),arctan(xe y xy z ==则=dxdz （ ）．57. 设==dz ez xy则,sin （ ）．58. 设=∂∂+∂∂+=yz yxz xy x z 则),ln(（ ）．59. 设='=)0,0(,),(x f xy y x f 则（ ）． 60.222zy x u ++=在（1，1，1）点的全微分为（ ）．61. 设)1ln(32z yx u+++=，则=∂∂+∂∂+∂∂)1,1,1()(zu yu xu （ ）．62. 二重积分=+⎰⎰σd y xD)6(2（ ）, 其中D 是由1,,222===x x y x y 所围成的区域； 63. 若函数,)()(),()(1∑-=+-∞=n nn a x a x f r r a r a x f 为收敛半径），内能展开成幂级数（在则=k a （ ），且内任意可导；在),()(r a r a x f +-64. 设023=+-y xz z ，则)1,1,1(xz ∂∂＝（ ）．65. =∞→2)!(limn nn n （ ）． 66. 积分=⎰⎰-yydx edy022（ ）．67. 改变积分⎰⎰xedy y x f dxln 01),(的次序后所得积分为（ ）．68. =⎰⎰1210xyxdy edx （ ）．69. 二重积分⎰⎰=+Dyx d eσ（ ），其中D 是由x y ln =,x 轴，2=x 所围成的区域． 70. 已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且1)(=⎰⎰Ddxdy x yf ，则⎰badx x f )( ＝（ ）．71. ,1,≤≤y x D π：设则⎰⎰-Ddxdy y x )sin (=（ ）． 72. 设D ：,1,3≤≤y x 则=+⎰⎰Dd y x x σ)(（ ）． 73. 设D ：,20,0ππ≤≤≤≤y x 则=⎰⎰Dydxdyx cos sin （ ）． 74. 设D 是由1,1,1,1=-==-=y y x x围成的矩形区域，则=⎰⎰Ddxdy （ ）． 75. 设f 是连续函数而D ：⎰⎰=+>≤+Ddxdy yxf y yx )(,0,12222则且（ ）． 三、单选题 （略）……答案一、计算题 1. 解：zu ∂∂=212xyf z f +，)2()2(22221212112yzfxfxy yfyzfxf z xz u ++++=∂∂∂.2. 解：令222z yx t++=，则)(t f u =，xu ∂∂=)(2t f x '，zu ∂∂=)(2t f z '.)(4)(2222t f xt f xu ''+'=∂∂，)(42t f yz yz u ''=∂∂∂.3. 解：1s in ()1s in (),.1s in ()1s in ()z y z x y z z x z x y z xx y x y z y x y x y z ∂+∂+==∂-∂-4. 解：x z ∂∂=yf f 121+，yz ∂∂=22yx f -.5. 解：xz ∂∂=yf f 21+yz ∂∂=x f f 21+,22122112)(xyff y x f f yx z ++++=∂∂∂.6. 解：2()()()()()x y x y d x y x y d x y d zd x y x y ⎛⎫+-+-+-== ⎪--⎝⎭2()()()()()x y d x d y x y d x d y x y -+-+-=-222()y d x x d yx y -+=-2222.()()y x d x d y x y x y =-+--7. 解：u u d u d x d y xy∂∂=+∂∂,()z x y z ϕ=+ （1）方程（1）两边对x 求导：1()z z y z x xϕ∂∂'=+∂∂，1.()1z xy z ϕ∂-∴='∂-方程（1）两边对y 求导：()(),z z z y z yyϕϕ∂∂'=+∂∂ ().()1z z yy z ϕϕ∂-∴='∂-而;()1zx f u f f z f x x zxy z ϕ∂∂∂∂=+⋅=-'∂∂∂∂-()();()1()1z z f z u f z z f yzyy z y z ϕϕϕϕ⋅∂∂∂-=⋅=⋅=-''∂∂∂--()().()1()1zz x f f z u u d u d x d y f d x d y xyy z y z ϕϕϕ⋅∂∂∴=+=--''∂∂--8. 解:1-=∂∂y yxxu ，x xyu yln =∂∂,z x xxyxyx yzx xz y x yy 2ln ln 1ln 11=+=∂∂+∂∂-.9. 解:yex z yx1=∂∂，2yx eyz yx-=∂∂，则012=-=∂∂+∂∂y x yeyxey z yxz xyxyx.10. 解：xu ∂∂=1-zyxzy ，=∂∂∂yx u 2121ln 1--+zyzyxzx y xz.11.解：由222z x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩ 消去z 得投影柱面：222x y x+=，在xoy 面上的投影区域为 22:2xy D x y x+≤2x y z z ==21122222222=++++=++∴yxy yxx zzyx所求面积为：2c o s 2002x yD Ax d yd d r πθθ==⎰⎰⎰⎰220c o s .d πθθ==12.解：由对称性，可只考虑第一象限部分，14DD =，Dx d y ⎰⎰=41D x d y ⎰⎰2201s in 44r d r d r rππθ==-⎰⎰.13. 解：dx edydxdy eyyDy⎰⎰⎰⎰--=10022ee eydy eyy210121221-=-==--⎰.14. 解：⎰⎰⎰⎰Ω-=+=+a ayay adx y xdydxdy y x34222214)()(.15. 解：在极坐标系下，半圆22xax y-=的方程变为⎰⎰==≤≤=2cos 204343,20,cos 2πθπθπθθa adr r d a r 原式.16. 解：11()(1)nn n xs x n∞-==-∑，显然(0)0s =.21()1,(11)1s x x x x x'=-+-=-<<+两边积分得0()ln (1)xs t d t x '=+⎰即()(0)ln (1)()ln (1),s x s x s x x -=+∴=+又1x =时，111(1)n n n∞-=-∑收敛,11(1)ln (1)(11)nn n xx x n∞-=-=+-<<∑.17. 解：令111()(1)1n n n n n n xxxS x n n nn ∞∞∞=====-++∑∑∑11111nn n n xxnxn +∞∞===-+∑∑,设11(),nn xS x n∞==∑121(),1n n xS x n +∞==+∑则1111(),1n n S x xx ∞-='==-∑101()ln (1).1xS x d x x x∴==---⎰21(),1nn xS x xx∞='==-∑20()l n (1).1x x S x d x x x x∴==----⎰1211()()()ln (1)[ln (1)]S x S x S x x x x xx∴=-=--++-11(1)ln (1).x x=+-- (1,0)(0,1x ∈- 即 11(1)ln (1),(1,0)(0,1)()0,0x x S x xx ⎧+--∈-⎪=⎨⎪=⎩.18. 解：令)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ，则)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ∑∞=+'=1)(n n x '⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=+01n n x .)1(112x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1<x 当1±=x 时，级数∑+±)1()1(n n发散，所以级数的收敛域)1,1(-， 令1-=x ，得4)21(211==+∑∞=f n n n.19. 解：∑∞=-1ln )1(n nnn 发散，令xx x f ln )(=，则当2e x >时，02ln 2)(<-='xxx x f ，从而)(x f 在),(2+∞e 上单减，故当9>n 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 单调减少，又0ln lim =∞→n n n ，故∑∞=--11ln )1(n n n n 为 leibniz 级数，所以它条件收敛.20. 解:12)1(2lim !2)1()!1(2limlim111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→en n n nn n u u nn nnn n n nn n ，所以级数∑∞=⋅1!2n nnnn 收敛.21.解：11limlim22n n n na R a ρ+→∞→∞===∴=,即1122x -<收敛，(0,1)x ∈收敛 .当0x =时，级数为1n ∞=∑,当1x =时，级数为1nn ∞=∑(0,1).22. 解： 级数缺奇次幂的项，而 2(1)112(1)2limlim2n n n n nn n nu n xu n x+++→∞→∞+=⋅2211lim.22n n xxn→∞+==当211,2x <即x <时,级数收敛; 当211,2x>即x >,级数发散.收敛半径为R =又当x =±时,级数为1n n ∞=∑发散,故收敛区间为(23. 解：21212lim1=++∞→nn nn n ，∴收敛半径21=R ，当21=x 时，∑∞=-1)1(n nn收敛，当23=x时，∑∞=11n n发散，故收敛域为)23,21[.24. 解：由于en n nn nn nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e1，当ex 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e nnn n，所以收敛域为)1,1(ee -. 25. 解：313)1(3limlim11=+=+∞→+∞→n nn nn n n n a a ，R=3。
