第二篇泊松过程

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泊松过程poisson

泊松过程poisson
分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合,
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择,以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质, 即随着时间的推移,事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ(λ > 0),即E(X)=λ, D(X)=λ。
当λ增加时,泊松分布的概率密 度函数值也增加,表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中,泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如,基因表达数据可以用 泊松过程来分析,以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程,生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因,为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量,例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间,并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器,在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内,泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较

泊松过程

泊松过程
n

i 1
i
设 E[ X n ] ,由于Xn为非负随机变量且不恒为0,所以 有 0 。 因为Sn代表n次更新所花费的时间,则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0,故当n∞时,要求Sn 趋于∞;反之,若Sn∞, 必然要求n ∞ ,这就说明在有限长的时间内只能出现 有限次更新。 t 有限时:
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义:在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件: (1) N(t) ≥0; (2) N(t) 一个是正整数; (3)如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。 (4)对于s < t,N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出 现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 , 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ,是两个不相交 的时间间隔,若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计 独立,则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关,则称N(t)为 平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得: dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难,一般仅讨论平稳分布, t∞时的极限情况。 二、排队和服务问题 1、基本概念:任何排队过程包括三个不同的历程: 1)到达过程 2)排队过程 3)服务过程 排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示,其中: G1— 顾客到达服从G1分布; G2—服务时间服从G2分布;n — 服务员数目;m —顾客排队容许长度(或系统容量),m = ∞时不写出,为等待制系统。

随机过程——泊松过程(2)

随机过程——泊松过程(2)

4.2.2 复合Poisson过程
二、定义
设 N t , t 0 为一齐次 Poisson 过程,n , n 1是 i.i.d 序列,且与N t , t 0相互独立,令
Yt n1 n
Nt
Y 则称随机过程 t , t 0 为复合 Poisson 过程.
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
N t , t 0为 一 齐 次 sson 程, 有 时 会 Poi 过
将 事 件 分 类 ,型 和II型 , 事 件 被 分 为 哪 I 一类依赖于发生的时,即事件发生在 间 时 刻s, 则 以 概 率 s 被 归 为 型 , 以 P I 的归类独立,则有如结论: 下
s 0

P0 t , s 1 t s h oh
ln P0 t , s t x dx m t s m t
P0 t , s e
m t s m t
再来看k 1的情形
4.2.1 非齐次P机过程 N t 是一个计数过程,若满 足
(2)N t 是独立增量过程 .
(1) N 0 0
(4)h 0,PN t h N t 1 t h oh
则 称N t 具 有 强 度 函 数t 的 非 齐 次 为 Poisson 程 . 过
u t s P0 t , s t

k 1 e iuk t s Pk t , s t s Pk 1 t , s
iuk iu

实验报告-泊松过程

实验报告-泊松过程

Poisson 过程的模拟和检验一、 实验目的1、理解掌握Poisson 过程的理论,了解随机过程的模拟实现技术;2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson 过程。

二、 实验内容1、利用C 语言、MATLAB 等工具,结合Poisson 过程等相关结论,模拟Poisson 过程;2、查找资料、学习关于Poisson 过程假设检验的相关知识,检验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson 过程的定义。

三、 作业要求提交实验报告电子版,说明模拟实现的过程,检验原理、步骤等以及实现过程;提交程序源代码。

四、 实验原理1、泊松过程(1)计数过程如果用)(t X 表示[0,t ]内随机事件发生的总数,则随机过程{)(t X ,0≥t }称为一个计数过程。

且满足:1)0)(≥t X ;2))(t X 是整数值;3)对任意两个时刻210t t <≤,有12()()X t X t ≤;4)对任意两个时刻210t t <≤。

)()(12t X t X -等于在区间],(21t t 中发生的事件的个数。

(2)泊松过程设随机过程{()N t ,0≥t }是一个计数过程,满足1)(0)0N =;2)()N t 是独立增量过程;3)对任一长度为t 的区间中事件的个数,服从均值为t λ(0>λ)的泊松分布,即对一切0,≥t s ,有(){()()},0,1,2,!kt t P N t s N s k e k k λλ-+-===则称()N t 为具有参数λ的Poisson(泊松)过程。

