线段的垂直平分线的性质 画法课件PPT
合集下载
线段垂直平分线的性质课件
线段垂直平分线的性质课件
目录
• 线段垂直平分线的定义 • 线段垂直平分线的性质 • 线段垂直平分线的应用 • 线段垂直平分线的证明
01
线段垂直平分线的定义
定义
垂直平分 线
过线段中点且垂直于线段所在直线的 直线。
线段垂直平分线定理
线段垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
垂直平分 设线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线与线段AB的交点为N。
2. 过M作直线ME⊥AB交AB于E点。
证明性质三
01
02
03
04
3. 在直角三角形AEN和BMN 中，由于∠AEN=∠BMN=90°
和MN是垂直平分线，所以 ∠AMN=∠BME。
4. 由于AM=BM，根据ASA 全等条件，得到 △AEN≌△BMN。
01
02
03
确定线段的中点
使用测量工具或计算中点 坐标的方法确定线段的中 点。
画垂直线
在确定的中点处，作垂直 于线段所在直线的垂线。
连接端点
使用测量工具或计算坐标 的方法，连接线段的两个 端点到垂足。
垂直平分线的性质
距离性质
角平分线性质
垂直性质
垂直平分线上的任意一 点到线段两端点的距离
相等。
垂直平分线将角平分， 即角平分线上的任意一 点到角的两边距离相等。
垂直平分线是垂直于线 段所在直线的直线。
轴对称性质
垂直平分线是轴对称图 形，关于垂直平分线对 称的两点连线与垂直平
分线垂直。
02
线段垂直平分线的性质
性质一
总结词
线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
详细描述
这是线段垂直平分线最基本和重要的性质。如果一个点位于 线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离必 定相等。这一性质在几何学中有着广泛的应用，例如在解决 与中点、距离和对称性相关的问题时。
目录
• 线段垂直平分线的定义 • 线段垂直平分线的性质 • 线段垂直平分线的应用 • 线段垂直平分线的证明
01
线段垂直平分线的定义
定义
垂直平分 线
过线段中点且垂直于线段所在直线的 直线。
线段垂直平分线定理
线段垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
垂直平分 设线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线与线段AB的交点为N。
2. 过M作直线ME⊥AB交AB于E点。
证明性质三
01
02
03
04
3. 在直角三角形AEN和BMN 中，由于∠AEN=∠BMN=90°
和MN是垂直平分线，所以 ∠AMN=∠BME。
4. 由于AM=BM，根据ASA 全等条件，得到 △AEN≌△BMN。
01
02
03
确定线段的中点
使用测量工具或计算中点 坐标的方法确定线段的中 点。
画垂直线
在确定的中点处，作垂直 于线段所在直线的垂线。
连接端点
使用测量工具或计算坐标 的方法，连接线段的两个 端点到垂足。
垂直平分线的性质
距离性质
角平分线性质
垂直性质
垂直平分线上的任意一 点到线段两端点的距离
相等。
垂直平分线将角平分， 即角平分线上的任意一 点到角的两边距离相等。
垂直平分线是垂直于线 段所在直线的直线。
轴对称性质
垂直平分线是轴对称图 形，关于垂直平分线对 称的两点连线与垂直平
分线垂直。
02
线段垂直平分线的性质
性质一
总结词
线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
详细描述
这是线段垂直平分线最基本和重要的性质。如果一个点位于 线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离必 定相等。这一性质在几何学中有着广泛的应用，例如在解决 与中点、距离和对称性相关的问题时。
线段垂直平分线的性质定理及逆定理(共10张PPT)
即：到线段两个端点的距离相等的点在 PC=PC（公共边），
= 猜想： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
这条线段的垂直平分线上． ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. ∠PCA=∠PCB（已证） 轴对称图形的概念是： ∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
N
在△APC与△BPC中
PC=PC（公共边）
∠PCA=∠PCB（已证）
AC=BC（已知）
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
这 ∴个P结A=论PB是(线经段常垂用直来平证分明线两上条的线点段到相等这的条根线据段之两一个.端点
分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
证明： ∵MN⊥AB，
已线知段： 垂线直段平分AB线，上点的P点是与平这面条内线一段点两且个PA端=P点B的．距离相等。
一即、：线 到段线垂段直两平个分端线点的的距性离质相定等理的：点在这条线段的垂直平分线上．
∵ED是线段AB的垂直平分线 解： ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
线段垂直平分线的性质定理及 逆定理
第1页，共10页。
概念复习
▪ 轴对称图形的概念是什么？
▪ 两个图形轴对称的概念是什么？
▪ 垂直平分线的概念是什么？
▪ 图形轴对称的性质？
第2页，共10页。
学习目标
▪ 掌握线段垂直平分线的性质定理 及逆定理
▪ 能运用两个定理解决有关的实际 问题
第3页，共10页。
P1
= 猜想： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
