重庆市万州分水中学高中数学 4.1.1 圆的标准方程学案 新人教A版必修2.doc
高中数学人教A版必修2《4.1.1圆的标准方程》教案1
必修二4.1.1圆的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．(3)会判断点与圆的位置关系．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．(3)增强学生用数学的意识．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．●重点难点重点：圆的标准方程及点与圆的位置关系．难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程．重难点突破：以圆的定义为切入点，结合坐标法，让学生导出圆的标准方程，考虑到不同条件下求圆的标准方程的难度，教学时，可借助具体实例，通过让学生“看一看、想一想、练一练”等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解圆的标准方程中三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时化解难点．【课前自主导学】课标解读1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)圆的标准方程1．在平面内，圆是如何定义的？【提示】在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合．2．在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？【提示】能．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.点与圆的位置关系【问题导思】点A(1,1)，B(3,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2什么关系？【提示】|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r【课堂互动探究】直接法求圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为点A(－2,3)，半径为2；(2)经过点A(5,1)，圆心为点C(8，－3)．【思路探究】只要有确定的圆心与半径，就可以写出圆的标准方程．【自主解答】(1)圆的标准方程为：(x＋2)2＋(y－3)2＝2.(2)法一圆的半径为|AC|＝5－82＋1＋32＝5，圆心为(8，－3)．∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.法二设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，∵点A(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2013·咸阳高一检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1【解析】设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.【答案】 A点与圆的位置关系 已知一个圆的圆心在点C (－3，－4)，且经过原点．(1)求该圆的标准方程；(2)判断点P 1(－1,0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．【思路探究】 直接法求圆的标准方程――→分析点与圆心的距离同半径的关系―→下结论 【自主解答】 (1)∵圆心是C (－3，－4)，且经过原点， ∴圆的半径r ＝－3－02＋－4－02＝5，∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.(2)∵－1＋32＋0＋42＝4＋16＝25＜5，∴P 1(－1,0)在圆内；∵1＋32＋－1＋42＝5，∴P 2(1，－1)在圆上； ∵3＋32＋－4＋42＝6＞5，∴P 3(3，－4)在圆外．判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系作出判断：①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d<r，点在圆内．(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．a<－1或a>1B．－1<a<1C．0<a<1 D．a＝±1【解析】由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，解得－1<a<1.【答案】 B待定系数法或几何法求圆的标准方程 求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．【思路探究】 思路一：设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，利用A ，B 及圆心所在位置求参数a ，b ，r .思路二：设圆的圆心坐标C (a,2－a )，利用|AC |＝|BC |求a 及圆的半径．思路三：利用圆的几何性质：弦AB 的中垂线与直线x ＋y －2＝0的交点必为圆心，求圆的标准方程．【自主解答】 法一 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎨⎧1－a2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a,2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴a －12＋2－a ＋12＝a ＋12＋2－a －12，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三 由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－－1－1－1＝－1，∴弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)， 即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)， 圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.1．给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法： (1)用待定系数法，其一般步骤如下：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ②根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组； ③解方程组，求出a ，b ，r 的值；④将a ，b ，r 的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．如本题法三．2．求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直．把本例条件“圆心在直线x＋y－2＝0上”换成“圆心在x轴上”，求相应问题．【解】∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为(a,0)，由题意可知(a－1)2＋1＝(a＋1)2＋1，解得a＝0，∴圆的半径r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为x2＋y2＝2.【易错易误辨析】求圆的标准方程时以“形”代“数”致误已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．【错解】如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|OA|2＝52－42＝3.∴C点坐标(3,0)，∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.【错因分析】上述求解的错误在于以“形”代“数”只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解．【防范措施】借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．【正解】由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3，如图所示．∴圆心坐标为(3,0)或(－3,0)．∴所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.【课堂小结】1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．【当堂达标检测】1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)【解析】结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．【答案】 B2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 2【解析】以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.【答案】 B3．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【解析】由题意知，圆心到直线的距离即为圆的半径，即r＝|1＋1－4|12＋12＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.【答案】 A4．已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【解】 由已知条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处，∴圆心M 的坐标为(0,1)， 半径r ＝12|PQ |＝12×－5－52＋6＋42＝5 2.