京改版九年级下册《24.4正多边形的有关计算》课件1
正多边形的有关计算中学九年级数学课件模板制作
正多边形的所有顶点位于同一个 圆上，且所有边都与该圆相切。
正多边形的所有内角大小相等， 且每个内角的大小与相邻的外角
大小互补。
正多边形的性质
01
正多边形的所有边长相 等。
02
正多边形的所有内角大 小相等。
03
正多边形的所有外角大 小相等。
04
正多边形的所有顶点位 于同一个圆上，且所有 边都与该圆相切。
决过程。
实例3
在计算多边形的面积时，对角线 可以作为分割线，将多边形分割 成若干个小三角形，然后利用三
角形的面积公式进行计算。
05
CATALOGUE
正多边形在实际生活中的应用
正多边形在建筑设计中的应用
建筑立面设计
正多边形可以用于建筑立面的设计，通过不同角度和组合，创造出独特且富有 美感的建筑外观。
室内装饰
正多边形在室内装饰中也有广泛应用，如吊顶、地面拼花等，能够营造出和谐 、规律的视觉效果。
正多边形在艺术创作中的应用
绘画构图
在绘画中，艺术家可以利用正多边形的对称性和规律性，创造出具有美感的构图 和图案。
雕塑造型
正多边形在雕塑设计中也常被运用，通过不同角度和组合，塑造出独特的立体造 型。
正多边形在其他领域的应用
解释
对于一个n边形，每个顶点都可以与其它(n-1)个顶点形成一 条对角线，但由于每条对角线被计算了两次（两个顶点都可 以作为起点），所以需要除以2。
对角线长度的计算方法
公式
对于一个正n边形，其任意一条对角 线的长度为 $frac{2Rsin(frac{2pi}{n})}{sqrt{2}}$ ，其中R为正n边形的外接圆半径。
解释
这个公式基于三角函数和几何知识， 利用了正n边形的内角和外接圆半径来 计算对角线的长度。
正多边形有关的证明及计算优秀课件
(2)连接OC，由(1)的计算可知，
OE=1
2
OR=2,∴E R O R 2 O E 2 2 3 , Q R 4 3 ,
∴△PQR的周长是 1 2 3
设FC的长为x，则x2+x2=42，解得2x=2 , ∴四边形ABCD的周长为8 2 .
解决正多边形的有关计算，首先要辨清正多边形的 边长、半径、边心距、中心角等概念及它们之间的关系；计 算其周长或面积时，需要利用正多边形外接圆的半径、边心 距，把正多边形分割成n个或2n个直角三角形，结合勾股定 理及方程的思想来解决问题.
正多边形有关的证 明及计算
1.掌握正多边形的相关概念，会依据圆的性质证明 一个多边形是正多边形，并会利用等分圆周的方法画正多边 形. 2.会进行与正多边形有关的角度、周长、面积等方面的计算， 并会用相关知识解决实际问题.
正多边形的定义、相关概念及画法 【例1】已知：如图，△ABC是⊙O的 内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°， 弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：五边形AEBCD是正五边形.
正多边形的判定方法由定义可知，须从两个方面进 行证明：(1)各角相等； (2)各边相等，二者缺一不可.与圆有关的正多边形的判定， 证明的途径是根据等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等. 正多边形的性质除边、角的相等关系之外，还有其对称性等. 利用等分圆周的方法可以作圆内接正多边形.
1.下列命题中正确的有 ( ) ①各边相等的三角形是正三角形；②各角相等的多边形是正 多边形；③各边相等的多边形是正多边形；④各边相等的圆 内接多边形是正多边形；⑤各角相等的圆内接多边形是正多 边形. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.已知⊙O,半径为2 cm,求作⊙O的内接正八边形. 【解析】(1)如图所示，作直径AC. (2)作AC的中垂线BD交⊙O于B，D两点. (3)连接AD，作AD的中垂线交A D 于M点. (4)同法作出 AB,BC的,C中D点分别为E，F，G. (5)依次连接A，E，B，F，C，G，D，M，即得正八边形.即 正 八边形AEBFCGDM即为所求作的⊙O的内接正八边形.