这条线段的垂直平分线上． ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. ∠PCA=∠PCB（已证） 轴对称图形的概念是： ∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
N
在△APC与△BPC中
PC=PC（公共边）
∠PCA=∠PCB（已证）
AC=BC（已知）
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
这 ∴个P结A=论PB是(线经段常垂用直来平证分明线两上条的线点段到相等这的条根线据段之两一个.端点
分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
证明： ∵MN⊥AB，
已线知段： 垂线直段平分AB线，上点的P点是与平这面条内线一段点两且个PA端=P点B的．距离相等。
一即、：线 到段线垂段直两平个分端线点的的距性离质相定等理的：点在这条线段的垂直平分线上．
∵ED是线段AB的垂直平分线 解： ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
线段垂直平分线的性质定理及 逆定理
第1页，共10页。
概念复习
▪ 轴对称图形的概念是什么？
▪ 两个图形轴对称的概念是什么？
▪ 垂直平分线的概念是什么？
▪ 图形轴对称的性质？
第2页，共10页。
学习目标
▪ 掌握线段垂直平分线的性质定理 及逆定理
▪ 能运用两个定理解决有关的实际 问题
第3页，共10页。
P1
线段的垂直平分线ppt课件
C 3. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线上，且∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
D
A
B
变式 如图，在△ABC中，点D是△ABC三边的垂直平分线 的交点，若∠C=60°，则∠D=
C
D
A
B
能力提升
1. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
尺子作图 不精准
尺规作图
探究一：三角形三边的垂直平分线的性质
画出以下三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
ADຫໍສະໝຸດ MBCE
N
O
F
猜想：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点 到三个顶点的距离相等.
证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点 距离相等。
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的 垂直平分线交于P点.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC
归纳小结
三角形三边的垂直平分线的性质定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点
的距离相等.
A
几何语言： ∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点 B ∴ PA =PB=PC．
P C
探究二：尺规作图
议一议：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作 出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
的距离相等.
2. 尺规作图
2. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，AB的垂直 平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG.
(1)求证：BG=CG.
(2)若∠ABC=42°，求∠CGF的大 小.
线段的垂直平分线的性质课件共17张PPT
A
P
O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
P
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
l
P 用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
课堂练习
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．
A
P3 P2
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、 A
P
O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
P
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
l
P 用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
课堂练习
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．
A
P3 P2
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、 A
13.1.2线段的垂直平分线的性质课件ppt17197
y
B (-4, 2)
·
5 4 3 2
1 1 2
· C’(-3, -4)
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
思考： 关于y轴 B’ (4, 2) 对称的 点的坐 标具有 x 3 4 5 怎样的 关系？
·
· C(3, -4)
