线性系统的稳定性分析

方法2
令s=1/x得：
5 x 4 2 x3 2 x 2 x 1 0
s 4 s 3 2s 2 2s 5 0
x4 x3 x2 x1 x0
5 2 -1 5 2
2 1 2
1
劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知， 特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。
求根判别稳定性： >> s=roots([5,2,2,1,1]) s= 0.2657 + 0.6255i 0.2657 - 0.6255i -0.4657 + 0.4650i -0.4657 - 0.4650i
一、稳定的基本概念
定义：如果线性定常系统受到扰动的 作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动 消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平 衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简称 为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。 注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性
只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
稳定与不稳定系统的示例
2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
a0 s n a1s n1 an1s an 0
2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
aBiblioteka Baidu s n a1s n1
Sn S n 1 S n2 S n 3 S2 S1 S0 d1 e1 f1 d2 e2 d3 a0 a1 b1 c1 a2 a3 b2 c2
劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个 根在S平面右半部分，系统不稳定。
例4
已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。
s 4 s 3 2s 2 2s 5 0
方法1
解： 由特征方程列出劳斯表
s4 s3 s2 s1 s0 1 1 0≈ε (2ε-5)/ε 5 5 2 2 5 0
当 ε 的取值足够小时， (2ε-5)/ε 将取负值，故劳斯 表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方 程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。
物理意义上的稳定概念
d

A
f
c
f
A'
A
f
A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
图c 小范围稳定系统
数学意义上的稳定概念
(t )函数 根据上述稳定性的定义，可以用 作为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输 入一个理想单位脉冲 (t ) ，这相当于系统在 零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用， 如果当t趋于∞时，系统的输出响应c(t)收敛 到原来的零平衡状态，即
第三章 时域分析法
第五节 线性系统的稳定性分析
3-5 线性系统的稳定性分析
项目
教 学 目 的 据判稳。
内容
掌握稳定概念，能用劳斯判据或胡尔维茨稳定判
教 学 重 点 用劳斯判据判定系统稳定性。 教 学 难 点 两种特殊情况的判稳，劳斯判据的灵活运用。
讲授技巧及注 练习为主。 意事项
在控制系统的分析研究中，最重要 的问题是系统的稳定性问题。不稳定的 系统在受到外界或内部的一些因素扰动 时，会使被控制量偏离原来的平衡工作 状态，并随时间的推移而发散。因此， 不稳定的系统是无法正常工作的。
线性定常系统稳定的充分必要条 件：闭环系统特征方程的所有根都具 有负实部，或者说闭环传递函数的所 有极点均位于为S平面的左半部分（不 包括虚轴）。
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
lim c(t ) 0
t
该系统就是稳定的。
五种运动模态
c(t ) i e Ak e
i t i 1 k 1 q r k k t
sin(dk t k )
j
0
j
0
j
0
j
0
j
0
Impulse Response 1 1.2
Impulse Response 1.5
n
证明一：
将上式展开得特征根与特征方程系数的关系如下：
n a1 pi (1 2 ...... n ) a0 i 1
(单根和)
n 1 n (双根积和)
n a2 pi p j 1 2 1 3 ... 1 n a0 i , j 1 i j n a3 pi p j pk a0 i , j , k 1 i j k
存在两个正实部根，所表示系统不稳定。
方法 3 ：对原特征方程两边同时乘以 （s+1)因子，再用劳斯判据判稳。
方法3
方程两边同乘以s+1 ，得：
s4+2s3+s2+s+1=0
解 列劳斯表如下
S4 S3 S2 S1 S0
1 2 (2*1-1*1)/2=1/2 (1*1-2*2)/1=-3 (-3*2-1*0)/-3=2
1 1 (2*1－1*0)/2=1
1 0
由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变 为－3 ，另一次由－3变为2，特征方程有两个根在S 平面右半部分，系统是不稳定的。
例3：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
3 s6 1 4 s5 2 2 s4 1 -8 s3 ε0 7ε s2 2ε+8 s1 -8(2ε+8) -7ε s0 7 ε
2
5 6 7
7
(10-6)/2=2 (6-14)/1= -8 (6－4)/2=1
1.5
2
2.5
* 当系统特征方程的根都具有负实部时，则 c(t ) 0 ，此 各瞬态分量都是衰减的，则有 lim t 时系统是稳定的。 * 如果特征根中有一个或一个以上具有正实 部，则该根对应的瞬态分量是发散的， c(t ) 0 不成立，系统不稳定。 此时 lim t
* 如果特征根中具有一个或一个以上的零实 部根，而其余的特征根均有负实部，则 c(t) 作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。
an1s an 0
a4 a5 b3 c3 a6 a7 a4
计 算 数 据

