牛顿科特斯公式及其积分应用
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
数值分析6.2牛顿-柯特斯公式
选择适合数值计算的编程语言，如Python、C或Matlab等。
算法实现
根据牛顿-柯特斯公式，编写相应的算法代码，包括迭代过程和 计算步骤。
测试和验证
对算法进行测试和验证，确保其正确性和稳定性。
牛顿-柯特斯公式的数值稳定性分析
数值稳定性定义
01
数值稳定性是指算法在计算过程中对微小误差的抵抗
04
对于非连续的非线性方程，该方法可能失效，因为泰勒级数展开的前 提假设被破坏。
对牛顿-柯特斯公式的未来展望和研究方向
未来展望
随着计算机技术的不断发展，牛顿-柯特 斯公式在数值计算领域的应用将更加广 泛。未来可以研究如何改进算法的稳定 性和收敛性，提高求解非线性方程的精 度和效率。
VS
研究方向
针对牛顿-柯特斯公式的应用领域，可以 进一步研究其在科学计算、工程技术和金 融等领域的应用，以及与其他数值计算方 法的结合与优化。同时，可以探索该方法 在并行计算和云计算环境下的实现和应用 。
详细描述
非线性方程的求解是一个常见的问题，而牛顿-柯特斯公式提 供了一种有效的迭代方法。通过不断迭代和修正方程的解， 该方法能够快速收敛到方程的真实解，尤其在处理复杂或高 维非线性方程时表现出色。
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程时能够提供高精度的解，尤其适用于初值问题和边界问题。
详细描述
在数值积分中，牛顿-柯特斯公式能够通过迭代的方式，逐步逼近积分的真实值。相比于其他数值积分方法，如 梯形法则和辛普森法则，牛顿-柯特斯公式在处理复杂函数或高维积分时具有更高的精度和效率。
牛顿-柯特斯公式在求解非线性方程中的应用
总结词
72第二节 牛顿—柯特斯公式
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
数学学院 信息与计算科学系
例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1
牛顿科特斯公式资料
a
a
3
2
因此代数精确度是 1
b
R1( f )= a f (x)dx T kf ''()
取 f (x) x2 代入，得：
b x2 dx (b a) (b2 a2 ) k 2!
a
2
得：
1
b3 (
a3
(b
a)
(b2
a2 ))
k
2! 3
2
k (b a)3 12
Rn ( f )
jk
b n a th a jh d (a th) n n t j hdt h n
1
nn
(t j)dt
a j0 a kh a jh
0 j0 k j
j0 k j 0 j0
jk
jk
jk
jk
求积公式
(1)nk h
n n (t j)dt (1)nk (b a) n n (t j)dt
I ( f )
b a
S 2 ( x)dx
b a 6
f (a) 4 f (a b ) 2
f (b)
称 Simpson 公式
y=P2() y=f()
a a+b/2 b
而 n 4的 牛 顿 柯 特 斯 公 式 则 特 别 称 为 柯 特 斯 公 式 为 ：
C
ba 90
7
f
x0
32
f
x1
由辛普森公式余项
R( f ) (b a)5 f (4) (),
2880
a,b
知其误差为 R( f ) 0
解:柯特斯公式
C 3 17 f (1) 32 f (1.5) 12 f (2) 32 f (2.5) 7 f (3)
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是一种用于数值积分的方法，是通过将积分区间分割成若干个子区间，在每个子区间上用一个多项式来逼近被积函数，然后通过对这些多项式进行求和来得到整个积分的近似值的方法。
牛顿-柯特斯公式的基本思想是将被积函数在每个子区间上进行插值近似。
首先，我们将积分区间[a, b]等分成n个相等的子区间，即h=(b-a)/n，其中n为等分的个数。
对于每个子区间，我们使用一个多项式来逼近被积函数。
对于每个子区间[xi, xi+1]，我们可以通过使用牛顿插值公式将被积函数在这个子区间上用一个多项式f(xi,x)=f(xi)+f[xi,xi-1]·(x-xi)+f[xi,xi-1,xi-2]·(x-xi)·(x-xi-1)+...来近似。
其中f(xi)代表被积函数在xi处的函数值，f[...]代表被积函数在对应节点处的高阶差商。
然后，我们将这个多项式进行积分。
根据牛顿插值多项式的性质，多项式的积分可以用其在区间上的若干个节点处的函数值和差商来表示。
因此，我们可以对多项式进行积分，得到在每个子区间上的近似积分值。
最后，我们将这些近似积分值求和，得到整个积分的近似值。
具体而言，牛顿-柯特斯公式的一种常见形式是梯形公式。
梯形公式的基本思想是将积分区间[a, b]等分成n个子区间，并在每个子区间上使用一个线性函数来近似被积函数。
这个线性函数由被积函数在两个节点上的函数值和斜率确定，因此得名“梯形”。
对于一个子区间[xi, xi+1]，梯形公式的积分近似值可以通过积分公式∫(xi,xi+1) f(x) dx ≈ (f(xi) + f(xi+1))·h/2来计算。
其中，f(xi)和f(xi+1)分别为被积函数在两个节点处的函数值，h=xi+1-xi为子区间的宽度。
最后，将所有子区间上的积分近似值求和，我们可以得到整个区间[a, b]上的积分值的近似值。
牛顿-柯特斯公式不仅仅包括梯形公式，还包括其他形式的多项式插值，如Simpson公式和Boole公式等。
4-2牛顿—柯特斯公式
而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式*
注：其余柯特斯系数详见书上p104表4-1.