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特 点是:
练习:
横坐标互为相反数,纵坐标相等. （简称：纵轴纵相等）
过这个点分别做x轴和y轴的垂线段，垂足分别ห้องสมุดไป่ตู้ 是这个点的横坐标和纵坐标，记做（x，y）。 4、怎样做一个点关于一条直线的对称点？
探究1： 请同学们在直角坐标系中标出下列各点 并画出下列各点关于x轴对称的对称点. A (2,3) B (-4, 2) C(3, - 4)
思考：关于x轴对称的点的坐标具有 怎样的关系？
A
2 3 4 5
B
-4
-3
-2
-1
x
轴对称关系(关于y轴对称)
活动二：
2、已知右边圆脸中眼睛A的坐标 （4，3）嘴角 ） 为（ C的 （2，3）B的坐标为（ 坐标为（ （ 4，1）D的坐标为（ （2，1）。 ）
5
y
你能根据 轴对称的 性质写出 左边圆脸 的眼睛和 嘴角的坐 标吗？
· · C D · ·
13.1.2线段的垂直平分线的性质
P1 P2 P3 A B
l
线段垂直平分线：
经过线段的中点并且垂直于这条 线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线。
∵直线l是线段AB的垂直平分线
A
o
B
∴AO=BO l⊥AB
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． P3 相等． P2 性质1：线段垂直平分线上的点与这条 P1 线段两个端点的距离相等． A B l
B (-4, 2)
·
5 4 3 2
1 1 2
· C’(-3, -4)
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
思考： 关于y轴 B’ (4, 2) 对称的 点的坐 标具有 x 3 4 5 怎样的 关系？
·
· C(3, -4)
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特 点是:
练习:
横坐标互为相反数,纵坐标相等. （简称：纵轴纵相等）
过这个点分别做x轴和y轴的垂线段，垂足分别ห้องสมุดไป่ตู้ 是这个点的横坐标和纵坐标，记做（x，y）。 4、怎样做一个点关于一条直线的对称点？
探究1： 请同学们在直角坐标系中标出下列各点 并画出下列各点关于x轴对称的对称点. A (2,3) B (-4, 2) C(3, - 4)
思考：关于x轴对称的点的坐标具有 怎样的关系？
A
2 3 4 5
B
-4
-3
-2
-1
x
轴对称关系(关于y轴对称)
活动二：
2、已知右边圆脸中眼睛A的坐标 （4，3）嘴角 ） 为（ C的 （2，3）B的坐标为（ 坐标为（ （ 4，1）D的坐标为（ （2，1）。 ）
5
y
你能根据 轴对称的 性质写出 左边圆脸 的眼睛和 嘴角的坐 标吗？
· · C D · ·
13.1.2线段的垂直平分线的性质
P1 P2 P3 A B
l
线段垂直平分线：
经过线段的中点并且垂直于这条 线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线。
∵直线l是线段AB的垂直平分线
A
o
B
∴AO=BO l⊥AB
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． P3 相等． P2 性质1：线段垂直平分线上的点与这条 P1 线段两个端点的距离相等． A B l
垂直平分线的性质ppt课件
解:
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
线段的垂直平分线的性质时(共8张PPT)
AB1的长为半径作弧，两弧相交于C、
2
D两点；
折叠、用刻度尺等
A
B ⑵作直线还C可D 以. 折叠、
CD即为用所刻求度的直尺线等.
D
你还有其他的方法作一条线段的垂直平分线吗?
第3页，共8页。
Байду номын сангаас
三、解决问题
练习：见教材第63页例2.
例2 如图，△ABC和△AˊBˊCˊ是两个成轴对称的图形
，请作出它的对称轴．
线段的垂直平分线的性质时
第1页，共8页。
一、提出问题
1．如果我们感觉两个平面图形是成轴对称的，
你准备用什么方法去验证?
2．两个成轴对称的图形，不经过折叠，
你用什么方法作出它的对称轴?
第2页，共8页。
二、学习新知
例1 如图，已知线段AB，用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线.
C
⑴分别以点A、B为圆心，以大于
A
B
C 第7页，共8页。
D
五、课堂小结
本节课你学到了什么? 1．线段垂直平分线的作法.
2．作成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法：
(1)将图形对折；
(2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，
然后作垂线．
3．有许多图形的对称轴不止一条．
第8页，共8页。
第5页，共8页。
四、实践和应用
1.作出下列图形的一条对称轴，和同学比较 一下，你们作的对称轴一样吗?
无数条
第6页，共8页。
2.如图，角是轴对称图形吗?如果是，
画出它的对称轴.
如图，角是轴对称图形吗?如果是， 你还有其他的方法作一条线段的垂直平分线吗? 作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作的对称轴一样吗? 1．线段垂直平分线的作法. 如图，角是轴对称图形吗?如果是， 如图，角是轴对称图形吗?如果是， 如果是一个轴对称图形，你怎样作出它的 如果是一个轴对称图形，你怎样作出它的
13.1.2《线段的垂直平分线的性质》PPT课件人教版数学八年级上册
B
∵E是AC上的一点， ∴BE=DE.
在△ABE和△ADE中，∵AB=AD， BE=DE， AE=AE，
∴ △ABE≌△ADE. ∴∠ABE=∠ADE.
