牛顿科特斯公式及其积分应用

数值计算实习报告——牛顿—柯特斯积分方法及其应用

姓名：杨银月

学号：139084154

班级：数131

牛顿—柯特斯积分算法及其应用

一、引言

●数值积分的必要性

现实生活当中往往会遇到这样的问题：拉着一块物体在一粗糙平面上沿着一直线从一点移动到另一点所发生的功是多少？一个不规则的平面图形的面积是多少？已知边际成本—产量函数求在一产量下的总成本……

通过物理和几何学以及经济学的知识容易知道这类问题是需要计算积分的，根据微积分定理对于积分⎰

=

b

a

dx x f I )(，只要找到)(x f 的原函数)(x F ，便有牛顿—莱布尼茨公式：

)

()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

但是，现实生活中往往只能得到一些离散的点，无法得到连续的函数)(x f ，即便是给定了)(x f ，也不一定就是容易找到原函数的（原函数往往非初等），比方说

)0(sin ≠x x

x

，2

x e

-等，故不能用N-L 公式进行积分运算。即使能求得原函数的积分有时候计算也是非常困

难的。例如对于被积函数6

11

)(x

x f +=

，其原函数C

x x x x x x x x F ++-+++-+=1

313ln 341)1arctan(61arctan 31)(22计算)(),(b F a F 仍然很困难，因此有必要研究积分的数值计算问题。

●数值积分的基本思想

由积分中值定理（如图1）知，在积分区间],[b a 内存在一点ζ，成立

)

()()(ζf a b dx x f b

a

-=⎰

图1

就是说，底为a b -而高为)(ζf 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I 。问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出)(ζf 的值，称)(ζf 为区间],[b a 上的平均高度。这样只要对平均高度)(ζf 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。如果我们用两端点“高度”)(a f 与)(b f 的算术平均值作为平均高度)(ζf 的近似值，这样导出的求积公式

)]()([2

)(b f a f a

b dx x f b

a

+-≈

⎰)11(-便是众所周知的梯形公式。而如果改用区间的中点2

b

a c +=的“高度”)(c f 近似地取代

平均高度)(ζf ，则又可导出所谓的“中矩形公式”。

更一般地，可在区间],[b a 上适当选取某些节点k x ，然后用)(k x f 的加权平均得到平均高度)(ζf 的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：

∑⎰

=≈n

k k k b

a

x f A dx x f 0

)()(，

)

21(-式中k x 称为求积节点；k A 称为求积系数，亦称伴随节点k x 的权。权k A 仅仅与节点k x 的选取有关，而不依赖于被积函数)(x f 的具体形式。这类数值积分通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为被积函数值的计算，这就避开了N-L 公式需要寻求原函数的困难。梯形公式即机械型求积公式1=n

的情况，而由公式)21(-，给定不同的n 可以得到不同

的求积公式。下面讨论不同n 的情况下，求积公式的形式与性质。

二、N-C 公式及其简单形式（2,1==n n ）

●N-C 公式推导

对于大部分的函数)(x f 都是不容易求积的，但是可以用插值法的思想将)(x f 用多项式插值表示，因此可以定义插值型的求积公式：

∑⎰

=≈n

k k k b

a

x f A dx x f 0

)()(其中⎰=b

a

k k dx x l A )(。

等距节点的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式，推导如下：

取等距节点：ih a x i +=，n

a

b h -=

,n i ,...,2,1=，令th a x +=，得：⎰∏⎰∏⎰∏⎰≠-≠≠----=

--=--==n

j

i i

n n

i j b

a i j j i j

b

a i i dt j t i n ni a

b hdt j

i j t dx x x x x dx x l A 00)()!(!)1)(()(，

称⎰∏≠----=-n j

i i n i dt j t i n ni a b A 0)()!(!)1(为柯特斯系数，记做)

(n i C ，所以有牛顿—柯特斯公式：∑⎰

=-≈n

i i n i b

a

x f C a b dx x f 0

)()

()()(由于是多项式积分，柯特斯系数的计算不会遇到困难。当1=n 时，

2

1

)1(1)

1(0=

=C C ,这时的求积公式就是梯形公式；

当2=n ，这时的柯特斯系数为:

61)2)(1(4120)2(0=--=

⎰dt t t C ；6

4)2(2120)

2(1=--=⎰dt t t C ；61)1(4120)

2(2=-=⎰dt t t C .

相应的求积公式是如下辛普森公式

)].(2

(4)([6b f b a f a f a b S +++-=

)

12(-●稳定性分析

下表是柯特斯公式的系数表（n=1,2，…，8）（程序2—1）

n

)

(n i C 10.50000.500020.16670.66670.166730.12500.37500.37500.125040.07780.35560.13330.35560.077850.06600.26040.17360.17360.26040.066060.04880.25710.03210.32380.03210.25710.048870.04350.20700.07660.17300.17300.07660.20700.04358

0.0349

0.2077

-0.0327

0.3702

-0.1601

0.3702

-0.0327

0.2077

0.0349