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
作为插值求积公式，n阶牛 顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次 代数精度，那么
是否有更进一步的结果？
两个简单偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步考察当 f(x)=x3时，
n
0
t j dt j 0 k j jk
n
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
解
2
dx 的近似值，并估计余项。
牛顿科特斯公式数值积分方法
牛顿科特斯公式数值积分方法牛顿科特斯公式是常用的数值积分方法之一，其基本思想是通过在一定的节点上对被积函数进行逼近，从而计算积分值。
具体地，我们将区间[a,b]等分为n段，然后在每个小区间上选择一个节点，例如取节点x0=a，x1=a+h，x2=a+2h，……，xn=b，其中h=(b-a)/n。
这些节点构成了一个等差数列，被称为插值节点。
然后，我们在每个小区间上采用一个低次多项式来逼近被积函数。
由于这里我们采用的是插值多项式，因此牛顿科特斯公式也被称为插值型数值积分方法。
具体地，我们设f(x)在插值节点上的函数值为f(x0),f(x1),…,f(xn)。
对于每个小区间[a+kh,a+(k+1)h]，我们可以采用以下的插值多项式：P(x)=b0+b1(x-xk)+b2(x-xk)(x-xk+1)+…+bn(x-xk)(x-xk+1)…(x-xn-1)其中bk的值可以通过牛顿插值公式来求得。
对于每个小区间上的积分，我们可以将其转化为对插值多项式的积分。
不难发现，这些小区间的积分加起来就是整个区间[a,b]上的积分。
因此，我们只需要计算出每个小区间上的积分值，然后将它们相加即可得到整个区间上的积分值。
具体地，我们可以采用以下的牛顿-科特斯公式来计算：∫[xk,xk+1]f(x)dx=h/2[f(xk)+f(xk+1)]+h^2/12[f′(xk)f′(xk+1)]+h^4/720[f(ξk)+f(ξk+1)]其中f′(x)和f(x)分别表示f(x)在x处的一阶和三阶导数，ξk和ξk+1是在[xk,xk+1]上的某个点。
从上式可以看出，牛顿科特斯公式的精度随着n的增大而提高，但随着n的增大，计算量也会增大。
因此，在实际应用中需要根据精度和计算量的折衷来选择合适的n值。
数值分析7-牛顿-科特斯公式
迭代过是否满足收敛条件，常用的收敛性判断标准包括相对误差和绝对误差 等。
终止条件
当满足终止条件时，迭代过程应停止，常用的终止条件包括达到最大迭代次数、达到预设的容差等。
牛顿-科特斯公式的实现步骤和算法流程
实现步骤
首先需要计算函数值、导数值和雅可比矩阵，然后根据牛顿-科特斯公式计算下一个迭 代点，重复此过程直到满足收敛条件。
算法流程
算法流程包括初始化、计算函数值和导数值、计算雅可比矩阵、迭代更新解、判断收敛 性、终止迭代等步骤。
04
牛顿-科特斯公式的应用案例
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在求解非线性方程中的应用
01
牛顿-科特斯方法用于求解非线性方程的根，通过迭代的方式逐 步逼近方程的解。
牛顿-科特斯公式的应用条件和限制
应用条件
牛顿-科特斯公式适用于求解非线性方程的根，要求方程连续且可导，且导数不为0。此外，初始近似值的选择也 是关键，应尽可能接近根的真实值。
限制
