勾股定理典型题总结(较难)

专题04 勾股定理压轴题型汇总(解析版)

专题04 勾股定理压轴题型汇总一、单选题1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为52，则点F到BC的距离为（）A．55B．255C．455D．433【答案】B【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12•BD•h＝12•BF•DF，求出BD即可解决问题．【详解】解：∵DG＝GE，∵S∵ADG＝S∵AEG＝52，∵S∵ADE＝5，由翻折可知，ADB∵ADE，BE∵AD，∵S∵ABD＝S∵ADE＝5，∵BFD＝90°，∵12•(AF+DF)•BF＝5，∵12•(4+DF)•2＝5，∵DF＝1，∵DB＝22BF DF+＝2212+＝5，设点F到BD的距离为h，压轴题型汇总1则12•BD•h＝12•BF•DF，即：1121 22=⨯⨯，∵h，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲【答案】A【分析】设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小．【详解】解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，可以得出其余的边长分别为2，分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；甲图中重叠的线段和为：；乙图中重叠的线段和为：；丙图中重叠的线段和为；丁图中重叠的线段和为：；∵6755++++∵乙＞丙＞甲＞丁故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则周长越小．3．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的中点，连接CD ，将BCD △沿着CD 翻折，得到ECD ，CE 与AB 交于点F ，连接AE ．若6,42AB CD AE ===,，则点C 到AB 的距离为（）A ．72B ．C ．3D ．【答案】C【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，由折叠的性质及中点性质，可得∵AEB 是直角三角形，且G 点是BE 的中点，从而CG ∵BE ，由勾股定理可求得BE 的长，则根据∵ABC 的面积相等一方面可表示为12AB CH ，另一方面其面积为∵BCD 与∵ACD 面积的和，从而可求得CH 的长．【详解】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，如图所示由折叠的性质，得：BD =ED ，CB =CE∵CG 是线段BE 的垂直平分线∵BG =12BE∵D 点是AB 的中点∵BD =AD ，BCD ACD SS =∵AD =ED∵∵DAE =∵DEA∵BD =ED∵ ∵DEB =∵DBE∵∵DAE +∵BEA +∵DBE =180°即∵DAE +∵DEA +∵DEB +∵DBE =180°∵2∵DEA +2∵DEB =180°∵∵DEA +∵DEB =90°即∵AEB =90°在Rt ∵AEB 中，由勾股定理得： BE∵BG =∵BCD ACD ABC S S S += ∵11222CD BG AB CH ⨯=∵224CD BG CH AB ⨯===故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG ∵BE ，从而可求得∵BCD 的面积也即∵ABC 的面积．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）A ．4SB ．143S S S +-C ．234S S S ++D ．123S S S +-【答案】A【分析】设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，用含有m ，n 的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积，确定面积与m ，n ，S 之间的关系，从而作出判断．【详解】设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，∵S =1mn 2，AB ，∵AE =EC ，BF =CF ，AD =BD在直角三角形AED 中，ED ，∵DC =EC -ED )m n -，∵4S =11111AE ED=22222mn S •=⨯=，故4S 的值可以确定，∵A 选项符合题意；设AC ，BD 的交点为G ，则3S +ADG S =1122)S CD AE m n =•=-△ADC =24()1m mn -， 1S +ADG S =222241S AD m n +==△ADB ， ∵143S S S +-=224m n ++12S -24()1m mn -=2+4n S ，与n 有关系，故代数式的值不能确定，∵B 选项不符合题意；∵3S +ADG S =24()1m mn -，1S +ADG S =224m n +，∵13S S -=21+42n S ， ∵234S S S ++=212BF +12S +1S -21-42n S =24n +12S +1S -21-42n S =1S ，无法确定， ∵C 选项不符合题意；∵123S S S +-=21+42n S +24n =21+22n S ，与n 有关， ∵D 选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．5．已知a 、b 为两正数，且12a b += ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【分析】如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，然后根据勾股定理构可得ABAC 当A ，B ，C 三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，根据勾股定理可得：AB AC所以：AB AC BC +≥，∵当A ，B ，C 三点共线时+AB AC 有最小值，即BC ，在Rt∵BDC 中13BC ==．故选：B【点睛】本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．6．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D 12BC AB =+ 【答案】B【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM∵BC 于M ，DN∵CA 的延长线于N ，A 、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∵60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；B 、∵DM∵BC ，DN∵CA∵∵DNC ＝∵DMC ＝90°，∵CD 平分∵ACB ，∵∵DCN ＝∵DCM ＝45°．∵∵DCN ＝∵CDN ＝45°．∵CN=DN ．则∵CDN 是等腰直角三角形．同理可证：∵CDM 也是等腰直角三角形，=．，∵DM=DN= CM=CN ，∵MDN ＝90°．∵DE 垂直平分AB ，∵BD=AD ，AB=2BE ．∵Rt∵BDM∵∵ADN ，∵∵BDM=∵AND ．∵∵BDM+∵ADM =∵AND+∵ADM ＝∵MDN ．∵∵ADB=90°．=．即．∵在Rt∵AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，∵AD ＞DN ．∵2BE ＞CD ．故此选项说法错误．C 、∵BD=AD ，∵ADB=90°，∵∵ABD 是等腰直角三角形． ∵DE=12AB ．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∵AC=12AB ．∵DE=AC ．故此选项说法正确．D 、∵Rt∵BDM∵∵ADN ，∵BM=AN ．∵CN=AC+AN=AC+BM=CM ．∵BC=BM+CM=AC+2BM ．，． ∵AC=12AB ，12AB+BC ．故此选项说法正确．故选：B ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．7．如图，直角三角形纸片ABC 中，6AB =，8AC =，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点1P ；设1P D 的中点为1D ，第2次将纸片折叠，使点A 与点1D 重合，折痕与AD 交于点2P ；设21P D 的中点为2D ，第3次将纸片折叠，使点A与点2D重合，折痕与AD交于点3P，则3AP的长为（）A．46325⨯B．36352⨯C．35325⨯D．23352⨯【答案】D 【分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=23AD1，AP2=23AD2，AP3=23AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．【详解】解：∵∵BAC=90°，AB=6，AC=8，，∵D为斜边BC中点，∵AD=12BC=5，由折叠可知：AD1=34AD，AP1=12AD，∵AP1=23AD1，AD2=34AD1=916AD，AP2=12AD1=38AD，∵AP2=23AD2，可知：AP3=23AD3，AD1=34AD=354⨯，AD2=34AD1=916AD=24352⨯，∵AD3=34AD2=2433542⨯⨯=36352⨯，∵AP 3=23AD 3=25352⨯，故选D ．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．8．如图，等边ABC 的边长为8．P ，Q 分别是边,AC BC 上的点，连结,AQ BP ，交于点O ．以下结论：①若AP CQ =，则BAP ACQ ≌；②若AQ BP =，则120AOB ∠=︒；③若,7AP CQ BP ==，则5PC =；④若点P 和点Q 分别从点A 和点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动（到达点C 就停止），则点O经过的路径长为）A ．①②③B ．①④C ．①②D ．①③④【答案】B【分析】第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS 证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．【详解】①在三角形∵BAP 和∵ACQ 中：AP CQ BAC C AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则∵BAP∵∵ACQ (SAS) ；①正确；②如图1，题中AQ=BP，存在两种情况：在1P的位置，∵AOB=120°，在2P的位置，∵AOB的大小无法确定；②错误；③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，P还是会有两个位置即：1P、2P，当在1P时，作BE∵AC于E点，则E为AC中点，∵AB=8，AE=12AC，∵BE=，又BP=7，∵1PE==,∵CP=CE+PE=5，当在2P时，同理解∵BCP，得CP= CE-PE=3；故③错；④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为∵ABC中AB边上的中垂线则∵AB=8，∵BC=AB=8，则AB=∵运动轨迹路径长为④正确；∵正确的为①④；故选：B ．【点睛】此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．9．图中不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．10．如图，在△ABC 和△ADE 中，△BAC =△DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ，②BD △CE ，③△ACE +△DBC=30°，④()2222BE AD AB =+．其中，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∵ABD+∵DBC=45°，等量代换得到∵ACE+∵DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解】解：如图，① ∵∵BAC=∵DAE=90°，∵∵BAC+∵CAD=∵DAE+∵CAD ，即∵BAD=∵CAE ，∵在∵BAD 和∵CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∵∵BAD∵∵CAE （SAS ），∵BD=CE ，故①正确；②∵∵BAD∵∵CAE ，∵∵ABD=∵ACE ，∵∵ABD+∵DBC=45°，∵∵ACE+∵DBC=45°，∵∵DBC+∵DCB=∵DBC+∵ACE+∵ACB=45°+45°=90°，∵∵BDC=90°，∵BD∵CE ，故②正确；③∵∵ABC 为等腰直角三角形，∵∵ABC=∵ACB=45°，∵∵ABD+∵DBC=45°，∵∵ABD=∵ACE∵∵ACE+∵DBC=45°，故③错误；④∵BD∵CE ，∵在Rt∵BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，∵∵ADE 为等腰直角三角形，∵AE=AD ，∵DE 2=2AD 2，∵BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，在Rt∵BDC 中，BD BC <，而BC 2=2AB 2，∵BD 2<2AB 2，∵()2222BE AD AB <+故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题11．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AD △BC 垂足为D ，BE ＝AC ，△EAC ＝3△C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．【答案】11【分析】在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ，通过论证∵AFB ∵∵BDA 和Rt∵EFB ∵Rt∵EFB ，为证明∵AEM ∵∵MCA 作准备条件，设MC ＝AE ＝x ，用含x 的代数式表示AB ，AC ，进而使用勾股定理建立方程，求解AE 的长．