2016高中数学人教A版必修四第一章41单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性训练
《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》精品课件
解析
先考虑角的终边不在坐标轴上的情形如图设角的终边与单
位圆交于点P,则点P的坐标为 ,且 = .
点 在角的终边上,则 = + 分别过点P,Q作x轴的垂线
PM,QN,垂足为M,N.易知△ ∼△ .
所以
=
.即
学而优 ·教有方
典例剖析
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
师生互动
教师出示例2,组织学生分组讨论,确定利用定义解题的思路,然后安排一名学生上黑板演
示例2的解答过程,其他学生在练习本上完成.教师巡视,收集信息,及时评价,纠错,讲解,规
范解题过程.
教师引导学生完成“思考交流”,根据角的范围安排学生分四组讨论交流,完成填空并回
（1）画出角;
（2）求角的正弦函数值和余弦函数值.
解析
（1）如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边,顺时针旋转,
与 单 位 圆 交 于 点 P, 过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 交 x 轴 于 点 M. 于 是 =
∠ = − 即为所作的角.
（2）设点 ,则 =
答问题,集体评价,教师归纳总结.
设计意图
通过例2和思考交流,加深学生对定义的理解,培养学生的直观想象和数学运算核心素养.
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课堂小结
高中数学
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1.锐角的正弦函数和余弦函数的定义.
2.任意角的正弦函数和余弦函数的两个定义：是用单位圆上点的坐标定义;
二是用终边上除原点外任意一点的坐标的比值定义.
学而优 ·教有方
+ .
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课件
(2)在单位圆中,若角α= ,求 sin α与 cos α的值;
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α.
2.任意角的正余弦函数值的计算方法
= , =
其中 =
2 + 2
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
值、余弦函数值.
y
N
M
x
抽象概括
设任意角终边上除原点外的另外一点 , ，则角的正弦函数值和余
弦函数值分别为：
= , =
其中 =
2 + 2
学以致用
例3.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α=
解析因为 x=5,y=-12,
所以 r= 52 + (-12)2=13,
单位圆与任意角的正弦函数，余弦函数
2023.02.20情Fra bibliotek导入在初中我们是如何定义锐角的正弦值和余弦值？
P
O
M
MP
sin α
OP
OM
cos α
OP
新知探究
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角α的
人教A版高中数学必修四课件第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质
练一练
练习 2、函数 y＝3sin(π3－2x)在什么区间是减函数？ [解析]令 u＝π3－2x，则 u 是 x 的减函数． ∵y＝sinu 在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上为增函数， ∴原函数 y＝3sin(π3－2x)在区间[－2π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)上递减， ∴－π2＋2kπ≤3π－2x≤π2＋2kπ， 即－1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ(k∈Z)．
[分析] (1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导 公式化到同一单调区间上．(2)先比较 sin38π与 cos38π的大小，然后利用 正弦函数单调性求解．
练一练
[解析] (1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°， 从而－sin14°>－sin70°，即 sin194°>cos160°. (2)∵cos38π＝sinπ8，∴0<cos38π<sin38π<1. 而 y＝sinx 在(0,1)内递增， ∴sincos38π<sinsin38π.
作业布置
[分析] (1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2) 把sinx看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
典例精析
[解析] (1)∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2. ∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5. ∴函数y＝3－2cos2x，x∈R的值域为[1,5]． (2)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2. ∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0]．
人教A版高中数学必修四课件第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二).pptx
偶函数
单调递减区间： [2kπ, π 2kπ](k Z) 单调递增区间： [2kπ π, 2kπ 2π](k Z)
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1)
sin(
)
18
–
sin(
10)
解：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数.
sin( ) < sin( )
10
18
即：sin(
18
)
–
sin(
10
)>0
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
2
,
2
上是减函
答案：B
小结：
我们把正弦函数、余弦函数的 性质总结一下，列成表格为：
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
正弦函数
R
[-1,1]
2π
奇函数
单调递增区间：
[ π 2kπ, π 2kπ](k Z)
2
2
单调递减区间：
[ π 2kπ, 3π 2kπ](k Z)
2
2
余弦函数 R
[-1,1]
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
3.正弦函数的单调性
组卷网
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
…x
0
2
…
… …
2
3 2
sinx -1
0
高中数学第1章三角函数4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课件北师大版必修4
(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象 限．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余 弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y轴的右侧 时，cos α>0.