虽然牛顿-科特斯公式在许多情况下都能有效地求解非线性方程的根，但它也有一些限制。例如，如果方程有多 个根或者根在边界上，或者函数在某些点处不可导，那么牛顿-科特斯公式可能无法得到正确的结果。
通过构造函数的Hessian矩阵 和梯度向量，可以确定搜索方 向和步长，以找到函数的最小 值点。
03
牛顿-科特斯方法在处理非凸函 数优化问题时可能遇到局部最 小值或鞍点的问题，需要谨慎 处理。
在数值积分和微分中的应用
01
牛顿-科特斯公式可用于数值积分和微分计算。
02
通过选取适当的插值多项式和节点，可以将积分或 微分问题转化为线性方程组求解问题。
牛顿科特斯求积公式的系数之和
牛顿-科特斯求积公式是数学中的一种用于数值积分的方法。
在使用牛顿-科特斯求积公式进行数值积分时，需要首先确定所需的阶数，然后计算对应的系数。
在这篇文章中，我们将讨论牛顿-科特斯求积公式的系数之和，以及与其相关的一些重要概念和应用。
一、牛顿-科特斯求积公式的概念和原理牛顿-科特斯求积公式是一种数值积分方法，通常用于对定积分进行数值近似计算。
其原理是在给定的区间上，将被积函数进行插值，然后计算插值函数的积分，从而近似原函数的定积分值。
具体来说，对于给定的区间[a, b]和积分函数f(x)，牛顿-科特斯求积公式可以表示为：∫f(x)dx ≈ h/2 * [f(x0) + 2∑(i=1 to n-1) f(x_i) + f(x_n)]其中，h = (b-a)/n，n为插值节点的数量，x0 = a，x_i = a + i*h，x_n = b。
二、牛顿-科特斯求积公式的系数之和我们现在来讨论牛顿-科特斯求积公式中系数之和的计算。
我们知道，在牛顿-科特斯求积公式中，系数h/2是一个常数项，而f(x0)和f(x_n)分别是被积函数在区间端点的函数值，其系数也为1。
我们只需要关注∑(i=1 to n-1) f(x_i)部分的系数之和。
定义∑(i=1 to n-1) f(x_i)的系数之和为Cn，即：Cn = 2∑(i=1 to n-1) 1其中，1为每个f(x_i)前的系数，而2为相邻节点之间的权重，其作用是对函数进行等距离的插值。
通过对Cn进行计算和分析，我们可以得到牛顿-科特斯求积公式中系数之和的具体表达式，从而帮助我们更好地理解和应用该数值积分方法。
三、牛顿-科特斯求积公式系数之和的计算为了计算牛顿-科特斯求积公式中系数之和的表达式，我们首先将∑(i=1 to n-1) 1进行展开，得到：∑(i=1 to n-1) 1 = 1 + 1 + ... + 1 (共计n-1项)根据等差数列的求和公式，上式可以进一步化简为：∑(i=1 to n-1) 1 = (n-1)牛顿-科特斯求积公式中系数之和的表达式可以写为：Cn = 2*(n-1)这就是牛顿-科特斯求积公式中系数之和的具体表达式。
等距节点的牛顿柯特斯公式.
n
(b a)
C(n) k
g(
xk
)
k 0
(g(x) 1)
b
g(x)dx
b
dx
(b a)
a
a
即
In In (b a)
Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的
(b a)倍
即 k n , Ck(n) 0时, Newton Cotes公式是稳定的
则
Ai (b a)Ci(n) 于是相应的插值型求积公式为
b a
f (x)dx (b a)
n
Ci(n) f (xi )
(2)
i0
这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿—柯特斯公式
Ci(n)叫柯特斯系数 .
在Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式
记
n
I n (b a) Ck(n) f (xk )
k 0
为I
的近似值
n
(计算值
)
n
而理论值为 In (b a) Ck(n) f (xk )
k 0
I
n与I
的误差为
n
n
In In (b a) Ck(n)[ f (xk ) f (xk )] k 0
n
In In (b a) Ck(n) k k 0
1.梯形公式
取n 1,则x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为 于是
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 2
C 1( 1 )
7.1 牛顿-科特斯求积公式
f
]
2(b a) 945
(
b
4
a
)6
f
(6)
( )
[ (a, b)]
计算方法
牛顿-科特斯求积公式几何意义（单击播放）
计算方法
例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算
1 sin x dx
0x
准确值为：0.9460831
x 0 0.25
0.5
0.75
1
f(x) 1 0.9896158 0.958851 0.9088516 0.8414709
注 ： 不 难 验 证 ， 若 求 积公 式 对1，x, x2, xn均 准 确 成 立 ， 则 其 对 任 意次 数 n的 多 项 式 准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
k0
求积系数
b
Ak a lk ( x)dx
计算方法
（一）公式的推导
设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为 { xk }nk0
那么，
x0
a, xn
b, xj
a
jh,
j 0,1,, n, h b a n
令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由 x [a, b]
可知 t [0, n]．
解：利用梯形公式可得：
1 sin x dx 1 0 ( f (0) f (1))
0x
2
1 (1 0.8414709) 0.9207355
牛顿-柯斯特求积相关原理及概念
牛顿-柯斯特求积法是一种数值分析方法，用于计算函数的数值积分。
它是由艾萨克·牛顿和罗贝尔·柯斯特分别独立发现的，因此得名为牛顿-柯斯特求积法。
该方法通过构造一个多项式来逼近被积函数的积分值，从而实现数值积分的目的。
在使用牛顿-柯斯特求积法进行数值积分时，首先需要将被积函数分解为多个小段，然后在每个小段上构造一个适当的多项式来逼近被积函数。
通过对这些小段上多项式的积分求和，就可以得到整个函数的数值积分近似值。
这种方法的优势在于可以通过增加小段的数量来提高积分的精度，从而得到更加准确的积分近似值。
为了更好地理解牛顿-柯斯特求积法的原理和概念，我们可以通过以下几个方面进行深入探讨：1. 多项式逼近在牛顿-柯斯特求积法中，我们需要构造一个多项式来逼近被积函数。
这个多项式通常是通过拉格朗日插值多项式或者牛顿插值多项式来实现的。
其中拉格朗日插值多项式是一种经典的逼近方法，它通过已知数据点来构造一个多项式，使得这个多项式在给定点上的取值与原函数的取值尽可能接近。
而牛顿插值多项式则是另一种常用的逼近方法，它通过使用差商来构造插值多项式，具有更好的数值稳定性和计算效率。
2. 积分近似一旦构造出了多项式逼近，我们就可以利用这些多项式的积分来近似原函数的积分值。
在牛顿-柯斯特求积法中，通常会选取一些特定的插值节点和插值权重，然后利用这些节点和权重进行数值积分计算。
通过对每个小段上多项式的积分求和，就可以得到整个函数的数值积分近似值。
3. 积分误差由于牛顿-柯斯特求积法是一种数值方法，因此在实际计算中会存在一定的误差。
这些误差通常可以通过分析插值多项式的阶数、插值节点的选择以及积分权重的确定等方面来进行估计和控制。
通过合理地选择相关参数和策略，可以最大程度地减小积分误差，从而提高数值积分的精度。
牛顿-柯斯特求积法是一种非常实用的数值积分方法，它在科学计算、工程技术和数学研究等领域都有着广泛的应用。
通过深入理解其原理和概念，我们可以更好地掌握这一方法的使用技巧和优化策略，从而更加准确地完成各种数值积分计算任务。
数值分析4-2(牛顿-柯特斯公式)
第四章 数值积分与数值微分 牛顿—柯特斯公式 §2 牛顿 柯特斯公式
1−0
故一阶的牛顿—柯特斯公式为 故一阶的牛顿 柯特斯公式为
梯形公式
当n=2时， 时
2 (−1)2−0 1 (2) C0 = ∫0 (t −1)(t − 2)dt = 6 2⋅ 0!(2 − 0)!
