大学物理AI磁感应强度

的圆周上，作匀速圆周运动。该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度 B =____________，
该带电质点轨道运动的磁矩 pm =___________________。(µ0 =4π×10-7 H·m-1)
解：由圆形电流圆心处磁场公式有带电质点在轨道中心所产生的磁感强度
B = µ0 I = µ0 q / T = µ0 qv = µ0qv = 4π ×10-7 × 8.0 ×10-10 × 3.0 ×105 = 6.67 ×10−7 T
选D
v 4．一个电流元 i dl 位于直角坐标系原点，电流沿 y 轴方向，则空
间点 P(x，y，z)的磁感应强度沿 z 轴的分量是：
x
z
r r r O idl
[
]
(A) 0
(B) − µ0 ⋅
iydl
4π ( x2 + y 2 + z 2 )3
P y
(C) − µ0 ⋅
ixdl
(D) − µ0 ⋅ iydl
α
[
]
(A) πr2B
(B) 无法确定的量
(C) -πr2Bsinα
(D) -πr2Bcosα
解：半球面 S 与 S 边线所在平面构成封闭高斯面，由磁场的高斯定理有通过半球面 S 的
磁通量
vv vv vv
∫SB ⋅ d S = ∫∫ B ⋅ d S − ∫平B ⋅ d S = 0 − Bπ r 2 cos α = −Bπ r 2 cos α
I
r 流着 I = 3 A 的电流。作一个半径 r = 5 cm、长 l = 5 cm 且与电流 l
v
同轴的圆柱形闭合曲面 S，则该曲面上的磁感强度 B 沿曲面的积
S
vv
∫∫ 分 B ⋅ d S = ________________________。
解：由于无限长直圆柱形导体电流具有轴对称性，故由安培环路定理可求出磁场，场线
Φ= B S = 0
v (3) 平面与 y 轴平行，又与 x 轴成 45°角，其法线与 B 的夹角为 45°或 135°，故
有磁通量 或
ΦΦ==BvBv⋅⋅SvSv==BBSSccooss14355°°
= 1.41 Wb = −1.41 Wb
X 2．如图所示，半径为 R，电荷线密度为 λ ( λ > 0 )的均匀带电的
R1
o•
R2
2L
解：利用单层螺线管内磁场公式
1 B = 2 µ0nI (cos β 2 − cos β1 )
如图示，在螺线管中取半径为 r，厚为 dr 的绕线薄层，
dr R2 R1
β1 O
相当于一个单层螺线管，它在 O 处产生的磁场为
1
NI d r
d B = 2 µ0 2L(R2 − R1 ) (cos β 2 − cos β1 )
分布以v 轴为中心的同心圆v环，v同轴圆柱形闭合曲面 S 的上、下底面、侧面磁通量为零，
∫∫ 因此 B 沿曲面的积分 B ⋅ d S = 0
2．如图所示，有两个半径相同的均匀带电绝缘体球面，O1 为左侧 球面的球心，带的是正电；O2 为右侧球面的球心，它带的是负电，
两者的面电荷密度相等。当它们绕 O1O2 轴旋转时，两球面相切处
r 圈是如此之小，以致可以认为它占据的空间内场是均匀的)。当此线圈的 Pm 与 z 轴平行时，
r 所受的力矩大小是 M = 5×10-9 N⋅m，方向沿 x 轴方向；当此线圈的 Pm 与 y 轴平行时，
r 所受的力矩为零。则空间 A 点处的磁感应强度 B 的大小为
, 方向
为
。
r 解：设磁场 B
=
r Bxi
− cos 135 o )
=
2 µ0I πR
磁感强度的大小之比为 B1 / B 2 =
µ0I
2R
π
=
= 1.11
2 µ0I 2 2
πR
135o
选C
v
S
3平．面在的磁法感线强方度向为单B位的矢均量匀nv磁与场Bv中的作夹一角半为径α为，r则的通半过球半面球S面，SS
边线所在 的磁通量
(取弯面向外为正)为
v 即M
= 1×10−8
Bx
B v
y
v Bz
× (Bzi − Bxk ) =
0
②
联解方程①、②可得
Bx = 0 By = −0.5 T
Bz = 0
r
故空间 A 点处的磁感应强度 B 的大小为 0.5 T ，方向为沿 y 轴负向
三、计算题
v
1．已知空间各处的磁感强度 B 都沿 x 轴正方向，而且磁场是均匀的，B = 1 T。求下列三
2R 2R 2R 2πR 4πR 2
4 × π × (6.00 ×10-3 )2
轨道运动的磁矩
pm
=
IS
=
qv πR 2 2πR
=
qvR 2
=
8.0 × 10 -10
× 3.0 ×105 2
× 6.00 × 10 -3
= 7.20 ×10 −7 A ⋅ m 2
5．一平面试验线圈的磁矩大小 Pm 为 1×10-8 A⋅m-2，把它放入待测磁场中的 A 处(试验线
sr r
rr
rr r
r
z
Φ = ∫∫S1 B ⋅ d S = −∫∫S2 B ⋅ d S = −∫∫S2 (ai + bj + ck ) ⋅ dSk
R S2
= −S2c = −πR 2c
S1
球壳表面的磁通量大小为 πR 2c Wb
4．一质点带有电荷 q =8.0×10 -10 C，以速度 v =3.0×10 5 m·s-1 在半径为 R =6.00×10 -3 m
圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上 r
任一点的 B 的大小及其方向。 解：绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动均匀带电的圆线
x OR
圈电流为 I = q = 2πRλ = Rλω
ω
T 2π / ω
由典型电流：通电圆环轴线上任一点磁感应强度
r 有轴线上任一点的 B 的大小 v B 的方向与 x 轴正向一致
