韦达定理ppt课件
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韦达定理PPT教学课件
电阻器的种类很多：常用的电阻器按照导电体的结构特征分为实芯电 阻器、薄膜电阻器和线绕电阻器；按电阻器的材料、结构又分为碳膜 电阻器、金属氧化膜电阻器、线绕电阻器、热敏电阻器、压敏电阻器 等。另外，按照各种电阻器的特性，还可分为高精度、高稳定、高阻、 大功率、高频以及超小型等各种专用类型的电阻器 。
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
—
0
×100
±1%
1
1
×101
±2%
2
2
×102
±3%
3
3
×103
±4%
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×104
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5
5
×105
±0.5%
6
6
×106
±0.2%
7
7
×107
±0.1%
88Βιβλιοθήκη ×108—9
9
×109
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×10-1
±5%
—
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×10-2
±10%
—
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—
±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
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±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
数学家韦达PPT课件
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8
当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定 了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的 类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要 进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西 方称为“代数学之父”。1593年，韦达又出版了另一 部代数学专著——《分析五篇》。《论方程的识别与 订正》是韦达逝世后由他的朋友A．安德森在巴黎出版 的，但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方 程变换的公式，给出了G．卡尔达诺三次方程和L．费 拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是 记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。 韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1591年已有纲 要，1600年以《幂的数值解法》为题出版。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角 学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年） 是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角 形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代 数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了 正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角 学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成 COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
.
5
平面三角学与球面三角学； 《应用于三角形的数学定律》是韦 达最早的数学专著之一，也是早期 系统论述平面和球面三角学的著作 之一。韦达还专门写了一篇论文 “截角术”，初步讨论了正弦，余 弦，正切弦的一般公式，首次把代 数变换应用到三角学中。他考虑含 有倍角的方程，具体给出了将表示 成的函数，并给出当n等于任意正 整数的倍角表达式了。
姓名：齐慧杰 学号： 班级：
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韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
韦达定理
2 2 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x13 x23 ( x1 x2)(x12 x1x2 x22 )
判断根的正负性，包括：
• 两根为正： ≥0 x1+x2＞0 x1x2＞0 • 两根为负： ≥0 x1+x2＜0 x1x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＜0 • 两根同号： ≥0 x1x2＞0 • 两根异号：x1x2＜0 a*c＜0
原式
b x1 x 2 a
c x1* x 2 a
已知根求方程：以x1、x2为根的一元二次方程
变形式
a( x x1)(x x2) 0
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 x1x 2 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x1* x 2 x 2 x1 x12 x 2 2 x1 x 2 x1* x 2
Thanks
for watching
韦达定理 —知识总结
简介Βιβλιοθήκη 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关 系。因为他是由法国数学家韦达最早发现，所以人 们把这个关系称为韦达定理。
韦达（1540-1603）他一生中最重要的贡献是对代数学 的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论。 他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐 述并改良了多次方程的解法，指出了根与系数之间的关 系。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修 正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x13 x23 ( x1 x2)(x12 x1x2 x22 )
判断根的正负性，包括：
• 两根为正： ≥0 x1+x2＞0 x1x2＞0 • 两根为负： ≥0 x1+x2＜0 x1x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＜0 • 两根同号： ≥0 x1x2＞0 • 两根异号：x1x2＜0 a*c＜0
原式
b x1 x 2 a
c x1* x 2 a
已知根求方程：以x1、x2为根的一元二次方程
变形式
a( x x1)(x x2) 0
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 x1x 2 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x1* x 2 x 2 x1 x12 x 2 2 x1 x 2 x1* x 2
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韦达定理 —知识总结
简介Βιβλιοθήκη 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关 系。因为他是由法国数学家韦达最早发现，所以人 们把这个关系称为韦达定理。
韦达（1540-1603）他一生中最重要的贡献是对代数学 的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论。 他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐 述并改良了多次方程的解法，指出了根与系数之间的关 系。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修 正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。
韦达定理
也可先把 -2 代入方程求得 k 后，再求另一个根。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
韦达定理ppt
包权
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∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
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VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
年VIP
月VIP
连续包月VIP
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VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
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当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
23.9 韦达定理
课后作业 《优等生数学》九年级 P22-23 T1、T2写在作业本上； P25-26 T1、T3写在作业本上； 预习《优等生数学》九年级的第12节、 遗留问题.