(2) C1
1 2 4 = − ∫ (t − 0)(t − 2)dt = 20 6 1 2 1 (2) C2 = ∫ (t − 0)(t − 1)dt = 40 6 b−a a+b S= [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] 6 2
n n 1 n 1 b−a = Π ∫0 jΠ (t − j)dt ( h = n ) =0 n j=0 k − j j≠k j≠k n n 1 1 1 = ∫0 jΠ(t − j)dt n k ⋅ (k − 1)...1(−1)(−2)...(k − n) =0 j≠k
n n (−1)n−k = ∫0 jΠ (t − j)dt =0 nk!(n − k)! j≠k
所以
max | f
1≤x≤2
(4)
( x) |= f
(4)
(1) = 198.43
b − a b − a (4) 余项为 RS = − f (η) 180 2
4
(2 − 1) ≤ max | f (4) ( x) |= 0.06890 2880 1≤x≤2
数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 (t 2
1)2
1 0
1, 2
C (1) 1
1
tdt
1
t2
1
1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1
1 0.62
1
1 12
]
0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
的误差） 定理 2（柯特斯公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的 （柯特斯公式的误差 在 上具有连续的 六阶导数， 柯特斯求积公式的误差为 六阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 8 b a 7 (6) R4 ( f ) = ( ) f (η ) , η ∈ (a, b) 945 4
1 b 证 R1 ( f ) = ∫ f ′′ (ξ )( x a )( x b ) dx 2 a 中连续， 中连续 由于(x-a)(x-b)在[a, b] 中不变号， f ′′(ξ ( x )) 在[a, b ]中连续， 中不变号， 由于 在
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
由复化梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式收敛速度慢对于复化simpson公式cotes公式可以类似得到对于复化梯形公式加速收敛应用步长逐次减半得到的复化梯形值复化simpson值复化cotes值与精确值的比较虽然可以用复合求积公式的余项来估计近似值的误差也可以根据精度要求用余项公式来确定积分区间的等分数即步长
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
n为偶数阶的牛顿科特斯公式
n为偶数阶的牛顿科特斯公式一、引言牛顿-科特斯公式是数值分析中的重要工具，用于求解函数的积分。
对于偶数阶的积分，这个公式提供了有效的计算方法。
在本文中，我们将深入探讨n为偶数阶的牛顿-科特斯公式的应用和实现。
二、牛顿-科特斯公式牛顿-科特斯公式是一种数值积分的方法，其基本形式如下：∫f(x)dx≈∑i=0nf(xi)wiΔx其中f(x)是需要积分的函数，xi是区间[a, b]上的分割点，wi是对应的权重，Δx是区间长度。
当n为偶数时，我们可以使用对称性来优化计算，降低计算复杂度。
在偶数阶的情况下，我们通常选择对称点作为分割点，这样可以将计算量减半。
三、对称性的应用对于n为偶数的情况，我们可以将区间[a, b]分成n等份，并选择对称点作为分割点。
这样可以利用对称性，减少需要计算的函数值数量。
具体来说，我们可以将区间[a, b]分成n等份，每份长度为Δx = (b - a) / n。
然后选择对称点作为分割点，即x0 = a, x1 = a + Δx / 2, x2 = a + Δx, x3 = a + 3Δx / 2, ..., xn = b。
这样，我们只需要计算n/2个函数值，利用对称性可以进一步降低计算复杂度。
四、权重和权系数的计算在计算牛顿-科特斯公式的积分时，我们需要计算权重和权系数。
对于偶数阶的情况，我们可以利用对称性来简化计算。
首先，我们需要计算权系数an和bn，其中an = Δx / (4 * (n - 1)!)，bn = (3 * Δx / 4) * (2 * n - 1) * ((n - 1) * n - 1)!。
然后，我们可以利用权系数来计算权重wi，其中i = 0, 1, ..., n。
最后，我们可以利用权重来计算积分的近似值。
五、实例分析为了验证n为偶数阶的牛顿-科特斯公式的正确性和有效性，我们进行了一系列实例分析。
我们选择了一些典型的函数，如sin(x)、cos(x)、exp(x)等，并在不同的区间上进行了测试。