【详解】解：过点B 作BF ∵EA 于点F ，∵∵FAO +∵AOF ＝∵OBD +∵BOD ＝90°，∵∵AOF ＝∵BOD ，∵∵FAO ＝∵OBD∵∵EAC ＝3∵C ，∵AB ＝BC ，∵∵BAC ＝∵C∵∵EAB ＝2∵C∵∵BAD +∵FAO ＝180°﹣2∵C∵∵ABC ＝180°﹣2∵C ＝∵ABF +∵OBD ，∵∵ABF +∵OBD ＝∵BAD +∵FAO∵∵ABF ＝∵BAD∵AD ∵BC ，∵∵F ＝∵ADB ＝90°在∵BFA 和∵ADB 中，F ADB ABF BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AFB ∵∵BDA （AAS ）∵BF ＝AD在Rt∵EFB 和Rt∵CDA 中，EB AC BF AD =⎧⎨=⎩∵Rt∵EFB ∵Rt∵CDA （HL ）．在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ．在∵AEB 和∵MCA 中，AE MC E C BE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∵∵AEB ∵∵MCA （SAS ）．∵AB ＝AM ．∵AD ∵BC ，∵AD 垂直平分BM ．∵BD ＝DM ＝7．设AE ＝MC ＝x ，∵AC ＝8+2x ，DC ＝7+x ，AB ＝14+x ．在∵ABD 和∵ADC 中，据勾股定理得，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2＝AD 2，即（14+x ）2﹣72＝（8+2x ）2﹣（7+x ）2．化简得x 2﹣5x ﹣66＝0，解得x 1＝11，x 2＝﹣6（舍去），∵AE 的长为11．故答案为：11．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD BE =，连接DE ，若四边形BADE 的面积是5，6AB =，则DE 的长为________.【答案】4【分析】作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，可得四边形 DFHG 为矩形，设EH a =，DF b =，则有EG EH DF a b =-=-，容易证得 ()AFD EHB AAS ≅，可得6DG a b =--，根据5BADE S =四边形，得到 5ADE DFHE EHB S S S ++=梯形，即有()()11165222ab a b a b ab ++--+=，化简得 ()22610a b a b +=+-，根据DE【详解】解：如图示，作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，∵四边形DFHG 为矩形，∵DF GH =，DG FH =，设EH a =，DF b =，∵EG EH DF a b =-=-，在ABC 中，90ACB ∠=︒∵90A B ∠+∠=︒，在ADF 中，90AFD ∠=︒∵90A ADF ∠+∠=︒，∵B ADF ∠=∠又∵AD BE =，90AFD EHB ∠=∠=︒∵()AFD EHB AAS ≅∵AF EH a ==，DF BH b ==∵6FH AB AF BH a b =--=--∵6DG FH a b ==--∵5BADE S =四边形，∵5ADE DFHE EHB S S S++=梯形即：()()11165222ab a b a b ab ++--+=∵()22610a b a b +=+- Rt DGE 中，DE =4= 故答案是：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．13．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③14ADE EF S AD ⋅＝；④2223CE BE AE +=，其中正确的是（写代号）________．【答案】①②③【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出∵AFB ∵∵AEC ，即可得出CE =BF ，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．【详解】解：①∵∵BAC =90°，FA ∵AE ，∵DAE =45°，∵∵CAE =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，∵FAB =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，∵∵FAB =∵EAC ，∵AB =AC ，∵BAC =90°，∵∵ABC =∵ACB =45°，∵FB ∵BC ，∵∵FBA =45°，∵∵AFB ∵∵AEC ，∵CE =BF ，故①正确，②：由①中证明∵AFB ∵∵AEC ，∵AF =AE ，∵∵DAE =45°，FA ∵AE ，∵∵FAD =∵DAE =45°，∵∵AFD ∵∵AED ，连接FD ，∵FB =CE ，∵CE 2+BD 2=FB 2+BD 2=FD 2=DE 2，故②正确，③：如图，设AD 与EF 的交点为G ，∵∵FAD =∵EAD =45°，AF =AE ，∵AD ∵EF ，EF =2EG ，∵S ∵ADE =12•AD •EG =12•AD •12EF =14• AD •EF ，故③正确，④∵FB 2+BE 2=EF 2，CE =BF ，∵CE 2+BE 2=EF 2，在Rt ∵AEF 中，AF =AE ，AF 2+AE 2=EF 2，∵EF 2=2AE 2，∵CE 2+BE 2=2AE 2，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．14．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长为_____________．【答案】2或3或135．【分析】分BC BE =、CD DE =、BE DE =三种情况考虑，当BC BE =时，由AE AB BE =-即可求出AE 的长度；当CD DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，通过解直角三角形可得出AF 的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出AE 的长度；当BE DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，设EF x =，则52BE x =-，利用勾股定理表示出2DE 的值，结合BE DE =即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，进而即可得出AE 的长度，综上即可得出结论．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，4AB ∴=，AC =， D 为AC 中点，AD CD ∴=当四边形BCDE 有一组邻边相等时，由以下三种情况．①如图1，当BC BE =时，2BE BC ∴==，422AE AB BE ∴=-=-=；②如图2，当CD DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，AD CD DE ∴===12AF EF AE ∴==，在Rt ADF 中，1122DF AD ===32AF ∴==， 32232AE AF ∴==⨯=； ③如图3，当BE DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，35422BF AB AF ∴=-=-=，设EF x =，则52BE BF EF x =-=-，在Rt DEF △中，DF =，52DE BE x ==-，EF x =， 222EF DF DE ∴+=，即22252x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1110x =，即1110EF =， 311132105AE AF EF ∴=+=+=．故答案为：2或3或135．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找AE 的长度是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒，AB CD BC+=______．【分析】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．【详解】解：如图所示，分别过A 、D 作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F∵90AEP DFP ∠=∠=︒∵90APE PAE ∠+∠=︒,90DPF PDF ∠+∠=︒∵90APD ∠=︒∵90APE DPF +=︒∠∠∵APE DPF ∠=∠ ,PAE DPF ∠=∠在AEP △与DFP △中APE DPF PA PDPAE DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∵()AEP DPF ASA ≅△△∵AE PF = ，PE DF =45,C ∠=︒45,FDC C ∴∠=∠=︒,DF FC PE ∴==在Rt ABE △中，45B ∠=︒∵AB ==同理可得：CD ==∵)()2BE CF AB CD BC BE CF ++===+2 ．【点睛】本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，点E 为Rt ABC △外一点，且ADE为等边三角形，60CBE ∠=︒，若7BC =，4BE =，则ADE 的边长为__________．【答案】【分析】在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，证()AFD DBE AAS △≌△，得4FD BE ==，AF BD =，设CF x =，则4CD x =-，3BD x =+，再由含30角的直角三角形的性质得2AF x =，则23x x =+，解得3x =，即可解决问题．【详解】解：在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，∵ADE 是等边三角形，∵AD DE AE ==，60ADE ∠=︒，∵ADB AFD DAF ADE EDB ∠=∠+∠=∠+∠，∵DAF EDB ∠=∠，在AFD 和DBE 中，60AFD DBE DAF EDBAD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()AFD DBE AAS △≌△，∵4FD BE ==，AF BD =，设CF x =，则4CD x =-，)743(BD x x =--=+，∵90ACB ∠=︒，∵90ACF ∠=︒，∵906030CAF ∠=︒-︒=︒，∵22AF CF x ==，∵23x x =+，解得：3x =，∵3,CF AC ==∵1CD =，∵AD ===故答案为：【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质．三、解答题17．如图，△MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．＋1【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∵当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，AB＝1，∵OE＝AE＝12DE，∵OD＋1．【点睛】此题考查勾股定理，三角形三边的关系，矩形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质．18．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE的周长为．（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；（4）在直线DF上找点H，使△AHB＝135°．【答案】（1）20（2）见解析；（3）10；（4）见解析．【分析】（1）根据勾股定理求出五边形ABCDE各边的长，相加即可；（2）连接EC，作DF∵EC交AB于点F即可；（3）分成两个三角形求面积即可；（4）利用等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】DE=，解：（1）由题意，5AB BC CD===，AE5∵五边形ABCDE的周长故答案为：20（2）如图，连接EC ，作DF ∵EC 交AB 于点F ，点F 即为所求作．∵5DE CD ==，DF ∵EC ，∵CE GE =，∵点D ，G 是CE 垂直平分线上的点，∵DF 是CE 的垂直平分线，∵E ，C 两点关于直线DF 对称；（3）∵EG =AG AE ==∵222AG AE EG +=，∵AEG △是直角三角形；∵11521022AEG DEG AEDG S S S =+=⨯⨯⨯=四边形．（4）如图，过点A 作AH ∵DF 于H ，连接BH ，则点H 即为所求作．∵BK KH =BH ==∵222KH B H K B +=．∵BHK 是等腰直角三角形．∵45BHK ∠=︒．∵135AHB ∠=︒．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ACB ＝△ECD ＝90°．（1）如图1，若D 为△ACB 内部一点，请判断AE 与BD 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若D 为AB 边上一点，AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知△CAE =90°，AC =AE ，45ABC ∠=︒，AB =BC =1，求BE 的长．图1 图2 图3【答案】（1）AE BD =，理由见解析；（2）13；（3【分析】（1）证明AEC BDC ≌△△即可得AE BD =；（2）方法同（1）证明AEC BDC ≌△△，从而90,EAD ∠=︒AE BD =，最后由勾股定理即可求得DE（3）根据（1）（2）的方法作点C 关于AB 对称点C '则BC BC '=，连接,BC EC ''，证明BC E '∠=90︒，通过证明C AC '△≌C AE '△得CC C E ''=，在Rt BC E '中用勾股定理求得BE 的长．【详解】（1）如图∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒13∠∠∴=∴AEC BDC ≌△△(SAS)∴AE BD =．（2）如图∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒,45B CAB ∠=∠=︒13∠∠∴=∴AEC BDC ≌△△(SAS)∴AE BD =，4B ∠=∠490EAD CAB ∴∠=∠+∠=︒在Rt ADE △中，12,5AE BD AD ===13ED ∴==．