数学分析试题与答案
2014---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 1.若f 2... .二. 1.若2.A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠ba ba dx x g dx x f ；C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=b ab a dx x g dx x f ；D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B.若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；1.1.⎰+02.∑∞=1!n n n n 3.()nnn nn21211+-∑∞= 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n2.(][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
（本题满10分） 七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。
(本题满分10分)八.证明：函数()∑=3cos nnxx f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B 卷•答案一、 1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二=tdt t tt cos sin 2sin cos ⎰=⎰tdt t sin 2-----------------------------------4分 =2cos 2sin t t t C -++=C ----------------5分四.判别敛散性（每小题5分，共10分）1.dx xx ⎰-121arctan解：()241arctan lim1arctan 1lim 012211π=+=---→-→xx xx x x x -------3分且121<=p ，∴由柯西判别法知， 瑕积分dx xx ⎰-121arctan 收敛-------------------------5分2.()∑∞=2ln ln 1n nn解：ln lim n ∞→ 有五.1.f n 又f n 从而故知该函数列在D 上一致收敛.-------------------------5分 2.]1,1[,3sin 2-=∑D x nn解：因当D x ∈时，()nn n n x x u ⎪⎭⎫⎝⎛≤=323sin 2--------------2分而正项级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，-----------------------------4分由优级数判别法知，该函数列在D 上一致收敛.-------------5分 3.()()∑+∞∞-=+-,,12D nx n解：易知，级数()∑-n1的部分和序列{}n S 一致有界，---2分 而对()n x x V D x n +=∈∀21,是单调的，又由于 ()()∞→→≤+=∈∀n nn x x V D x n 011,2，------------------4分六.(⎰=12V π=76π七.dW ==1250πν=12250π（千焦）-----------------------------------10分 八．设()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，证明：若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a 上绝对且一致收敛.（本题满分9分） 证明：()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，所以有()()()b u a u x u n n n +≤------------------------------4分又由()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，所以()()[]∑+b u a u n n 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知：()∑x u n在],[b a 上绝对且一致收敛.--------------------------------2013---2014学年度第二学期《数学分析2》A试卷一.5.若6.若an=7.若8.二.1.A⎰101dxxB⎰∞+11dxxC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dxx2.级数∑∞=1nna收敛是∑∞=1nna部分和有界的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件3.正项级数∑n u收敛的充要条件是（）A.0lim =∞→n n u B.数列{}n u 单调有界C.部分和数列{}n s 有上界D.1lim1<=+∞→ρnn n u n4.设a a a nn n =+∞→1lim则幂级数()1>∑b x a bn n 的收敛半径R=（）A.aB.ba 1C.a 1D.ba 11⎪⎭⎫ ⎝⎛5.6..A.三.2.3．-⎰114.四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.⎰+∞+-1324332x x dx ；2.dx x x ⎰++1)1ln(113.∑∞=-21ln n nn n； 4.∑∞=1!n n n nn e 五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.),(;,2,1,)(42∞-∞∈=+=-x n n x x f n2.nn n n 1)1(21∑∞=-+；+∞⋃-∞-=∈,5.05.0,D x 六.1.7π（2.七已知f2013---2014学年度第二学期《数学分析2》B 试卷一、 1.对任何可导函数()x f 而言，()()C x f dx x f +='⎰成立。
数学分析A试卷参考答案(高数)
数学分析考试题学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题2分，满分10分） 1．当0x →时，函数211sin x x是（ D ）． （A ）无穷小 （B ）无穷大 （C ）有界但不是无穷小 D ）无界的，但不是无穷大 2．设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（D ）（A ）1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在；（B ）0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在；（C ）0()()lim 2h f a h f a h h →+--存在；（D ）0()()lim h f a f a h h→--存在；3．下列说法中与lim n n x a →∞=定义等价的说法是（A ）．（A ）(0,1),,,100;n N n N x a εε∀∈∃∀≥-< （B ）1,,,;n N n N x a εε∀>∃∀>-< （C ）,0,,;n N n N x a εε∀∃>∀>-< （D ）,0,,;n N n N x a εε∃∀>∀>-<cos sin 22()(1)()222()(1)()22( D )x t t t y t tA y xB y xC y xD y xπππππππ=⎧=⎨=⎩=+=+=-=-4.曲线在处的切线方程为． ．． ． 答 5．设数列,n n x y 满足lim 0n n n x y →∞=，下列结论正确的是（D ）．（A ）若n x 收敛，则n y 必发散；. （B ）若n x 无界，则n y 必有界； （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小； （D ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小； 二、填空题（每小题2分，满分10分）6．设1(0)2f '=，则332lim (0)n n ff n →∞⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1 ． 7．设(1)(2)()()(1)(2)()x x x n f x x x x n ---=+++，则(1)f '= 11(1)(1)n n n --+.8．极坐标方程(1cos )a ρθ=+在(,)2a π点处的切线的直角坐标方程为y x a =+.9．若212lim 1,11x ax x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭则a 4 ． 10．设(),0,,0x xe e xf x xk x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则k 2 .三、求下列极限（每小题5分，满分25分）11.求)lim .x xx →-∞解:)1lim limlim.2x x x xx →-∞→-∞===-12.求1402sin lim 1x x xe x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解: 14144002sin (2)sin lim lim 01111x x xx x x x e x e e x x x e e ++-→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎛⎫+ ⎪+=-= ⎪- ⎪+⎝⎭， 所以1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭=1. 13.求tan sin x x x →解:3sin tan sin tan sin 3300011tan sin 2lim lim 244xx xxxx x x x x e e x xx x -→→→→--====。