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数值计算实习报告——牛顿—柯特斯积分方法及其应用姓名：杨银月学号：139084154班级：数131牛顿—柯特斯积分算法及其应用一、引言●数值积分的必要性现实生活当中往往会遇到这样的问题：拉着一块物体在一粗糙平面上沿着一直线从一点移动到另一点所发生的功是多少？一个不规则的平面图形的面积是多少？已知边际成本—产量函数求在一产量下的总成本……通过物理和几何学以及经济学的知识容易知道这类问题是需要计算积分的，根据微积分定理对于积分⎰=badx x f I )(，只要找到)(x f 的原函数)(x F ，便有牛顿—莱布尼茨公式：)()()(a F b F dx x f ba-=⎰但是，现实生活中往往只能得到一些离散的点，无法得到连续的函数)(x f ，即便是给定了)(x f ，也不一定就是容易找到原函数的（原函数往往非初等），比方说)0(sin ≠x xx，2x e-等，故不能用N-L 公式进行积分运算。
即使能求得原函数的积分有时候计算也是非常困难的。
例如对于被积函数611)(xx f +=，其原函数Cx x x x x x x x F ++-+++-+=1313ln 341)1arctan(61arctan 31)(22计算)(),(b F a F 仍然很困难，因此有必要研究积分的数值计算问题。
●数值积分的基本思想由积分中值定理（如图1）知，在积分区间],[b a 内存在一点ζ，成立)()()(ζf a b dx x f ba-=⎰图1就是说，底为a b -而高为)(ζf 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I 。
问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出)(ζf 的值，称)(ζf 为区间],[b a 上的平均高度。
这样只要对平均高度)(ζf 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。
如果我们用两端点“高度”)(a f 与)(b f 的算术平均值作为平均高度)(ζf 的近似值，这样导出的求积公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰)11(-便是众所周知的梯形公式。
而如果改用区间的中点2ba c +=的“高度”)(c f 近似地取代平均高度)(ζf ，则又可导出所谓的“中矩形公式”。
更一般地，可在区间],[b a 上适当选取某些节点k x ，然后用)(k x f 的加权平均得到平均高度)(ζf 的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：∑⎰=≈nk k k bax f A dx x f 0)()(，)21(-式中k x 称为求积节点；k A 称为求积系数，亦称伴随节点k x 的权。
权k A 仅仅与节点k x 的选取有关，而不依赖于被积函数)(x f 的具体形式。
这类数值积分通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为被积函数值的计算，这就避开了N-L 公式需要寻求原函数的困难。
梯形公式即机械型求积公式1=n的情况，而由公式)21(-，给定不同的n 可以得到不同的求积公式。
下面讨论不同n 的情况下，求积公式的形式与性质。
二、N-C 公式及其简单形式（2,1==n n ）●N-C 公式推导对于大部分的函数)(x f 都是不容易求积的，但是可以用插值法的思想将)(x f 用多项式插值表示，因此可以定义插值型的求积公式：∑⎰=≈nk k k bax f A dx x f 0)()(其中⎰=bak k dx x l A )(。
等距节点的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式，推导如下：取等距节点：ih a x i +=，nab h -=,n i ,...,2,1=，令th a x +=，得：⎰∏⎰∏⎰∏⎰≠-≠≠----=--=--==nji in ni j ba i j j i jba i i dt j t i n ni ab hdt ji j t dx x x x x dx x l A 00)()!(!)1)(()(，称⎰∏≠----=-n ji i n i dt j t i n ni a b A 0)()!(!)1(为柯特斯系数，记做)(n i C ，所以有牛顿—柯特斯公式：∑⎰=-≈ni i n i bax f C a b dx x f 0)()()()(由于是多项式积分，柯特斯系数的计算不会遇到困难。
当1=n 时，21)1(1)1(0==C C ,这时的求积公式就是梯形公式；当2=n ，这时的柯特斯系数为:61)2)(1(4120)2(0=--=⎰dt t t C ；64)2(2120)2(1=--=⎰dt t t C ；61)1(4120)2(2=-=⎰dt t t C .相应的求积公式是如下辛普森公式)].(2(4)([6b f b a f a f a b S +++-=)12(-●稳定性分析下表是柯特斯公式的系数表（n=1,2，…，8）（程序2—1）n)(n i C 10.50000.500020.16670.66670.166730.12500.37500.37500.125040.07780.35560.13330.35560.077850.06600.26040.17360.17360.26040.066060.04880.25710.03210.32380.03210.25710.048870.04350.20700.07660.17300.17300.07660.20700.043580.03490.2077-0.03270.3702-0.16010.3702-0.03270.20770.0349从表中可以看出当8≥n 时，柯特斯系数)(n i C 出现负值，于是有10)(0)(=≥∑∑==ni n i ni n iC C,如果0))((~)(>-i i n i f x f C，且δ=-~)(i i f x f ，则有∑∑==-=-=-ni i i n ini i i n in n f x f C f x f Cf I f I 0~)(0~)(~])([])([)()(δδ>=-=∑∑==ni n i ni i i n iC f x f C)(0~)()(.这表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故8≥n 时的牛顿—柯特斯公式是不用的。