(3)到达时间间隔n T 的分布设{()X t ,0≥t }为泊松过程,()X t 表示到时刻t 为止已发生的事件的总数;,(1,2,3,)n W n =表示第n 次事件发生的时刻;,(1,2,3,)n T n = 表示第n 次与第n-1次事件发生的时间间隔。

显然,121nn n i i W T T T T ==+++=∑定理3.2 设{()X t ,0≥t }是参数为λ(0>λ)的泊松过程,则到达时间间隔序列12T T ,,是相互独立的随机变量序列,且都有相同的均值为λ/1的指数分布。

泊松定理公式推导过程

泊松定理公式推导过程

泊松定理公式推导过程
泊松定理公式推导过程:假设时间T是一个线,事件a发生在线T上的某一个点上,不妨先把点看成是一跟无限短的线。

将T进行n 等分均分,并保证每等分的情况E{发生一次,没有发生}。

就可以得出一个公式。

n就是区间的个数,但是由于题目讨论的是线上的点,所以以可以让n趋向于无穷大,那区间足够小就可以视作一个点。

p就是a 发生在区间上的概率。

接着继续分析,可以得到两个公式。

点的概率公式:即事件发生的数学期望。

limn→8n时间段T内发生k次事件的概率:P(x=k)=Скрk(1=р)n-k。

泊松过程

泊松过程

泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。

例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数,就构成一个泊松过程。

泊松过程是由法国著名数学家泊松(Poisson, Simeon-Denis)(1781—1840)证明的。

1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程,后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

Poisson过程(Poisson process,大陆译泊松过程、普阿松过程等,台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等),是以法国数学家泊松(1781 - 1840)的名字命名的。

泊松过程是随机过程的一种,是以事件的发生时间来定义的。

我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程,如果它满足以下条件:在两个互斥(不重叠)的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。

在区间内发生的事件的数目的概率分布为:其中λ是一个正数,是固定的参数,通常称为抵达率(arrival rate)或强度(intensity)。

所以,如果给定在时间区间之中事件发生的数目,则随机变数呈现泊松分布,其参数为。

更一般地来说,一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间(例如:一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间)中的每一个有界的区域,赋予一个随机的事件数,使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数,和另一个互斥(不重叠)的时间区间或空间区域内的事件数,这两个随机变数是独立的。

•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数,遵循泊松分布。

(技术上而言,更精确地来说,每一个具有有限测度的集合,都被赋予一个泊松分布的随机变数。

)泊松过程是莱维过程(Lévy process)中最有名的过程之一。

时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。

一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程,是一个出生-死亡过程的最简单例子。

泊松过程

泊松过程

第二讲 泊松过程1.随机过程和有限维分布族现实世界中的随机过程例子:液体中,花粉的不规则运动:布朗运动;股市的股票价格; 到某个时刻的电话呼叫次数;到某个时刻服务器到达的数据流数量,等。

特征:都涉及无限多个随机变量,且依赖于时间。

定义(随机过程) 设有指标集T ,对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应,则称随机变量族}),({T t t X ∈为随机过程。

注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →⨯Ωω:),(。

固定ω,即考虑某个事件相应的随机变量的值,得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。

映射的值域空间E 称为状态空间。

例 随机游动(离散时间,离散状态)质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化,分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。

如果以n S 记时刻n 质点所处的位置,那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。

这里指标集},1,0{ =T ,状态空间},1,0,1,{ -=E 。

如果记n X 为时刻n ,质点的移动,那么{,1}n X n ≥也是随机过程。

两个过程的区别:{}n S 不独立;{}n X 独立; 两个过程的关系:01nn kk S S X==+∑习题 计算n ES 和n DS (设00S =)。

提示 利用∑==nk kn XS 1,其中k X 是时刻k 的移动方式。

习题 设从原点出发,则()/2()/2()/2,2()0,21n k n k n k n n C q p n k iP S k n k i +-+⎧+===⎨+=-⎩。

例 服务器到达的数据流(连续时间,离散状态)在],0[t 内,到达服务器的数据包个数记为)(t N ,那么}0),({≥t t N 也是个随机过程,其指标集}{+∈=R t T ,状态空间},1,0{ =E 。