如何提高数学解题能力？
基础问题全面做，困难问题典型做； 数学基础打牢固，简单问题不犯错； 系统知识弄明白，常见方法弄清楚； 多学多练多总结，数学难题轻松解！
第二十三章 一元二次方程
23.9 韦达定理
典型例题
例. 已知关于x的方程2x2－9x+a=0有一个根
9 17 为 . 4
（1）求方程的另一个根及a的值； （2）求作一个一元二次方程，使它的一个根 为上面方程两个根的倒数和，另一个根为上 面方程两根的差的平方.
+q=0(p、q为参数)
练4. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没
有实数根.甲由于看错了二次项系数，求得两 个根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符 号，求得两根－1和4.求(2b+3c)/a的值.
课堂小结
1. 韦达定理，是方程理论的一个重要的内容，运用这 个定理，我们可以不解方程，就可以确定根的符号 ，可以求出关于两根的对称式的值，可以构造以某 两个数为根的一元二次方程等等； 2. 在运用韦达定理解题时，首先要注意运用判别式判 断这个方程有没有实数根，必要时要将韦达定理与 判别式综合运用； 3. 在求关于两根的非对称式的值时，除了运用根与系 数的关系得关系外，还要注意运用根的定义来解题 .
的两个根α、β，求作一个以α3、β3为根的一 元二次方程.
练2. 设关于x的方程4x2+2mx+m=0有两个根x1、
x2，且满足 求m的值.
m 6 x mx1 4 x2 3 0 ， 2
韦达定理PPT课件
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1x2 c
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11
（2）x1 以x2
,
为两根的方程是？
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程：
(x2 1) x 1
(x 1) x2 1
2
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为
x1
,
x2，那x1么 x2
b, a
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即b2 4ac 0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k，
使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
韦达定理
3
求弦中点坐标
例，已知直线x − y = 2与抛物线y 2 = 4 x交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标
x − y = 2 分析：联立方程组 2 消去x得y 2 − 4 y − 8 = 0 y = 4x 由韦达定理得y1 + y2 = 4 y1 + y2 所以AB中点的纵坐标y = , 横坐标x = y + 2. 2 ∴ AB中点坐标为(4 ， 2 ).
(即b
2
− 4ac ≥ 0 且这两根就是x1 , x2
)
例：已知∆ABC的边长分别为a, b, c, 且a > b > c,2b = a + c, b为正整数， 若a 2 + b 2 + c 2 = 84, 求b的值。
解：依题意有 a + c = 2b a + c = 2b 5b 2 − 84 得 2 a + b 2 + c 2 = 84 ac = 2 5b 2 − 84 ∴ a, c是关于x的一元二次方程x − 2bx + = 0的两个不相等的实根 2 5b 2 − 84 2 >0 ∆ = 4b − 4 × 2 ∴ 5b 2 − 84 >0 2 即16 < b 2 < 28
2 2 2011
1 b 2 = + b + a a
2
2011
= (2 − 1)
2011
= 1.
三.解析几何. 解析几何. 1 求弦长 求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们 的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公 式即可求出
AB = x1 − x2 ⋅ 1 + k 2 = 或 AB = y1 − y2 ⋅ 1 + 1 k2
一元二次方程的根与系数的关系PPT精品课件1
第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系
情境引入
一元二次方程的的根与系数的关
系，常常也称作韦达定理，这是因为 这个定理是 16 世纪法国杰出的数学家 韦达发现的 .聪明的同学们，你能发现 这个定理吗？
自主探究
1.思考： 从因式分解法可知 ,方程 (x-x1)(x-x2)=0 的两 根为 x1 和 x2, 将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你 能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
(4)两根的平方和等于8； m=0 (5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
练 习 10
3)x－m2＝0.
