高中数学复习：基本初等函数、函数的应用

高中数学复习：基本初等函数、函数的应用

1.已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )

A.a

B.b

C.b

D.c

解析∵log53－log85＝log53－

1

log58

＝

log53·log58－1

log58

<

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

log53＋log58

2

2

－1

log58

＝

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

log524

2

2

－1

log58

<⎝

⎛

⎭⎪

⎫

log525

2

2

－1

log58

＝0，∴log53

∵55<84，134<85，∴5log85<4log88＝4＝4log1313<5log138，

∴log85

即a

答案 A

2.若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )

A.a>2b

B.a<2b

C.a>b2

D.a

解析由指数和对数的运算性质可得

2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.

令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，

∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)

故选B.

答案 B

3.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了

某地区累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K

1＋e－0.23（t－53）

，其中K 为最大确诊病例数.当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69

解析 因为I (t )＝K

1＋e －0.23（t －53），

所以当I (t *

)＝0.95K 时，

K

1＋e

－0.23（t *－53）

＝0.95K ⇒

11＋e

－0.23（t *－53）

＝0.95⇒1＋e

－0.23(t *－53)

＝

10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e 0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t *

＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C. 答案 C

4.已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 3

，x ≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的

取值范围是( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞) B.⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，22) C.(－∞，0)∪(0，22) D.(－∞，0)∪(22，＋∞)

解析 法一 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝f （x ）

|x |

恰有3个实根即可.令h (x )＝

f （x ）|x |，即y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）

|x |

的图象有3个交点. h (x )＝f （x ）|x |＝⎩

⎪⎨⎪

⎧x 2

，x ＞0，1，x ＜0.

当k ＝0时，此时y ＝|kx －2|＝2，如图①，y ＝2与h (x )＝f （x ）

|x |

的图象有1个交点，不满足题意；

当k ＜0时，如图②，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝

f （x ）

|x |

的图象恒有3个交点，满足题意； 当k ＞0时，如图③，由y ＝kx －2与y ＝x 2

联立，得x 2

－kx ＋2＝0，令Δ＞0，得k 2

－8＞0，解得k ＞22或k ＜－22(舍去)，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）

|x |

的图象有3个交点. 综上，k 的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞).故选D.

法二 由法一知y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）|x |的图象有3个交点，令k ＝－1

2

，检验知符合题意，可排除选项A ，B ；

令k ＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D. 答案 D

考点

1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m

·a n

＝a

m ＋n

；

(2)(a m )n ＝a mn

；

(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a M

N

＝log a M －log a N ； (5)log a M n

＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；

(7)log a N ＝log b N

log b a (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).

2.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y ＝a x

(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0

3.函数的零点问题

(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.

(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用