2．一般地，对于函数f(x)，如果存在 非零实数T ，对定义域内的 任意一个 x值，都有 f(x＋T)＝f(x) ，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函 数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中 最小 的一个， 称为 最小正周期 ．
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号， 然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ<kπ＋π2(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论．
[探究共研型] 利用正弦、余弦函数的周期性求值
探究1 30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？ 【提示】 相等． 探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？ 【提示】 都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角 函数定义知函数值相等．
(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．
(3)错误．fπ＋π2≠f(π)不满足任意性． 【答案】 (1)× (2)× (3)×
[小组合作型] 正弦、余弦函数的定义
已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ.
人教版A版高中数学必修4：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(6)
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
第一章 三角函数
【名师点评】 求三角函数的周期，通常有三 种方法． (1)定义法； (2)公式法，对 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx ＋φ)(A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，T＝|2ωπ|；
第一章 三角函数
1.4.2 正弦函数、余弦函数的 性质
第一章 三角函数
预习目标
学习导航
重点难点 重点：正、余弦函数的性质． 难点：利用正、余弦函数的性质，求正、 余弦函数的周期、奇偶性、单调性、最值 等问题．
第一章 三角函数
新知初探思维启动
正、余弦函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
图象
第一章 三角函数
解：(1)函数应满足 1＋sinx≠0，
∴函数 f(x)＝1＋s1i＋nx－sincxos2x的定义域为{x∈
R|x≠2kπ＋3π， k∈ Z}． 2
显然定义域不关于原点对称，
故函数
f(x)＝1＋
sinx－ cos 2 x为非奇非偶函数． 1＋sinx
第一章 三角函数
1－cosx≥0 (2)由cosx－1≥0，得 cosx＝1，故 f(x)＝0，
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
高中数学必修四文档：第一章§4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4． 2 单位圆与周期性
1． 问题导航 (1)角 α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？ (2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？ (3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？ 2． 例题导读 2．例题导读 P15 例 1.通过本例学习，学会根据角 α的终边上一点的坐标，求角 α的三角函数值． 试一试：教材 P23 习题 1－ 4 A 组 T1 你会吗？ P15 例 2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的 交点坐标． 试一试：教材 P17 练习 T4 你会吗？
1． 对正弦函数、余弦函数定义的理解
(1)定义中， α是一个任意角，同时它也可以是一个实数 (弧度数 )． (2)角 α的终边与单位圆 O 交于点 P(u， v)，实际上给出了两个对应关系，即 实数 α(弧度 )对应于点 P 的纵坐标 v―对―应→正弦
பைடு நூலகம்对应
实数 α(弧度 )对应于点 P 的横坐标 u――→余弦
1． 任意角的正弦、余弦函数的定义
如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角
α，使角 α的
顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点
P(u， v)，我们把
点 P 的纵坐标 v 定义为角 α的正弦函数，记作 v＝sin_α；点 P 的横坐标 u 定义为角 α的余
2． 正弦函数、余弦函数在各象限的符号
象限 第一象
三角函数
限
第二 象限
第三 第四 象限 象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》
终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变 化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出 现其理论依据是什么？
答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的
公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成
立.
例1 求下列三角函数的周期.
(1)y＝3cos x，x∈R； 解 ∵3cos(x＋2π)＝3cos x， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π， 函数y＝3cos x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝3cos x，x∈R的周期是2π.
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
(2)y＝sin 2x，x∈R；
解 ∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin 2x， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π， 函数y＝sin 2x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π.
