基本积分公式表

(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1)ex1x C.
x
例23
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
例17 sec6 xdx
se4cxse2cxdx
sec4 x d(tanx)
(1tan2 x)2 d(tanx)
(12ta2n xta4n x)d(tanx)
tanx
2 tan 3 x 3
tan 5 5
x
C
例18 tan5 xse3cxdx
ta4x nse2x csextcaxndx
(se2cx1)2 sec2 x d(sexc)
(s4ex c2se 2x c1)se 2x cd(secx)
(s6ex c2se4xcse2xc )d(secx)
1
sec
7
7
x
2 sec 5 5
x
1
sec
3
3
x
C
例19 co3sxco2sxdx
1(co5sxcosx) 2
dx
1
2
(co5xscox)sdx
1 2
(
cos5xdx
cosxdx
)
1 [ 2
1 5
cos5xd(5x)cosxdx ]
1
(
1
25
sin5x sinx ) C
1 10
sin5x
1 sin x 2
C
例20
(1 xx)3dx.
x 11 (1 x)3 dx
1
1
[(1x)2 (1x)3]
dx
1
[(1x)2
83 dx
1 2
cos2xdx
1 8
cos4xdx
3
8
x
1
4
1
co2x sd(2x)
32
co4x sd(4x)
3x1s i2nx1s i4nxC
84
32
例15 cscxdxsin1 x dx
2 sin
1 x cos
x
dx
22
1
x
dx
sin 2
2 cos
2x
cos x
2
2
1 2 tan x cos 2 x dx 22
怎么办？
e2xdx
e2x
1 2
d(2x)
1
e 2 x d(2x)
2
u2x
1 2
eu du
1 e u C
2
1 e 2x C
2
一般情况下：
设f(u)有原函 F(数 u), 即F'(u)f(u)
f(u)duF(u) C 若u (x)可导 F (u) F[(x)]
d F[(x)] F'(u)'(x)
sec2 u du
13 tanu C
1 tan(3x 4)
3
C
例4
x 1x2dx
1 x2 1 d(1x2) 2
1
2
1 x2
d(1 x2)
令u1x2 1 2
u du
1
2
u
3 2
C
23
1
3
u2
C
1
(1
x2
)
3 2
C
3
3
例5
tanxdx
sin cos
x x
dx
cos1 x (1) d(cosx)
2
u2 C
co2sx C
例2
3
1 2x
dx
3
1
2
x
1 2
d(32x)
12
3
1 2
x
d(32x)
令u32x 1 2
1 du
u
12 ln | u | C
1 ln| 3 2x | C
2
例3 se2c(3x4)dx
se2c(3x4)1 d(3x4) 3
13 se2c(3x4) d(3x4)
令u3x4 1 3
sin2 x(1sin2 x)2d(sinx)
sin2 x(12si2n xsi4n x)d(sinx)
(s2ixn 2si4n xsi6n x)d(si nx)
sin 3 x
2 sin5 x
sin 7 x
C
35
7
例13 cos2 xdx
类似可求 cos4 xdx
1
cos 2
2
x
源自文库
dx
(11x)3]d(1x)
(1x)1
1
(1 x)2
C
2
1
1 x
2(1
1
x
)2
C
例21 求
1 1 exdx.
解
1
1 e
x dx
11exexexdx
11exex dxdx1exexdx
dx 1 1exd(1ex)
xln 1(ex)C .
例22 求 (1x12)ex1xdx.
解
x1x
1 1x2,
)2
d(x) a
a
1 arctan
a
x a
C
例7
1 dx (a0)
a2x2
1 dx1
a 2 (1
x2 a2
)
a
1
1
x2 a2
dx
1
a
1 1(x
)2
ad ( x ) a
a
1 1(x
d(x) a
)2
arcsin
x a
C
a
例8
1 x2a2
d
x
(a0)(x
1 a)(x
a)
dx
21a
(1 1) xa xa
例24 求1c1osxdx.
另解 1c1osxdx
1 2 cos 2
x
dx
2
1 cos2
x
d( x) 2
2
sec2
xd(x) 22
tan
x 2
C
例25 设 f(s2ixn )co 2x,s求 f (x).