广州大学2017-2018学年第二学期《线性代数》考试卷
广州大学 2017---2018 学年第二学期考试卷参考答案与评分标准课程 《线性代数》 考试形式（闭卷，考试）学院 系 专业 班级 学号 姓名一．填空题（每小题3分，共18分）1． 多项式21()1132xx f x x x=--中3x 的系数是2- 2． 设A 为4阶方阵，且||2A =，则1|2|A -=83． 设111222333a x y A a x y a x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，111222333232323b x y B b x y b x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且||2A =，||5B =-，则||A B +=144． 设向量组131a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3231α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =25． 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则|22|A A E *+-=46．100002000034000=24-1．设1211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3322α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，123β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是【 B 】（A ）β不能由向量组123,,ααα线性表示（B ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一 （C ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法不唯一 （D ）无法确定β能否由向量组123,,ααα线性表示2．矩阵A 与B 相似是A ，B 的特征值相同的【 A 】（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件3．设A ，B 为n 阶方阵，则必有【 B 】（A ）AB BA = （B ） ||||||||A B B A ⋅=⋅ （C ）222()AB A B = （D ）22()()A B A B A B -=+-4．下列命题正确的是【 A 】（A ）正交向量组必线性无关 （B ）线性无关的向量组必定是正交组（C ）若向量组线性相关，则其部分组必定线性相关 （D ）若向量组的部分组线性无关，则必定整体线性无关5．设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的导出方程组， 则下列结论正确的是【 D 】（A ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =无解（C ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解6．设A 、B 是可逆方阵，则10A B -⎛⎫⎪⎝⎭为【 C 】 （A ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）1100B A--⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭1．计算行列式2151130602121476 D---=--解：075131306021207712D---=--………………………………………………………………2分75132127712-=---………………………………………………………………………4分353010772--=-----……………………………………………………………………5分332772-==--………………………………………………………………………7分2．设121101011A-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求1A-解：121100()101010011001A E-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭121100020110011001-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭……………2分1010100201100011/21/21⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………4分1001/21/210101/21/200011/21/21-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………6分11/21/211/21/201/21/21A--⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭……………………………………………………………7分3．设1111111111111111A ---⎛⎫ ⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求5A 解：24A E =……………………………………………………………………………4分 416A E =……………………………………………………………………………6分511111111161611111111A A ---⎛⎫ ⎪---⎪== ⎪--- ⎪---⎝⎭ ………………………………………………7分 四（10分）求列向量组11324α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，231316α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31211α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，42513α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，51419α-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组表示解：1234213141324131211312131254010117(,,,)231110915341613902831113r r r r r r αααα+-+----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪= ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 2343313121010440915301044r r r r ++--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭324212931011411010440014133000r r r r r r +---⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎪⎝⎭13100272201044001413300000r r +--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭……………………………………………………………6分∴123,,ααα为一个最大无关组………………………………………………………8分且412327441αααα=---512322433αααα=---……………………………………………………………10分五．