(3)y＝2sin12x－π6，x∈R. 解 ∵2sin12x＋4π－π6＝2sin12x－π6＋2π＝2sin12x－π6，
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
高一数学人教A版必修4第一章三角函数.1正弦函数、余弦函数的图象PPT全文课件(18ppt)
课堂小结
1.你能谈谈作正弦函数在
图象的步骤吗？
2.“五点法”的作图步骤？有什么优缺点？
3.正弦曲线与余弦曲线有什么异同？
2020-2021学年高一数学【人教A版必 修】4第 一章三 角函数 .1正弦 函数、 余弦函 数的图 象PPT 全文课 件（18p pt）【 完美课 件】
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1.
.
.
.
O -1
π
2
3π 2
2
x
思考：从图象变换的角度，你能得到这两 个函数图像的联系吗
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必修四 第一章 三 角 函 数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
复习引入
复习引入
复习：三角函数线
正弦函数 sinα=MP 正弦线MP
y
PT
α
O MAx
注意：三角 函数线是有
向线段！
新知探究
探究：正弦函数
的图像
1.用描点法作出函数 y sinx,x [0
(2)描点并用光滑的曲线连接. y
1
2π
O
π
x
-1
3
2
2
思考：从图象变换的角度，你能得到这两个函 数图像的联系吗
单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义
永丰中学 陈保进
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
c a
O bM
a
sin c
b
cos c
a
tan b
新知学习
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研
究锐角 的正弦函数、余弦函数.
sin MP v,
OP
cos OM u,
OP
y P(u, v)
答案：③④
探究点一 利用周期求值 例 1 求下列角的三角函数值．
(1)cos(－11005500o°)；(2)cos139π；(3)sin(－341π)．
解 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与 30°的角终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝ 23；
OM1 x
能否推广到任意角？
任意角的三角函数定义： P(u,v) y
如图，设α是一个任意 角，它的终边与单位圆 交于点P(u,v)，那么：
MO
sinα=v，v叫作α的正弦函数
1x
纵坐标
cosα=u，u叫作α的余弦函数
横坐标
用x,y表示自变量，因变量，则有：
正弦函数：y sin x 余弦函数： y cos x
的正弦、余弦和正切值 .
例4.已知角 终边上一点P(1,m), cos 5 ，求 sin
5
变式.已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限.
变式.已知角的终边上一点P3a,4aaR且a 0，
求角的sin, cos, tan的值.
随堂练习
1. 若角 的终边过点 Pa，8 ，且 cos 3 ，
果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R
单位圆与任意角的正余弦函数定义
【探究4】 正弦、余弦函数值在各象限的符号
上 正 弦 右 余 弦
【知识梳理】
正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余弦函数在各象限的符号
三角函数
象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α cos α
+
+
—
—
+
—
—
+
【应用】 特殊角的正、余弦函数值
若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？
sin y y y
r1
cos x x x
r1
【探究2】 单位圆与锐角正、余弦函数的关系
y
1 P(u,v)
sin v v
1
O
x
cos u u
1
【探究3】 单位圆与任意角正、余弦函数的定义
任给角
终边OP
点P
y
P
v
uO
x
v sin
解： sin 0
cos -1
y
-1
O
x
【作业】 求特殊角的正、余弦函数值(课本第16页表格）
0 2 5 7 4 3 5 11 2
6 4 32 36
6 32 3 6
sin
cos
思维导图
锐角的正、 余弦函数
r O
P(x,y)
任意角的正、 余弦函数
v sin
u cos
上正弦 右余弦
A
α
C
【探究1】用坐标来表示锐角的正弦函数和余弦函数
角α的正弦、余弦分别等于什么？
sin y
r
cos x
人教A版高中数学教材目录(全)