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50.∵|AM |＝2－02＋2－12＝5<r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝1－02＋8－12＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝6－02＋5－12＝52>r ，∴点C 在圆外.【课后知能检测】 一、选择题1．(2014·温州高一检测)点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都不对【解析】 将点P 的坐标代入圆的方程的等号的左边，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P 在圆外． 【答案】 B2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9【解析】 由题意可知，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，故选D. 【答案】 D3．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝25 D ．(x ＋4)2＋y 2＝25 【解析】 由题意，圆的半径r ＝0－32＋4－02＝5，则圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.【答案】 A4．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 【解析】 圆心为AB 的中点(－1,1)，半径为12|AB |＝123＋52＋－2－42＝5，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.【答案】 B5．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 【解析】 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝2－02＋－3－02＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. 【答案】 B 二、填空题6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．【解析】 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，由点P (－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，解得r 2＝25.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝257．点P (1，－1)在圆x 2＋y 2＝r 的外部，则实数r 的取值范围是________． 【解析】 由题意得12＋(－1)2>r ，即r <2，又r >0，故r 的取值范围是(0,2)． 【答案】 (0,2)8．(2014·苏州高一检测)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________．【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知a －52＋－12＝ a －12＋－32，解得a ＝2.所以圆心为(2,0)，半径长为10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.【答案】 (x －2)2＋y 2＝10 三、解答题9．求以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程． 【解】 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，所以直线与两坐标轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，|AB |＝0－22＋4－02＝20，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20，以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20. 10．已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围： (1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部．【解】 (1)∵点A 在圆内部，∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，即2a ＋5<0，解得a <－52. 故a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－52. (2)将点A (1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－52，故a 的值为－52.(3)∵点A 在圆的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2，即2a ＋5>0，解得a >－52. 故a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >－52. 11．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？【解】 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎨⎧a 2＋1－b2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，3－a2＋4－b2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边，(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程．故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上.。
高中数学 4.1.1 圆的标准方程教案 新人教A版必修2
第四章 圆的方程4.1 圆的方程【高考要求】①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④了解用代数方法处理几何问题的思想．【教学目标】1、回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和一般方程2、掌握圆的标准方程和一般方程3、圆的方程的应用【教学重点】1、掌握圆的标准方程和一般方程2、圆的方程的应用4.1.1圆的标准方程（第1课时）【课前导学】阅读教材第118页，完成下列学习一、 复习圆的静态定义：___________________________________二、圆的标准方程1、建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程2、圆的标准方程：圆的两个要素分别为______和______，当两个要素确定后，圆就唯一确定了.在平面直角坐标系中，圆心C 的位置用坐标(,)a b 表示，半径r 的大小等于圆上任意点(,)M x y 与圆心(,)C a b 的距离，圆心为A 的圆就是集合{}P M MC r ==由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为____________________ ①①式两边平方，得____________________ ⑴若点(,)M x y 在圆上，有上述讨论可知，点M 的坐标适合方程⑴；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程⑴，这就说明点M 与圆心C 的距离为r ，即点M 在圆心为C 的圆上.我们把方程________________________称为圆心为圆心为),(b a C ，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是___________________3、圆的标准方程的两个基本要素：_________________圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决.【预习自测】1、写出下列圆的标准方程（1）圆心在)4,3(-C ，半径长是5（2）圆心在)3,8(-C ，且经过点)1,5(M2、点P （5a+1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ ）A ｜a ｜＜1 Ba ＜131 C ｜a ｜＜51 D ｜a ｜＜131 3、圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是（ ）A (2，-1)， ，-1)， 5 C (-2，1)，，1)， 5【典型例题】例 1. △ABC 的三个顶点的坐标分别是()()(5,1),7,3,2,8A B C --,求它的外接圆的方程△ABO 的三个顶点的坐标分别是(0,0),(0,15),(8,0)O A B -，求它的内切圆的方程 例2. 已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(B ，且圆心C 在直线01:=+-y x l 上，求圆心为C 的圆的标准方程第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
高中数学4.1.1圆的标准方程教案新人教A版必修2
四、教学策略选择与设计
（1）突出重点抓住关键突破难点
求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，在突出重点的同时突破了难点.
