关于特殊函数的不定积分课件
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《不定积分教学》课件
《不定积分教学》PPT课 件
这是一份关于不定积分教学的精彩课件，旨在向大家详细介绍不定积分的概 念、常见公式以及各种积分技巧和应用。让我们一起探索不定积分的奥秘！
I. 介绍不定积分
什么是不定积分？为什么它在数学和实际应用中如此重要？在这一部分中，我们将深入研究不定积分的1
线性函数的积分
学习对一次函数进行积分运算的基本方法和公式。
2
常数函数的积分
研究对常数函数进行积分的简便技巧和运算步骤。
3
多项式函数的积分
探索多项式函数在不定积分中的运算特点和求解方法。
IV. 分部积分法
1
分部积分法的原理
理解分部积分法的基本原理和概念，
常用分部积分公式
2
并掌握应用技巧。
学习常见函数的分部积分公式和运算
步骤。
3
应用实例
通过实际问题的分部积分求解，加深 对这一方法的理解和掌握。
V. 替换积分变量法
1 变量替换的思路
介绍使用替换变量法解决复杂积分问题的基本思路。
2 常见变量替换技巧
学习变量替换法的常见技巧和应用场景。
3 求解实际问题
通过实际问题的例子，练习和巩固替换积分变量的方法。
3
高级积分方法
介绍高级积分方法，如换元积分法、特殊曲线的积分等。
基本函数积分表
e^x, sin(x), cos(x), ln(x)等常见函数的积分公 式详解。
三角函数积分法则
sin(x), cos(x), tan(x)等三角函数的积分运算 规则和技巧。
幂函数积分法则
x^n的不定积分的计算方法，包括n不等于-1 和n等于-1两种情况。
常用特殊函数积分
学习Gamma函数、Beta函数等特殊函数的 积分方法和应用。
这是一份关于不定积分教学的精彩课件，旨在向大家详细介绍不定积分的概 念、常见公式以及各种积分技巧和应用。让我们一起探索不定积分的奥秘！
I. 介绍不定积分
什么是不定积分？为什么它在数学和实际应用中如此重要？在这一部分中，我们将深入研究不定积分的1
线性函数的积分
学习对一次函数进行积分运算的基本方法和公式。
2
常数函数的积分
研究对常数函数进行积分的简便技巧和运算步骤。
3
多项式函数的积分
探索多项式函数在不定积分中的运算特点和求解方法。
IV. 分部积分法
1
分部积分法的原理
理解分部积分法的基本原理和概念，
常用分部积分公式
2
并掌握应用技巧。
学习常见函数的分部积分公式和运算
步骤。
3
应用实例
通过实际问题的分部积分求解，加深 对这一方法的理解和掌握。
V. 替换积分变量法
1 变量替换的思路
介绍使用替换变量法解决复杂积分问题的基本思路。
2 常见变量替换技巧
学习变量替换法的常见技巧和应用场景。
3 求解实际问题
通过实际问题的例子，练习和巩固替换积分变量的方法。
3
高级积分方法
介绍高级积分方法，如换元积分法、特殊曲线的积分等。
基本函数积分表
e^x, sin(x), cos(x), ln(x)等常见函数的积分公 式详解。
三角函数积分法则
sin(x), cos(x), tan(x)等三角函数的积分运算 规则和技巧。
幂函数积分法则
x^n的不定积分的计算方法，包括n不等于-1 和n等于-1两种情况。
常用特殊函数积分
学习Gamma函数、Beta函数等特殊函数的 积分方法和应用。
不定积分 ppt
x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,
x11 x11
dx
t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C
(1 x ) 102
(1 x ) 101
C
解二
x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx
x)
dx
(1
101
100
x)
dx
(1 x ) 102
102
(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C
1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一
ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx
dx 2 co s
2
d x 2
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法
高等数学不定积分的计算教学ppt
dx.
6x 1
3(2x 1) 4
(2x 1)10 dx (2x 1)10 dx
3
4
( (2x
1)9
(2x
1)10
)dx
1
2
3d(2 (2x
x
1) 1)9
1 2
4d(2x 1) (2 x 1)10
3 ( 1) (2x 1)8 2 ( 1) (2x 1)9 C
例8
计算（5）
2x 1 x2 4 x 5 dx.
例8
计算（6）
6x 1 (2 x 1)10
dx.
例8
计算（7）
1
x
x
dx.
例8
计算（8）
(1
x x)3
dx.
例8
计算（1）
1 x2 a2 dx;
x2
1
a2 dx
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x a) x a
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
f
(arctan
x)d(arctan
x)
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1
原式
1 x2 dx d(arctan x)
(2
arctan
x)2
tan
x
1
sec
d(tan x
x
sec
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分
（11） csc x cot xdx csc x C
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
4.4 几种特殊函数的不定积分
当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不 定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不 定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不 定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不 定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解 设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x
43某些特殊类型函数的不定积分
x3
x5 x
2
x2
1
2x2 x 2 x3 x 2
由代数学定理: Q(x)=b0(x-a) …(x-b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点: 将有理函数化为最简分式之和.