课堂小结
线
性质
段
的
垂
判定
直
平
分
尺规
线
作图
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上
画一个轴对称图形或成轴对称 图形的对称轴
我把线段AB沿着直线l对折，发
现线段P1A与P1B，线段P2A与 A P2B，线段P3A与P3B……都是重
P1 P2 P3
B
合的，因此它们也分别相等.
l
新知探究 知识点1 线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这
条线段两个端点的距离相等.
P
符号表示：如图, 直线l⊥AB,垂足
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A,B距离相等的两点，即线段
AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
和点C在AB的两旁； =8 cm.
符号表示：如图，已知线段AB，∵PA=PB，
l
新知探究 知识点3 尺规作图
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C(如图). 求作：AB的垂线，使它经过点C.
.C
A
B
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
符号表示：如图，已知线段AB，∵PA=PB，
作法：（1）任意取一点K，使点K C =8 cm.
线段的垂直平分线的性质PPT课件
A
• 如图所示，在△ABC中，
AB=AC＝32，MN是AB
的垂直平分线，且有
M
BC=21，求△BCN的周长。
N
B
C
第20页/共26页
如图，七（1）班与七（2）班两个班的学生 分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的 距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并 说明理由。
P
∴ ∠PCA =∠PCB=900． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB．
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
A
C
B
用几何语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．
第3页/共26页
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于__8____．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上
M
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
B
D
C
第9页/共26页
尺规作图
经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C 使它经过点C.
做法：
（1）任意取一点K ，使点K与点
C 在直线AB两旁.
（2）以点C为圆心，CK为半径作弧 ，交AB于点D和点E.
B
第7页/共26页
课堂练习P62
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平
分 线 上 ， AB ， AC ， CE 的 长 度 有 什 么 关 系 ？
• 如图所示，在△ABC中，
AB=AC＝32，MN是AB
的垂直平分线，且有
M
BC=21，求△BCN的周长。
N
B
C
第20页/共26页
如图，七（1）班与七（2）班两个班的学生 分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的 距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并 说明理由。
P
∴ ∠PCA =∠PCB=900． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB．
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
A
C
B
用几何语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．
第3页/共26页
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于__8____．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上
M
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
B
D
C
第9页/共26页
尺规作图
经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C 使它经过点C.
做法：
（1）任意取一点K ，使点K与点
C 在直线AB两旁.
（2）以点C为圆心，CK为半径作弧 ，交AB于点D和点E.
B
第7页/共26页
课堂练习P62
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平
分 线 上 ， AB ， AC ， CE 的 长 度 有 什 么 关 系 ？
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质 课件(共22张PPT)人教版数学八年级上册
例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点， BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接BE.求证： BE垂直平分CD.
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠ACB＝90°.∵BD＝BC，BE＝BE， ∴Rt△BED≌Rt△BEC，点B在CD的垂直平分线上， ∴DE＝CE，∴点E在CD的垂直平分线上， ∴BE垂直平分CD.
13.1 轴对称
13.1.2线段的垂直平分线的性质
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质
学习目标
1.通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用 线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题，培养学生解决问 题的能力.
2.学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操 作能力和逻辑推理能力.
4.如果将已知、求证换一下位置，还能成立吗？试着探究一下.
如图，已知 PA＝PB，
求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上．
证明：如图，过点 P 作 AB 的垂线 l 交 AB 于点 C，
在
R
t△PAC
和
Rt△PB
C
中，
PA＝PB， CP＝CP，
∴R t △PAC≌R t △PB C(H L )．
∴AC＝BC.∴直线 l 垂直平分 AB，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上．
小组讨论
1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平 分线ON交于点O，分别交BC于点D，E，△ADE的周长为5 cm. (1)求BC的长；(2)求证：点O在线段BC的垂直平分线上．
(1)解：∵OM，ON分别是线段AB，AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝CE.∵△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝5 cm， ∴BC＝BD＋DE＋EC＝5 cm.
《线段的垂直平分线》PPT课件
练习
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
答：∠CAE=50°.
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要 求写出作法）.
1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上, A
∴PA=PB
同理,PB=PC.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直
平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（ C ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
M A
E C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.1 .2线段的垂直平分线 （第2课时）
课前回顾
M
1.垂直平分线的定义：
P
∵MN是AB的垂直平分线
∴ MN⊥AB， AD＝BD；
2.垂直平分线的性质：
A
DB
∵MN是AB的垂直平分线
N
∴ PA＝PB
（ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距）离相等
3.垂直平分线的判定：
∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线（上 与一条线段两个端点距
5. 有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学 校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
【提示】学校在连接任意两
A
点的两条线段的垂直平分线
的交点处.