（12分）已知向量111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量（1）确定参数,a b 及p 所对应的特征值 （2）问A 能不能对角化，并说明理由 解：（1）设p 对应的特征值为λ，则()0A E p λ-=即2121053101210a bλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭101203100a a b b λλλλ--==-⎧⎧⎪⎪-+=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩……………………………………………………………6分 （2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭特征多项式为3212||533(1)12A E λλλλλ---=--=-+---∴A 的特征根为1231λλλ===-……………………………………………………8分对于齐次方程组()0A E x +=由13213153312101101523523022101312011r r r r r r A E ↔++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭2332122101101011011022000r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()2R A E += ………………………………………………………………………10分于是方程组()0A E x +=的解空间的维数为3213-=<A 不能对角化…………………………………………………………………………12分六．（12分）证明（1）方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩ 有解的充要条件是510i i a ==∑（2）在有解的情况下，写出通解的结构证明：（1）11223344551512341100011000011000110000110()0011000011000111000100000i i r r r r r a a a a a A b a a a a a =++++-⎛⎫-⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪=- ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 所以()4R A = ………………………………………………………………………………4分方程组有解⇔()()4R A R A b == 即510ii a==∑………………………………………6分（2）当方程有解时111234223433444342321100010001011001001()00110001010001100011000000000000r r r r r r a a a a a a a a a A b a a a a a +++--+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪⎪⎪--+⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…8分 151234252343534454x x a a a a x x a a a x x a a x x a =++++⎧⎪=+++⎪⎨=++⎪⎪=+⎩取50x =， 得原方组的特解为12342343440a a a a a a a a a a η*+++⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…9分 对应齐次方程组为15253545x x x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，取51x =，得齐次方程组的基础解系为11111ξ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………10分通解为1234234344111110a a a a a a a x k a a a +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k R ∈…………………………………………12分七．（9分）解矩阵方程2AX X B =+，其中612241311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132231B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解：(2)A E X B -=………………………………………………………………………2分由于412|2|22110311A E --==≠- 1(2)A E --存在…………………………………4分13151(2)(2)528|2|416A E A E A E -*--⎛⎫⎪-=-=- ⎪- ⎪--⎝⎭……………………………………7分131513102(2)5282215341631124X A E B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………9分。
2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(90)解答
广州大学 2006-2007 学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90 学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分） 1. (,)(1,2) 22 lim 2 x y xy xy ® +- = - 14. 2.设 2sin z x y = ,则 2zx y¶ = ¶¶ 2cos x y .3.函数 3 x z y e = 的全微分dz = 32 3 x x y e dx y e dy + .4.若 243 (,)2 f x x x x x =++ , 22 1(,)221 f x x x x ¢ =-+ ,则 22 (,) f x x ¢ = 2 221 x x ++ .5.改换积分次序: ln 10 (,) exdx f x y dy =òò 1 0(,) y eedy f x y dx òò .6.平面 1 x y z ++= 在第一卦限部分的面积等于 32. 7.设L 为圆周 222 x y a += ,则 ò =+ Lds y x ) ( 2 2 32 ap .8.若级数 1n n u ¥= å 条件收敛，则级数 1|| n n u ¥= å 的敛散性为： 发散 .9.函数 1 1() x n f x n ¥= = å 的定义域为x Î (1,) +¥ .10.若 2 ()2ln 0 y f x dx y xdy += 为全微分方程,则 () f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知 ) , ( y x f z = 是由方程 0 ze xyz -= 确定的隐函数, 求 x z ¶ ¶ 和 2 2 xz¶ ¶ .解: 0 zz ze yz xy x x¶¶ --= ¶¶ z z yz x e xy¶ = ¶- ………………………………………………………4分 2 22 ()()()z z x x z yz e xy yz e z y z x e xy --- ¶ = ¶- ………………………………6分 2322 322 ()z zz y ze xy z y z e e xy -- = - ……………………………………7分 2.求曲面 222 236 x y z ++= 在点(1,1,1) - 处的切平面及法线方程. 解: (2,4,6)n x y z = r(1,1,1)(2,4,6) n -=- r ……………………………………………3分 所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0 x y z --++-= ……………………5分即 2360x y z -+-= 所求法线方程111246x y z -+- == - ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分 14分）1.计算 cos() Dx x y d s + òò ,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0) p 和(,) p p 的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos() Dx x y d s+ òò0cos() xdx x x y dy p =+ òò …………………………………………4分(sin 2sin ) x x x dx p=- ò …………………………………………5分0 1(cos cos 2) 2xd x x p =- ò 011 [(cos cos 2)(sin sin 2)] 24x x x x x p=--- 32p =- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周 22 1 x y += ,计算 ò + - Ldy xy dx yx x 2 2 2 ) (sin .解: 记 22 :1 D x y +£ ,由格林公式有ò + - Ldy xy dx yx x 22 2 ) (sin 22 () Dy x dxdy =+ òò ………………………………………………3分213 0d d p q r r = òò ………………………………………………5分2p=……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数 2ln n n xn ¥= å 的收敛域.解: 收敛半径 1 ln(1) lim ||lim 1 ln nn n n a n R a n®¥®¥ + + === ………………………3分 当 1 x = 时,得级数 21ln n n ¥= å ,因 11ln n n > ,而 2 1 n n ¥ = å 发散,所以 2 1ln n n ¥ = å 发散……………………………5分 当 1 x =- 时,得交错级数 2 (1)ln nn n¥= - å, 因 1lim 0 ln n n ®¥ = ,且 11 (2,,) ln ln(1) n n n >= + L ,所以 2(1) ln n n n ¥= - å 收敛 ……7分所求收敛域为[1,1) - ……………………………………………………8分 五．