数学：24.4《正多边形的有关计算》课件(北京课改版九年级下)(新201907)
九年级数学正多边形的有关计算PPT课件
∠EAB所对的弧是哪条? 为什么多少度? ∠ABD ∠BDE ∠DEA呢?
四边形ABDE是什 么四边形?
BE是圆的什么?
的边长为a6,边心距r6和面积S6.
a6
2Rsin 180 6
2Rsin 30
R
r6
R cos180 6
R cos30
3R 2
S6
1 2
6r6a6
1 2
6
R
3R 2
3 3 R2 2
2021/4/8
8
例2 如图5-24,已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径R=8cm,求四边形ABDE的 021/4/8
7
试试你会了吗?
用代数式表示半径为R的圆的内接正方形的
边长为a4,边心距r4和面积S4.
a4
2R sin 180 4
2R sin 45
r4
R cos 180 4
R cos 45
2R
2R
2
S4
1 2
4r4a4
1 2
4
2R
2R 2
2R2
用代数式表示半径为R的圆的内接正六边形
2021/4/8
5
例1 正八边形的外接圆半径R=10cm，求这 正八边形的边长、边心距和面积（长度精确 到0.01cm,面积保留三个有效数字）
O R
2021/4/8
6
例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的 侧面是正五边形，测得这个正五边形的 边长是48cm，求它的半径R5和边心距 r5(精确到0.1cm)．
2021/4/8
αn
R
rn
an
3
已知：正六边形ABCDEF的半径为R 求：这个正六边形的边长a6、周长p6 和面积S6
北京版初三数学 正多边形的有关计算PPT
A
D
O
中心角
B
C
18
获得新知
正三边形的中心角多少度？ 120°（ 3630°） 正方形的中心角多少度？ 90°（ 3640°）
正五边形的中心角多少度？
72°（
360°） 5
E
A B
O
中心角
D C
19
获得新知
正三边形的中心角多少度？ 120°（ 3630°） 正方形的中心角多少度？ 90°（ 3640°）
正多边形的有关计算（1）
初三年级 数学
1
情景引入
你知道蜂巢的横截面是由什么图形无缝衔接构成的吗?
2
思考探究
问题1:你还记得正六边形的定义吗？ 六条边相等、六个角相等的 六边形是正六边形.
A B
追问: 你能叙述出正n边形的定义吗？ 正n边形:各边都相等且各角 都相等的n边形叫正n边形.
C
两个条件同时具备, 缺一不可.
A
（2）分别以A、D为圆心,以DO为半径画弧,交 ⊙O于点C、E、B、F；
O
D
32
巩固新知
问题1:请你利用尺规作出圆内接正六边形,
F
你可以想到几种作图方法呢？
作法1（: 1）过圆心O作直线AD,与⊙O相交于A、D两点；
A
（2）分别以A、D为圆心,以DO为半径画弧,交
⊙O于点C、E、B、F；
B
（3）连接AB、BC、CD、DE、EF、FA.
A
O
B
C
23
获得新知
问题5:你能说出正n边形的对称性吗？
图形 轴对称图形 中心对称图形
正三边形
是
正方形
不是
正五边形
正六边形
初三九年级数学：24.3正多边形和圆第一课时教学课件
2．小组合作学习
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
2．小组合作学习
正 n 边形的中心角度数如何计算？ 中心角的度数= 360
n 正 n 边形的一个外角度数如何计算？ 一个外角的度数= 360
n
3．探究学习
3．探究学习
正 n 边形的 n 条半径、n 条边心距将正 n 边形分割 成全等直角三角形的个数是多少？
每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？
4．强化练习
（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形；
（2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心 距为______，面积为________．若正三角形边长为 a， 则半径为______；
（3）正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为 ____，它的内角和为______；
（4）如果一个正多边形的一个外角等于一个内角 的三分之二，则这个正多边形的边数 n =____；
4．强化练习
（5）正六边形的边长为 1，则它的半径为_____， 面积为________；
（6）同圆的内接正三角形、正方形、正六边形的 边长之比为________________；
3R 3 R 3 3 R2. 24
解：连接OB，OC，过点O 作OE⊥BC垂足为E.