（3）如图：作点C 关于AB 对称点C '，连接,BC EC ''则1BC BC '==,AC AC '=，455ABC ∠∠==︒90C BC '∴∠=︒C C '∴==AB BC BC '==BAC BCA BAC '∴∠=∠=∠1(18045)67.52BC A '=∠=⨯︒-︒=︒ 267.5135CAC '∴∠=⨯︒=︒360C AE CAE CAC ''∴∠=︒-∠-∠36067.5290=︒-︒⨯-︒135=︒CAC C AE ''∴∠=∠又AE AC AC '==1112(180)(180135)22.5,22C AE '∴∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 1134(180)(180135)22.522C AC '∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 13∠∠∴=∴167.522.590BC E BC A ''∠=∠+∠=︒+︒=︒在C AC '△与C AE '△中13AC AC C AE C AC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠='∠''⎩'∴C AC '△≌C AE '△（AAS ）CC C E ''∴==在Rt BC E '中C E '，1BC '=BE ∴．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键．20．已知在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，在直线AD 右侧作等腰△ADE ，AD =AE ．（1）如图1，若△BAC =△DAE =90°，连接CE ．求证：△ABD △△ACE ；（2）如图2，若△BAC =△DAE =120°，AB =AC =2．①当AE △BC 时，求线段BD 的长；②取AC 边的中点F ，连接EF ．当点D 从点B 运动到点C 过程中，求线段EF 长度的最小值与最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）①BD =；②线段EF 长度的最小值为12【分析】（1）由“SAS ”可证得ABD ACE △≌△；（2）①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，根据∵BAC =∵DAE =120°求出∵BAD =∵CAE ，然后根据平行性质求出∵ABC =∵ACB =∵EAC =30°，得到ABD △是等腰三角形，然后就可以求解了．②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，由“SAS ”可证AFE AGD △≌△，可得GD=EF , 当GD ∵BC 时，GD 有最小值．当点D 与点C 重合时，DG 有最大值为CG ，即EF 也有最大值．【详解】证明：（1）∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAD =∵CAE ．∵AB =AC ，AD =AE ，∵ABD ACE △≌△（SAS ）；（2）解：①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，∵∵BAC =∵DAE =120°，∵∵BAD =∵CAE ．∵∵BAC =120°，AB =AC ，∵∵ABC =∵ACB =30°．∵AE ∵BC ，∵∵EAC =∵ACB =30°，∵∵BAD =30°，∵AD =BD ，∵BM 12=AB =1，∵DM ∵BD = ②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，∵AB =AC =2，点F 是AC 中点，点G 是AB 中点，∵AG =BG =AF =CF =1．∵∵BAC =∵DAE =120°，∵∵BAD =∵CAE ．∵AD=AE，AG=AF，∵AFE AGD△≌△（SAS），∵GD=EF，∵DG有最小值，EF也有最小值，∵当GD∵BC时，GD有最小值．∵∵BAC=120°，AB=AC，∵∵ABC=30°，GD∵BC，BG=1，∵GD12=，BD=当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．∵BD=BC∵CD=，∵CG==∵线段EF长度的最小值为12．故答案为：最小值是12【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．一、单选题1．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点D在BC 上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【分析】过点C作CO∵AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∵C′BA＝∵CBA＝45°，于是得到∵CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C 作CO ∵AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．∵DC ＝2，BD ＝6，∵BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∵C ′BA ＝∵CBA ＝45°，∵∵CBC ′＝90°，∵BC ′∵BC ，∵BCC ′＝∵BC ′C ＝45°，∵BC ＝BC ′＝8，根据勾股定理可得DC ′10．故选：B ．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．2．（2020·宁波市第十五中学九年级期中）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，8AD =，则AF 的长为（）A ．5B ．407C ．285D ．6【答案】B【分析】连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点，通过证明ECA DCB ≅，可得45,6E CDB AE BD ︒∠=∠===，根据勾股定理求出AB 的长度，再根据角平分线的性质可得FG FH =，根据三角形面积公式可得34BF AF =，代入10AF BF AB +==中即可求出BF 的值．【详解】如图，连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点∵ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形∵90,45ECD ACB EDC E ︒︒∠=∠=∠=∠=90ECA ACD DCB ︒∴∠=-∠=∠在∵ECA 和∵DCB 中CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ECA DCB ∴≅45,6E CDB AE BD ︒∴∠=∠===45EDC ︒∠=90ADB EDC CDB ︒∴∠=∠+∠=在Rt∵ADB中，AB 8,6AD BD ==10AB ∴=45CDB EDC ︒∠=∠=∵DF 是∵ADB 的角平分线,FG AD FH BD ⊥⊥FG FH ∴=18421632ADF BDF AD FG S AD S BD BD FH ∆⨯∴====⨯ ∵∵ADF 底边AF 上的高h 与∵BDF 底边BF 上的高h 相同142132ADF BDF AF h S AF S BF BF h ∆∆⨯∴===⨯ 34BF AF ∴= 10AF BF AB +== 3104AF AF ∴+= 407AF ∴=故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．3．（2020·四川）（2019秋•陇西县期中）若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【分析】在∵ABC中，由∵A可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是．【详解】解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示：∵AD∵BC，∵在Rt∵ABD中，由勾股定理得，BD=又∵AB＝7，AD＝6，∵BD=同理可得：DC＝，又∵BC＝BD+DC，∵BC=；当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：∵AD∵BC，∵在Rt∵ADC中，由勾股定理得，DC=又∵AC＝8，AD＝6，∵DC==，同理可得；DB=又∵BC＝DC﹣DB，∵BC＝综合所述：BC的长是故选：C．【点睛】本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形．BC=，AD、CE分别是4．（2019·浙江温州市·九年级）如图，在ABC中，AC=13ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF．若DF CE⊥，则AB=（）A．10B．11C．12D．13【答案】A【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB=2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，得到AB=2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．解：连接DE ，∵AD∵BC ，点E 是AB 的中点，∵AB=2DE ， ∵DF∵CE ，点F 是线段CE 的中点，∵DE=DC ， ∵AB=2CD ，在Rt∵ABD 中，222AD AB BD =-，在Rt∵ACD 中，222AD AC DC =-，∵22AC DC -=22AB BD -，即2222(2)(13)CD CD CD -=--，解得，CD=5， ∵AB=2CD=10，故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握定理是关键．5．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝12，则下列关于S 1、S 2、S 3的说法正确的是（）A ．S 1＝2B ．S 2＝3C ．S 3＝6D ．S 1+S 3＝8【答案】D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG NG =，CF DG NF ==，再根据三个正方形面积公式列式相加：12312S S S ++=，求出2GF 的值，从而可以计算结论即可．解：八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，CG NG ∴=，CF DG NF ==，21()S CG DG ∴=+，222CG DG CG DG =++⋅，22GF CG DG =+⋅，22S GF =，2223()2S NG NF NG NF NG NF =-=+-⋅，2222212322312S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ∴++=+⋅+++-⋅==，24GF ∴=，24S ∴=，12312S S S ++=，138S S ∴+=，故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出2312GF =是解决问题的关键．6．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm【分析】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．【详解】解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，∵∵C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∵AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∵AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．（2020·四川省岳池中学八年级月考）在△ABC中，△BCA=90△,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（）A．5B．75C．145D．365【答案】C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH∵BE于H，EG∵CD于G，证明∵DHE∵∵EGD，利用勾股定理求出75EH DG==，即可得到BE.【详解】∵∵BCA=90∵，AC=6，BC=8， ∵22226810AB AC BC ，∵D 是AB 的中点，∵AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∵EDC=∵ADC ，CE=AC=6，∵BD=DE ，作DH∵BE 于H ，EG∵CD 于G ，∵∵DHE=∵EGD=90︒，∵EDH=12∵BDE=12（180︒-2∵EDC ）=90︒-∵EDC ，∵∵DEB= 90︒-∵EDH=90︒-(90︒-∵EDC)=∵EDC ，∵DE=DE ，∵∵DHE∵∵EGD ，∵DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∵222256(5)x x -=--，∵75x =， ∵75EH DG ==， ∵BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明∵DHE∵∵EGD ，由此求出BE 的长度.8．（2021·山西）如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（）A ．254cmB ．152cmC ．7cmD ．132cm 【答案】A【分析】由已知条件可证∵CFE∵∵AFD ，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ，设AF=xcm ，则DF=(8-x)cm ，在Rt∵AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∵∵B=∵D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m ，∵E=∵B=900,CE=BC=AD又∵∵CFE=∵AFD∵∵CFE∵∵AFD∵EF=DF设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm在Rt∵AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ，222(8)6x x =-+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.二、填空题9．（2021·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）如图，在Rt ABC 中，ACB 90,AC 6,BC 8∠=︒==，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E 、F 分别是AD 、AC 上的动点，则CE EF +的最小值为________．。

勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理一．勾股定理证明与拓展模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。

求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。

专题13 勾股定理16个重难考点(期末真题精选)(原卷版)

专题13 勾股定理16个重难考点一．路径最短之化曲为直1．为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为lm，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处，那么至少应购买彩带米．2．如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为cm．3．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．二．数形结合---勾股定理的逆运用4．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则此三角形的周长为．5．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则这个三角形最长边上的高是多少？6．已知，在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），求证：∠C＝90°．7．|x﹣12|+|x+y﹣25|与z2﹣10z+25互为相反数，那么以x、y、z为边的三角形是什么三角形？三．勾股与将军饮马的融合8．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？9．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为cm（假设蜂蜜不会下滑）．四．勾股定理的证明--等面积法10．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．11．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝．（用含字母的代数式表示）因为S四边形ABCD＝S△ACD+＝+12 ab；S四边形ABCD＝S△ADB+=12c2+；所以+12ab=12c2+；所以．12．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝．（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由ba =dc可得ad＝bc）五．勾股定理的应用13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝3时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？六．半角中的勾股定理14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．七．折叠中的勾股定理--小三角15．在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点B与点A'间的最小距离为．16．如图，将长方形纸条ABCD沿EF，GH折叠，使点B，C两点恰好都落在AD边的P点处．若BC＝10cm，则△PFH的周长为cm．八．双直角模型17．如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．（1）求证：△ABD是直角三角形；（2）求△ADC的面积．18．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要投资多少钱？九．格点中的勾股定理19．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）求△ABC的面积．20．如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么形状？并说明理由．十．风吹荷动21．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米．22．小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长．十一．梯子下滑23．有一梯子长25米，靠在垂直的墙面上，梯子的跟部离墙的底部是7米，若梯子顶部下滑4米，那么梯子跟部到墙的底部的距离是多少米？24．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，求DE 的长．十二．勾股中的分类讨论25．若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边的长的平方为．26．已知m，n为一个直角三角形的两边的长度，且（m﹣2）2+|n﹣3|＝0，则该直角三角形第三条边的长度为．十三．勾股数27．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和．十四．动点与勾股28．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．29．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？十五．方向中的勾股定理30．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．90°31．如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后，两船相距（）A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里。

勾股定理难题精选

勾股定理一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（）A 、6厘米B 、8厘米C 、1380厘米 D 、1360厘米2、若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( )A. 48 cm 2B. 36 cm 2C. 24 cm 2 cm 2 3、Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（） A 、121B 、120C 、132D 、不能确定解：设该Rt △的三边分别为a 、b 、c ，a 、b 为直角边，c 为斜边由勾股定理知：222a b c +=，即：112＋b 2= c2所以（b+c ）（c －b ）=121因为b 、c 都为自然数，所以b+c ，c －b ，都为正自然数。

又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c －b=1。

所以b=60，c=61评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。

4、如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 105、△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（） A ． 42 B ． 32 C ． 42或32D ． 37或3310、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（）A 、450a 元B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元11．已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（） A 、6cm2B 、8cm2C 、10cm2D 、12cm212．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里8、直角三角形的一条直角边长为12，另外两条边长均为自然数，则其周长可以为（） A ．36 B ．28 C ．56 D ．不能确定9、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（）A ．底与边不相等的等腰三角形B 、等边三角形C 、钝角三角形D 、直角三角形 10、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a +的值为（）．A ．13B ．19C ．25D ．169150°20m30m第10题图A BEFDC第11北南A东第12图1二、填空题15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有米。

专题04 勾股定理常考压轴题汇总(解析版)

专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM与△ABN中，，∴△FAM≌△ABN（ASA），＝S△ABN，∴S△F AM＝S四边形FNCM，∴S△ABC∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，＝10.5，∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝S Rt△ABC＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，+S△MBF＝S△BEF，则S△BMF即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，＝S△EF A'＝m，∴S△EMF∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，＝EF＝，∴S正方形EFCH故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为16或10或．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为101寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为80．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A10千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠PAC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。

勾股定理难题50道

勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状．错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号．（2）错误的原因是．（3）本题正确的结论是．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么PQR ∆的周长等于．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ．（1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值；（3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2）如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3）如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示，且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++；（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =；（1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）错误原因是本题的结论应为．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =．（1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）；（2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（每根长度记为 1 个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+．故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=．故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示）【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =．故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状．错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ．（2）错误的原因是．（3）本题正确的结论是．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的．【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米．即小孩至少离开这棵树4米才是安全的．故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=．故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=，所以21043S x y =+=，故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=，又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=．故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解：延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒，又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形．3cos304232AC AB =︒=⨯=．则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=．在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩，消去x ，得：22(5)39y y +-=，整理，得： 1014y =，即75y =，故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =，根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况．根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=，在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+；故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。

勾股定理中等难度题集(50道含答案)