解 令 usi2nxco 2x s1u ,
f(u)1u
f(u )1u du u
1u2 2
C
f(x)x1x2C
dx
f (u) '(x)
f[(x)]'( x)
F[(x)]是f[(x)]'(x)的原函数
f[(x)]'(x)dxF[(x)]C
F (u) C
f (u)du
这样, 我们就得到下面的定理:
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式 u(x)
f[(x)]'(x)dx f (u)du
dx
1
2a
( x1a
1) xa
dx
1
2a
x
1
a
dx1 2a
x
1
a
dx
1
2a
x
1
a
d(xa)
1 2a
x
1
a
d(xa)
1 ln| xa| 1 ln| xa| C
2a
2a
1 ln
2a
|
x x
a a
|
C
例9
x
1 (12l
nx)
dx
1
1 2 ln
x
1 2
d(12lnx)
12
1
1 2 ln
x
d(12lnx)
cos x csxc coxt
s inx sin x sin x
cscxdx
ln|
x tan
|
C
2
ln |cs x c co x| tC
例16
s
e
cxdx
1 cos
x
dx
sin(
1 x
)
dx
2
1
sin(x
d(x )
)
2
2
例15
ln |csxc()cox t()|C
2
2
ln |sex ctaxn |C
(9) cs2cxdxcoxtC
(1)0se xtca xn d sx excC
(1)1cs xcco xtd xcsxcC
(1)2exdx ex C
(1)3axdx lan
x
a
C
第二节 换元积分法（一）
一、第一换元积分法
问题
e2xdx ?
被积函e数2x不是积分公式表上数的, 函
用直接积分法，求不出它的积分。
1ln|12lnx| C
2
例10
e3 x dx
x
e 3
x
2
3 d(3
x)
32 e 3 x d(3 x)
2
3 e 3 x C
例11 sin3 xdx
sin2 xsinxdx (1co2sx)d(cosx)
(coxs1co3sx)C 3
coxs1co3sxC 3
例12 sin2xco5sxdx sin2 x co4sxcoxsdx
基本积分公式表
(1) kdxkx C (k是常数)
(2) xdxx 1 C, (1) 1
(3)
dx x
ln | x | C
(4) 11x2dx arctxa C n
(5)
1 dxarcxsiC n 1x2
(6) coxsdxsinxC
(7) six ndxcoxsC
(8) se2cxdx tan xC
1 (cous) C 2
12 [cos2(x)]C 1 cos2( x) C
2
解2
sin2xdx2sinxcoxsdx
2 sinx d(sinx) 令usinx2 udu
2 u 2 C
2
u 2 C sin2 x C
解3
sin2xdx2sinxcoxsdx
2coxssinxdx 2coxs(1) d(cosx) 2coxs d(cosx) 令ucoxs 2 udu 2 u 2 C
用 法: g(x)dx
“凑” 微分法
f[(x)]'(x) dx
f[(x)]d[(x)]
u(x)
f (u) du f (u)是积分公式表上的函数
F(u) C
u(x)
F[(x)]C
例1 求sin2xd.x
解1
sin2xdxsi
n2x
1 2
d(2x)
12 sin2x d(2x)
令u2x 1 s inu du 2
(12
cos2x 2
)
dx
1 2 x
2
dx
cos 2 x 2
dx
12co2sxdx
x 2
1 4
co2x s (d2x)
x sin2x C 24
例14 cos4 xdx
(1cos2x)2 dx
2
(1c
o2sxc
o2s2x )
dx
42
4
(1co2xs11co4xs)dx 424 2
(83co22sxco84sx) dx
cos1 x d(cosx)
令ucoxs 1 du u
ln | u | C
ln|coxs|C
类似可得
cotxdx ln|sinx|C
例6
1 a2x2
d
x
(a0)
1
a2
(1
x2 a2
dx )
1 a2
1
1
x2 a2
dx
1 a2
1 1 ( x )2
ad ( x ) a
a
1
a
1
1
(
x
2
例26 求
1 4 x2 arcsixndx.
2
解
4
x21arcsinxdx 2
2
1
dx
1 x2 arcsinx
2
2
1
1
d(
x2 arcsixn
2
2
x) 2
arc1sixnd(arcs2xin)
2
ln|arcsxin|C 2
作业： P207 2(2)-(34)(双)
The end of Part 1
12x32 312x12 3C .
12
12
例24 求1c1osxdx.
解 1c1osxdx1c1oxcs1o xcsoxsdx
11ccoo2sxsxdx1sicn2oxsxdx
(si1n2xscion2xxs)dx
s1 i2n xd xs1 i2n xd(sx i)n
coxt 1 C. sin x
1
2 tan
x
sec2
x 2
dx
2
1 sec 2 x d ( x )
tan x
22
2
1 tan
x
d (tan
x) 2
ln | tan
x 2
|
C
2
tan
x
sin
x 2
2 cos x
2
2 sin x sin x
2 sin
2 x cos
2 x
22
2 sin 2 x 2
s inx
1 cos x 1