牛顿—柯特斯公式通常只用4,2,1=n 时的公式，下面只讨论2,1=n 时的误差。
●梯形公式与辛普森公式的误差分析代数精度：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于1+m 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
定理：若求积公式的代数精度为m ，则求积公式的余项可表示为：)()()(][)1(0η+==-=∑⎰m ni i i baKf x f A dx x f f R ,)22(-其中K 为不依赖于)(x f 的待定参数，),(b a ∈η。
不难得到梯形公式的代数精度为1，辛普森公式的代数精度为3，所以梯形公式的误差余项可表示为：),(),(][b a f K f R ∈''=ηη，其中：332233)(121])(61[21)](2)(31[21a b a b b a a b a b K --=--=+---=,所以梯形公式的余项为),(),(12)(][3b a f a b f R ∈''--=ηη，)32(-同理可得，辛普森公式的误差余项为()),(,)2(180][)4(4b a f a b a b f R ∈---=ηη，)42(-●复合求积公式（梯形）（程序2—2）由上述分析知当8≥n 时N-C 公式不具有稳定性，因此不能通过提高求积公式的阶数来提高求积精度，要换一种思路来解决提高精度的问题。
在前面的分析中，求积运算都是在一整个给定的区间上进行的，既然能够在一个大区间上面进行求积计算，那么把区间分成若干个小的区间时也能够在每一个区间上进行求积计算的。
不妨将区间],[b a 分成n 等分，若我们令分点为ih a x i +=，步长为nab h -=，n i ,...,2,1,0=，在每一个子区间)1,...,1,0](,[1-=+n i x x i i 上采用梯形公式，则得)()]()([2)()(1111f R x f x f h dx x f dx x f I n n i i i n i x x bai i++===∑∑⎰⎰-=+-=+,记11101[()()][()2()()],22n n n i i i i i h hT f x f x f a f x f b --+===+=++∑∑)52(-称之为复合梯形公式，其余项为：∑-=+∈''-=-=113),()],(12[][n i i i i i n n x x f h T I f R ηη。
由于],[)(2b a C x f ∈，且)(max )(1)(min 11010i n i n i i i n i f f n f ηηη''≤''≤''∑-=-≤≤-≤≤，所以),(b a ∈∃η使得∑-=''=''1)(1)(n i i f n f ηη，于是复合梯形公式的余项为：)(12][2ηf h a b f R n ''--=，)62(-可以看出误差是2h 阶，且当],[)(2b a C x f ∈，有0][lim =∞→f R n n ，所以有⎰=∞→ban n dx x f T )(lim ，因此复合梯形公式是收敛的。
事实上，只要设],[)(b a C x f ∈，则可得到收敛性，因为只要把n T 改写为])()([21110∑∑=-=-+-=ni i n i i n x f n a b x f n a b T当∞→n 时，上式的右端括号内两个和式均收敛到积分dx x f ba⎰)(，所以复合梯形公式收敛。
此外，n T 的求积系数为正，故复合梯形公式是稳定的。
●复合求积公式（辛普森）（程序2—3）将区间],[b a 分为n 等分，在每个子区间],[1+i i x x 上采用辛普森公式，若记,22/1hx x i i +=+则得：][)]()(4)([6)()(112/111f R x f x f x f h dx x f dx x f I n n i i i i n i x x bai i+++===∑∑⎰⎰-=++-=+,记],)()(2)(4)([6)]()(4)([611102/11012/1∑∑∑-=-=+-=+++++=++=n i i n i i n i i i i n b f x f x f a f hx f x f x f h S )72(-称为复合辛普森求积公式，其余项为：),(,)()2(180][110)4(4+-=∈-=-=∑i i i n i i n n x x f h h S I f R ηη，于是当],[)(4b a C x f ∈时，与复合梯形公式相似有),(),(2(180][)4(4b a f h a b S I f R n n ∈--=-=ηη，)82(-可以看出，误差阶为4h ，收敛性是显然的，实际上，只要],[)(b a C x f ∈，则可以得到收敛性，即.)(lim ⎰=∞→ban n dx x f S 此外，由于n S 中的求积系数均为正数，故知复合辛普森公式计算稳定。