则∠OEB=90°，∠OBE= ∠ BOE=45°.
Rt△OBE为等腰直角三角形.则有
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
2 OB 2 R
2
2
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
A
D
·O
24.4 正多边形的有关计算 课件1 (北京课改版九年级下册)
２４．４正多边形的有关计算
正多边形和圆 正多边形和圆
正多边形的内切圆
正多边形的外接圆
正多边形的中心 正多边形的半径R 正多边形的中心角α 正多边形的边心距 r
议一议：
• 在正多边形中，正多边形的半径分别 将原理： 正n边形的半径把正n 边形分成n个全等的等腰三 角形.
• （２）正多边形的半径、边心 距及边长可以通过怎样的图形 联系到一起？
• 定理： 正n边形的半径和边心 距把正n边形分成2n个全等的 直角三角形.
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正多边形的边 长a、半径R、 边心距r、以及 中心角α的关系 利用解直角三角 形可解。 r
2
R
a 2
退出
(可点击)
• 例1．已知：正方形ABCD的边长 ａ４．求R４、ｒ４ 。 • 例2．已知：正六边形ABCDEF的 半径为R６，求这个正六边形的边 长ａ６ ，周长 ｐ６和面积ｓ６
通过例题得到的结论，归纳概括为一般 形式，便得出如下一些公式：
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• 设正n过形的中心角、边长、半径、边 心距、周长、面积分别分αn，an，R， rn，pn，Sn，则有 • 关于部分与总体的关系式：
各等腰三角形面积的和
关于直角三角形边角间的关系式：
在得出的结论中有几点需引起学生重视：
• (1)a6=R６，即正六边形边长等于 它的半径.这个结论很有用，要 记住. • (3)容易知道当正多边形边数n给 定时，那么已知边长、半径、边 心距、周长、面积中的任何一个 量都可求出其它各量.
计算表格中正n边形的中心角：
完成下表中正多边形的计算(把计算结果 填入表中)：
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练习２：
• 一个等边三角形的高等于一圆的半 径，另一个等边三角形内接于这个 圆，则这两个三角形周长之比是 ( ).
初三数学最新课件-九级数学正多边形的有关计算 精品
a3＝ 3R a4＝ 2R a6＝R
在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是 正五边形，测得这个正五边形的边长是 48cm。求它的半径和边心距。（精确 到0.1cm）
⊙O的内接正方形的边长为 5 2 ，
△EFC为⊙O的外切正三角形，
正多边形的有关计算
• 什么是正多边形的中心、半径、边心距、 中心角？
• 正n边形的内角和、外角和分别是多少？ 它的每一个内角、外角、中心角分别是 多少？
• 作一个正五边形，作出它的半径、中心 角、边心距，观察它们之间有何关系？
• 若正多边形的边数为n时，它的边长、半 径、中心角、边心距之间的关系如何？ 怎样做有关的计算？
• 思想：
– 画半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n 等分。
• 用尺规等分圆
– 正四边形 – 正八边形 – 正六边形 – 正三角形 – 正十二边形
• 自己阅读课本，并动手把以上多边形都画 一个，并思考原理。
有一个亭子，它的地基是半径为4cm的正八边形 （1）用1:200的比例尺画出地基平面图； （2）求地基的边长a8（精确到0.01m）和面积 S8（精确到0.1m2）。
正n边形的半径和边心距把正n边形 分成2n个全等的直角三角形。
边长a
n＝2Rs
in
180 n
；
边心
距rn＝Rc
os180 n
；
周
长Pn＝2nRs
in
180 n
；
面积Sn＝12
Pn
rn＝nR
2sin
180 n
c
os180 n
。
已知正六边形ABCDEF的半径为R， 求这个正六边形的边长a6、周长P6和 面积S6。
北京课改初中数学九下《24.4正多边形的有关计算》word教案 (1)
24.4正多边形的有关计算教学目的：1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；教学重点：化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．教学难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．二、新课讲解：哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．) 什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．)正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．) 什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中(幻灯展示练习题，学生思考，回答)1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．解此方程n=9．幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如下图，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．1．观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)2．观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(安排中等生回答：全等，依据(S．S．S)或(S．A．S))3．