(2)A=0,表示点（a,b)
(3)A<0,不表示任何图形
培养学生积极动脑思考，探索未知的能力，以及数形结合的能力
提问式教学，培养观察能力，总结归纳能力
（10分钟）
练习一：
1.说出下列圆的方程：
(1)圆心在原点,半径为3.
(2)圆心在点C(3, -4),半径为7.
部分学生上黑板上演算，教师巡视所有学生答题情况
二、教学目标
知识与技能
1.掌握圆的标准方程；
2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；
3.利用圆的标准方程解决简单的实际问题.
过程与方法
1.进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；
2.加深对数形结合思想的理解以及对待定系数法2.选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
复习引入：请同学们复习一下上节课学习的求轨迹方程的步骤
学生回答：
1.建系设点M (x,y)
2.找等量
3.列方程
4.化简为f(x,y)=0
5.注意x,y的取值范围
复习巩固，为新课做准备
新课讲授：
问题一：圆的定义？
问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个
化简可得：
圆的标准方程：
圆心C(a,b),半径r
高中数学 411圆的标准方程学案 新人教A版必修2.doc
圆的标准方程1.圆的标准方程.2.点与圆的位置关系的判断方法.3.根据己知条件求圆的标准方程的方法.例2 AABC的三个顶点的坐标是A(5, 1), B(7, -3), C(2, - 8).求它的外接圆的方解：设所求圆的方程是匕- ")2 + (y - b)2 = K ①因为A (5, 1), 〃(7, - 3), C(2, - 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于(5-a)2= r• (7-a)2+(-3-b)2 =r(2-6z)2+(-8-/7)2 = r解此方程组，得a = 2b = —3 r2 =25所以,△力氏的外接圆的方程是(x- 2尸+ (y+3)2=25.经典习题例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1)/ + (y + 3)2 = 2；(2) (x + 2)2 + (y - I)2 = / (&H0)【解析】(1)圆心为(0, -3),半径为VL(2)圆心为(-2, 1),半径为|乩例2圆心在直线x - 2y - 3 = 0±, 口过水2, -3), 〃(-2, - 5),求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为C Y - a? + (y -方尸二八(2-a)2 +(-3-b)2 =r2 山条件知•(一2 —°)2+(—5 —仍2 =r2a-2 方一3 = 0a =-]解方程组得\b = -2r2 =1()■即所求的圆的方程为(x + I)2 + (y + 2r二10解法2：k AH =-,血?的中点是(0, -4),所以畀〃的中垂线方程为2% + 7 + 4 = 0 x-2y-3 = O zr. (x = -\ 2x + y + 4 = 0 y = -2I •因为圆心为(-1, -2 )又厂=J(2 + l)?+(-3十2尸=质.所以所求的圆的方程是匕+ 1尸+ (y + 2)2二10.例3已知三点水3, 2), 〃⑸ -3), C(-l, 3),以戸(2, -1)为圆心作一个圆，使•久从C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使久B. C三点中一点在圆外，一-点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是I以I、\PB\. |比1中的中间值.I PA 1=皿I PB \= V13J PC l=V25.因为|刊< PB\<\PC所以圆的半径厂=1 PB\=尼.故所求的圆的方程为匕-2F + (y + 1尸二13.。
高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程一、教学目标1、目标：（1）学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径；（2）会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力；（3）理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.2、解析：由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、预习导引1、圆的定义平面内到的距离等于（）的点的集合（轨迹）是圆，定点是（），定常是（）。
2、圆的标准方程圆心为C（a,b),半径为r 的圆的标准方程是（）三、问题引领，知识探究问题一：我们知道直线可以用方程表示,那么,圆可以用方程表示吗？如果能圆的方程怎样来求呢?.问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆？问题3：图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1问题4：我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?问题5：如果已知圆心坐标为C(a ,b ),圆的半径为r ,我们如何写出圆的方程?问题6：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？问题7：根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?问题8：确定圆的方程的方法和步骤是什么?问题9：坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?师生活动：学生思考，回答。
2022年人教A版高中数学必修二4.1.1圆的标准方程 导学案
4.1.1圆的标准方程（导学案）一、【学习目标】1．通过类比，回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探究并把握圆的标准方程。
2．通过实例，探求确定圆的标准方程的方法和步骤及圆的标准方程的简洁应用。
3．培育同学的规律思维力量，提高分析问题、解决问题的力量，养成良好的解题习惯。
4．体会数形结合思想，形成用代数方法解决几何问题的力量。
二、【重点难点】重点：圆的标准方程的推导以及依据具体条件正确求出圆的标准方程。
难点：圆的标准方程的简洁应用问题。
三、【学习新知】复习问题1：二元一次方程与直线的关系？复习问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？【A 级】探究问题1：：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？结论1：确定一个圆最基本的要素是：【B 级】探究问题2：如何用坐标法探求圆的方程（即圆上任意一点横、纵坐标间的关系）？在直角坐标系中，圆心（点）A 的位置用坐标),(b a 表示，半径r 的大小等于圆上任意点),(y x M 与圆心),(b a A 的距离，圆心为A 的圆就是集合{}r MA M P ==。
由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为r b y a x =-+-22)()( ①① 式两边平方，得222)()(r b y a x =-+-结论2：圆的标准方程圆心为),(b a A ，半径为r 。
思考：1：方程222)()(r b y a x =-+-与圆的关系是什么？2：回顾推导过程，怎样推导出圆的标准方程？ 3：当圆心为原点时，方程形式是什么？4：由圆的标准方程，能否直接求出其圆心坐标和半径？ 5：确定圆的标准方程需要什么条件？四、【合作探究】【B 级】探究问题3：点),(000y x M 在圆222r y x =+内的条件是什么？在圆222r y x =+外的条件是什么？若方程为222)()(r b y a x =-+-呢？例1：写出圆心为)3,2(-A ，半径长等于5的圆的方程，并推断点)7,5(1-M ，)1,5(2--M 是否在这个圆上。
高中数学4.1.1《圆的标准方程》学案(新人教版必修2)
第4.1.1节圆的标准方程课标解读 栏目功能：按课程标准和考试要求，分课标要求和学习目标两方面去写，通过本栏目，使教师的教学更具有针对性，学生的学习更具有目的性.编写要求：课标要求和学习目标左右栏排版单独成块，课标要求主要围绕三维目标进行展开，学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作.栏目功能：针对本节教学内容，在教材处理、教法等方面简要阐述一些有建设性的教学建议，使教师的教学目标性强、针对性强.编写要求：注意应突出启发性、过程式原则，不要写的太死，要写出最好的教学手段，怎样处理新旧知识的联系以及处理问题的方法和注意事项，不要完全照搬教参。