(本题满分6分） 求微分方程 dy y xdx x y=+ 的通解.解: 令y ux = ,则 dy duu x dx dx =+ ………………………………………2分原方程化为 1du u x u dx u +=+ ………………………………………3分分离变量得 1udu dx x = ……………………………………………4分两边积分得 21 ln || 2u x C =+ ………………………………………5分yu x= 回代得 22 2(ln ||) y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I和II，出售单价分别为 10元与9元，生产x单 位的产品I与生产 y单位的产品II的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y+++++ （元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解: 利润函数为(,)(109)L x y x y=+- 22[400230.01(33)]x y x xy y+++++22860.01(33)400x y x xy y=+-++- ………………3分由80.01(6)060.01(6)0 xyL x yL x y=-+=ìí =-+=î……………………………………………5分 得驻点(120,80)…………………………………………………………7分 因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为 120x= , 80y = …………………………………………………………8分 七．（本题满分8分）设W是由曲面 226z x y=-- 及 22z x y=+ 所围成的有界闭区域,求W 的体积.解:W在xOy面上的投影区域为 22:4D x y+£ ……………………2分W的体积为222600V dv d d dzp rrq r r-W==òòòòòò …………………5分22200(6)d dpq r r r r=--òò ………………………6分43222[3]43r rp r=--323p= ……………………8分八．(本题满分12分） （1）验证函数3693 ()1 3!6!9!(3)!nx x x xy x n =++++++ L L ，（ x -¥<<+¥）满足微分方程 x y y y e ¢¢¢ ++= ；（2）利用（1）的结果求幂级数 3 0(3)! nn xn ¥= å 的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n x x x x y n - ¢=+++++ - L L 47324!7!(32)!n x x xy x n - ¢¢=+++++ - L L0 ! n x n xy y y e n¥= ¢¢¢ ++== å ……………………………………4分(2) 0 y y y ¢¢¢ ++= 的通解为212 33 (cossin ) 22x Y e C x C x - =+ ………………………7分 设 x y y y e ¢¢¢ ++= 的待定特解 * x y Ae = ,代入 x y y y e ¢¢¢ ++= ,求得1 3 A = , 1* 3x y e = ……………………………………………9分x y y y e ¢¢¢ ++= 的通解为212 331 (cossin ) 223xx y e C x C x e - =++ ……………………10分 由 (0)1 y = , (0)0 y ¢ = ,求得 1 23C = , 2 0C = 幂级数 3 0 (3)! n n xn¥= å 的和函数为2 231cos 323 xx y e x e - =+ ……………………………12分。
06-07(2)高等数学试题(A)解答
广州大学2006-2007学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1.(,)(1,2)lim x y →=14. 2.设2sin z x y =,则2z x y∂=∂∂2cos x y .3.函数3x z y e =的全微分dz =323x x y e dx y e dy +.4.若243(,)2f x x x x x =++,221(,)221f x x x x '=-+,则22(,)f x x '=2221x x ++.5.改换积分次序:ln 1(,)ex dx f x y dy =⎰⎰10(,)y eedy f x y dx ⎰⎰.6.平面1x y z ++=在第一卦限部分的面积等于. 7.设L 为圆周222x y a +=,则⎰=+Lds y x )(2232a π.8.若级数1n n u ∞=∑条件收敛，则级数1||n n u ∞=∑的敛散性为： 发散 .9.函数11()xn f x n∞==∑的定义域为x ∈(1,)+∞. 10.若2()2ln 0y f x dx y xdy +=为全微分方程,则()f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知),(y x f z =是由方程0ze xyz -=确定的隐函数, 求x z ∂∂和22xz∂∂.解: 0zz ze yz xy x x∂∂--=∂∂ zz yzx e xy∂=∂-………………………………………………………4分 222()()()z z x x z yz e xy yz e z y z x e xy ---∂=∂- ………………………………6分 2322322()z zz y ze xy z y z e e xy --=-……………………………………7分2.求曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)-处的切平面及法线方程.解: (2,4,6)n x y z =(1,1,1)(2,4,6)n -=-……………………………………………3分所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0x y z --++-= ……………………5分 即 2360x y z -+-= 所求法线方程 111246x y z -+-==- ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）1.计算cos()Dx x y d σ+⎰⎰,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos()Dx x y d σ+⎰⎰cos()xdx x x y dy π=+⎰⎰…………………………………………4分(sin 2sin )x x x dx π=-⎰ …………………………………………5分01(cos cos 2)2xd x x π=-⎰ 011[(cos cos 2)(sin sin 2)]24x x x x x π=---32π=- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周221x y +=,计算⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin .解: 记22:1D x y +≤,由格林公式有 ⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin22()Dy x dxdy =+⎰⎰………………………………………………3分2130d d πθρρ=⎰⎰ ………………………………………………5分2π= ……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数2ln nn x n ∞=∑的收敛域.解: 收敛半径 1ln(1)lim ||lim 1ln n n n n a n R a n→∞→∞++===………………………3分 当1x =时,得级数21ln n n ∞=∑, 因11ln n n >,而21n n ∞=∑发散,所以21ln n n∞=∑发散……………………………5分 当1x =-时,得交错级数2(1)ln n n n∞=-∑,因1lim 0ln n n →∞=,且11(2,,)ln ln(1)n n n >=+ ,所以2(1)ln nn n ∞=-∑收敛 ……7分所求收敛域为[1,1)-……………………………………………………8分五．(本题满分6分） 求微分方程dy y xdx x y=+的通解. 解: 令y ux =,则dy duu x dx dx =+………………………………………2分 原方程化为 1du u x u dx u +=+………………………………………3分 分离变量得 1udu dx x =……………………………………………4分两边积分得 21ln ||2u x C =+………………………………………5分yu x=回代得 222(ln ||)y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I 和II ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品I 与生产y 单位的产品II 的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解: 利润函数为(,)(109)L x y x y =+-22[400230.01(33)]x y x xy y +++++ 22860.01(33)400x y x xy y =+-++-………………3分由80.01(6)060.01(6)0x y L x y L x y =-+=⎧⎨=-+=⎩……………………………………………5分得驻点(120,80)…………………………………………………………7分 因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为120x =,80y =…………………………………………………………8分七．