最新届高三数学第二轮复习数列综合

届高三数学第二轮复习数列综合

数列综合

★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、

n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在

一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．

（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．

理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★ ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11

113114413144

n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨

⎪=++⎪⎩（2n ≥）

（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．

解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥） 易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．

（II ）解：由题设得111

()(2)2

n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则

11

(2)2

n n d d n -=≥．

易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为11

2

n n d -=． 由

1211

2

n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪

⎨-=⎪⎩，

解得 11

22

n n a n =++， 求和得21122n n n S n =-+++．

【变式】（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为

'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()

y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）、设11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于

f`(x)=6x －2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]

)1(2)132---n n （

＝6n －5.

当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12

－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=

n n n a a b ＝[]

5)1(6)56(3

---n n ＝)1

61

561(21+--n n ， 故T n ＝∑=n

i i b 1＝

2

1⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足2

1

≤

20

m

，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()

'()

n n n n f a a a f a +=-（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ； （3）记ln

n n n a b a a

β

-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。 解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>

，∴

αβ=

； （2）'()21f x x =+，21

115

(21)(21)12

442121

n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++

=5114

(21)4

212n n a a ++

-

+，∵11a =

，∴有基本不等式可知20a ≥>

（当且仅当

1a

时取等号），∴20a >>

同，样3a

，……，n a α>=（n=1,2,……）， （3）1()()(1)2121

n n n n n n n n a a a a a a a a αββ

ββα+----=--

=++++，而1αβ+=-，即

1αβ+=-，