将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(安排中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．) 套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如下图，安排学生观察、思考并回答以下问题：1．这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？为什么？(安排中下生回答)2．这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(安排中下生回答：边心距) 3．正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(安排中等生回答：2n个)给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．再套幻灯片的复合片，如图7-140，安排学生观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成．安排中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多边形的边心距．另一直角边是正多边形边长的一半(在此安排中等生回答：为什么？)半径与边心距的夹角是正多边形一个中心角的一半．(安排中等生回答“为什么？”)讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决．幻灯给出正多边形抽象的计算图，教师讲解：由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画．图中R表示半径，r n表示正n边形的边心距，a n表示正n边形的边长，a n表示正n边形的中心角．提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形(教师讲解)：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的R、r n、a n其中一项赋值就可求出其它元素．例如：(幻灯展示题目)例1 已知：如下图，正△ABC的边心距r3=2．求：R、a3．问：要解此题，首先要做什么？(找中等生回答：画出基本计算图)最后要做什么工作：(找中上生回答：选择三角函数)解：∵n=3又完成下列各题：(幻灯展示题目)1．已知，正方形ABCD的边长a4=2．求：R，r4．2．已知：正六边形ABCDEF的半径R=2，求：r6，a6．(对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生)再回到例1，问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：边长×3，因为正三角形三边相等)．再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：直角△AOC的面积×6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍．或者，等腰△AOB 的面积×3，由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同．)请同学们分别计算上述二题的周长和面积(计算快而准的学生让其自拟题目再练习) (幻灯给出例2)：已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6．(提问)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：画基本计算图)2．然么？(安排中下生回答：选择三角函数)∴P6=9R．通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？(安排中下生回答：相等)希望大家记住这个结论：a6=R，因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据．三、课堂小结：哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排中等生归纳)1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2．运用正多角计算．四、布置作业。
24.4正多边形的有关计算
30
正多边形概念复习
O
中心
半径
边心距
中心角
31
思考
已知正三角形 ABC，如果它 的内切圆半径 为2，那么它 的外接圆的半 径是多少？
32
思考
已知正三角形 ABC，如果它 的内切圆半径 为2，那么它 的外接圆的半 径是多少？
A
O . B M C
33
思考
已知正三角形 ABC，如果它 的内切圆半径 为2，那么它 的外接圆的半 径是多少？
45
探索
O
46
探索
O
正五边形的半径 将它分割成 5 个 三角形．
47
探索
O
正五边形的半径 将它分割成 5 个 三角形． 它们是全等的等 腰三角形．
48
类比归纳
O
O O
49
类比归纳
O
O O
结论：正n边形的半径把它分 为n个全等的等腰三角形．
50
探索
O
51
探索
O
52
探索
O
正三角形的半径 和边心距将它分 成 个 的 三角形．
4 90° 5
45° 5
中心 半径 边长 边心 周长 面积 n an 距 rn Cn Sn 角 n Rn
4 90° 5
5
5
45°
中心 半径 边长 边心 周长 面积 n an 距 rn Cn Sn 角 n Rn
4 90° 5
5
5
45° 5
中心 半径 边长 边心 周长 面积 n an 距 rn Cn Sn 角 n Rn
6 a
. ·
a
O
a
a
a
中心 半径 边长 边心 周长 面积 n an 距 rn Cn Sn 角 n Rn
2正多边形的有关计算PPT课件(北京课改版)(1)
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半 径.