C B
6.如图，△ABC中，边AB，BC的垂直
A
平分线交于点P.
（1）求证：PA=PB=PC. P
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线
上呢？由此你能得出什么结论？ B
以大于 1 AB的长为半径作弧，
D
2
两弧交于C，D两点.
结论：对于轴对称图形，只要
（2）作直线CD.
找到任意一组对应点，作出对
CD即为所求.
应点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴.
【跟踪训练】
1.下图中的五角星有几条对称轴？
作出这些对称轴．
n
作法：（1）找出五角星的一对 A
B
对应点A和B，连接AB．
C
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点
到三角形三个顶点的距离相等.
6.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于 A E，交AC于D，求△BCD的周长.
【解析】∵ED是线段AB的垂直平分线，
E
D
∴ BD=AD，
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
B
C
∴ △BCD的周长= AD+DC+B
❖ 为什么要以大于AB的长为半径作弧？ （如果作弧的半径小于AB，就不能得到交点） 为什么要取两个交点，一个交点行不行？ （不行，两点确定一条直线）
自学指导2
❖ 自学课本62页思考至63页完并动手作一条线 段的垂直平分线
作线段的垂直平分线.
C
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：（1）分别以点A，B为圆心，
解：1．作点A关于EF H
的对称点A′
2．连结A′B交EF于
点C则沿AC撞Hale Waihona Puke 黑球A，必沿CB反弹击中白球
B。
E
B C
G A
F A′
4、如图,在公路L的同侧有两个工厂A 、B,要在路边建一个货场C, 使A、B两厂到货场C的距离之和最小,问点C的位置如何选择?
B工厂
A工厂
货场C
小结:作已知点的对称点是解决实际问题常用的方法.
❖ 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?
自学指导1
❖ 认真看课本P62页例题，动手进行尺规 作图
❖ 思考在作法中为什么要以大于AB的长 为半径作弧？为什么要取两个交点，一 个交点行不行？
❖ 想一想为什么直线CF就是所求作的垂 线？
检查自学效果1
❖ 请用自己的语言叙述如何画一条线段的垂直 平分线
讨论点拨1
B A
【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的 交点就是要建的公共汽车站.
2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、 李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？
张村 A
B 李庄
C A’ 如图所示，水泵站修在 C 点可使所用的水管最短.
3、如图，EFGH是矩形的台球桌面，有 两球分别位于A、B两点的位置，试问怎 样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反 弹后再击中B球？
A（D4＋）B由D（＝2A）B中. 式子－（1）中式子得BC＝10cm.
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问 题的艺术更为重要.
——康托尔
法： ❖ (1)将图形对折； ❖ (2)用尺规作图； ❖ (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然
后画垂线．
课外作业
❖ P课本66页 ❖ 10 、12
课后补充
❖ 可作为习题课讲解
1.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
（2）作出线段AB的垂直平分线n．
则n就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角 星有五条对称轴．
提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的 中点,所以我们也用这种方法作线段的中 点.
还可以折叠、 用刻度尺等
你还有其他的方法作一条线段的垂直平分线吗?
课堂练习
❖ 课本P64页练习 ❖ 1、2、3
=
CAC+BC
=
12+7=19.
8.如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的
周长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这
A
些条件，你可以求出哪条线段的长?
D
【解析】 （1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm. B E C
（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm.
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋ CD＝
课堂练习
练习1：作出下列图形的一条对称轴，和同学比较 一下，你们作出的对称轴一样吗？
课堂练习
练习2：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？角是轴对称图形，角平分线所在
的直线就是角的对称轴.
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
课堂小结
❖ 1．说说线段垂直平分线的作法； ❖ 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方
离相等的点，在这条线段的垂直平）分线上
学习目标
❖ 1.掌握线段垂直平分线的画法． ❖ 2.会画两个成轴对称的图形(或一个轴对
称图形)的对称轴．
思考
❖ 两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴?