部分分式分解的步骤： 第一步 对分母 Q(x) 在实系数内作标准分解：
Q(x) (x a1)1 (x as )s (x2 p1x q1)1 (x2 pt x qt )t
则可令 t tan x , 此时,
sin 2
x
1
t2 t
2
,
cos x
1
1 t
2
,
dx
1
d
t t
2
.
(2) 若 R(sin x , cos x) R(sin x , cos x) , 则可令 t cos x .
(3) 若 R(sin x , cos x) R(sin x , cos x) , 则可令 t sin x . (4) 运用三角函数恒等式可将一些三角函数有理式的积分化
sin2 x
dx
(
csc2
x
cos x sin2 x
csc
x
cos sin
x x
)d
x
cot x 1 ln | csc x cot x | ln | sin x | C sin x
1 cos x | 1 cos x | sin x ln sin2 x C .
三、简单无理函数的积分
x
6
. 3
例
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
高等数学(第二版)上册课件：某些特殊类型的不定积分
A1
x a
A2
x a2
x
Ak 1
a k 1
x
Ak
ak
通过待定系数法即可确定 A1, A2 Ak (3)如果 Q x分解后含有质因式 x2 px q，则部分分式
必然含有一项
Ax B x2 px q
，待定系数法求出
A, B
即可；
*(4)如果 Q x 分解后含有质因式 x2 px q s，部分分
x3 x2 1 x2 1
x 1
x 1
设
R
x
Px Qx
是真分式，即
n
m
，则在实数范围内，可以
将分母
Q x因式分解成为若干
x
ak
因式与
x2
px
s
q
p2 4q 0 因式的乘积．
(1)如果分母Q x 含有单因式 A ，通过待定系数法即
xa
可确定 A
(2)如果分母Q x含有重因式x ak ，则部分分式相应含 有 k 项之和：
分析 同上题类似，只不过被积函数既有正弦函数又
有余弦函数，需要将它们都化作只含有 u 的有理函数.
解 设 u tan x ，则 2
sin
x
1
2u u
2
cos
x
1 1
u u
2 2
代入原式可得：
dx
2 1 u2
du
1
1
2
dx
1 sin x cosx
1
1
2u u
2
1 1
u u
2 2
1 u2
du
等式右边通分，两端分子相等
A Bx 5A 2B 2x 3
两端比较系数，得： 5 AA
《不定积分总复习》PPT课件
(1)n (1)n1
v v
特别: 当 u 为 n 次多项式时, u(n1) 0,计算大为简便 .
8
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx
1( 32 )来自(2 3x da x )2 x dx
a
x
ln
a
dx
1
ln
2 3
d (32) x
1
(
2 3
)2
16
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例8. 求
解: 设 F (x) x 1 x 1 , x 1
1 x , x 1
则
1 2
x2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
A 2u
B C
u 1 u 1
24
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例14. 求 I
dx
(a b k )
sin(x a) sin(x b)
解:
I
=
1 sin(a b)
sin[(x a) (x b)] d sin(x a) sin(x b)
x
1 sin(a
b)
sin(x
a)cos(x b) cos(x a)sin(x sin(x a) sin(x b)
2
(6) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
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上 的 质 因 式 分 解 式 为 :
Q ( x ) b 0 ( x a ) ( x 2 p q x ) ,(p2 4q0)
,为正整数 , 则P(x) 可唯一的分解:为
Q(x)
Q ( x ) b 0 ( x a ) ( x 2 p q x ) ,(p2 4q0)
P(x) Q(x)
(
x
A
1
a
)
A2 ( x a)1
(x
A
个常数待定
a )1
(
M1xN1 x2 px q
)
M2xN2 (x2 pxq)1
MxN x2 pxq
2个常数待定
其中Ai诸 ,Mi,Ni都是常 ,可由数 待定系数法确定 , 式 中 每 个 分 式P叫(x做 )的部分分式(最简分式).
Q(x)
用此定理有理函数的积分就易计算了. 且由下面的例题可看出:
有理函数
多项式 + 真分式
相除
分解
若干部分分式之和
多项式 真分式
例
x
3 x2
x
1
1
x
1 x2 1
多项式的积分容易计算. 只讨论:
真分式的积分.
对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理 起着关键性的作用. 定理 任何有理真P分 (x)式 均可表为有限
Q(x)
部分分式的和 . 如果分母多Q(项 x)在 式实数域
(1)
A dx; xa
(2)(xAa)ndx;
(3)x2AxpxBqdx;
其中A,B, a, p, q都为常数, n为大于1的正整数.