中心到正多边形的一边的距
离叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一边所对的圆心角
O·半边径心R距r
叫做正多边形的中心角.
例1 已知⊙O. 求作：⊙O的内接正边形.
2
26
a 2R sin 30 R，p 6a 6R.
r R cos 30 3 R， 2
S 1 r a6 1 • 3 R• 6R
2
22
= 3
3 R.
2
抢答题：
1.O是正△ABC的中心，它是△ABC的 外接圆
与 内切圆的圆心.
2、OB叫正△ABC的 半径
A
它是正△ABC的 外接圆的半径.
r
c＝r
把边心距、半径、边长的 一半三者同时处于一个直 角三角形中，缺什么补出 什么，这是解决此类问题 的一个捷径。
1.正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心 距是_8___cm.
2.正 _五___边形的中心角为72度.
3.如图，把边长为 的正三角形剪去三个三角形得
一个正六边形 DFHKGE，这个正六边形的面积
（2）顺次连接AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，所以 AB=BC=CD=DA． 因为AC，BD都是直径， 所以∠ABC=∠BCD=∠CDA＝∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形．
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径:外接圆的 半径
作法：(1)过圆心 O作直线AC，
与⊙O相交于A、C两点；
北京版九年级数学上册《正多边形的有关计算》课件1
A
∴AB=BC=CD=DE=EA, 弧BCE=弧CDA=3弧AB ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E.
B
E
O·
C
D
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边
形ABCD的外接圆.
你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个 圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的 内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的 外接圆.
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角
都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什
么；如果不是，举出反例.
A６ A７
A５
An A1
· O
A４
A３ A２
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等— 圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
1
面积S= 2 l r
⊙O于B、D两点；
(3)连接AB，BC，CD，DA. 则四边形ABCD为所求(如图22-18).
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
F
E
A
O·
D
B
C
以半径长在圆周上 截取六段相等的弧， 依次连结各等分点， 则作出正六边形.
先作出正六边形， 则可作正三角形，正 十二边形，正二十四
边形………
停
练习：用量角器作五角星
C
A M
B N
D
小结：画正多边形的方法
画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆
小结
1.正多边形中的有关概念； 2.正多边形的对称性；
北京课改初中数学九下《24.4正多边形的有关计算》PPT课件 (2)
• (3)正多边形的边心距：正多边形的内切圆的半 径叫做正多边形的边心距(一般用rn表示)．
• (4)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角(一般用 αn表示)
四、正多边形的性质
• 如：正三角形，正方形等等
二、正多边形和圆的关系：
做一做：
• 画三个圆，分别将这三个圆 三等分、四等分、六等分。
• 在每个圆上依次联结各等分 点，所得的多边形是正多边 形吗？
• 如图，在⊙Ｏ中，弧ＡＢ＝弧ＢＣ＝ 弧ＣＤ＝弧ＤＥ＝弧ＥＦ＝弧ＦＡ， 可以证明六边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ 的内接正六边形；反过来，由于正六 边形ＡＢＣＤＥＦ各个顶点到点Ｏ的 距离都相等，因此正六边形ＡＢＣＤ ＥＦ各个顶点都在⊙Ｏ上。