（本题满分8分）设Ω是由曲面226z x y =--及z =所围成的有界闭区域,求Ω的体积.解: Ω在xOy 面上的投影区域为22:4D x y +≤……………………2分Ω的体积为 22260V dv d d dz πρρθρρ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………………5分22200(6)d d πθρρρρ=--⎰⎰………………………6分43222[3]43ρρπρ=--323π=……………………8分八．(本题满分12分） （1）验证函数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++ ，（x-∞<<+∞）满足微分方程 x y y y e '''++=；（2）利用（1）的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n x x x x y n -'=+++++-47324!7!(32)!n x x x y x n -''=+++++-0!nx n x y y y e n ∞='''++==∑……………………………………4分(2) 0y y y '''++=的通解为212(cossin )22x Y e C x C x -=+………………………7分 设x y y y e '''++=的待定特解*x y Ae =,代入x y y y e '''++=,求得13A =,1*3x y e =……………………………………………9分x y y y e '''++=的通解为2121()3xx y e C x C x e -=++……………………10分 由(0)1y =,(0)0y '=,求得123C =,20C =幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数为22133x x y e x e -=+ ……………………………12分。
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
广州大学大一公共课高等数学期末考试卷及答案15
广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷课 程：高等数学（90学时） 考 试 形 式：闭卷 考试一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设yxxy z +=，则=dz __________________ 2．设),(v u f z =连续，y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xz___________________ 3．L 为122=+y x ，则2Lx ds =⎰4．若级数∑∞=1n nu收敛，则=∞→n n u lim5．微分方程02=-ydx xdy 的通解是二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【 】 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件.2.曲线2t x =，12+=t y ，3t z =在点)1,1,1(--处的 法平面方程为【 】（A ）3322-=++z y x （B ）7322=--z y x（C ）312121+=+=-z y x （D ）312121+=+=--z y x 3．设),(y x f 是连续函数，改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【 】（A ）⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( （B ）⎰⎰e ey dx y x f dy 10),(（C ）⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( （D ）⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ，Ω为∑所围成闭区域， 由高斯公式，曲面积分333x dy dz y dz dx z dx dy ∑++=⎰⎰【 】（A ）dv a ⎰⎰⎰Ω-23（B ）dv a ⎰⎰⎰Ω23（C ）θϕϕd drd r rsin 322⋅-⎰⎰⎰Ω（D ）θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5．设有级数∑∞=--11)1(n p n n ，则【 】（A ）当1≥p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （B ）当1>p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛 （C ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （D ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分）1．求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域，并画出其区域图2．函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定，求x z ∂∂及22x z∂∂3．求表面积为36而体积最大的长方体四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算dxdy y x D⎰⎰，其中D 由直线x y =，1=y 及0=x 围成的闭区域2．计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ，其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域3．利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取逆时针方向五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题5分，第2小题10分，满分15分）1．判别级数∑∞=123n n n 的敛散性2．求幂级数∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域及其和函数六．（本题满分7分）设有连结点)0,0(O 和点(1,1)A 的一段向上凸 的曲线弧OA ，对于OA 上任一点),(y x P ，曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程七．（本题满分8分）求微分方程2x y y y xe '''--=的通解广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷答案与评分标准课 程：高等数学（90学时） 考 试 形 式：闭卷 考试一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设y xxy z +=，则=dz dy y x x dx y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 2．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xzv u f y f +2 3．L 为圆周122=+y x ，则2Lx ds =⎰π4．若级数∑∞=1n nu收敛，则=∞→n n u lim 05．微分方程02=-ydx xdy 的通解是2y c x =二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【 A 】 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件.2.曲线2t x =，12+=t y ，3t z =在点)1,1,1(--处的 法平面方程为【 B 】（A ）3322-=++z y x （B ）7322=--z y x（C ）312121+=+=-z y x （D ）312121+=+=--z y x 3．设),(y x f 是连续函数，改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【 D 】（A ）⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( （B ）⎰⎰e ey dx y x f dy 10),(（C ）⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( （D ）⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ，Ω为∑所围成闭区域，由高斯公式，曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰【 C 】（A ）dv a ⎰⎰⎰Ω-23（B ）dv a ⎰⎰⎰Ω23 （C ）θϕϕd drd r r sin 322⋅-⎰⎰⎰Ω（D ）θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5．