例 布朗运动(连续时间,连续状态)直线上质点的位移是连续的。

在时刻t 的位置为t X 。

泊松过程

泊松过程

pk (t +h) −pk (t) o(h) , = −λpk (t) +λpk−1(t) + h h pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) h ,(k = 0,1,2,L ) 令 →0得 , pk (0) = P{N(0) = k} = 0
k=1时 k=1时, p1'(t) = −λp1(t) + λe−λt p1(0) = 0 解得: (t)= 所以k=1时结论成立。 k=1时结论成立 解得:p1(t)=λte-λt,所以k=1时结论成立。
(λt)k−1 −λt e 。 假设k-1时结论成立, pk−1(t) = 假设k 时结论成立, (k −1)! pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) (λt)k −λt 解 , 得 pk (t) = e 。 pk (0) = 0 k!
结论成立。 结论成立。 由归纳法知,对一切k=0,1,2, k=0,1,2,…,结论成立。 由归纳法知,对一切k=0,1,2, ,结论成立。 (λt)k −λt 得证
j=0
k
k
{N(t) = j}P N(h = k − j} { ) = ∑P
) ) ) p ) = ∑pj(t)pk−j(h = pk(t)p0(h +pk−1(t)p1(h + ∑ j(t)pk−j(h
j=0 j=0
j=0 k
k−2
(t)[1(t)[λh+o(h)]+o(h), =pk(t)[1-λh+o(h)]+pk-1(t)[λh+o(h)]+o(h),
定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t 0}满足下列 {N(t),t≥ 定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t≥0}满足下列 条件: 条件: N(0)= a) N(0)=0; 具有独立增量; b) 具有独立增量; P{N(h)=1}= h+0(h); c) P{N(h)=1}=λh+0(h); P{N(h)≥2}= d) P{N(h)≥2}=0(h) 则称{N(t),t 0}为参数(或平均率、强度) {N(t),t≥ 齐次) 则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊 松过程。 松过程。 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤 令X(t)表 表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数 则{X(t),t≥0}满足定义 内收到的呼唤次数,则 满足定义3 示电话交换台在 内收到的呼唤次数 ≥ 满足定义 的条件, 是一个泊松过程. 的条件 故{X(t), t≥0}是一个泊松过程 ≥ 是一个泊松过程 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记 若记X(t)为在时间 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客 若记 为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数 则{X(t),t≥0}为一泊松过程 内到达售票窗口的旅客数,则 内到达售票窗口的旅客数 ≥ 为一泊松过程

非常经典的泊松过程讲解

非常经典的泊松过程讲解
Chapter 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
POISSON PROCESSES
2.1 Introduction
A Poisson process is a simple and widely used stochastic process for modeling the times at which arrivals enter a system. It is in many ways the continuous-time version of the Bernoulli process that was described in Section 1.3.5. For the Bernoulli process, the arrivals can occur only at positive integer multiples of some given increment size (often taken to be 1). Section 1.3.5 characterized the process by a sequence of IID binary random variables (rv’s), Y1 , Y2 , . . . , where Yi = 1 indicates an arrival at increment i and Yi = 0 otherwise. We observed (without any careful proof) that the process could also be characterized by the sequence of interarrival times. These interarrival times are geometrically distributed IID rv’s . For the Poisson process, arrivals may occur at arbitrary positive times, and the probability of an arrival at any particular instant is 0. This means that there is no very clean way of describing a Poisson process in terms of the probability of an arrival at any given instant. It is more convenient to define a Poisson process in terms of the sequence of interarrival times, X1 , X2 , . . . , which are defined to be IID. Before doing this, we describe arrival processes in a little more detail.

3.泊松过程

3.泊松过程
n!
由条件(2)有:
PX t s X s n PX t X 0 n
PX t n Pn t 即:PX t s X s n t n et ,n 1, 2,
n!
证毕
3.2 泊松过程的基本性质
一、数字特征
1.设X t ,t 0是泊松过程,对任意的
t, s 0, ,且s t,有:
d dt
et
Pn
t
et
Pn1
t
(*)
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
n
1时,d dt
et P1 t
et P0 t et et
et P1 t t C P1 t t Cet
P1 0 PX 0 1 0 C 0
P1 t tet
设n
1时结论成立,即Pn1
t
t
n1
et
n 1!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.1 称随机过程N t ,t 0为计数过程,
若N t 表示到时刻 t 为止已发生“事件A”的 总数,且N t 满足下列条件:
(1)N t 0;
(2)N t取正整数值; (3)若s t,则N s N t;
(4)当s t时,N t N s等于区间
为具有参数 0的泊松过程,若它满足下列条件:
(1)X 0 0; (2) X t 是独立增量过程;
(3)在任一长度为t的区间s,t+s中,事件A发生
的次数 X t+s X s服从参数为t 的泊松分布,
即对任意 s,t 0,有
PX t+s X s n et t n , n 0,1, .
n!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”,“到达一次呼唤”,“维 修一台”