并设 p2 4q0.
二、简单无理函数的积分
类型 R(x,nax b) R(x, nax b )
t
cx e
t
解决方法 作代换去掉根号.
例
1 x
1 x dx x
解
令
1 x x
取 x 1, 4 A B C 1B1,C2.
x(
1 x
1)2
1 x
(
2 x
x 1)2
1x(x11)2
1. x1
x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln|x|1 ln|x1|C. x1
注 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列
几种典型部分分式的积分之和
dx
,
dx ,
1 x4
1x3dx,1 k 2 s2 ix 分析等领域
有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.
一、有理函数的积分
有理函数的定义
两个多项式的商表示的函数
P(x) Q(x)
a0xna1xn1 an b0xmb 1xm 1 bm
x
2 2x
2u 1 u2
2
2
1 tan 2 x
cos x
2 sec 2 x
1 1
tan tan
2 2
x
2 x
1 u2 1 u2
2
2
sinx12uu2 ,
cosx11uu22 ,
2 dx1u2
du
R(six,n cox)sdx R1 2uu2,11 u u2212u2du
x3 dx 5x6
x52x63dx
5x1 2dx6x1 3dx
5ln x26ln x3C
例 求
1 x(x 1)2dx.
解
x(
1 x 1 )2
A x
(Bx x1)C2 ,
二次质因式
1 A (x 1 )2 B x 2 C x ( 1 )
代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x0, A1 取 x1, BC1
t,
1 x x
t2,
x
t
2
1
1
,
2tdt
dx (t2 1)2
原式=
(t21)t(t22t1)2dt 2
t 2dt t2 1
21t211dt2tlntt 11C回代
21 xxln x 1 xx1 2 C
例
xex
dx ex 1
解 令 ex1t, ext21, xlnt2(1),
例 求
x3
x2
dx 5x6
解
x2
x3 5x
6
x3 (x2)(x3)
A x2
x
B
3
因式分解 x 3 A (x 3 ) B (x 2 )
x 3 (A B )x (3 A 2 B )
比较系数
A(3A B21,B)3,
A B
5 6
x2
x3 5 6 5x6 x2 x3
x2
其中m、n都是非负整;数
a0,a1, an及 b0,b1, bm都是,且 实 a0数 0,b00.
假定分子与分母之间没有公因式
(1) nm , 真分式;
(2) nm , 假分式.
Q P ( (x x ) )b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
dx t22t 1dt
原式
(t2
1)ln(t2 1) t
2t t2
1
dt
2lnt2(1)dt 分部积分
uv
2tlnt2(1)2 t12tt2dt
2tlnt2(1)4t 4arct tC a回n代
2 x e x 1 4 e x 1 4 are x c 1 tC a
三、三角函数有理式的积分
有理函数的积分是初等函数.
注 系数的确定,一般有三种方法: (1) 等式两边同次幂系数相等; (2) 赋值; (3) 求导与赋值结合使用.
例 求
x3 x1 假分式 x2 1 dx
解 由多项式除法,有
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
原
式 xdxxd 2x1
x2 2
arc
taxnC
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
对 R (sx i,n cox)sdx. 由三角学知识
可用 tan x 表示. 2
可通过变换
u
tan
x 2
化为有理函数的积分.
事实上,由
u
tan
x 2
半角变换(或称万能代换）
则
x2arctau,ndx
2 1 u2
du
sin x2sin xcoxs 22
2 tan sec 2
x
2 x
2 tan 1 tan
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数. 一般记为 R(sx i,n cox)s
如 1sinx ,
1
,
1.
sinx(1cosx) sinxtanx 5 4sin2x
对于三角函数有理式的积分, 曾用换元法
和分部积分法讨论过一些. 是否任何一个三角函数有理式的积分都有
原函数 回答是肯定的.
关于特殊函数的不 定积分
第三节 几种特殊函数的 不定积分
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分
三、简单无理函数的积分
基本积分法: 直接积分法; 换元积分法;
分部积分法.
求导 初等函数
初等函数
积分
例如,下列函数积分都不是初等函数
ex2dx,
sin xdx, x
sinx2dx,
1 ln x
Q ( x ) b 0 ( x a ) ( x 2 p q x ) ,(p2 4q0)
,为正整数 , 则P(x) 可唯一的分解:为
Q(x)
Q ( x ) b 0 ( x a ) ( x 2 p q x ) ,(p2 4q0)
P(x) Q(x)
(
x
A
1
a
)
A2 ( x a)1
(x
A
个常数待定
a )1
(
M1xN1 x2 px q
)
M2xN2 (x2 pxq)1
MxN x2 pxq
2个常数待定
其中Ai诸 ,Mi,Ni都是常 ,可由数 待定系数法确定 , 式 中 每 个 分 式P叫(x做 )的部分分式(最简分式).