人教A版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1 ．1 集合2 ．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱2.5等比数列的前n项和1 ．2 函数及其表示1 ．3 函数的基本性质第三章概率3 ．1 随机事件的概率第三章不等式第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2 ．2 对数函数2 ．3 幂函数阅读与思考天气变化的认识过程3 ．2 古典概型3 ．3 几何概型3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法第三章函数的应用3．1 函数与方程3 ．2 函数模型及其应用必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1 2 ．任意角的三角函数3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域1 ．3 三角函数的诱导公式必修21 ．4 三角函数的图象与性质1 ．5 函数 y=Asin （ωx+ψ） 3.3.2 简单的线性规划问题第一章空间几何体1 ．6 三角函数模型的简单应1 ．1 空间几何体的结构用1 ．2 空间几何体的三视图和 3.4 基本不等式直观图1 ．3 空间几何体的表面积与第二章平面向量体积 2 ．1 平面向量的实际背景及第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2 ．2 直线、平面平行的判定基本概念2 ．2 平面向量的线性运算2 ．3 平面向量的基本定理及坐标表示2 4 ．平面向量的数量积2 5 ．平面向量应用举例选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系及其性质2 ．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2充分条件与必要条件3 ．2 简单的三角恒等变换第三章直线与方程1.3简单的逻辑联结词3．1 直线的倾斜角与斜率3 ．2 直线的方程必修 51.4全称量词与存在量词 3 ．3 直线的交点坐标与距离公式第一章解三角形必修31.1正弦定理和余弦定理第二章圆锥曲线与第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图 1.2应用举例方程1 ．2 基本算法语句1 ．3 算法案例阅读与思考割圆术1.3实习作业2.1椭圆2.2双曲线第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案第二章数列2.3抛物线例阅读与思考广告中数据的可靠性2.1数列的概念与简单表示法用第三章导数及其应阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2等差数列2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的2.3等差数列的前n 项和质量控制图2.4等比数列3.1变化率与导数3.2导数的计算1人教A版高中数学目录选修 2-12.6导数在研究函数中 1.3 导数在研究函数的应用中的应用第一章常用逻辑用2.7生活中的优化问题 1.4 生活中的优化问语举例题举例3.4命题及其关系3.3.2定积分的概念1.5充分条件与必要选修1-21.4微积分基本定理条件第一章统计案例 1.7 定积分的简单应1.3 简单的逻辑联结用词1．1 回归分析的基本思想及其初步应用2.4全称量词与存在量词第二章推理与证明 1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用2.5合情推理与演绎推理第二章圆锥曲线与方程第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.1 曲线与方程2．1 合情推理与演绎证明 2.3 数学归纳法2.2 椭圆2．2 直接证明与间接2.3 双曲线证明3.3抛物线第三章数系的扩充与复数的引入第三章数系的扩充 3.1 数系的扩充和复与复数的引入数的概念第三章空间向量与立体几何3．1 数系的扩充和复数 3.2 复数代数形式的的概念四则运算3.1空间向量及其运算3．2 复数代数形式的四则运算3.2立体几何中的向选修2-3 量方法第一章计数原理第四章框图选修 2-21.1分类加法计数原4．1 流程图理与分步乘法计数原理第一章导数及其应4．