泊松过程 参数估计

泊松过程 参数估计

泊松过程参数估计全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:泊松过程是一种常见的随机过程,其在很多领域都有着广泛的应用,比如通信网络、金融市场、医学统计学等。

泊松过程最基本的特点就是事件在时间上是随机地不断发生的,且事件之间是相互独立的。

泊松过程的一个关键参数就是事件的发生率,即单位时间内事件发生的次数,通常用λ来表示。

在实际应用中,我们常常需要对泊松过程的参数进行估计,以便更好地理解、分析和预测事件的发生情况。

参数估计的目的就是通过已有的样本数据,来估计未知的参数值。

泊松过程的参数估计方法有很多种,比如极大似然估计、贝叶斯估计等,下面我们就来详细介绍一下这些方法。

首先我们来介绍一下极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,简称MLE)。

极大似然估计是一种常用的参数估计方法,其目标是选择最能够使观测到的数据出现的概率最大的参数值。

对于泊松过程来说,假设我们有一组事件的发生时间数据,我们可以通过计算这些事件的时间间隔来得到事件发生的频率,然后通过极大似然估计的方法来估计λ的值。

具体来说,设有n个事件发生,分别在时间t1,t2,...,tn发生,时间间隔分别为Δt1=t1,Δt2=t2-t1,...,Δtn=tn-tn-1。

假设事件发生率为λ,那么事件发生时的概率密度函数为P(Δt)=λe^(-λΔt),当所有事件都发生时的联合概率密度函数为L(λ)=∏(i=1,n)λe^(-λΔti)。

然后通过最大化L(λ)来得到λ的估计值。

除了极大似然估计外,贝叶斯估计也是一种常见的参数估计方法。

贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的方法,其核心思想是先验概率和后验概率的更新。

对于泊松过程来说,我们可以引入一个先验分布作为事件发生率λ的先验信息,然后通过贝叶斯定理来更新这个先验分布,得到后验分布,从而估计λ的值。

我们可以假设λ服从一个指数分布,即先验分布为P(λ)=exp(-λ),那么在得到观测数据后,我们可以根据贝叶斯定理得到后验分布为P(λ|data)∝L(λ)×P(λ),然后通过后验分布来估计λ的值。

《随机过程——计算与应用》课件泊松过程2

《随机过程——计算与应用》课件泊松过程2

个到达时刻T1 <T2 <…<Tn有以下联合概率密度函
数:
p(u1,
u2
,,
un
)
n!,0 tn 0,
u1
u2 其它
un t
证明:对0 u1 u2 un t,取充分小的正数h1, h2, , hn ,
使得uk Tk uk hk ,且各小区间(uk ,uk hk ](k 1, 2, n)
试计算:
(1) 过程 N1 的第一个事件先于过程 N 2
的第一个事件发生的概率.
(2) 过程 N1 的第k个事件先于过程 N 2 的第一个事件发生的概率.
解题思路: 考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率
P(T1(1)
T1(2) )
1 1 2
P(Tk(1)
T (2) 1
)
( 1 1 2
1) P{Nth Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nth Nt 1} h (h) 则该计数过程一定是参数为的泊松过程.
记 qk (t) P(Nt k), k 0,1, ,对充分小的h 0, 可计算
q0 (t h) P(Nth 0) P(Nth Nt 0, Nt 0)
泊松过程
泊松过程的一个等价定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程,如果 它满足以下条件:
① N0 0 ② N是平稳的独立增量过程
③ P{Nth Nt 0} 1 h (h) ④ P{Nth Nt 1} h (h)
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足 以下性质:
qk (t)[1 h (h)] qk1(t)[h (h)] (h)

泊松过程

泊松过程

Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻,或称等待时间, 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻,或称等待时间, 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔,或称第n个时间间隔 时间间隔,或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次,求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数, 次数,则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数, [泊松定理] 在二项分布中,设 np=λ 是常数,则有 ] 在二项分布中,
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =

泊松过程

泊松过程

nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次,求第k次(k < n) 事件A发
生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h, X (t ) n} P{s Wk s h X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
称它为具有参数 >0 的泊松过程
泊松过程例子

考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示 电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数,则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为 时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数,则{ X(t), t 0 } 是一 个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故 障,立即修理后继续工作,则在 (t, t+h] 内机器发生故障 而停止工作的事件数构成一个随机点过程,它可以用泊松 过程来描述。
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程,{Tn , n 1 } 是对应的 时间间隔序列,则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数: Tn 的概率密度函数:

泊松过程

泊松过程
E[ N ( t ) N ( s )] D[ N ( t ) N ( s )] ( t s ) N ( t ) E[ N ( t )] E[ N ( t ) N (0)] t
2 N ( t ) D[ N ( t )] D[ N ( t ) N (0)] t
13
解:首先M1(0)=0, M1(t) 具有平稳独立
增量,接下来只需验证 M1(t) 服从均值
为 pt 的泊松分布. 即对任意 t >0 ,
(pt)m pt P{ M 1 ( t ) m } e . m!
下边将用到全概率公式,二项分布的背 景、公式,以及泰勒展式 x n ex n! n 0
泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义1 随机过程{N(t),t 0 }是计数过 程,如果 N(t) 表示到时刻 t 为止已经发 生的事件A 的总数,且 N(t) 满足条件
(1) N(t) 0 , 且 N(t) 取整数; (2)当s< t 时,则 N(s)N(t), 且 N(t)-N(s) 表示在时间(s, t]中事件A 发生的次数.
6
10k 10 P{N (t 1) N (t ) 20} e 0.9984 k 0 k!
20
P{N (t 2) N (t ) 0} e20 2.06109
984 k 0 k!
3
• 定义2 计数过程{N(t),t 0 }是泊松过程, 如果N(t)满足 (1) N(0)=0, (2) N(t)是独立增量过程, (3) 在任一长度为 t 的区间中,事件A发生 的次数服从参数 t >0 的泊松分布,即 对任意s, t 0,有 n t ( t ) P N ( t s ) N ( s ) n e , n! n 0,1, 2,

二章Poisson过程

二章Poisson过程

1, N
5 2
5
p N
1 2
1,
N
5 2
N 1 2
4
1 4
e 2 4 11
1 2
e 42
4
4!
24
0.0155
• 命题2.1 一个计数过程 N t为泊松过程( 0 )的充
要条件是:
• (1) N 0 0 • (2) N t 为齐次独立增量过程
• (3) 存在正的常数 ,使得对充分小的 0
指数随机变量, Wn 服从参数为n和 的
分布。
• 定理2.1 若 N t , t 0 为Poisson过程,则给定 N t n
下等待时间 W1,,Wn 的联合密度为:
fW1,,Wn N t n
w1,, w2.2 顾客依速率为 的Poisson过程到达车站。若火
t .W而i 所要求的平均总等待时间
就是
N
E
t
t
。Wi
i 1
i1
• 为求出它可以先求条件期望:
E
N
t
t
i1
Wi
N t
n
E
n i1
t
Wi
N t
n
nt
E
n
Wi
i1
N t
n
• 注意到给定N t n,Wi ,i 1,2,, n 的联合密度是与 (0,t]
上均匀分布中随机样本 U i , i 1,2,, n,的次序统计量 U i , i 1,2,, n 的联合密度是一样的。所以:
• 解:设顾客流 N t 为非齐次泊松过程,强度函数
10 0 t 3 t 20 3 t 9
15 9 t 12

泊松过程

泊松过程

h
P{N (t h) N (t ) 2} 1 e h he h 1 (1 h o(h)) h(1 h o(h)) o( h)
直观地:把( s, t ] n等分,设为t0 t1 ... t n , t0 s, tn t , ti 1 ti h
X k k 0
k!
k
e