已知关于x的一元二次方程x2-(m-
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2
，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
m 1, x1 1 2, x2 1 2 或m 5, x1 1 26, x2 1 26
元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道原来的方程是什么吗？
x 10 x 9 0
2
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
-2 ． 别为x1和x2，则x1＋x2的值等于________
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过 ...... 但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。
情境引入
一元二次方程的的根与系数的关
系，常常也称作韦达定理，这是因为 这个定理是 16 世纪法国杰出的数学家 韦达发现的 .聪明的同学们，你能发现 这个定理吗？
自主探究
1.思考： 从因式分解法可知 ,方程 (x-x1)(x-x2)=0 的两 根为 x1 和 x2, 将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你 能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
(4)两根的平方和等于8； m=0 (5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
练 习 10
3)x－m2＝0.
已知关于x的一元二次方程x2-(m-
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2
，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
m 1, x1 1 2, x2 1 2 或m 5, x1 1 26, x2 1 26
元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道原来的方程是什么吗？
x 10 x 9 0
2
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
-2 ． 别为x1和x2，则x1＋x2的值等于________
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过 ...... 但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。
韦达定理及其推广
扩展形式
研究韦达定理的扩展形式，将其应用于更广泛 的数学问题中。
应用实例
收集和整理韦达定理在不同领域的应用实例，展示其实际价值。
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韦达定理及其推广
目录
• 韦达定理的概述 • 韦达定理的证明 • 韦达定理的推广 • 韦达定理的应用实例 • 韦达定理的局限性 • 韦达定理的未来发展
01 韦达定理的概述
韦达定理的定义
韦达定理
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的和等于方程的一次项系数 除以二次项系数的负值，根的积等于 常数项除以二次项系数。
推广到复数域
韦达定理在复数域中的推广，主要是将实数 域中的根与系数的关系扩展到复数域。在复 数域中，根和系数的关系可以通过共轭复数 进行表述，并涉及到复数的模和幅角。
具体来说，如果一个n次多项式在复数域中的 根为α1, α2, ..., αn，那么这些根的共轭复数 和为0，即α1 + α2 + ... + αn = 0。此外， 根的乘积等于常数项除以首项系数，即α1 *
04 韦达定理的应用实例
在数学竞赛中的应用
代数方程的求解
函数性质分析
韦达定理在数学竞赛中常用于求解代数方程， 特别是二次方程和其变种。通过利用根与系 数的关系，可以快速找到方程的解。
利用韦达定理，可以分析函数的性质，如对 称性、单调性等。例如，通过分析二次函数 的根，可以判断函数的开口方向和顶点位置。
数学表达式
根的和 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，根 的积 $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。
一元二次方程之韦达定理
韦达定理是一元二次方程中根与系数关系的重要定理，由十六世纪法国数学家韦达提出。该定理指出，如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，那么x1+x2等于-b/a，x1*x2等于c/a。这一关系可以通过求根公式推导得出。韦达定理在解一元二次方程时具有广泛应用，可以通过已知方程的一个根来求另一个根，或者通过已知两根的和与积来构造方程。Байду номын сангаас而，需要注意的是，韦达定理的应用前提是方程的判别式△≥0，即方程有实数解。此外，文档中还提供了多个应用韦达定理的示例，包括求解方程、求两根的和与积等。但需要注意的是，本文档仅讨论了一元二次方程的韦达定理，对于一元四次方程并未涉及，因此无法直接提供一元四次方程韦达定理的相关内容。
人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4韦达定理
解:由已知,
{ △= 4m2 4m(m 1) 0
x1 x2
m 1 m
0
{ 即
m>0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm-1<0
∴0<m<1
2b 2a
b a
推导
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2
b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
韦达定理
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是 x1 、x2 ，那么：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
（4）.(x1 1)(x2 1)
（5）. x1 x2
（6）x1 x2
例1
例如：已知方程
1 2
x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求
下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
课堂小结(1分钟)
通过本节课的学习你学到了那些知识？
一元二次方程的根与系数的关系： ❖(韦达定理)
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 、
x那2 么, x1 +x2 =-
b a
； x1 x2=
c a
❖注意：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
例2
已知方程 x2 kx k 2 0的两个实数根是 x1, x2 且 x12 x22 4
求k的值。 解：由根与系数的关系得 解得：k=4 或k=－2
21.2.4根与系数关系 ——韦达定理
用适当的方法解下列方程：
韦达定理
2 2
(b) (b 4ac) 2 4a
2 2
b 2 b 2 4ac 4a 2
c 4ac 2 = a 4a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1 x2 c
韦达定理常见题型总结： 1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 1 1 (1) (2) x12+x22 x1 x2