2 结构图1.2 排列与组合用1.3二项式定理 1.1 变化率与导数1.2导数的计算2人教A版高中数学目录第二章随机变量及第二讲直线与圆的其分布位置关系选修 3-22.8离散型随机变量第三讲圆锥曲线性及其分布列质的探讨选修 3-3 2.2 二项分布及其应用选修4-2 第一讲从欧氏几何3.5离散型随机变量看球面的均值与方差第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲球面上的距3.6正态分布离和角第二讲变换的复合第三章统计案例与二阶矩阵的乘法第三讲球面上的基本图形3.3.3回归分析的基本第三讲逆变换与逆思想及其初步应用矩阵第四讲球面三角形3.3.4独立性检验的基第五讲球面三角形第四讲变换的不变本思想及其初步应用量与矩阵的特征向量的全等第六讲球面多边形与欧拉公式选修3-1 选修4-3第七讲球面三角形的第一讲早期的算术边角关系选修4-4 与几何第八讲欧氏几何与第一讲坐标系第二讲古希腊数学非欧几何第二讲参数方程第三讲中国古代数学瑰宝选修 3-4第四讲平面解析几选修4-5 何的产生第一讲平面图形的对称群第一讲不等式和绝第五讲微积分的诞对值不等式生第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式第六讲近代数学两的基本方法巨星第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式第七讲千古谜题与排序不等式第八讲对无穷的深第四讲数学归纳法入思考选修 4-1证明不等式第九讲中国现代数第一讲相似三角形学的开拓与发展的判定及有关性质3人教 A 版高中数学目录2 ．4 向量的应用 选修 4-6第二章 函数 2 ．1 函数第一讲 整数的整除2 ．2 一次函数和二次函数 2 ．3 函数的应用（Ⅰ） 第三章 三角恒等变换3．1 和角公式2 ．4 函数与方程3 ．2 倍角公式和半角公式 第二讲 同余与同余 3 ．3 三角函数的积化和差与方程和差化积 第三章 基本初等函数 （Ⅰ） 3 ．1 指数与指数函数 程第三讲 一次不定方3 ．2 对数与对数函数 3 ．3 幂函数 3 ．4 函数的应用（Ⅱ） 必修五 第一章 解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理第四讲 数伦在密码中的应用必修二第一章 立体几何初步1 ．2 应用举例 第二章 数列1．1 空间几何体 2 ．1 数列 1 ．2 点、线、面之间的位置 2 ．2 等差数列 关系 2 ．3 等比数列 选修 4-7第三章 不等式 第二章 平面解析几何初步第一讲 优选法 2 ．1 平面真角坐标系中的基 本公式3 ．1 不等关系与不等式 3 ．2 均值不等式第二讲试验设计初2 ．2 直线方程 2 ．3 圆的方程3 ．3 一元二次不等式及其解 法 步3 ．4 不等式的实际应用 2 ．4 空间直角坐标系3 ．5 二元一次不等式（组） 与简单线性规划问题必修三选修 4-8选修 4-9第一章 算法初步1．1 算法与程序框图1 ．2 基本算法语句1 ．3 中国古代数学中的算法 案例选修 1－1 第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词 1 ．2 基本逻辑联结词1 ．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第一讲 风险与决策的基本概念第二章 统计 2．1 随机抽样2 ．2 用样本估计总体2 ．3 变量的相关性第二章 圆锥曲线与方程2．1 椭圆2 ．2 双曲线2 ．3 抛物线第二讲 决策树方法第三章 概率 3 1 ． 随机现象第三讲 风险型决策3 2第三章 导数及其应用3 ．1 导数3 ．2 导数的运算 3 ．3 导数的应用WORD格式．古典概型的敏感性分析33．随机数的含义与应用34．概率的应用第四讲马尔可夫型决策简介必修四选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第一章基本初等函( Ⅱ)高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1 ．2 集合之间的关系与运算1 ．1 任意角的概念与弧度制1 ．2 任意角的三角函数1 ．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2 ．3 平面向量的数量积第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1 2 ．基本不等式4WORD格式人教A版高中数学目录1 ．3 绝对值不等式的解法1 ．4 绝对值的三角不等式1 ．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2 ．2 排序不等式2 ．3 平均值不等式( 选学)2 ．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3 ．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式5。
高中数学第一章三角函数1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件2北师大必修4
2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明 (1)根据正弦、余弦函数的定义可知,正弦、余弦函数在各象限的符号 是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的.横坐标的正负确定余 弦函数的符号,纵坐标的正负确定正弦函数的符号. (2)判断符号,可直接应用角所在的象限进行判断.