小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比 B1 / B2 为
[
]
(A) 0.90
(B) 1.00
(C) 1.11
(D) 1.2
解：圆电流在其中心产生的磁感应强度 B1
=
µ0I 2R
正方形线圈在其中心产生的磁感应强度
I
O1 R
2R
O245o I
B2
=
Biblioteka Baidu4×
µ0I 4π × R
(cos
45 o
v
r + By j
v
r
v
+vBz k ，由放入均匀磁场中的线圈所受力矩 M
=
v pm
v ×B有
情形 1
v M=
ij k v
0 0 1× 10 −8 = 5 × 10 −9 i
v
Bx
B v
y
B zv
v
即M
=
−1×10−8 × (By i vv
−
Bx
j) v
=
5 ×10−9 i
①
vi
j
k
情形 2 M = 0 1× 10 −8 0 = 0
种情形中，穿过一面积为 2 m2 的平面的磁通量。
(1) 平面与 yz 平面平行；
(2) 平面与 xz 平面平行；
(3) 平面与 y 轴平行，又与 x 轴成 45°角。
⋅ 解：(1) 平面与 yz 平面平行时，v 则v其法线与 x 轴平行，有磁通量
Φ= B S = ±2 Wbv
⋅ (2) 平面与 xz 坐标面平行，v 则v其法线与 B 垂直，有磁通量
β2 r
+O1 A O2
θ
A 点的磁感强度 BA =____________________。
解：当均匀带电绝缘体球面绕 O1O2 轴旋转时形成电流强度不同的圆形电流
dI
σ 2πR sinθRdθ =
= σR2ω sinθdθ
2π / ω
由圆形电流轴线上一点磁感应强度公式和磁场叠加原理得两球面相切处 A 点的磁感
[
]
(A) BP > BQ > BO
(B) BQ > BP > BO
(C) BQ > BO > BP
(D) BO > BQ > BP
解：由磁场叠加原理和无限长直导线及半圆形电流磁场公式知
I a P a Q I 2a I a a aOI a
I
BP
=
µ0I 2a
BQ
=
µ 0 I (cos 0o 4πa
− cos135 o ) +
本题中 ∴
cos β 2 − cos β1 = 2 cos β 2 = 2L /( L2 + r 2 )
dB =
µ0 NI d r
2(R2 − R1 ) L2 + r 2
∫ B = µ0 NI R2 d r
2(R2 − R1 ) R1 L2 + r 2
= µ0 NI ln R2 + R22 + L2 2(R2 − R1 ) R1 + R12 + L2
µ0I 4πa
(cos 45o
− cos180 o )
=
(2 + 2π
2 ) µ0I 2a
BO
=
µ0I 4πa
(cos 0o
− cos90o ) +
µ0I 4πa
×π
+
µ0I 4πa
(cos90o
− cos180o )
=
(2 + π 2π
)
µ0I 2a
由以上三式知 BO > BQ > BP
选D
2．有一个圆形回路 1 及一个正方形回路 2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大
B=
Bx
=
µ0 IR 2 2(R 2 + x 2 )3/ 2
=
µ0 R3λω 2(R 2 + x 2 )3/ 2
3．一多层密绕螺线管的内半径为 R1 ，外半径为 R2 ，
长为 2L，设总匝数为 N，导线很细，其中通过的电
流为 I，求螺线管中心 O 点的磁感应强度。
∫ [积分公式：
dx = ln(x + x2 +a 2 ) ] x 2 +a 2
本习题版权归西南交大理学院物理系所有
《大学物理 AI》作业
No. 09 磁感应强度
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题
1．通有电流 I 的无限长直导线有如图三种形状，则 P，Q，O 各
点磁感强度的大小 BP，BQ，BO 间的关系为：
4π ( x2 + y 2 + z 2 )3
4π x2 + y 2 + z 2
v 解：由毕－沙定律，电流元在 P 点产生的磁场为 dB
=
µ0
vv ⋅ idl × r
vvv
4π r3
而
v idl
×
rv
=
i 0
j idl
k
v
v
0 = zidli − xidlk
xyz
( ) v
所以， dB 的 z 分量为 dBz
=
− µ0 4π
⋅
xidl r3
=
− 4π
µ 0 ixdl x2 + y2 + z2 3
选C
5．若要使半径为 4 × 10−3 m 的裸铜线表面的磁感应强度为 7.0 ×10−5 T ， 其铜线中需要
通过的电流为( µ0 = 4π ×10−7 T⋅ m⋅ A−1 )
[
]
(A) 0.14A
(B) 1.4A
(C) 14A
(D) 2.8A
解：由圆形电流磁场分布有铜线表面磁感应强度大小为 B = µ0 I ，所以 2πR
铜线中需要通过的电流为 I = 2πR ⋅ B = 2π × 4 ×10 −3 × 7 ×10 −5 = 1.4(A)
选B
µ0
4π ×10 −7
二、填空题
1．半径为 0.5 cm 的无限长直圆柱形导体上，沿轴线方向均匀地
应强度大小相等方向相反，故 A 点的磁感强度 BA =0
r rr r 3．一磁场的磁感应强度为 B = ai + bj + ck (T) ，则通过一半径为 R、开口向 z 正方向的
半球壳表面的磁通量大小为
Wb。
解：如图所示，半径为
rr
R
的半球表面
S1
和半径为
R
的圆平面
S2
组成封闭曲面
S，由磁场
∫∫ 的高斯定理 B ⋅ d S = 0 得半球壳表面的磁通量