1．本节重点是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识；在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。
难点是用数形结合法求圆的标准方程。
2．在得到圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-之后，用“曲线与方程”的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上。
即若点M 在圆上，由上述结论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若N 的坐标适合方程，说明点N 与圆心A 的距离为r 。
3．对于圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，应强调其圆心为C(a ,b )，半径为r ，注意方程中的减号。
4．提出坐标法的思想，即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程——从几何到代数；根据坐标是否满足方程，来认识所对应的几何对象之间的关系——从代数到几何。
5．在引导学生列关于a 、b 、r 的方程或方程组时，要注意联系平面几何的知识，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。
学习策略栏目功能：说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略，以便学生更好的理解和掌握本章内容。
编写要求：注意要用条目式呈现，层次性条理性要强。
1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。
高中数学 4.1.1圆的标准方程精品教案 新人教A版必修2
（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？由学生回答，然后引入课题设置情境引入课题概念形成确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P= {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件22()()x a y b r-+-=①化简可得：(x–a)2 + (y–b)2= r2②引导学生自己证明(x–a)2 + (y–b)2 = r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.通过学生自己证明培养学生的探究能力.应用举例例1 写出圆心为A(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，2(5,1)M--是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2 + (y–b)2 = r2的关系的判断方法：（1）(x0–a)2 + (y0–b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0–a)2 + (y0–b)2= r2，点在圆上.（3）(x0–a)2 + (y0–b)2＜r2，点在圆内.引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x+ 3)2+ ( y+ 3)2=25.把M1 (5，–7)，M2(5-，–1) 的坐标代入方程(x–2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2(5-，–1)的坐标代入方程(x–2)2+ (y+3)2=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.例 2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例2 解：设所求圆的方程是(x–a)2 + (y–b)2 = r2. ①因为A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2 + (y–b)2= r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)6––4––2––––2 –––4––––55AM222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b r a b r a b r⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩ 解此方程组，得22325a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩ 所以，△ABC 的外接圆的方程是(x – 2)2 + (y +3)2=25. 例3 已知圆心为C 的圆C . 经过点A (1，1)和B (2，–2)，且圆心在l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C 的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、r 得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本P127 第1、3、4题师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点A (1，1)和B (2，–2)，由于圆心C 与A 、B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA |或|CB |.(教师板书解题过程)例3 解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(32，12-)，直线AB 的斜率k AB =2121---= –3， 因为线段AB 的垂直平分线l ′的方程是y +113()232x =-，Bm A C即x –3y –3 = 0. 圆心C 的坐标是方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解. 解此方程组，得32x y =-⎧⎨=-⎩ 所以圆心C 的坐标是(–3，–2) .圆心为C 的圆的半径长r =|AC |=22(13)(12)+++=5.所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x + 3)2 + (y +2)2=25.归纳总结 1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法. 教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系课外作业布置作业：见习案4.1第一课时学生独立完成 巩固深化备选例题例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2(a ≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2； （2）圆心为(–2，1)，半径为|a |.例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x – a )2 + (y – b )2 = r 2由条件知222222(2)(3)(2)(5)230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解方程组得21210a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2= 10 解法2：12AB k =，AB 的中点是(0，–4)， 所以AB 的中垂线方程为2x + y + 4 = 0 由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩因为圆心为(–1, –2 )又r=所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10.例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.PA PB PC||||因为|PA|＜|PB|＜|PC|所以圆的半径||==r PB故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.。
高中数学 2.4.1.1圆的标准方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