设有级数∑∞=--11)1(n pn n ，则【 D 】 （A ）当1≥p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （B ）当1>p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛 （C ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （D ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分）1．求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域，并画出其区域图解：要使函数有意义，须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-010222y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+>1222y x x y 所求定义域为}1|),{(222≤+>=y x x y y x D 且 ┉┉┉┉┉ 3分区域D 的图形如左图阴影部分┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定，求x z ∂∂及22x z∂∂解：令=),,(z y x F xy yz e z +- 则 y F x =， y e F z z -=zy x ey yF F x z -=-=∂∂ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 22x z ∂∂2)(z z e y x z e y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分32)(z z e y e y -= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 3．求表面积为36而体积最大的长方体解：设长方体的三棱长为z y x ,,，则体积xyz V =，且 18=++xz yz xy令)18(),,(-+++=xz yz xy xyz z y x L λ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=180)(0)(0)(xz yz xy y x xy L z x xz L z y yz L zy x λλλ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分得6===z y x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分由实际问题可知，当棱长为6的正方体时体积最大 ┉┉┉┉ 8分四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算dxdy y x D⎰⎰，其中D 由直线x y =，1=y 及0=x 围成的闭区域解：dxdy y x D⎰⎰⎰⎰=101xdy xy dx ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dx y x x ⎰=1012|21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分dx x x ⎰-=103)(21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分81= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ，其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域 解：⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ⎰⎰⎰---=y x x dz z dy dx 101010┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dy y x dx x ⎰⎰---=10102)1(21 ┉┉┉┉┉┉┉ 4分 ⎰--=103)1(61dx x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分=241┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分3．利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取逆时针方向 解：记4:22≤+y x D ，由格林公式 ⎰⎰+=D dy dx y x I )(22 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 ⎰⎰⋅=πρρρθ2022d d ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分420|2πρ=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分π8= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题5分，第2小题10分，满分15分）1．判别级数∑∞=123n n n 的敛散性解：nn n nn n n n u u 33)1(lim lim 2)1(21+∞→+∞→+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 211lim 31⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→n n131<= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分2．求幂级数∑∞=+1)1(n n xn n 的收敛域及其和函数解：n n n a a 1lim+∞→=ρ)1()2)(1(lim +++=∞→n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n 21lim 1= ┅┅ 2分 故11==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分当1-=x 时，级数∑∞=+-1)1()1(n n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 当1=x 时，级数∑∞=+1)1(n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)1,1(- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 记=)(x S ∑∞=+1)1(n n xn n 11<<-x =⎰x dx x S 0)(∑∞=+11n n nx 2x =∑∞=-11n n nx又设=)(x g ∑∞=-11n n nx，11<<-x ，=⎰x dx x g 0)(∑∞=1n n x =xx -1 ┅┅ 8分 知2)1(11)(x x x x g -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ()3222)1(2)1()()(x x x x x g x x S -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='= （11<<-x ）┉┉┅┅ 10分六．（本题满分7分）设有连结点(0,0)O 和点(1,1)A 的一段向上凸 的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程解：设曲线弧OA 的方程为()y y x =，依题意 201()2xy t dt xy x -=⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 两边关于x 求导，得1()()22y x y xy x '-+= 即14y y x '-=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式得(4)dx dx x x y e e dx C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分14x dx C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ (4ln )x x C =-+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 由1|1x y ==得，1C =所求方程为4ln y x x x =-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分七．（本题满分8分）求微分方程2x y y y xe '''--=的通解解：该方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，且()f x 为()x m P x e λ型（其中()m P x x =，1λ=） 与所给方程对应的齐次方程为20y y y '''--=它的特征方程 220r r --=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 特征根11r =-，22r =齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 由于1λ=不是特征根，设()x y ax b e *=+ ┅┅┅┅┅┅ 5分 代入原方程得 22ax a b x -+-=由比较系数法得2120a ab -=⎧⎨-=⎩，解得11,24a b =-=-， 1(21)4x y x e *=-+，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 所求通解为2121(21)4x x x y C e C e x e -=+-+┅┅┅┅┅┅8分。