• 定理２：正ｎ边形有一个内 切圆和一个外接圆，他们是 同心圆。
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三、正多边形的有关概念
正正多多边边形形和和圆圆
上一级
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正多边形的内切圆
正多边形的外接圆
正多边形的中心
正多边形的半径R
正多边形的中心角α
正多边形的边心距 r
(可点击)
• 正多边形的有关概念是借助于它的外接圆和内切 圆来定义的．
• (1)正多边形的中心：正多边形的外接圆(或内切 圆)的圆心叫做正多边形的中心．
• １、正多边形的各边相等，各角也都相等。
• ２、正多边形具有对称性：
• ①正多边形是轴对称图形，其对称轴是通过正 多边形的一个顶点和其外接圆(或内切圆)圆心 的一条直线．当n为偶数时，综上述对称轴外， 正n边形一边中点与其外接圆(或内切圆)圆心所 确定的直线也是它的对称轴．正n边形共有n条 对称轴．
数学：24.4《正多边形的有关计算》课件(北京课改版九年级下)
什么是正多边形？
正六边形内接圆的半径
把正六边分成几个怎样 的三角形？ 每一个等腰三角形被相 应的边心距分成一对怎 样的三角形。
M
运用解直角三角形来得 到如下各量之间的关系:
180 rn = Rcos n
2 2 n
定理：如果正n边形的中心角、外接圆半 径、边长、边心距、周长、面积分是αn、 R、an、rn、Pn及Sn 360 180 αn = a n = 2Rsin n n
1 1 2 S4 4r4 a4 4 2 R R 2 2 2 2R2
用代数式表示半径为R的圆的内接正六边形
的边长为a6,边心距r6和面积S6.
180 a6 2 R sin 6 R
1 1 3 180 S 6 r a 6 R R R cos30 6 r6 R cos 6 6 2 2 2 2R sin 30 6 3 3 2 3 R R 2 2
αn
R
1 2 R = r a n p = na n n 4
1 1 S n = n rn a n rn pn 2 2
rn
an
已知：正六边形ABCDEF的半径为R 求：这个正六边形的边长a6、周长p6
和面积S6
解：连接OA、OB 作OG⊥AB于G
R
G
例1 正八边形的外接圆半径R=10cm，求这 正八边形的边长、边心距和面积（长度精确 到0.01cm,面积保留三个有效数字）
例2 如图5-24,已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径R=8cm,求四边形ABDE的 面积.
正六边形一条边所对
的弧是多少度?边长和 圆的半径是什么关系?
∠EAB所对的弧是哪条?
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长ａ６，周长ｐ６和面积ｓ６
通过例题得到的结论，归纳概括为一般 形式，便得出如下一些公式：
❖设正n过形的中心角、边长、半径、边 心距、周长、面积分别分αn，an，R， rn，pn，Sn，则有
❖关于部分与总体的关系式：
各等腰三角形面积的和
❖（２）正多边形的半径、边心
距及边长可以通过怎样的图形 联系到一起？
❖定理：正n边形的半径和边心距 把正n边形分成2n个全等的直 角三角形.
Z.x.x.K
正多边形的边长
a、半径R、边
2
心距r、以及中
心角α的关系利
R
用解直角三角形
可解。
r
a
(可点击)
退出
❖例1．已知：正方形ABCD的边长
ａ４．求R４、ｒ４。
Zx.xk
关于直角三角形边角间的关系式：
在得出的结论中有几点需引起学生重视：
❖(1)a6=R６，即正六边形边长等于 它的半径.这个结论很有用，要 记住.
❖(3)容易知道当正多边形边数n给 定时，那么已知边长、半径、边 心距、周长、面积中的任何一个 量都可求出其它各量.
计算表格中正n边形的中心角：
完成下表中正多边形的计算(把计算结果 填入表中)：
练习２：
❖一个等边三角形的高等于一圆的半 径，另一个等边三角形内接于这个 圆，则这两个三角形周长之比是().
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２４．４正多边形的有关计算
正正多多边边形形和和圆圆
正多边形的内切圆 正多边形的外接圆
正多边形的中心 正多边形的半径R
正多边形的中心角α 正多边形的边心距r
议一议：
❖在正多边形中，正多边形的半径分别 将原来的图形分割成怎样的三角形
❖定理：正n边形的半径把正n 边形分成n个全等的等腰三 角形.