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P 不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM 的最小值为（）A．B．C．D．2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．14S B．13S C．12S D．11S3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（）A．7B．C．D．25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．13B．14C．15D．166．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，则PE+PF 的长是（）A．B．6C．D．7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（）A．4+2+2B．2+2+2C．4+2+4D．2+2+48．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10B．5C．2D．29．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE 的面积是7时，BD与DC的比值是（）A．3：4B．3：5C．1：2D．2：310．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是．11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E 运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为．12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，则BC的长为．13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD 的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则△AFC的面积为．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H 在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为．15．如图，水平距离为80米（BC=80米）的A，B两村庄隔着一条小河，并且河宽15米，A与河l1的距离为40米，B与河l2的距离为20米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B两村庄来往的最短路程是米．16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=．17．四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，则BD=．18．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是．20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是．21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB，AC，BC 为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是．22．如图，△ABC是直角三角形，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BA边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为．（用含a的式子表示）23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为．24．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD=．25．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确的是．（把所有正确答案的序号都填在横线上）26．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=．27．如图所示，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=10，E是AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE 上的速度是2单位/秒，则点P从A到C的运动过程中至少需秒．28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是．29．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．30．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过米．31．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m=AP2+BP•PC的值为；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，且m i=AP i2+BP i•P i C（i=1，2，…，100），则m=m1+m2+…+m100的值为．32．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是．33．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．34．如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求线段AB的长；（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．35．如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．（1）求BC的长；（2）求BD的长．36．如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=，AC=，AD=3，求BC 的长及△ABC的面积．37．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2），AB=4，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．（1）求证：△AOD是等边三角形；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形．38．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）△ABC的面积为．（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD （D与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．39．如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．（1）求△ACE的面积；（2）试探究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；（3）当∠GCN=30°时，求△FMH的面积．40．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．41．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．②若PQ=，PR=，QR=3，直接．．写出六边形AQRDEF的面积为．42．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．43．探究下列几何题：（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．44．设a，b，c，d都是正数．求证：+＞．45．如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．46．已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．47．（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．①求证：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．48．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B厂距离河边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为．49．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．50．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算△DEF的面积为．（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，AC=，则六边形BCFGED的面积为．一．选择题（共9小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P 不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM 的最小值为（）A．B．C．D．【分析】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=EF=PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，∴四边形CEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长PM经过点C，∴EF=CP，PM=EF=PC，当PC⊥AB时，PC=，∴PM的最小值为，故选：D．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP⊥AB时，CP最小．2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．14S B．13S C．12S D．11S【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=13b2=13S，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）A．B．C．D．【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图所示：∵小正方形的边长为1，∴AC==，=2×2﹣×1×1﹣×2×1﹣×2×1=1.5，∵S△ABC∴S=×AC×BD=××CD=1.5，△ABC解得：CD=．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键．4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（）A．7B．C．D．2【分析】如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．首先证明△ABC≌△DHB，推出DH=AB=4，利用勾股定理求出AH、BD，即可解决问题；【解答】解：如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵AC⊥BD，∴∠BEC=∠ABC=∠H=90°，∵∠BDH+∠HBD=90°，∠CAB+∠ABD=90°，∴∠CAB=∠HDB，∵AC=BD，∴△ABC≌△DHB，∴AB=DH=4，在Rt△BDH中，∵DH=4，AD=5，∴AH==3，∴AC=BD===，BC==7，∴BE==，DE=，EC==，在Rt△EDC中，DC==，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．13B．14C．15D．16【分析】过F作AM的垂线交AM于G，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．【解答】解：∵图中S4=S Rt△ABC．S3=S△FPT，∴S1+S3=S Rt△ABC．S2的左上方的顶点为F，过F作AM的垂线交AM于G，可证明Rt△AGF≌Rt △ABC，而图中Rt△GFK全等于①，∴S2=S Rt△ABC．S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×3=2×5÷2×3=15．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．6．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，则PE+PF 的长是（）A．B．6C．D．【分析】作PM⊥AC于点M可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根据勾股定理就可以求得．【解答】解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB∵PM∥AB．∴∠B=∠MPC∴∠DCB=∠MPC又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°∴△PFC≌△CMP∴PF=CM∴PE+PF=AC∵AD：DB=1：3∴可设AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2x，BC=2x∵BC=∴x=2∴PE+PF=AC=2×2=4．（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，S△PBD=BD•PE，S△PCD=DC•PF，S△BCD=B D•AC，所以PE+PF=AC=2×2=4．故选：C．【点评】解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（）A．4+2+2B．2+2+2C．4+2+4D．2+2+4【分析】连接AG，分别求出∠ABF和∠FCG的度数，再根据AB=BC=FC，求证△ABF≌△FCG，可得AF=FG，同理AF=AG，设AB中点为K，连GK，可得△AKG为直角三角形，再利用由勾股定理求得AG，然后即可求得四边形AFGD的周长．【解答】解：连接AG，那么等腰三角形ABF顶角∠ABF=90°+60°=150°，等腰三角形FCG顶角∠FCG=360°﹣90°﹣2×60°=150°又AB=BC=FC，所以△ABF≌△FCG，∴AF=FG．同理AF=AG，设AB中点为K，连GK，可得△AKG为直角三角形，∴AK=1，KG=2+，由勾股定理得AG====+．四边形AFGD的周长为：AF+FG+GD+DA=2（+）+2×2=4+2+2．故选：A．【点评】此题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，此题有一定难度，属于难题．8．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10B．5C．2D．2【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．9．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE 的面积是7时，BD与DC的比值是（）A．3：4B．3：5C．1：2D．2：3【分析】根据△ABC的面积，可以计算AF，BF，设DF=x，根据△ADE的面积计算x的值，根据BD=BF﹣DF，CD=CF+DF即可计算BD，CD长度，即可计算BD：CD．【解答】解：作AF⊥BC，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即AB=2AF．BF=AF=AF．△ABC的面积为×BC×AF=25，计算得：AF=5，BF=5．设DF=x，则AD=，根据正三角形面积计算公式S=AD×（）=AD2=7，计算得：x=，∴BD=BF﹣DF=4，CD=CF+FD=6，故BD：CD=2；3，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据正三角形ADE计算DF是解题的关键．二．填空题（共24小题）10．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是﹣1．【分析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，∴△ABC是等边三角形，∴CE过点O，E为BD中点，则此时EO=AB=1，故OC的最小值为：OC=CE﹣EO=BCsin60°﹣×AB=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点C，O，E 在一条直线上，此时OC最短是解题关键．11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E 运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为1或．【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠AEF，∴AE≠AG；当AE=EG时，则△ABE≌△ECG，∴CE=AB=6，∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=7﹣=；∴BE=1或．故答案为：1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，则BC的长为．【分析】将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋转的性质得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE为等边三角形，则DB=BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）=60°+30°=90°，则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得EC2+BC2=BE2，利用等线段代换可得BD2=AB2+BC2，再代入计算即可求解．【解答】解：如图，将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，∴△DBE为等边三角形，∴DB=BE，又∴∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）=60°+30°=90°，∴△ECB为直角三角形，∴EC2+BC2=BE2，∴BD2=AB2+BC2．∴BC==．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．13．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D 、E 分别是BC 、AD 的中点，AF ∥BC 交CE 的延长线于F ，则△AFC 的面积为 6 ．【分析】由于AF ∥BC ，从而易证△AEF ≌△DEC （AAS ），所以AF=CD ，从而可证四边形AFBD 是平行四边形，所以S 四边形AFBD =2S △ABD ，又因为BD=DC ，所以S △ABC =2S △ABD ，所以S 四边形AFBD =S △ABC ，再根据等底等高的三角形面积等于平行四边形面积的一半即可求出答案．【解答】解：∵AF ∥BC ， ∴∠AFC=∠FCD ，在△AEF 与△DEC 中，，∴△AEF ≌△DEC （AAS ）． ∴AF=DC ， ∵BD=DC ，∴AF=BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴S 四边形AFBD =2S △ABD ，又∵BD=DC ，∴S △ABC =2S △ABD ，∴S 四边形AFBD =S △ABC ，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S △ABC =AB•AC=×4×6=12，∴S 四边形AFBD =12，∴△AFC 的面积为12÷2=6．故答案为：6．【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB 、BC 、AC 为边作正方ABED 、BCFK 、ACGH ，再作Rt △PQR ，使∠R=90°，点H 在边QR 上，点D 、E 在边PR 上，点G 、F 在边PQ 上，则PQ 的长为 2+7 ．【分析】首先证明△ABC ≌△GFC （SAS ），利用全等三角形的性质可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC 中，根据三角函数即可求得AC ，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR 的长，在直角△QRP 中运用三角函数即可得到RP 、进而可求出PQ 的长．【解答】解：延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．在△ABC 和△GFC 中，∴△ABC≌△GFC（SAS），∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=BC•tan60°=，则QH=HA=HG=AC=，在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=×=，AM=HA•cos60°=，在直角△AMR中，MR=AD=AB=2．∴QR=++2=+，∴QP=2QR=2+7．故答案为：2+7．【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．15．如图，水平距离为80米（BC=80米）的A，B两村庄隔着一条小河，并且河宽15米，A与河l1的距离为40米，B与河l2的距离为20米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B两村庄来往的最短路程是115米．【分析】在AC上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB的值最小．【解答】解：在AC上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB的值最小．∵AA′=EF，AA′∥EF，∴四边形AA′FE是平行四边形，∴AE=A′F，在Rt△A′BC中，BA′===100米，∴AE+EF+FB=BA′+AA′=115米．故答案为115．【点评】本题考查勾股定理的应用、两点之间线段最短、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=．【分析】在CD外侧作等边△CDE，连接AE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根据勾股定理可以求得DE 的长，即可解题．【解答】解：在CD外侧作等边△CDE，连接AE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD=6.5，∵在Rt△ADE中，DE2=AE2﹣AD2=BD2﹣AD2=6.52﹣AD2=62，∴AD=，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．17．四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，则BD=10．【分析】作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN 是矩形．首先证明△BCN≌△ACM，四边形CMHN是正方形，设CN=a．构建方程求出a即可解决问题；【解答】解：作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN 是矩形．∵∠BCA=∠MCN=90°，∴∠BCN=∠MCA，∵∠CNB=∠M=90°，BC=CA，∴△BCN≌△ACM，∴CM=CN，BN=AM，∴四边形CMHN是正方形，设CN=a．在Rt△AHD中，AD=6，∠ADH=30°，∴AH=3，DH=3，在Rt△CND中，∵CN2+DN2=CD2，∴a2+（a+3）2=（7）2，整理得：2a2+6a﹣71=0，解得a=或（舍弃），∴AM=BN=，∴BD=BN+NH+DH=++3=10，【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为3或3或3．【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=6，∴AP=AB•sin60°=6×=3；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===3，在直角三角形ABP中，AP==3；如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=3，故答案为3或3或3．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是（，）．【分析】应先作出点O及点A的对称点，过两个点的直线与直线AB的交点即为所求点．【解答】解：如图所示，∵点O关于AB的对称点是O′（1，1），点A关于y轴的对称点是A′（﹣1，0）设AB的解析式为y=kx+b，∵（1，0），（0，1）在直线上，∴，解得k=﹣1，∴AB的表达式是y=1﹣x，同理可得O′A′的表达式是y=+，两个表达式联立，解得x=，y=．故答案为：（，）．【点评】考查对称的知识；根据作相关点的对称点得到点D的位置是解决本题的关键．20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是100．【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由BC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：在直角三角形ACB中，AB=62+42=213，中间小正方形的面积：213×213﹣6×4÷2×4=52﹣48=4，4+（6+6）×4÷2×4=4+96=100．故答案为：100【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．21．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB ，AC ，BC为边，向外作正方形ABDE ，正方形ACFG ，正方形BCMN ，连接GE ，DN ．则图中阴影的总面积是 2 ．【分析】如图将△GAE 绕点A 顺时针旋转90°得到△KAB ．首先证明S △ABK =S △ABC =S △AGE ，同理可证S △BDN =S △ABC ，推出S △AEG +S △BDN =2•S △ABC ，由此即可解决问题．【解答】解：如图将△GAE 绕点A 顺时针旋转90°得到△KAB ．∵∠GAC=∠EAB=90°，∴∠GAE +∠CAB=180°，∵∠GAE=∠KAB ，∴∠KAB +∠CAB=180°，∴C 、A 、K 共线，∵AG=AK=AC ，∴S △ABK =S △ABC =S △AGE ，同理可证S △BDN =S △ABC ，∴S △AEG +S △BDN =2•S △ABC =2××2×=2．故答案为2．【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．22．如图，△ABC 是直角三角形，记BC=a ，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE ，正方形ACFG ，正方形BCMN ，过点C 作BA 边上的高CH 并延长交正方形ABDE 的边DE 于K ，则四边形BDKH 的面积为 a 2 ．（用含a 的式子表示）【分析】由射影定理得到BC 2=BH•BA ，即BH•BA=a 2，再由矩形面积公式即可得到结论．【解答】解：∵BC ⊥AC ，CH ⊥BA ，∴BC 2=BH•BA ，即BH•BA=a 2，∵四边形ABDE 是正方形，∴BD=BA ，∴四边形BDKH 的面积=BH•BD=BH•BA=a 2，故答案为：a 2．【点评】本题主要考查了射影定理，正方形的性质，矩形面积，由射影定理得到BC2=BH•BA是解题的关键．23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为4．【分析】由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，根据OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四边形OEFM为矩形，进而可得出MF的长度，再根据点O为AB的中点利用三角形中位线的性质可得出AM的长度，由AF=AM+MF可求出AF的最大值．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E 作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC 于点M，如图所示．∵OM⊥AC，∠ACB=90°，∴OM∥BC．∵点O为AB的中点，∴点M为AC的中点，∴AM=AC=．∵EF切⊙O为点E，∴OE⊥EF，。