❖ 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了．
课前回顾
M
1.垂直平分线的定义：
P
∵MN是AB的垂直平分线
∴ MN⊥AB， AD＝BD；
2.垂直平分线的性质：
A
DB
∵MN是AB的垂直平分线
N
∴ PA＝PB
（ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距）离相等
3.垂直平分线的判定：
∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线（上 与一条线段两个端点距
5. 有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学 校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
【提示】学校在连接任意两
A
点的两条线段的垂直平分线
的交点处.
C B
6.如图，△ABC中，边AB，BC的垂直
A
平分线交于点P.
（1）求证：PA=PB=PC. P
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线
上呢？由此你能得出什么结论？ B
以大于 1 AB的长为半径作弧，
D
2
两弧交于C，D两点.
结论：对于轴对称图形，只要
（2）作直线CD.
找到任意一组对应点，作出对
CD即为所求.
应点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴.
【跟踪训练】
1.下图中的五角星有几条对称轴？
作出这些对称轴．
n
作法：（1）找出五角星的一对 A
B
对应点A和B，连接AB．
C
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点
到三角形三个顶点的距离相等.
6.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于 A E，交AC于D，求△BCD的周长.
【解析】∵ED是线段AB的垂直平分线，
E
D
∴ BD=AD，
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
B
C
∴ △BCD的周长= AD+DC+B
❖ 为什么要以大于AB的长为半径作弧？ （如果作弧的半径小于AB，就不能得到交点） 为什么要取两个交点，一个交点行不行？ （不行，两点确定一条直线）
自学指导2
❖ 自学课本62页思考至63页完并动手作一条线 段的垂直平分线
作线段的垂直平分线.
C
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：（1）分别以点A，B为圆心，
解：1．作点A关于EF H
的对称点A′
2．连结A′B交EF于
点C则沿AC撞Hale Waihona Puke 黑球A，必沿CB反弹击中白球
B。
E
B C
G A
F A′
4、如图,在公路L的同侧有两个工厂A 、B,要在路边建一个货场C, 使A、B两厂到货场C的距离之和最小,问点C的位置如何选择?
B工厂
A工厂
货场C
小结:作已知点的对称点是解决实际问题常用的方法.
❖ 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?
自学指导1
❖ 认真看课本P62页例题，动手进行尺规 作图
❖ 思考在作法中为什么要以大于AB的长 为半径作弧？为什么要取两个交点，一 个交点行不行？
❖ 想一想为什么直线CF就是所求作的垂 线？
检查自学效果1
❖ 请用自己的语言叙述如何画一条线段的垂直 平分线
讨论点拨1
B A
【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的 交点就是要建的公共汽车站.
2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、 李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？
张村 A
B 李庄
C A’ 如图所示，水泵站修在 C 点可使所用的水管最短.
3、如图，EFGH是矩形的台球桌面，有 两球分别位于A、B两点的位置，试问怎 样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反 弹后再击中B球？
A（D4＋）B由D（＝2A）B中. 式子－（1）中式子得BC＝10cm.
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问 题的艺术更为重要.
——康托尔
法： ❖ (1)将图形对折； ❖ (2)用尺规作图； ❖ (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然
后画垂线．
课外作业
❖ P课本66页 ❖ 10 、12
课后补充
❖ 可作为习题课讲解
1.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
（2）作出线段AB的垂直平分线n．
则n就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角 星有五条对称轴．
提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的 中点,所以我们也用这种方法作线段的中 点.
还可以折叠、 用刻度尺等
你还有其他的方法作一条线段的垂直平分线吗?
课堂练习
❖ 课本P64页练习 ❖ 1、2、3
=
CAC+BC
=
12+7=19.
8.如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的
周长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这
A
些条件，你可以求出哪条线段的长?
D
【解析】 （1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm. B E C
（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm.
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋ CD＝
课堂练习
练习1：作出下列图形的一条对称轴，和同学比较 一下，你们作出的对称轴一样吗？
课堂练习
练习2：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？角是轴对称图形，角平分线所在
的直线就是角的对称轴.
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
课堂小结
❖ 1．说说线段垂直平分线的作法； ❖ 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方
离相等的点，在这条线段的垂直平）分线上
学习目标
❖ 1.掌握线段垂直平分线的画法． ❖ 2.会画两个成轴对称的图形(或一个轴对
称图形)的对称轴．
思考
❖ 两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴?
❖ 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了．