附录 连续随机过程

由条件3我们可以看出，布朗运动的增量为
dWt dt
（A-2）
在长度为 dt 的时间间隔内，服从布朗运动变量的均值
为0，方差为 dt 。
布朗运动的这些特性成为描述股票价格的最佳数学工 具，在期权定价中非常有效。
A.2 伊滕微积分
在高等数学中所学的微积分称为牛顿微积分，牛顿微 积分有很多规则，利用这些规则求解微积分非常方便。 但是，这些规则在随机世界并不适用,在随机世界中使 用伊滕（Ito）微积分 。
1 2
f
'' (Wt )dt
（A-4）
因为，f ' (Wt ) 2Wt ，f '' (Wt ) 2 代入式（A-4）得到 Wt2 的微分:
或者
d (Wt2 ) 2Wt dWt dt
Wt 2
2
t
0 Ws dWs
t
由此可见，伊滕微积分与牛顿微积分相比要复杂的多。 与牛顿积分一样，只有少数随机微分方程可以用伊滕 积分求出它的积分表达式。求随机过程的微分与求随 机微分方程的积分相比要容易的多。
过程平方的均值：
E(dX
2ห้องสมุดไป่ตู้t
)
2 t
dt
（A-7）
把公式（A-7）和 dX t tdt tdWt 代入公式（4-6） 中，得到一般形式的伊滕定理表达式：
A.2.2 伊滕定理
假设过程的漂移率 t 和扩散率（或波动） t 分别为随 机过程和时间的函数，我们称下列过程为伊滕过程。
dX t t dWt t dt
假设 Yt 是 X t 和 t 的连续可微函数，即
Yt f ( X t , t)
其中 Yt 也是一个随机过程。
如一得果个到微计X 小算t 和的dt变Yt有化的一数d微Y学t 小表。变达用化式泰d：勒X t（和Tdatyl，or响）应定地理Y展t 开也就有
A.1 维纳过程
如果变量的值以不确定的方式随时间变化，则称该变 量服从某种随机过程（stochastic process）。随机 过程分为离散时间（discrete time）和连续时间 （continuous time）两种。离散时间随机过程是指变 量的值只能在一些确定的时间点上变化。而连续时间 随机过程是指变量的值可以在任何时刻发生变化。随 机过程又分为连续变量（continuous variable）和离 散变量（discrete variable）两种。在连续变量随机 过程中，变量的值在规定的范围内取任何值。在离散 变量随机过程中，变量的值只能取一些离散值。
程 的W定义如下：
过程 W ( Wt : t 0)为维纳过程，必须满足下列条件： （1） Wt 是连续的，W0 0 。 （2） Wt 的值是正态的，也就是说随机过程 Wt 服从正
态分布 N (0,t) 。
（3）维纳过程W 的增量 Wst Ws 服从正态分布
，
与 N (0无,t)关。也W就s 是说，对于不同的时间间隔， 的值
dYt
Yt X t
dX t
Yt t
dt
1 2
2Yt
X
2 t
dX
2 t
2Yt X t t
dX t dt
1 2
2Yt 2t
dt 2
（A-5）
在公式（A-5）中，等号右边的第四项和第五项及以后
的各项均为无穷小量，可以忽略不计，而第三项的值
不为零。这时就得到计算 dYt 的近似表达式：
dYt
Yt X t
A.2.1 伊滕微积分
在牛顿微积分中，如果 f (x) x2 ，则它的微分表达式 为 df (x) 2xdx。在随机世界中，如果 f (Wt ) Wt2 ， 它的微分表达式并不是 df (Wt ) 2Wt dWt ，因为 Wt2 t 。 那么布朗运动的微分形式是什么呢？
用泰勒（Taylor）级数把 df (Wt ) 展开，得到
附录A 连续随机过程
A.1 维纳过程 A.2 伊滕微积分 A.3 测度变换 A.4 鞅过程
大多数金融变量可以用连续时间、连续变量随机过程 来描述。例如，股票指数、股票价格、汇率、等。这 些随机过程一般用布朗运动（Brownian motion）来描 述。描述布朗运动的最佳工具是维纳过程（Wiener process）。随机微积分（stochastic calculus）是 常规微积分的延伸，它是研究连续时间、连续变量随 机过程的重要工具。
df (Wt )
f
' (Wt )dWt
1 2
f
'' (Wt )(dWt )2
（A-3）
1 3!
f
''' (Wt
)(dWt
)3
在牛顿微积分中，无穷小项(dx)2和更高级的无穷小项 均随为机零变，量而函在 数随的机微世分界为中：有所不同，(dWt )2 dt 。所以
df (Wt )
f
' (Wt )dWt
事实上，股票价格是一种连续时间离散变量过程，股 票价格只能取0.01倍数。但是，我们观察到的股票价 格过程是连续时间、连续变量随机过程，而不是二叉 树。如果用二叉树描述股票价格的变化，那么我们只 见树木不见森林。
维纳过程（Wiener process）又称布朗运动，是特殊 的马尔科夫过程（Markov process）。该过程说明只 有变量的当前值与未来的预测值有关，而与变量的历 史值无关。
股票价格的马尔科夫性与弱有效市场（weak form efficient market）是一致的，也就是说，股票的当 前价格包含了所有信息，包括过去所有的价格记录和 每股利润。投资者不可能通过分析历史数据获得额外 收益。
维纳过程的行为模式与股票价格的行为模式非常相似， 是描述股票价格的行为模式的最佳数学工具。维纳过
dX t
Yt t
dt
1 2Yt
2
X
2 t
dX
2 t
（A-6）
因为伊滕过程
dX t tdt tdWt
平方的数学期望为：
E
(dX
2 t
)
E
(
2 t
dt
2
2t t dtdWt
2 t
dWt
2
)
E(t2dt2 2ttdt dt t2 2dt)
t2dt 2
2 t
dt
而 ~ N(0,1)， 2 1 ，再略去高级无穷小项得到伊滕
是相W互独立的。
从布朗运动定义中的条件（1）我们可以看出，布朗运 动的初值为零。
由条件（2）我们知道在t时刻，维纳过程的值为：
其中：
为标准正态W变t 量 ，t 服从标准正态分
（A-1）
别 ~ N(0,1) 。
也就是说，在长度为 t 的时间间隔内，服从布朗运动
变量的均值为0，方差为 t 。