函数极限、无穷小无穷大

x x0



M
取
min1 , 2 , 则当

x (x0 , )
时 , 就有
u
u


M


M

故
即
是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
, 定义2. 设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小,
(1 ) 1
单调增, 又

(1
1 a1)
(1
ak
)

存在
“拆项相消” 法
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2. 夹逼准则 (准则2)
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn

lim
n
zn

a
证: 由条件 (2) , 当
0, N1, N2 ,
单调有界准则; 夹逼准则; 柯西收敛准则 .
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1. 单调有界数列必有极限 ( 准则1 )
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 )
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例4. 设
证明数列
极限存在 .
证: 利用二项式公式 , 有
xn

(1
则称 f ( x ) 无界. 单调减函数 .
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a
xn
11
21!(1 1n)

1 3!
(1

1n)
(1

n2)


1 n!
(1

1 n
)
(1

2 n
)

(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1

n11)

1 3!
(1

n11)(1
n21)

大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21) (1 nn1) 正
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例3. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列
x 收敛 , n
取 1 , 则存在 N ,
2
则有唯一极限 a 存在 . 使当 n > N 时 , 有
a

1 2

xn

a

1 2
x 但因
交替取值 1 与－1 ,
n
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
若 lim C 0, 则称 是 的同阶无穷小;
记作
o()
若

lim

k
C
0,
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小,
记作 ~ 或 ~
时,
当
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
lim
n
xn

a
由条件 (1)
a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn

a
.
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例7. 证明
证: 利用夹逼准则 .
由
n

n2
故
lim
n
xn

lim n
n

(1)n n
1
只要
n

1

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例2. 已知
证明
证: xn 0

(n
1 1)
2

1 n 1
(0,1), 欲使
取 N [ 1 1] , 则当

只要
1 , 即
n 1
n

1

1.
n N 时, 就有 xn 0 ,
散
xn (1)n1 趋势不定
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
用其内接正 n 边形的面积

n
r
当 n 无限增大时,
无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
常数的无限逼近：
a b 0, 总有 a b .
1 n
)n

1

n 1!
1 n

n(n1) 2!
1 n2

n(n1)(n2) 3!
1 n3


n(n1) (nn1) n!
1 nn
11
21!(1

1 n
)

1 3!
(1

1n)
(1

2 n
)

n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
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1 (1 2
a xn2
)

1 (1 2
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在，
则由递推公式有
A 1( A a ) 2A
x1 0, xn 0, 故
lim
n
xn

a
设
lim
n
xn

A
A a
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例6. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
比较可知
xn xn1 ( n 1, 2, )
又
xn

(1
1 n
)n
11
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又 xn (1 1n)n 11 11

3

2
1
n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e ,
即
lim (1
n
1 n
)
n
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nk N
xN
*********************
从而有
x n k a , 由此证明
N
lim
k
x
n
k
a.
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说明: 由此性质可知 ,
若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k

1
三、极限存在准则
左 邻域 :
右 邻域 :
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例 1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn

n n 1
1
(n )
收
敛
xn

n

(1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
且 a b.
取
因
lim
n
xn

a,
故存在 N1
,
使当 n > N1 时,
从而
xn

ab 2
同理, 因
lim
n
xn

b,
故存在 N2 ,
从而
xn

ab 2
使当 n > N2 时, 有
矛盾.
取 N max
故假b2设a不真x!n
Nba1
x , 因Nbb此222a收a 敛, 则数当列的n 极> N限3aa必时22b唯,b一x. nxnn3满ba22足ab的不等式
说明: 还可定义有上界、有下界、无界
(2) 单调性
若
x1, x,2 f (x1)
,
Mff ((Ixx,)2当)xf1,(称单Mx调),,x增f2称称函(时x数为为,)有有;为下上I界界上的
y
若 若f (对x任1)意正数f (Mx,2均) ,存称在 f (x) 为 I 上x的 D, 使 f (xx)1 xM2 , x

yn
)
AB
(2)
lim
n
xn
yn

AB
(3)
当yn

0且B

0时,
lim
n
xn yn

A B
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列
是数列
的任一子数列 .
若
则 0, N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有

e
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
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例5.设
xn1

1 2
( xn

a xn
)
( n 1, 2,

),且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解：

xn1

1 2
(xn

a) xn

xn

a xn

a
xn1 xn
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 基础工具 连续 — 研究起点
第一章
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
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点的 邻域
a
(


a
a
)


去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列,
记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时,
总有
则称该数列
的极限为 a ,
记作
lim
n
xn

a
或
xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
a xn a
则有
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 .
例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. 数列极限的四则运算
若
lim
n
xn

A,
lim
n
yn

B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
2. 已知 x1 1, xn1 1 2xn (n 1, 2, ), 求 lim xn
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn
n
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1

n2
1
2

n2
1
n


n2
n2
且
lim
n
n
n2 2


lim n1
1


n2
1

lim n
n

n
2
1


n2
1
2


n2
1
n

1
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*3. 柯西极限存在准则(柯西收敛原理)
数列
极限存在的充要条件是:
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
(n N)
即 xn ( a, )
(n N)
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
因此 , 取
N [ 1 ] , 则当 n N 时, 就有 n (1)n 1 n
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 四则运算; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
故
lim
n
xn

lim
n
(1)n (n 1)2

0
也可由
xn 0

1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
故也可取
取
N
1

1

N

[
1

]
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法.
假设
及
第一章
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小（定义、性质及阶的比较 ） 二、 无穷大
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一、 无穷小
定义1 . 若
时 , 函数
(或x )
为
时的无穷小 .
(或x )
例如 :
函数
当
则称函数 时为无穷小;
函数
当
时为无穷小;
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
0, 存在正整数 N ,
使当 m N , n N 时,
有
xnபைடு நூலகம் xm
证: “必要性”.
设
lim
n
xn
a,则
使当
时, 有
xn a 2 , xm a 2
因此
xn xm
“充分性” 证明从略 .
xn a xm a
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(
a

1 2
,
a

1 2
)
内,
因此该数列发散 .
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函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间
有界性
I D.
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为
时的无穷小量 .
x x0
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定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 定理3. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
u M
又设 lim 0, 即 0,
当
时, 有