k 0

( s ) k s ( s 1) e e e k!
浙大数学随机过程 5
定 理 :设 X 1 , , X n 是离散型随机变量,若对任何 x1 , , xn , 这里 pi 满足 pi ( x ) 0, pi ( x ) 1.
泊松过程也可用另一形式定义: 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足: 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
证明方法1: : 对 t s 0, 记 N ( s, t ] N ( t ) N ( s ).
固定 s , 对 t s , 令 Pk ( t ) P ( N ( s , t ] k ). 对 h 0, P0 ( t h ) P ( N ( s , t ] 0, N ( t , t h ] 0) ( 独立增量性) P ( N ( s , t ] 0) P ( N ( t , t h ] 0) P0 ( t )[1 h o ( h )] P0 ( t )[1 h ] o ( h ) P0 ( t h ) P0 ( t ) o( h ) P0 ( t ) h h dP0 ( t ) 令 h 0得, P0 ( t ) dt 又由于 P0 ( s ) 1, 所以 P0 ( t ) e ( t s )

2-1泊松过程

2-1泊松过程

det P 1 t dt
t P t t C e 1
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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结 束
《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明 t P 0 0 P t te 由初始条件 1 1
b P N t h N t 2 P N h 2 o h
P N (t h)- N (t )=1 he
h
(3)
证:由(1)显然可得Poisson过程是平稳过程
k! h 1 h o h h o h
mN t EN (t )= t
DN t DN (t )= t
均方值函数