精品-勾股定理综合性难题及答案

精品-勾股定理综合性难题及答案1.在三角形ABC中，角ACB为直角，以三角形的三条边为直径画出半圆。

阴影部分的面积等于三角形ABC的面积。

2.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则该三角形的周长为d+S+2d=2d+S+2d。

因此选项C为正确答案。

3.在直角三角形ABC中，角BAC为直角，AC=AB，角DAE=45度，BD=3，CE=4.求DE的长度。

4.在直角三角形ABC中，角C=90度，AC=4，BC=3.在三角形ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

要求画出两种不同的拼接方法，并标明拼接的直角三角形的三边长。

5.在直角三角形ABC中，角C=90度，点O为三条角平分线的交点，OD垂直于BC，OE垂直于AC，OF垂直于AB，且BC=8cm，CA=6cm。

求点O到三边AB、AC和BC的距离。

6.在三角形ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点。

则有AB-AP^2=PB×PC。

7.在一棵树的高度为B处有两只猴子，一只猴子从B爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只猴子从B爬到树顶D后直接跃到A处。

如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高10米。

8.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45度角，作业时调整为60度角。

则梯子的顶端沿墙面升高了2m。

9.在直角三角形ABC中，角C=90度，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE垂直于DF。

则有AE^2+BF^2=EF^2.10.在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE=4.则有AF垂直于FE。

11.已知△ABC中，a^2+b^2+c^2=10a+24b+26c-338.需要进一步计算才能判定△XXX的形状。

12.已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4，需要判断三角形的形状。

13.如图，一个长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm。

勾股定理中考难题(有答案详解)

勾股定理中考难题1、如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A ． 48B ． 60C ． 76D ． 802、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（）A ．B ．C ．D ． 23、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 124、已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 41题 2题 3题 4题 6题5、一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A ． 5B ．C ．D ． 5或6、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米7、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( )A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3m8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（）A ．10B ．11C ．12D ．139、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁A C B第7题图虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.10、（2013•滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．11、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.12、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．13、（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．14、（2013•包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．15、（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．16、（2013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．17、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=22，BC=1，∠ ABC=450，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．18、（2013哈尔滨）如图。

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=6, c=10，求b ， (2）已知a=40,b=9，求c; (3）已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。

举一反三【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13，CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长。

1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（） A 、450a 元 B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元举一反三【变式1】如图,已知：，，于P 。

求证:.150°20m30m【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2。

5米，宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？（二)用勾股定理求最短问题4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．类型四:利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段.作法：如图所示举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1.作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．（正确)2．原命题：对顶角相等(正确）3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）4．原命题:角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．(正确)7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

勾股定理综合难题附答案(超好打印版)

CBA D EFCA BE D练习题1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5ACB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

4、如图，小红用一X 长方形纸片ABCD 进展折纸，该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处〔折痕为AE 〕．想一想，此时EC 有多长？•5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，那么EB 的长是〔〕．A ．3B ．4C ．5D ．56．：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ．求AC 的长．7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，假设21：：=BE AE ，那么折痕EF 的长为。

BCAFEDCBAB ’C ’B ′A ′C ′D9、如图，：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，那么EB ∶CE ＝_________．10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，假设BC ＝2，那么BC´＝_________．11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 等于〔〕 A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？13、如图，在△ABC 中，∠B=90，AB=BC=6，把△ABC 进展折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。

八年级下册数学同步练习题库：勾股定理(简答题：较难)

