《24.3 正多边形和圆》第1课时教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十四章圆

24.3 正多边形和圆教学设计

第1课时

一、教学目标

1．了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．2．正多边形与圆有关的计算．

二、教学重点及难点

重点：正多边形的概念及正多边形与圆有关的计算．

难点：正多边形与圆有关的计算．

三、教学用具

多媒体课件，三角板、直尺、圆规．

四、相关资源

多张《生活中的正多边形》图片，《画圆内接正五边形》动画，《正多边形与圆的相关概念》动画，《地基为正六边形的亭子》图片．

五、教学过程

【创设情境，引入新课】

观看下列美丽的图案．

问题这些美丽的图案，都是日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

师生活动：教师演示课件或展示图片，提出问题．学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．教师关注：①学生能否从这些图案中找到正多边形；②学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系．

设计意图：通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美．

【合作探究，形成新知】

1．正多边形与圆的关系

【知识点解析】正多边形和圆,微课全面的讲解正多边形与圆相关知识.

（1）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆作出一个正多边形吗？

师生活动：教师提出问题，让学生观察、思考．学生讨论、交流，发表各自见解．引导学生只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，把问题转化为已经解决的问题，建立知识点之间的联系．教师把问题引到如何等分一个圆——依次作相等的圆心角．教师关注：学生能否联想到等分圆周作出正多边形来．

设计意图：问题的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上．

（2）将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论．

师生活动：教师提出问题后，学生认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．教师在学生归纳的基础上进行补充，并以正五边形为例进行证明．

证明：如图，

====，

∵AB BC CD DE EA

====，

∴AB BC CD DE EA

==．

3

BAD CAE AB

∠=∠．

∴C D

∠=∠=∠=∠=∠．

同理可证：A B C D E

∴五边形ABCDE是正五边形．

∵A、B、C、D、E在⊙O上，

∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．

设计意图：学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证所发现的结论的正确性，从而培养学生科学严谨的治学态度，和运用所学知识解决问题的能力．

（3）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考，同学间交流，回答问题．教师关注：学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．

归纳：将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形．设计意图：将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般．

2．正多边形与圆的概念

学生观看课件，理解概念．

【数学探究】用等分圆周法作正六边形和正方形,交互动画展现正多边形与圆的性质.

师生活动：教师用课件显示要解决的概念，学生自学课本第105页，回答问题．教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．

归纳：

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正边形的中心．

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

设计意图：通过自主学习概念，培养了学生的归纳能力，加深了对概念的理解，充分发展了学生的发散思维．

【例题分析，深化提升】

例有一个亭子（如图），它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

师生活动：教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．教师关注：①学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；②学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究；③学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积．

思考：正n边形的中心角度数如何计算？正n边形的一个外角度数如何计算？正n边形的中心角与外角的大小有什么关系？

归纳：中心角的度数=360

n

．

外角的度数=360

n

．

正n边形的中心角与外角的大小相等．

设计意图：让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识．教师引导学生将实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决．体现了化归思想在解题中的应用．

【练习巩固，综合应用】

1．下列命题正确的是()．

A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的

多边形是正多边形

C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形

D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形

2．圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长

与半径之比()．

A．扩大了一倍B．扩大了两倍C．扩大

了四倍D．没有变化

3．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数

是()．

A．60°B．45°C．30°D．22.5°

4．正十二边形每个内角的度数为．

5．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为．

6．分别求出半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积．

参考答案

1．D 2．D 3．C 4．150°5．2∶1

设计意图：巩固了正多边形与圆的有关概念的理解和应用．

6．解：（1）作等边△ABC的边BC上的高AD，垂足为D．