原 始 数 据
劳 斯 表
五阶Routh表的列写方法举例
a0 s5 a1s4 a2 s3 a3s2 a4 s a5 0
则Routh表为
s5 s4 s s s s
3
a0
a1
a2 a3
a1a4 a0 a5 b2 a1
a4
a5
0
a1a2 a0 a3 b1 a1 b1a3 a1b2 c1 b1
2
a5
0
1 0
c1b2 b1a5 d1 c1
a5
3.利用劳斯表判别系统的稳定性(三种情况)
（1）劳斯表第一列所有系数均不为零 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的 符号（正值），则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。 注意：a0>0
Impulse Response 12
Impulse Response 14
Impulse Response
0.9
1 1
10 12 8
0.8
0.8
0.7
0.6 0.5
6
10
0.6
Amplitude
0.4
Amplitude Amplitude
4 8
Amplitude
0.5
Amplitude
0.2
0
2
6 0.4 0 -0.5 0.3 -0.2 -2 4 0
s2 s1
6 10 1 2 58 6 6 67 2 60 6 2 67 6
2 s0 劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。
为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正 数后，再继续运算。
本例中，劳斯表可按如下方法计算：
s5 4 s s3 s2 s1 s0
1 6 67 791 36900 134 14 17 58 134 10 2 (同乘以6，实质是不除6) （同乘以67，不除67） （同乘以791，不除791）
只有当所有根都位于左半平面，即 i 0, j 0 ，上式展 开后，才能保证特征方程式的所有系数均为正。
系统稳定
特征方程式所有根 都位于左半平面
特征方程式各 项系数均为正
由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程 的各项系数均为正，即
ai 0 (i 0,1,2, , n)
分析稳定性，首先分析必要条件 首先检查系统特征方程的系数是否都大 于零，若有任何系数是负数或等于零，则系 统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时， 再使用劳斯判据判别系统是否稳定。
0.2
-0.4 -1
-4 2 -6
0.1
-0.6
0
0
1
2
3 Time (sec)
4
5
6
-0.8
-1.5 0 5 10 15 Time (sec) 20 25 30
0
5
10
15
20 Time (sec)
25
30
35
40
-8
0
2
4
6
8
10 Time (sec)
12
14
16
18
20
0
0
0.5
1 Time (sec)
思路：寻找直接用系数就可以判断系统的稳定性的方法。
1、稳定的必要条件
系统稳定的必要条件是其特征方程
a0 sn a1sn1 a2 sn2 an1s an 0 (a0 0)
的各项系数均为正，即
ai 0 (i 0,1, 2, , n)
an 1 an a1 n 1 a2 n 2 s s s ...... s ( s p1 )( s p2 )......( s pn ) 0 a0 a0 a0 a0
求根判别稳定性：
>> s=roots([1,1,2,2,5])
s= 0.5753 + 1.3544i 0.5753 - 1.3544i
-1.0753 + 1.0737i
-1.0753 - 1.0737i
方法2：令s=1/x代入特征方程可得到 以x为变量的新的代数方程，对此方程使用 劳斯判据也可判断系统的稳定性（相当于 把特征方程系数的顺序倒过来）。
n
设方程有k个实根 i (i 1, 2, k )和r对共轭复数根 ( j j j )( j 1, 2 r且k + 2r = n) ，则
(s 1 )(s 2 ) ( s k )[( s 1 )2 12 ] [( s r ) 2 r2 ] 0 (s 1 )(s 2 ) (s k )[s 2 21s 12 12 ] [ s 2 2 r s r2 r2 ] 0
(3根积和)
只有当所有根都位于左半平面，才能保证特征方 程式的所有系数均为正。
n an n ( 1) pi (1) n 1 2 ...... n i 1 a0
(n根积和)
证明二：
an1 an a1 n1 a2 n2 s s s ...... s ( s p1 )( s p2 )......( s pn ) 0 a0 a0 a0 a0
由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。
解特征方程求根判断稳定性： >> s=solve('s^5+6*s^4+14*s^3+17*s^2+10*s+2=0')
s= [ -1]
[-3/2+1/2*5^(1/2)] [ -3/2-1/2*5^(1/2)] [ -1+i]
[
-1-i]
例2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的 稳定性。
解特征方程求根判断稳定性：
>> s=roots([1,2,1,1,1])
s=
-1.4656
-1.0000
0.2328 + 0.7926i
0.2328 - 0.7926i
(2) 劳斯表某行的第一项等于零，而 本行中其余各项不全为零
方法1：当劳斯表某一行的第一项为零， 而其余项不全为零，可用一个很小的正数 ε( 例如 1*10-6 ) 代替第一列的零项，然后 按照通常方法计算劳斯表中的其余项。
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s 5 6s 4 14s 3 17 s 2 10s 2 0 解 列劳斯表 14 1 s5 6 s4 17
10
2
s
3
6 14 1 17 67 6 6
67 58 17 6 6 6 791 67 67 6 791 58 67 2 6150 67 6 6 791 791 67