2 N
t EN (t )=DN t EN t t t
2 2
2
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第二章 Poisson 过程
t 再由 P0 0 0 P N t 0 e
。Leabharlann hNORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明
2 定义2 定义1 即:由(2),(3) (1) 证:当 k 1 时,Pk t h P N (t h) k
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C nk n1
nk
(1
)k
-结巴概率:产生另一个需求
(1 )-下一个需求发生的概率(经过一个指数时间的逗留)
泊松过程的分解
例题
设到达某商场的顾客组成强度为λ的泊松过程,每个顾客购买商品的概率 为p,且与其他顾客是否购买商品无关,若{X( t ),t≥0}为购买商品的顾客 数,证明{X( t ),t≥0}是强度为λ p的泊松过程。
(1) 两分钟内接到3次呼叫的概率。 (2) 第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
5
泊松过程的数字特征
设{X(t),t≥0}是泊松过程,对任意的t,s∈[0, ∞),且s<t,有
E[X (t) X (s)] D[X (t) X (s)] (t s)
由于X(0)=0,所以
mX (t ) E[ X (t )] t
11
到达时间的条件分布
假设在[0,t]内时间A已经发生一次,我们要确定这一事件到达时间W1的 分布。
泊松过程
平稳独立增量过程
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等,或者 说,这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P{W1 s | X (t) 1} ?
例题
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的泊松过程,它们在单位时间
内平均出现的事件数分别为λ1和λ2,记 为W过k(1) 程X1(t)的第k次事件到达时
间, 为W过1(2) 程X2(t)的第1次事件到达时间,求
P(Wk(1)
W (2) 1
)
例题
有线电视公司从客户签约时刻起开始收费,每单位时间收费1元,设签约 客户为参数为λ的泊松过程,求公司在(0,t]时间段内的平均总收入。
2、若不考虑其大小顺序,其分布就如n个独立的均匀随机变量U[0,t],如
n
n
Sn Wi Ui , Ui ~U [0, t]
i 1
i 1
3、如果我们有一组n个独立均匀分布U[0,t]随机变量的观测值,将其按大 小排列,则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的n个到达点,是一 种产生齐次泊松过程的方法
15
非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数
定义: 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程,若 它满足下列条件: 1. X(0)=0; 2. X(t)是独立增量过程;
3. P{X (t h) X (t) 1} (t)h o(h)
P{X (t h) X (t) 2} o(h)
第二章 泊松过程
❖ 泊松过程定义 ❖ 泊松过程的数字特征 ❖ 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的
条件分布 ❖ 复合泊松过程 ❖ 非齐次泊松过程 ❖ 滤过泊松过程
1
计数过程: 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程,若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事
件A”的总数,且N(t)满足下列条件: 1. N(t) ≥0; 2. N(t)取正整数值; 3. 若s<t,则N(s) ≤N(t); 4. 当s<t时,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。
19
复合泊松过程
定义:
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程,{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布 随机变量,且与{N(t),t≥0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , k 1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
t0
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
计数过程N(t)是独立增量过程
如果计数过程在不相重叠的时间间隔内,事件A发生的次数是相互独立的。
计数过程N(t)是平稳增量过程
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(S>0),事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时 间差s有关,而与t无关。
2
泊松过程定义1: 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程,若它满足下列条件: 1、X(0)=0; 2、X(t)是独立增量过程; 3、在任一长度为t的区间中,事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布,
24
❖ 作业 3.1 3.5 3.7
25
3. 若E(Y12)<∞,则 E[ X (t)] tE[Y1 ], D[ X (t)] tE[Y12 ]
21
例题:结巴(stuttering)泊松过程
对于一个复合泊松过程,如果Yn服从几何分布:
P(Y y) (1 ) y,y 1, 2,L 可以求得:
P{X (t)
n}
n
et
k 1
(t)k k!
P{X (t h) X (t) 1} h o(h)
P{X (t h) X (t) 2} o(h)
例如: •电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数; •火车站某段时间内购买车票的旅客数; •机器在一段时间内发生故障的次数; •保险的理赔
4
定理 : 定义1和定义2是等价的。
例子:设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为λ的泊松过 程。求
例:某沙滩汽车的到达服从指数为λ的泊松过程,汽车在沙滩的逗留时间 分布为G(s),假定各汽车逗留时间之间,以及逗留时间与到达时间之间相 互独立,用N1 ( t ) 表示时刻t离开沙滩的汽车数量, N2 ( t ) 表示时刻t仍然 在沙滩上的汽车数量,则N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是一个type-1和type-2的分解。
泊松过程的分解:
强度为λ的泊松过程,事件A在时刻s到达,则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达,用{Ni ( t ) ,t≥0},i=1,2,表示 type-i在时间(0,t]的达到次数,则有
P N1 (t )
n,
N2 (t)
m
e pt
( pt)n n!
非齐次泊松过程的均值函数(积分强度
0
16
定理:
设{X(t),t≥0}为具有均值函数 则有
t
mX (t)
( s)ds非齐次泊松过程,
0
P{X (t s) X (t) n}
[mX
(t
s) n!
mX
(t)]n
exp {[mX
(t
s)
mX
(t)]},
n0
即对任意s,t≥0,有 P{X (t s) X (s) n} et (t)n , n 0,1,
n!
泊松过程同时也是平稳增量过程
E[X (t)]
t
表示单位时间内事件A发生的平均个数,故称为过程的速率 或强度
3
泊松过程定义2: 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程,若它满足下列条件: 1. X(0)=0; 2. X(t)是独立、平稳增量过程; 3. X(t)满足下列两式:
n)
n!
n i 1
(t) , m(t)
0,
0 t1 L tn t, 其他
说明在{X (t)=n}的条件下,n次事件到达时间的分布是n个独立同分布样 本的顺序统计量,其母体X的分布函数为:
m( x)
F
(x)
m(t
)
1,
x t, xt
18
例题
设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 (t) 1 (1 cost) 的非齐次泊
松过程(ω≠0),求E[X(t)]和D[X(t)]。2
例题 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出,乘客流量如下:5时 按平均乘客为200人/时计算;5时至8时乘客平均到达率按线性增加, 8时到达率为1400人/时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降,到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率,并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
10
定理:
设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列,则 Wn服从参数为n与λ的Г分布,其概率密度为
fWn
(t )
e
t
(t ) n 1
(n 1)
,
0,
t0 t0
例:已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松 过程,若仪器振动k(k>=1)次就会出现故障,求仪器在时刻t0正 常工作的概率。
X(t)
该商店在(0,t]时间段内的营业额
20
定理
设 N (t )
X (t )
Yk ,
t 0是复合泊松过程,则
k 1
1. {X(t), t≥0}是独立增量过程;
2. X(t)的特征函数 g X (t) (u) exp{t[gY (u) 1]} ,其中gY (u) 是随机 变量Y1的特征函数,λ是时间的到达率;
分布函数
0,
FW1|X (t)1(s)
s
t
,
1,
s0 0st st
分布密度
fW1| X
(t )1 (s)
1
t
,
0st
12
0, 其它
定理: 设{X(t),t≥0}是泊松过程,已知在[0,t]内事件A发生n次,则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
eqt
(qt)m m!
其中,p 1 t P(s)ds,q 1 p t0
23
泊松过程的分解可推广到n个类型,用Pi(s)表示type-i在时刻s达到的概率,
定义:
1t
pi t 0 Pi (s)ds
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