课题： .1圆的标准方程课 型：新授课教学目标： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：(一)、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：(二)、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
〔其中a 、b 、r 都是常数，r>0〕设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是〔引导学生自己列出〕P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =①化简可得：222()()x a y b r -+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
(三)、知识应用与解题研究例1．〔课本例1〕写出圆心为(2,3)A -，半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：〔1〕2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外〔2〕2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上〔3〕2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 解:例2．〔课本例2〕ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程.222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.解:例3．〔课本例3〕圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
高中数学 411圆的标准方程教案 新人教A版必修2 教案
4.1.1 圆的标准方程【教学目标】１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．【教学重难点】教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．（二）检查预习、交流展示求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．（三）合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；点评：圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4答案：(1) 圆心是(3,2),半径是5；(2) 圆心是(－４,－３),半径是7；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．例２ (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解：(1) 解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．点评：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．变式训练２：求证：以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．证明：略．（四）反馈测试导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．【板书设计】探究一：圆的标准方程1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式特点例1变式训练１例２变式训练２课堂小结【作业布置】导学案课后练习与提高学校--临清实高学科--数学编写人—X肖审稿人--周静4.１.1 圆的标准方程课前预习学案一．预习目标回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．二．预习内容1：圆的定义是怎样的？2：圆的特点是什么？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．二．学习过程探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2 +(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2 =7；(3)(x+2)2+ y 2=4例２ (1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式训练２：求证：以A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0．三．反思总结四．当堂检测１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是 （ ）A ．(1,－2),4B ．(1,－2),2C ．(－1,2),4D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．参考答案:１．Ｄ ２．22(3)2x y -+=课后练习与提高１．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（ ）Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4２．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( )Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定３．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（ ）Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．122=+y xＣ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。
高中数学人教A版必修2《4.1.1圆的标准方程》教案3
必修二4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=++-, |CD|=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2；2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. ③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.当点M(x 0,y 0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内. 应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6). ①同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).②解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路2例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m).图2解:建立坐标系如图,圆心在y轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(222222rbrb解得⎩⎨⎧=-=,5.14,5.1022rb所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.设点P2(-2,y0),由题意y0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52,解得y0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m).答：支柱A2P2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程.活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即22)0()1(-+-ba=r+1, ①由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-•-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b 解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36. 点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(-41,47). 又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22=+-,所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r ＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2221B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||B A C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A 组第2、3题.设计感想圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心,高效地完成本节的学习任务.。