【题型探究】 类型一 任意角的正弦函数、余弦函数
2.在直角坐标系xOy中,点A是单位圆O与x轴正半轴的交点,射线OP交 单位圆O于点P,若∠AOP=θ ,则点P的坐标是 A.(cosθ ,sinθ ) C.(sinθ ,cosθ ) ( )
B.(-cosθ ,sinθ ) D.(-sinθ ,cosθ )
【解析】选A.由正余弦函数在单位圆中的定义知点P的坐标是(cosθ , sinθ ).
3 . 2 2 8 62 10,
1 3 a 2 ( )2 1，所以a . 2 2
故 sin 6 3 ,cos 8 4 , 10 5 10 5
故2sinα+cosα= 2 . 5
【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α 的终边在直线上求α 的三角函数值时,常用的解题方法有 以下两种: 方法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数 的定义求出相应的三角函数值.
1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函
数的定义
【知识提炼】 1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数 v
u
全体实数
全体实数
2.任意角的正弦函数、余弦函数 (1)前提:设角α 的顶点是坐标系的原点,始边与x轴的非负半轴重合, 角α 终边上任一点Q(r x 2 y2 , 且sin ___ r ，cos ___. r
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活学巧练跟踪验证
[A、基础达标]
1、cos错谋!的值为( )
A、-错误！ B.错误！
C、扌
D、i错误！
解析:选D、-yn的终边与错误！rr的终边重合，故cos错误!=cos错误！= 一错误!、
2、若a的终边过点(2sin 30°，一2cos30° ),则sin。
的值为( )
A、错误！ B. 一错误！
C、一错误！
D、-错误！
解析:选C.因为sin 30° =错误！，cos 30° =错误！，
所以a的终边过点(1, 一错谋！)，所以厂=错误！=2, 所以sin a=错误!= 一错误!，故选C、
3、尸错误! +错误!的值域为()
A、｛2,0｝ B. ｛一2, 0｝
C、｛2-2｝
D、｛2, 一2.0｝
解析：选D、x为第一象限角吋,y=2\x为第二象限角时』=0： x为第三象限角时，y =—2丸为第四象限角时,)=0:
所以值域为｛2, -2, 0｝、
4、若点P的坐标为(cos 2 015° , sin 2 015° )，则点P在( )
A、第一象限 B.第二象限
C、第三象限
D、第四象限
解析：选C、因为2015° =5X360° +215° ,所以角2 015°的终边在第三象限，所以cos 2 015° <0, sin 2 015° <0,所以点P在第三象限、
5、有下列命题：
①存在函数f (x)^义域中的某个自变M AC使f (xo+T) =f (xo),则f(x)为周期函数：
②存在实数7：使得对f (x)泄义域内的任意一个上都满足Ax+T) =f C则心) 为周期函数；
③周期函数的周期就是唯一的、
其中，正确命题的个数就是()
A、0 B. 1
C、 2
D、 3
解析：选A、①由周期函数的定义，可知f (A +D =/ (x)对定艾域内的任意一个A都成立，且TH0,故不正确；
②由周期函数的定狡可知TH0,故不正确；
③若T为周期，则.心+2门=/[(x+70 +门=心+卩)=/ (x),所以2T也就是周期，故不正确、
6、已知角a为第二象限角，贝I]错误!化简的结果为________ > ______________
解析：因为角a为第二象限角，故sin a>0, cos a <0,因此y] (sin a—cos a2)= I sin a—cos
al=sin a—cos a.
