高中数学复习：基本初等函数、函数的应用
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高中数学复习：基本初等函数、函数的应用
1.已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
A.a B.b C.b D.c 解析∵log53－log85＝log53－ 1 log58 ＝ log53·log58－1 log58 < ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ log53＋log58 2 2 －1 log58 ＝ ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ log524 2 2 －1 log58 <⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ log525 2 2 －1 log58 ＝0，∴log53 ∵55<84，134<85，∴5log85<4log88＝4＝4log1313<5log138， ∴log85 即a 答案 A 2.若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( ) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a 解析由指数和对数的运算性质可得 2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)， ∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a) 故选B. 答案 B 3.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了 某地区累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K 1＋e－0.23（t－53） ，其中K 为最大确诊病例数.当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69 解析 因为I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53）， 所以当I (t * )＝0.95K 时， K 1＋e －0.23（t *－53） ＝0.95K ⇒ 11＋e －0.23（t *－53） ＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53) ＝ 10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e 0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t * ＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C. 答案 C 4.已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧x 3 ，x ≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，22) C.(－∞，0)∪(0，22) D.(－∞，0)∪(22，＋∞) 解析 法一 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝f （x ） |x | 恰有3个实根即可.令h (x )＝ f （x ）|x |，即y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ） |x | 的图象有3个交点. h (x )＝f （x ）|x |＝⎩ ⎪⎨⎪ ⎧x 2 ，x ＞0，1，x ＜0. 当k ＝0时，此时y ＝|kx －2|＝2，如图①，y ＝2与h (x )＝f （x ） |x | 的图象有1个交点，不满足题意； 当k ＜0时，如图②，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝ f （x ） |x | 的图象恒有3个交点，满足题意； 当k ＞0时，如图③，由y ＝kx －2与y ＝x 2 联立，得x 2 －kx ＋2＝0，令Δ＞0，得k 2 －8＞0，解得k ＞22或k ＜－22(舍去)，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ） |x | 的图象有3个交点. 综上，k 的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞).故选D. 法二 由法一知y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）|x |的图象有3个交点，令k ＝－1 2 ，检验知符合题意，可排除选项A ，B ； 令k ＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D. 答案 D 考点 1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a M N ＝log a M －log a N ； (5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ； (7)log a N ＝log b N log b a (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0). 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0 3.函数的零点问题 (1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用