【精品】高中数学 选修1-1_双曲线及其标准方程 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)_基础

双曲线及其标准方程

【学习目标】 1．知识与技能：

从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．

2．过程与方法：

学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．

3．情感态度与价值观：

了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．

【要点梳理】

要点一：双曲线的定义

把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．

定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：

1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；

2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：

若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；

若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．

要点二：双曲线的标准方程

1．双曲线的标准方程

2．标准方程的推导

如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．

（1）建系

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

（2）设点

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．

（3）列式

设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．

由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．

∵2222

12

||(),||(),

MF x c y MF x c y

++=-+

∴2222

()()2

x c y x c y a

++-+=±

(4)化简

将这个方程移项，得

当焦点在x轴上时，

22

22

1

x y

a b

-=(0,0)

a b

>>，其中222

c a b

=+；

当焦点在y轴上时，

22

22

1

y x

a b

-=(0,0)

a b

>>，其中222

c a b

=+

2a =

两边平方得：

22222()44()x c y a x c y ++=±-+

化简得：

2cx a -=±

两边再平方，整理得：

()()22222222c a x a y a c a --=- ①

（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．

由双曲线定义，22c a ＞ 即c a ＞，所以220c a -＞． 令222(0)c a b b -=＞，

代入上式得：222222b x a y a b -=， 两边同除以22a b ，得：

即22

221x y a b

-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+． 这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．

要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为

x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22

221y x a b

-=(0,0)a b >>，其中

222c a b =+．

3． 两种不同双曲线的相同点与不同点

不 同 点

图形

标准方程 22

22

1x y a b -=(0,0)a b >> 22

22

1y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标

()10F c ， ，()20F c ，

()10F c ， ，()20F c ，

相 同 点 a 、b 、c 的关系 222c a b =+

焦点位置的判断

哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴

要点诠释：

1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式． 此时，双曲线的焦点在坐标轴上．

2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．

3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．

4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．

要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1． 椭圆、双曲线的标准方程对照表：

椭圆

双曲线