勾股定理（简答题：较难）1、已知如图，正方形ABCD在第一象限，边长为4，顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上运动，点P为正方形ABCD对角线AC、BD的交点．⑴当点A坐标为（0，2）时，求点C坐标；⑵试说明点A、O、B、P四点在同一个圆上；⑶正方形在运动过程中，直接写出线段OC的最大值.2、如图，在等腰△ABC中，AD是底边BC边上的高，点E是AD上的一点．（1）求证：△BEC是等腰三角形．（2）若AB=AC=13，BC=10，点E是AD的中点，求BE的长．3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB边上一动点．当△PCB是等腰三角形时，求AP的长度.4、在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°.如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动,运动的时间为ts.（1）当t=3时，①求线段CE的长；②当EP平分∠AEC时，求a的值；（2）若a=1,且△CEP是以CE为腰的等腰三角形,求t的值；（3）连接DP,直接写出点C与点E关于DP对称时的a与t的值.5、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，P为BC边上任意一点．(1)求证：AP2＋PB·PC＝16.(2)若BC边上有100个不同的点(不与点B，C重合)P1，P2，…，P100，设m i＝AP i2＋P i B·P i C(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．6、若数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……；每一组数都是某一个直角三角形的三边，称每一组数为勾股数．若奇数n•为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边．并写出接下来的两组勾股数．7、【问题探究】（）如图①，点是正高上的一定点，请在上找一点，使，并说明理由．（）如图②，点是边长为的正高上的一动点，求的最小值．【问题解决】（）如图③，、两地相距，是笔直第沿东西方向向两边延伸的一条铁路．今计划在铁路线上修一个中转站，再在间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由到再通过公路由到的总运费达到最小值，请确定中转站\的位置，并求出的长．（结果保留根号）8、如图是一块直角三角形的绿地，量得直角边BC为6cm，AC为8cm，现在要将原绿地扩充后成三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的周长．9、如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．求运动时间t为多少秒时，△PQB成为以PQ为腰的等腰三角形？10、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连结CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c.（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理；（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：.11、已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．（可用备用图）（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．11、（本题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B(1) 求m的值及抛物线的函数表达式;(2) 是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由;(3) 若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由. （参考公式：在平面直角坐标之中，若A((x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离为）12、（本题8分）如图，轴于点，，反比例函数与OA、AB分别相交于点D、C，且点D为OA的中点.（1）求反比例函数的解析式;（2）过点B的直线与反比例函数图象交于第三象限内一点F，求四边形的面积.14、如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732， =4.583）15、已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，A（0，5），C（，0），AOCD为矩形，AE垂直于对角线OD于E，点F是点E关于y轴的对称点，连AF、OF．（1）求AF和OF的长；（2）如图②，将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△OAF为△OA′F′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与线段AD交于点P，与线段OD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时点P坐标；若不存在，请说明理由．16、矩形ABCD的对角线相交于点O，AC=，CD=1，（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连结CE；（2）判断线段BE与CE的关系，并证明你的判断．17、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm．18、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．19、（本题满分12分）已知：点E为AB边上的一个动点.（1）如图1，若△ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边△DEC ，连结AD.试比较∠DAC与∠B的大小，并说明理由；（2）如图2，若△ABC中，AB=AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰△DEC ，且△DEC∽△ABC，连结AD.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若四边形ABCD是边长为2的正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形ECGF.①试说明点G一定在AD的延长线上；②当点E在AB边上由点B运动至点A时，点F随之运动，求点F的运动路径长.20、(本题满分8分)如图，在△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)如果⊙O的半径为5，AB＝12，求cos E.21、如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，（1）求证：△BDE为等腰三角形；（2）若点D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；（3）在（2）条件下，若∠BAC=600，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，当△PBE为等腰三角形时t的值（请直接写出）.22、如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC.（1）求证：∠PCB+∠BAP=180º.（温馨提示过P作PD⊥BA交于D点）（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长.23、在平面直角坐标系中，A，B 点的坐标分别为（0，4）,（-4，0） ,点坐标为，点是射线BO 上的动点，满足BE=1.5OP ，以，为邻边作PEOQ.（1）当m=2时，求出PE的长度；（2）当m﹥0时，是否存在m的值，使得PEOQ的面积等于△ABO面积的,若存在求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q′，点Q ′刚好落在AB上时，求m的值（直接写出答案）．24、（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．25、如图，将边长为15的正方形OEFP置于直角坐标系中，OE、OP分别与x轴、y轴的正半轴重合，边长为的等边△ABC的边BC垂直于x轴，△ABC从点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向右平移，当BC边与直线EF重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△PAC的面积为y．（1）当x为何值时，P、A、B三点在同一直线上，求出此时A点的坐标；（2）在△ABC向右平移的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在△ABC向上移动的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？．26、如图，在中，，点在上，，过点作，垂足为，经过，，三点．Ⅰ求证：是的直径；Ⅱ判断与的位置关系，并加以证明；Ⅲ若的半径为，，则 = ．(只填结果)27、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．28、如图，在△ABC中，∠B=45°，AD⊥BC于点D，以D为圆心DC为半径作⊙D交AD于点G，过点G 作⊙D的切线交AB于点F，且F恰好为AB中点.（1）求tan∠ACD的值.（2）连结CG并延长交AB于点H，若AH=2，求AC的长.29、如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标为（8，4）．（1）请求出菱形的边长；（2）若反比例函数经过菱形对角线的交点D，且与边BC交于点E，请求出点E的坐标．30、已知是一段圆弧上的两点，有在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为，是上一动点，连结，且．（1）如图①，如果，且，求的长．（2）（i）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．（ii）再探究：当分别在直线两侧且，而其余条件不变时，线段之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．31、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？32、已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上，（1）写出两个不同类型的结论；（2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60º到DQ，如图2，连接PC，QE，①判断CP与QE的大小关系，并说明理由；②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．33、如图所示，已知四边形OABC是菱形，OC在x轴上，B（18，6），反比例函数（k≠0）的图象经过点A，与OB交于点E．（1）求出k；（2）求OE:EB；34、如图，已知四边形OABC是菱形，OC在x轴上，B(18，6)，反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过点A，与OB交于点E.(1)求出k的值；(2)求OE∶EB的值．35、如图,矩形ABCD的顶点AB在x轴上,点D的坐标为（3,4），点E在边BC上,△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若△ODF为等腰三角形,点C的坐标为_______．36、在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC 中，，在Rt△ADB中，，∴．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系．（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．（3）证明你猜想的结论是否正确．37、如图，在△ABC中，点D为BC上一点，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AD=DC，连结DE．（1）求证：AB=AC；（2）若，AC=，求△ADE的周长.38、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求AB,AC的长；（2）求证：AE=DF；（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.39、如图，在△ACD中，AD=9，CD=,△ABC中，AB=AC.若∠CAB=60°,∠ADC=30°,在△ACD外作等边△ADD′①求证：BD=CD′②求BD的长。

勾股定理-经典题型(偏难)

勾股定理_经典题复习１．定理：直角三角形两条直角边ａ、ｂ的平方和等于斜边ｃ的平方：即２．逆定理：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ有下面关系：，那么这个三角形是直角三角形．３．勾股数：能构成为直角三角形三条边长的三个，称为勾股数．二）直角三角形１．定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形．２．性质：（１）直角三角形的两个锐角（２）直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所对的直角边等于斜边的．（３）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于（４）直角三角形斜边上的中线等于斜边的．一、选择题(每小题3分)1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8 B．5，6，7C．4，5，6 D．3，4，52．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等3．下面四组数中是勾股数的有（）．（1）1.5，2.5，2 （2），，2 （3）12，16，20（4）0.5，1.2，1.3A．1组B．2组C．3组D．4组4．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）．A．182 B．183 C．184 D．1855．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•则CN的长为（）．A．B．C．D．(第5题)(第6题)6、如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（）A．B．C．D．无法确定7、直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（） A、10cmB、3cmC、4cmD、5cm8、在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（）A、5B、4C、3D、29、下列命题中是假命题的是( )A.△ABC中,若∠B=∠C－∠A, 则△ABC是直角三角形.B.△ABC中,若a2=(b+c)(b－c), 则△ABC是直角三角形.C.△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形.D.△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形.10、如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为10厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（）厘米A 、14B 、16C 、24﹣136D 、24+136二、填空题(每小题3分)1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC ：AC=3：4，则BC=___________；2、已知两条线段的长为6c m 和10c m,当第三条线段的长为时,这三条线段能组成一个直角三角形；3、命题：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，它的逆命题是；4、已知,如图1,△ABD 中,∠B =90°,∠D =15°,C 是BD 上一点,AC=CD=8cm,则AB= cm,BC= cm ；5、如图2，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD 2=____________；6、一艘小船上午7点出发，它以8海里/时的速度向西航行，一小时后，另一艘小船从同一地点出发以12海里/小时的速度向北航行，上午9点两小船相距海里；7、如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 dm ；三．解答题1、已知：如图，△ABC 中，AB=17，BC=21，AC=10，求S △ABC (5分)2、如图,在△ABC 中，∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ，垂足为A,CD=2cm,求AB 的长. (5分)3、一游泳池长48m,小方和小朱进行游泳比赛,小方平均速度为3m/秒,小朱为3.1m/秒.但小朱一心想快,不看方向沿斜线游,而小方直游,俩人到达终点的位置相距14m.按各人的平均速度计算,谁先到达终点? (5分)O A BC D 图2 2032A B 图3 图 1A B C D A B CD AB C4、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AB=13，AD=12，BD=5，CD=9，求AC 的长。