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。
yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。
]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。
证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二．。
3=a 三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．43。
六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
2020-2021《数学分析 》(二)期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《数学分析》（二）期末课程考试试卷A一、 填空题（3分⨯5=15分）.1.(ln )[1(ln )]f x dx x f x '=+⎰ln (ln )1f x c ++ .2.45522[sin cos ]x x x dx ππ-+=⎰8/15 . 3.22limarcsin x x x e dxx x--->⎰=1 .4.设()f x C =+⎰则 )(x f ''= .5. 2()xf x e -=的麦克劳林级数为()f x = 0(1)2!nnn n x n ∞=-∑二、 选择题（3分⨯5=15分）.1.若反常积分1a xx e dx +∞-⎰收敛，则 ( A ).（A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 0<a . 2. 若反常积分011(1)adx x -⎰收敛，则 ( D ).（A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 1<a . 3. 若反常积分1sin axdx x +∞⎰绝对收敛，则 ( C ). （A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 0<a .4. 若级数∑∞=+-031)1(n annn 条件收敛，则 ( D ). （A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 2/3>3/1>a .5. 设函数()f x =⎪⎩⎪⎨⎧-11 ππ<≤<≤-x x 00以2T π=为周期，其傅里叶级数的和函数为()S x ，则(6)4S ππ+=（ B ）.（A ）-1 , (B) 1 , (C) 0 , (D)不存在.三、计算题（6分⨯5=30分）1.求ln(1)x dx +⎰. 解：原式=ln(1)1xx x dx x +-+⎰-------------------4分 =ln(1)ln(1)x x x x C +-+++-----------------6分 2.求312x xdx -⎰.解：原式=21(2)x x dx -⎰+32(2)x x dx -⎰--------------2分=43--------------6分 3.求)1sin 2sin (sin 1lim πππn n n n n n -+++∞>- .解：原式=n k n n k n π)1(sin 1lim 1-∑=∞>-=⎰1sin xdx π-------------2分院系 班级 序号 姓名 装 订 线=10)cos (1x -π-------------4分=2/π-------------6分4.求21⎰.解：原式=22sin cos cos ttdx tπ⎰-------4分=4π-------6分5. 求反常积分211(1)dx x x +∞+⎰的值. 解：因为211(1)dx x x +∞+⎰21111111dx dx dx x x x +∞+∞+∞=-++⎰⎰⎰------------4分 1ln 2=--------------6分四、（1）求由曲线2y x =与直线0,1,1x x y ===-所围图形的面积. （2）求上述图形绕直线1y =-旋转一周而得立体体积. (10分).解：（1）120413s x dx =+=⎰--------------------5分（2）122028(1)15v x dx ππ=+=⎰--------------------10分 五、证明：若级数∑∞=12n n a 收敛，)0(1>∑∞=n n na na 也收敛. (4分) 证明：因为级数 ∑∞=121n n，∑∞=12n na收敛------------2分所以)1(212n n a n +∑∞=收敛，又(21≤n a n )122n a n+ 则)0(1>∑∞=n n na n a 也收敛. ----------------4分 六、求幂级数0(1)1n nn x n ∞=-+∑的收敛半径、收敛域与和函数，又求01(1)(1)2n nn n ∞=-+∑的 和(10分)解： 令 =)(x s ∑∞=+-01)1(n n n x n=)(x xs ∑∞=+-+01)1(1n n n x n ， ])(['x xs =∑∞=-0)1(n n n x =x+11，)1,1(-∈x=)(x xs ⎰+=+xx dx x 0)1ln(11=)(x s xx )1ln(+0≠x0)(,0==x s x ------------------4分收敛半径为1 ，收敛域为（-1，1]。
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广州大学2005-2006 学年第二学期试卷
课程 数学分析 考试形式（闭卷，考试）
数学与信息科学学院 05级1～7班 学号 姓名
一、填 空 题 （每小题3分 ， 共15分） 1. ()F x =
dt e x
t ⎰
2
的凸性区间为______________________ 。
2. 函数 12322
3
+-=x x y 的极大值点=0x _______________ 。
3. =-⎰2
)1sgn(dx x __________________________。
4. 计算无穷积分：
=⎰+∞
dx x x
1
sin 12
2
π
___________________ 。
5、求级数的和：=+∑
∞
=1
)
1(1
n n n _________________ 。
二、单项选择题 （每小题3分 ，共15分）
1、若)(x f 为恒正连续函数，则___________ ≡ 0 。
A 、
⎰dx x f dx
d
)( ； B 、 ⎰)(x df ；
C 、 ⎰
1
)(dt t f dx
d ； D 、
⎰
x
dt t f dx
d 0
)(；
2、若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则)12(+x f 的一个原函数为________ 。
A 、)12(+x F ；
B 、
2
1
)12(+x F ； C 、2)12(+x F ； D 、不存在。
3. 在区间[ - 1 , 1 ] 上不可积的函数为 ________。
A 、狄利克雷函数 D(x)；
B 、取整函数 [x]；
C 、符号函数 sgn x ；
D 、绝对值函数 x 。
4、若n a 满足 时,级数∑∞
=1n n a 收敛。
A 、0lim =∞
→n n a ； B 、n a 2
1
n ≤
(n=1,2,…)； C 、=∞
→n n n a lim λ< 1 ； D 、λ=+∞→n
n n a a 1
lim
< 1 。
5、利用M 判别法证明函数项级数∑∞
=1
2
cos n n nx
在),(+∞-∞上一致收敛时可作优级数的为 。
A 、∑∞
=11n n ； B 、∑∞
=121
n n ；
C ∑∞
=1
cos n nx ； D 、∑
∞
=1
cos n n
nx 。
三、计算题（共24分，每小题均为6分）
1、求极限2
1
)(cos lim x x x →
2、计算积分dx x x ⎰+))(ln 1(1
2
3 、 计算积分：dx x e
⎰
1
ln
4 、 计算积分：⎰
+
4
1x
dx
四、判断收敛性 ( 每小题4分, 共 8 分 ) 1. 判断无穷积分⎰+∞
+0
4
1
x xdx 的收敛性。
2. 判断级数∑
∞
=+-12
1
)1(n n n 的绝对收敛与条件收敛性。
五、应用题（每小题6分，共12分）
1、半径为1的球内有一圆锥,其顶点在球心而底面圆周在球面上。
当圆锥
高为多少时，其体积最大。
2、求由抛物线2y
x=与直线y
x=所围成的平面图形面积。
六、证明题 （共26分）
1、叙述并证明闭区间套定理。
(6分)
2、证明不等式：1->x x e xe ( x > 0 ) (6分)
3、 (1) 若正项级数∑∞=1
n n a 收敛，证明：级数∑∞=12
n n a 亦收敛。
(2) 若∑∞
=1
n n a 为
一般级数时，举一例说明∑∞
=1
n n a 收敛,但
∑∞
=1
2n n
a
发散。
(6分)
4、2
211
)(x
n x f n ⋅+=
，(x > 0 ) ； (1) 求极限函数)(lim )(x f x f n n ∞
→=，(x > 0 ) ；
(2) 证明：函数列{})(x f n 在区间[)∞+，1 上一致收敛； (3) 函数列{})(x f n 在区间 (]10， 上不一致收敛。
(8分)。