高中数学 4.1 圆的方程1教案 新人教A版必修2
§2.2.1 圆的方程(1)教学目标：1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程教学重点：圆的标准方程及其运用教学难点：圆的标准方程的推导和运用教学过程：1．问题情境(1)情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？(2)问题：○1在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？○2回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？ 2．圆的标准方程(1)一般地，设点(,)P x y 是以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上的任意一点，则||CP r =，由两点间距离公式，r 即222()()x a y b r -+-=(1)；反过来，若点Q 的坐标00(,)x y 是方程(1)的解，则22200()()x a yb r -+-=r =这说明点00(,)Q x y 到点C (,)a b 的距离为r 即点Q 在以(C a 方程222()()(0)x a y b r r -+-=>叫做以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程；(2)当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为222(0)x y r r +=>；(3)特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为221x y +=．3．例题讲解例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：(1)22(2)(3)7x y -+-=； (2)22(5)(4)18x y +++=；(3)22(1)3x y ++=； (4)22144x y +=；(5)22(4)4x y -+= ．教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例2．根据下列条件，求出符合条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2,3)A -，半径长为5．(2)圆心是(2,3)C ，且经过原点．(3)已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，以线段PQ 为直径．(4)圆心在y x =-上且过两点()()2,0,0,4-．(5)以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的．(6)圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点()2,1-．(7)圆心在直线5380x y --=上，且与两坐标轴都相切．略解：(1)22(2)(3)25x y -++=；(2)22(2)(3)13x y -++=；(3)22(5)(6)10x y -+-=；(4)22(3)(3)10x y -++=；(5)22(1)(2)4x y -+-=；(6)()()22122x y -++=；(7)()()224416x y -+-=或()()22111x y -++=．注：(1)圆的标准方程有,,a b r 三个参数，因此求圆的方程需要三个独立的条件；(2)解题时注意圆的性质的应用，如垂径定理，过切点的半径垂直切线等等．例3．判断点(5,7)M -，(1)N -是否在例2(1)的圆上．解：把点(5,7)M -代入方程得：2222(52)(73)3425-+-+=+=，即点(5,7)M -的坐标适合方程，∴点(5,7)M-是这个圆上的点；把点(1)N -的坐标代入方程得：22(2)(13)1325+-+=+≠，即点(1)N -坐标不适合圆的方程，∴点N 不在这个圆上；问：点N 在圆内还是圆外呢？(圆内)结论：点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d ，半径为r ，则点在圆上()()222d r x a y b r ⇔=⇔-+-=点在圆内()()222d r x a y b r ⇔<⇔-+-<，点在圆外()()222d r x a y b r ⇔>⇔-+->． 例4．已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥将3x =代入得3 3.5y ==<=<即离中心线3m处，隧道的高度低于货车的高度因此，该货车不能驶入这个隧道；思考：是否有其他方法？析：货车截面对角线与半径比较． 思考：假设货车的最大的宽度为am略解：将x a =代入得y =m4．课堂小结(1)圆的标准方程及其表示的圆心和半径(2)建系思想和方程思想。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆市万州分水中学高中数学 4.1.1 圆的标准方程学案新人教A
版必修2
预习目标
回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．
一．预习内容
1：圆的定义是怎样的？
2：圆的特点是什么？
二．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
二．学习过程
探究一：如何建立圆的标准方程呢？
1．建系设点
2．写点集
3．列方程
4．化简方程
探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3) +(y-2) =5；
(2)(x+4) +(y+3) =7；
(3)(x+2) + y=4
例２ (1)已知两点P (4，9)和P (6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
变式训练２：求证：以A(x ，y)、B(x ，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．
三．反思总结 圆的定义 几何特征
方程特征
待定系数法法
轨迹法法
四．当堂检测
１．圆(x ＋1)2+(y －2)2
=4的圆心、半径是 （ ）
A ．(1,－2),4
B ．(1,－2),2
C ．(－1,2),4
D ．(－1,2),2
２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程
为 .
3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．
参考答案:１．Ｄ ２．2
2
(3)2x y -+=
课后练习与提高
１．圆2)1()1(2
2
=++-y x 的周长是（ ）
Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4
２．点Ｐ（5,2m ）与圆242
2=+y x 的位置关系是( )
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定
３．已知圆Ｃ与圆1)1(2
2=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（ ）
Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．12
2=+y x
Ｃ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(2
2=-+y x
４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。
则圆C 的方程为 ．
５.已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是 ．
６．赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m ，求这座圆拱桥的拱圆的方程．。