《勾股定理》难题(含答案)

第一章勾股定理（难度题）1、如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的(B)A．北偏东75°的方向上B．北偏东65°的方向上C．北偏东55°的方向上D．无法确定2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．【解】∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．3、（潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺．【解】如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．4、如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（）A、25B、23C、25+2D、23+25、如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG=_______．6、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________7、如图，点E 在DBC ∆的边DB 上，点A 在DBC ∆内部，90DAE BAC ∠=∠=，AD AE =，AB AC =．给出下列结论：①BD CE =；②45ABD ECB ∠+∠=；③BD CE ⊥；④22222BE AD AB CD =+（）﹣．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，过A 作AE⊥BD交BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的F点处，则DF的长为（C）A．B．C．D．【解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=4，∴BD==5，∵AE⊥BD，∴△ABD的面积=AB•AD=BD•AE，∴AE==，∴BE==，由翻折变换的性质得：EF=BE=，∴DF=BD﹣BE﹣EF=5﹣﹣=．故选：C．9、如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=135°．其中正确的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2 【解】：由题意可求得DE=2，CE=4，AB=BC=AD=6，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，设BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，由勾股定理可得（x+2）2=x2+42，解得x=3，此时BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，∴②正确；∵GC=GF，∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∴2∠AGB=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，∴③正确；∵S△EGC=GC•CE=×3×4=6，S△AFE=AF•EF=×6×2=6，∴S△EGC=S△AFE，∴④正确；在五边形ABGED中，∠BGE+∠GED=540°﹣90°﹣90°﹣90°=270°，即2∠AGB+2∠AED=270°，∴∠AGB+∠AED=135°，∴⑤正确；∴正确的有五个，故选：A．10、如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________. 解：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，则AM=DN，BM=CN∵∠PMA=∠PMB=90°， ∴PA 2-PM 2=AM 2，PB 2-PM 2=BM 2.∴PA 2-PB 2=AM 2-BM 2.同理，PD 2-PC 2=DN 2-CN 2.∴PA 2-PB 2=PD 2-PC 2.又PA=1，PB=5，PC=7， ∴PD 2=PA 2-PB 2＋PC 2=12-52＋72，PD=511、如图, 已知正方形ABCD 的边长为2,△ BPC 是等边三角形,则PD 的长是( D )A ．347- B ．32- C ．23- D ．348-12、如图，在△ABC 中，AD ＝15，AC ＝12，DC ＝9，点B 是CD 延长线上一点，连接AB .若AB ＝20，求△ABD 的面积．【解】：在△ADC 中，∵AD ＝15，AC ＝12，DC ＝9，∴AC 2＋DC 2＝122＋92＝152＝AD 2，∴△ADC 是直角三角形．在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∵AB ＝20，∴BC ＝16，∴BD ＝BC －DC ＝16－9＝7，∴S △ABD ＝12BD ×AC ＝12×7×12＝42.13、如图，∠xoy =60°，M 是∠xoy 内的一点，它到ox 的距离MA 为2，它到oy 的距离MB 为11，求OM 的长。

勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)

勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解〔1〕直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，如此如下关于a,b,c的关系不成立的是〔〕A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、 a²+b²= c²〔2〕在直角三角形中，∠A=90°，如此如下各式中不成立的是〔〕A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB ²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB ²2、应用勾股定理求边长〔3〕在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.〔4〕在直角△中，假如两直角边长为a、b，且满足，如此该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积〔5〕以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

〔6〕如图〔1〕，图中的数字代表正方形的面积，如此正方形A的面积为。

〔7〕如图〔2〕，三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y=。

〔8〕在Rt△ABC中，∠C＝90°，假如AC＝6，BC＝8，如此AB的长为〔〕A、6B、8C、10D、12〔9〕在直线l上依次摆放着七个正方形〔如图4所示〕。

斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进展推导。

勾股定理难题

勾股定理典型例题『例题精讲』1例如图是一个长方体盒子(尺寸如图所示)，在长方体下底部的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短路程是多少？2练如图所示，有一个圆柱形状的建筑物，底面直径为8 m ，高为7 m ．为方便工作人员从底部A 点到达顶部的B 点，要绕建筑物修一螺旋状的梯子．试求梯子最短为多少米？(π取3)5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？『例题精讲』3例一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为 h ，斜边长为c ，则以 c+h ，a+b ，h 为边的三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定『随堂练习』1.直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )A. ab=h2B. a 2+b 2=2h 2C. a 1+b 1=h 1D. 21a +21b =21h2.．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（B ）． A ．a-1，2a ，a+1 B ．a-1，a+1 C ．a-1a+1 D ．a-1，a+13.．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状。

4. 若△ABC 三边a 、b 、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c ，△ABC 是直角三角形吗？为什么？实际应用5例如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？『随堂练习』1练如图5所示，一条清水河的同旁有两个村庄A 和B.到河岸l 的距离分别为3千米和5千米，两个村的水平距离CD ＝6千米．问：要在河边修一个水泵站向两个村供水．需要的水管最少应为多少千米？2．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

经典例题透析种类一：勾股定理的直接用法1、在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40， b=9 ，求 c； (3)已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，必定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

分析： (1) 在△ ABC 中，∠ C=90 °， a=6， c=10,b=(2)在△ ABC 中，∠ C=90°， a=40， b=9,c=(3)在△ ABC 中，∠ C=90°， c=25， b=15,a=贯通融会【变式】 :如图∠ B=∠ ACD =90 ° , AD =13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ?【答案】∵∠ ACD =90 °AD = 13, CD=12∴AC 2 =AD 2－CD2 =132－ 122=25∴AC=5又∵∠ ABC=90 °且 BC=3∴由勾股定理可得AB 2= AC 2－BC2=52－ 32=16∴AB= 4∴AB 的长是 4.种类二：勾股定理的结构应用2、如图，已知：在中，，，. 求： BC 的长 .思路点拨：由条件，想到结构含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD 、DC 的长，从而求出BC 的长 .分析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，假如一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理，在中，..∴.贯通融会【变式 1】如图，已知：，，于P.求证：.分析：连结 BM ，依据勾股定理，在中，.而在中，则依据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，依据勾股定理有，∴.【变式 2】已知：如图，∠B=∠ D=90 °，∠ A=60 °， AB=4 ， CD=2 。

求：四边形ABCD 的面积。

剖析：怎样结构直角三角形是解本题的重点，能够连结 AC ，或延伸 AB 、DC 交于 F，或延伸 AD 、BC 交于点 E，依据本题给定的角应选后两种，进一步依据本题给定的边选第三种较为简单。

勾股定理难题50道

勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状．错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号．（2）错误的原因是．（3）本题正确的结论是．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么PQR ∆的周长等于．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ．（1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值；（3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2）如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3）如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示，且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++；（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =；（1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）错误原因是本题的结论应为．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =．（1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）；（2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（每根长度记为 1 个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+．故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=．故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示）【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =．故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状．错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ．（2）错误的原因是．（3）本题正确的结论是．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的．【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米．即小孩至少离开这棵树4米才是安全的．故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=．故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=，所以21043S x y =+=，故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=，又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=．故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解：延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒，又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形．3cos304232AC AB =︒=⨯=．则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=．在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩，消去x ，得：22(5)39y y +-=，整理，得： 1014y =，即75y =，故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =，根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况．根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=，在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+；故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。

完整版勾股定理大题难题

1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A C的坐标分别为A (10, 0)、C (0, 4),点D是OA勺中点，点P在BC边上运动，当△ ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为2.如图，小红用一张长方形纸片ABCGffi行折纸，已知该纸片宽AB为8cm,?长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想，此时EC有多长？？3、如图，EF为正方形ABCD勺对角线，将/ A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则/ DKG=4、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的高是（1 yl 3 43A 、2X( 2)10B 、2X( 2)9C 、2X( T)10D 、2X( T)95.在^ ABC 中，AB 边上的中线 CD=3 AB=6 BC+AC=B 则^ ABC 勺面积为6. 如图，直线I 上有三个正方形a , b , c ,若a , c 的面积分别为5和11,则b 的面积为7. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中,已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和 PD+PE+P 等于多少?）厘米8.如图Rt△ ABC中，AB=BC=4 D为BC的中点，在AC边上存在一点△ BDE周长的最小值为多少?9、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5叩到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

(1)求A、C两点之间的距离。

(2)确定目的地C在营地A的什么方向。

E,连接ED EB则10.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？11.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下,12.在数轴上表示烦的点。

勾股定理典型题总结(较难)

专题04 勾股定理压轴题型汇总(解析版)