Q(x)
用此定理有理函数的积分就易计算了. 且由下面的例题可看出:
有理函数
多项式 + 真分式
相除
分解
若干部分分式之和
多项式 真分式
例
x
3 x2
x
1
1
x
1 x2 1
多项式的积分容易计算. 只讨论:
真分式的积分.
对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理 起着关键性的作用. 定理 任何有理真P分 (x)式 均可表为有限
Q(x)
部分分式的和 . 如果分母多Q(项 x)在 式实数域
(1)
A dx; xa
(2)(xAa)ndx;
(3)x2AxpxBqdx;
其中A,B, a, p, q都为常数, n为大于1的正整数.
并设 p2 4q0.
二、简单无理函数的积分
类型 R(x,nax b) R(x, nax b )
t
cx e
t
解决方法 作代换去掉根号.
例
1 x
1 x dx x
解
令
1 x x
取 x 1, 4 A B C 1B1,C2.
x(
1 x
1)2
1 x
(
2 x
x 1)2
1x(x11)2
1. x1
x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln|x|1 ln|x1|C. x1
注 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列
几种典型部分分式的积分之和
dx
,
dx ,
1 x4
1x3dx,1 k 2 s2 ix 分析等领域
有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.
一、有理函数的积分
有理函数的定义
两个多项式的商表示的函数
P(x) Q(x)
a0xna1xn1 an b0xmb 1xm 1 bm
x
2 2x
2u 1 u2
2
2
1 tan 2 x
cos x
2 sec 2 x
1 1
tan tan
2 2
x
2 x
1 u2 1 u2
2
2
sinx12uu2 ,
cosx11uu22 ,
2 dx1u2
du
R(six,n cox)sdx R1 2uu2,11 u u2212u2du
x3 dx 5x6
x52x63dx
5x1 2dx6x1 3dx
5ln x26ln x3C
例 求
1 x(x 1)2dx.
解
x(
1 x 1 )2
A x
(Bx x1)C2 ,
二次质因式
1 A (x 1 )2 B x 2 C x ( 1 )
代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x0, A1 取 x1, BC1
t,
1 x x
t2,
x
t
2
1
1
,
2tdt
dx (t2 1)2
原式=
(t21)t(t22t1)2dt 2
t 2dt t2 1
21t211dt2tlntt 11C回代
21 xxln x 1 xx1 2 C
例
xex
dx ex 1
解 令 ex1t, ext21, xlnt2(1),
例 求
x3
x2
dx 5x6
解
x2
x3 5x
6
x3 (x2)(x3)
A x2
x
B
3
因式分解 x 3 A (x 3 ) B (x 2 )
x 3 (A B )x (3 A 2 B )
比较系数
A(3A B21,B)3,
A B
5 6
x2
x3 5 6 5x6 x2 x3
x2
其中m、n都是非负整;数
a0,a1, an及 b0,b1, bm都是,且 实 a0数 0,b00.
假定分子与分母之间没有公因式
(1) nm , 真分式;
(2) nm , 假分式.
Q P ( (x x ) )b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
dx t22t 1dt
原式
(t2
1)ln(t2 1) t
2t t2
1
dt
2lnt2(1)dt 分部积分
uv
2tlnt2(1)2 t12tt2dt
2tlnt2(1)4t 4arct tC a回n代
2 x e x 1 4 e x 1 4 are x c 1 tC a
三、三角函数有理式的积分
有理函数的积分是初等函数.
注 系数的确定,一般有三种方法: (1) 等式两边同次幂系数相等; (2) 赋值; (3) 求导与赋值结合使用.
例 求
x3 x1 假分式 x2 1 dx
解 由多项式除法,有
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
原
式 xdxxd 2x1
x2 2
arc
taxnC
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
对 R (sx i,n cox)sdx. 由三角学知识
可用 tan x 表示. 2
可通过变换
u
tan
x 2
化为有理函数的积分.
事实上,由
u
tan
x 2
半角变换(或称万能代换）
则
x2arctau,ndx
2 1 u2
du
sin x2sin xcoxs 22
2 tan sec 2
x
2 x
2 tan 1 tan
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数. 一般记为 R(sx i,n cox)s
如 1sinx ,
1
,
1.
sinx(1cosx) sinxtanx 5 4sin2x
对于三角函数有理式的积分, 曾用换元法
和分部积分法讨论过一些. 是否任何一个三角函数有理式的积分都有
原函数 回答是肯定的.
关于特殊函数的不 定积分
第三节 几种特殊函数的 不定积分
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分
三、简单无理函数的积分
基本积分法: 直接积分法; 换元积分法;
分部积分法.
求导 初等函数
初等函数
积分
例如,下列函数积分都不是初等函数
ex2dx,
sin xdx, x
sinx2dx,
1 ln x