3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 3x - 2=0的两根为x1 , x2 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？ 1 1 （2）以 x , x 为两根的方程是？ 1 2
；
4.已知两数的和与积，求这两个数
( x 2 1) ( x 1) 2 2 例6：解方程： x 1 x 1
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
b x2，那么 x x , 1 2 a
x1 x2
注：能用韦达定理的条件为△≥0即
c . a
b 4ac 0
2
韦达定理的证明： 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
b b 2 4ac 2a b b 2 4ac x2 2a
x=
b b 2 4ac x1 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 x2 + 2a 2a b 2b = 2a = - a
(b) (b 4ac) 2 4a
2 2
b 2 b 2 4ac 4a 2
c 4ac 2 = a 4a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1 x2 c
韦达定理常见题型总结： 1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 1 1 (1) (2) x12+x22 x1 x2
3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 3x - 2=0的两根为x1 , x2 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？ 1 1 （2）以 x , x 为两根的方程是？ 1 2
；
4.已知两数的和与积，求这两个数
( x 2 1) ( x 1) 2 2 例6：解方程： x 1 x 1
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
b x2，那么 x x , 1 2 a
x1 x2
注：能用韦达定理的条件为△≥0即
c . a
b 4ac 0
2
韦达定理的证明： 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
b b 2 4ac 2a b b 2 4ac x2 2a
x=
b b 2 4ac x1 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 x2 + 2a 2a b 2b = 2a = - a
韦达定理：一元二次方程根与系数的关系
ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是
、
1
， 那么你可以
2
一元二次方程根与系数关系的证明：
∵ x1 b b2 4ac 2a
b x2
b2 4ac 2a
∴x1+x2= =
b b2 4ac
2a
2b = - b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
x1x2=
b b2 4ac
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0，
求下列方程的两根之和与两根之积。
1、 x2 - 2x - 1=0
x1+x2=2
x1x2= -1
2、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
x1x2=0
3、 3x2 = 4
x1+x2=0
4
x1x2= - 3
注意：应用一元二次方程的根与系数关系时首先要把方程化为一般形式
填写下表：
方程
两个根
两根 之和
两根 之积
a与b a与c 之间 之间 关系 关系
x1
x2 x1 x2 x1 • x2
b a
c a
x2 3x 2 0
x2 5x 6 0
3x2 x 2 0
观察：方程的两根之和以及两根之积与系数有怎样的关系？
x x 猜想： 如果一元二次方程
发现什么结论？
●
2a
=
(b)2 ( b2 4ac )2 4a 2
b b2 4ac
2a
c
a =
4ac 4a 2
=
韦达（1540－1603）
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1、 x2 ，那么：
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一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1
x2
b a
,
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b24ac0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x= b b2 4ac
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程： (xx211)(xx211)2
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3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11 （2）以 x 1 , x 2 为两根的方程是？
4 ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1x2 -b
x1x2 c
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求
(1) 1 1 x1 x2
(2) x12+x22
(3)
x2 x1 x1 x2
2a
x1 b b24ac x2 b b2 4ac
2a
2a
x1x2 b
b2 4ac +
2a
=
2b 2a
=
-b a
b b2 4ac 2a
x1x2b2 b a 24a* cb2 b a 24ac
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac 4a2
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1
x2
b a
,
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b24ac0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x= b b2 4ac
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程： (xx211)(xx211)2
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3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11 （2）以 x 1 , x 2 为两根的方程是？
4 ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1x2 -b
x1x2 c
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求
(1) 1 1 x1 x2
(2) x12+x22
(3)
x2 x1 x1 x2
2a
x1 b b24ac x2 b b2 4ac
2a
2a
x1x2 b
b2 4ac +
2a
=
2b 2a
=
-b a
b b2 4ac 2a
x1x2b2 b a 24a* cb2 b a 24ac
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac 4a2