答案：sin o—cos a
7、若a就是第三象限角，则sin(cos 〃)・cos (sin a) _______ 0、
解析：因为a就是第三象限角，
所以一lvcos a<0, — 1 <sin a〈0、
所以sin(cos a) <0, cos(sin a) >0,
所以sin(cos a)-cos (sin a )〈0、
答案:<
8、已知角&的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4, y)就是角&终边上一
点，且sin 〃 = 一错误!，则y=______ 、
解析/=错误!=错误!，且sin & =—错误!，所以sin 8=错误!=错误!= 一错误!，)<0,所以&为第四象限角，解得〉，=一8、
答案：-8
9、已知角a的终边过点P(—4加，3加)伽工0),求2sin ”+cosa的值、解：①当加>0时，
点P在第二象限，10PI = 5g
有2sin a+cos a =错误！ +错误!=错误！：
②当加V0吋，点P在第四象限，10戸丨=一5加，
有2sin a+cos a =错误！ +错误！= 一错误！、
10、已知函数Ax)的左义域就是R对任意实数；v,满足八兀+2)=—心人当圧［0, 4) 时
/(A)=X2+ 2¥x
t
(1)求证:函数沧)就是周期函数；
(2)求/(一7)、
解：(1)证明:对任意实数x,有•心+4) =/［(x+2)+2］ =—心+2) = —［一/U)］=/(切、所以函数夬切就是周期函数、
(2)由(1)知，函数f (%)的周期为4,
所以/ (一7)=/(—7+2X4)=/(l)、
因为当xG［0,4)吋，/ (A) =/+2丫，
所以f (-7)=/ (1) =3、
IB、能力提升］
1、已知点Hsin geos在第二象限，则角a的终边在( )
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
解析:选D、因为P(sin a, cos a)在第二象限,
所以错误！
由sin a〈0,得a在第三或第四象限或y轴非正半轴上，
由cos a>0,得a在第一或第四象限或x轴非负半轴上，
所以a就是第四象限角.
2、已知角a终边经过点P( —8加，—6cos 60° )且cos。
= ~错误!，则加的值为( )
A、错误！ B.-错误！
C、一错误！
D、错谋！
解析:选A、点P的坐标可化为(一8心一3),
由广=错误！=错误！，
由三角函数的定狡知cos Q=错误！=错误！= 一错误！、
即100川=64加?+9,解得加=±错误！，
当加=—［吋，点、P的坐标为(4, —3)，则cos a为正，不符合题意，故加=错误匚
3、已知泄义在R上的函数.心)就是以2为周期的奇函数，则方程心)=0在［一2,2］上至少有________ 个实数根、
解析：因为函数7U)就是定义在R上的奇函数，
所以f (0) =0,又因为函数f (x)以2为周期，
所以f (2)=A-2) =/(0)=0,且错误！
解得•代一1) =/(1)=0,故方程f (x)=0在［一2, 2］上至少有5个实数根、答案：5
4、设。
就是第二象限角，且Icos错误!l=-cos错误!，则角错误!就是第 __________ 象限角、
解析:因为角a就是第二象限角，
所以2«TT+错误!va〈2kn + Ti g®,
所以E+错误!v错误！〈5+错误！UGZ),
当k为偶数时,错误!就是第一象限角；
当k为奇数时，错误!就是第三象限角，
又因为错误! = -cos错误!，
即cos错误！<0,
所以错误!就是第三象限角、
答案：三
5、已知角a的终边过点(3加一9,加+2)，且cos a<0, sin &>0,求加的取值范围. 解：因为
cos a<0,
所以a的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上、
又因为sin a>09
所以a的终边在第一或第二象限，或y轴的非负半轴上、
所以a就是第二象限角，
即点(3/n—9,加+ 2)在第二象限、
所以错误！
解得一2</“〈3,
即加的取值范围就是(一2, 3).
6、(选做题)已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合•错误!= 一错误!，且lg (cos有意义、
(1)试判断角a所在象限；
(2)若角。
的终边与单位圆相交于点M错误!，求加的值及sin "的值.
解:⑴由一=一- 可知sin a<0,所以。
就是第三或第四象限角或终边在y轴
I sin a\ sin a
非正半轴上的角、
由lg(cos a)有意艾可知cos a>09所以a就是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角、
综上可知角a就是第四象限角.
(2)因为点M错误!在单位圆上，
所以错误!错谋！+川=1,解得加=±错误！、
又a就是第四象限角，故加〈0,从而加=一错误！、
由正弦函数的定狡可知sin a =—错谋！、。