圆锥曲线三大难点解读

圆锥曲线三大难点

难点一、最值与定值（定点）问题

圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解．

定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆

22

22:1(0)x y Q a b a b

+=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程；

（2）在Q 的方程中，令21cos sin a θθ=++，

2sin 0b θθπ⎛

⎫=< ⎪2⎝⎭≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，

此时，设l 与x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，

ABD △的面积最大？

分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为222220b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2a 、2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m

的斜率是

否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ，ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121

2

S y y =

-，当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大．

点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高．

例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线24x y =的焦点为F ，

A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM ·AB 为定值；

（2）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．

简解：（1）(01)F ，

，设点A B ，的横坐标为12x x ，，则过点A B ，的切线分别为2111()42

x x y x x -=-，2

222()42x x

y x x -=-，结合AF FB λ=，求得

0FM AB =为定值；

（2）

FM AB =，则

ABM

△的面积

3

3

124

2

22FM AB S 1=

=⨯=≥． 难点二、求参数范围（或值）问题

求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围．有时候

需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确定参数的变化范围． 例3 （陕西卷理21）如图2，三定点(21)A ，、(01)B -，、(21)

C -，；三动点

D

E M ，，满足A D t A B =，BE tBC =，

DM tDE =，[01]

t ∈，． （1）求动直线DE 斜率的变化范围； （2）求动点M 的轨迹方程．

解：（1）设()D D D x y ，，()E E E x y ，，()M x y ，． 由AD t AB =，知(21)(22)D D x y t --=--，，， 即222 1.D D x t y t =-+⎧⎨

=-+⎩，同理22 1.E E

x t y t =-⎧⎨=-⎩，

∵12E D

DE E D

y y k t x x -=

=--，且[01]t ∈，，∴[11]DE k ∈-，；

（2）∵DM tDE =，即2(2221)(242)x t y t t t t +-+-=--，，．

∴2

2(12)(12)x t y t =-⎧⎨=-⎩，，

消去参数t ，得24x y =． ∵[01]

t ∈，，∴2(12)[22]x t =-∈-，． 故24x y =，[22]x ∈-，

． 点评：本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识，以及依靠不变量（定点坐标和不变的向量共线）与变量的关系相互转化，综合运用各种知识解决问题的能力．

难点三、存在与对称性问题

存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果． 存在性问题的求解策略是：一般先假设某数学对象存在，

按照合

情推理或计算，得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设，有时也可由特殊情况探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证． 对称性问题的求解策略是：结合轴对称或中心对称．考虑斜率与中点或向量的数量积（可避开斜率存在性的讨论），常用“设而不求”、待定系数法等方法解决问题．

例4 （湖南卷理21）如图3，已知椭圆

221:1

43

x y C +=，抛物线

22:()2(0)C y m px p -=>，且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点．

（1）当AB x ⊥轴时，求m p ，的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；

（2）是否存在m p ，的值，使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m p ，的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）当A B x ⊥轴时，0m =，直线AB 的方程是1x =，点A 为3

12⎛⎫

⎪⎝⎭

，或312⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

，． 代入抛物线方程，得98

p =．

此时2C 的焦点为9

016⎛⎫

⎪⎝⎭

，

，且焦点不在直线AB 上； （2）设11()A x y ，、22()B x y ，，2C 的焦点2

p

F m ⎛⎫' ⎪⎝

⎭

，，弦AB 的两端点在抛物线上，也在椭圆上，所以12121

1

2222

AB x x p x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

，