菱形的性质及判定
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的性质及判定
菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。
点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。
菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。
判定③:四边相等得四边形就是菱形。
重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。
菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。
菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。
由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。
如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
菱形的性质与判定
B
D C
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°，点E、F同时由A、 C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止）， 点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三 角形，t的值为（ ）．
A. 1
B.
1 3
C.
1 2
D.
4 3
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°， ∠ EDF=60°，求EF的最小值。
➢将军饮马问题
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E为AD中点， P为对角线BD上一动点，连接PA和PE，求PA+PE的最小值。
A
D
B
C
E
➢等面积法
如图，已知菱形ABCD中的对角线AC、BD的长分别为
6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（
）．
A. 5 3cm
B. 2 5 cm
C.
48 5
cm
D.
24 5
cm
把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形， 将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正 方形，则图1中菱形的面积为________．
三、判定
思路一：平四→①边：邻边相等 ②线：对角线垂直
思路二：四边形→平四→菱形
思路三：四边形→菱形 ➢边：四条边都相等
➢线：对角线互相垂直平分
A B
D C
补充：中点四边形
对角线相等→菱形
对角线满足什么条件？→矩形、正方形
A
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定菱形的性质及判定知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求菱形 会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．知识点睛 中考要求常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质【例1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．例题精讲【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BA【巩固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCB A【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．50︒ D ．55︒图3E DP CFBA【例6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cm B ．220cm C ．240cm D ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．2. 如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为课后练习EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4. 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FE DCBA5. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A6. 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA7. 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
菱形的判定方式
菱形的判定方式1. 菱形的定义及性质菱形是一种特殊的四边形，它有以下几个性质： - 所有边长相等：菱形的四条边长度相等，这是菱形与其他四边形的明显区别。
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，且互相垂直。
- 对角线平分角度：菱形的两条对角线将菱形分成四个等角的三角形。
2. 判定一个四边形是否为菱形的方法2.1 基于边长的判定方式一个四边形的边长相等是判定其为菱形的充分条件，但不是必要条件。
因此，我们可以通过以下步骤判定一个四边形是否为菱形： 1. 测量四条边的长度。
2. 如果四条边的长度相等，则该四边形为菱形。
3. 如果四条边的长度不相等，那么它不是菱形。
2.2 基于对角线的判定方式另一种判定一个四边形是否为菱形的方法是基于对角线的长度。
以下是判定方法的步骤： 1. 测量两条对角线的长度。
2. 如果两条对角线的长度相等，则该四边形为菱形。
3. 如果两条对角线的长度不相等，那么它不是菱形。
3. 菱形的判定应用菱形的判定方法在几何学中具有重要的应用，例如在图形识别、图像处理和计算机视觉中。
以下是一些具体的应用场景：3.1 菱形图形识别在图像处理中，我们经常需要识别不同的几何形状。
菱形作为一种常见的几何形状之一，其判定方法可以用于菱形图形的识别。
通过测量图像中四边形的边长或对角线长度，我们可以判断该图形是否为菱形，从而实现菱形图形的自动识别。
3.2 菱形模式匹配菱形模式匹配是指在图像中寻找与给定菱形模式相匹配的图像区域。
通过菱形的判定方法，我们可以将图像中的四边形筛选出来，并进一步判断其是否为菱形。
这样，我们就可以在图像中找到与给定菱形模式相匹配的区域。
3.3 菱形区域标定在计算机视觉中，我们经常需要标定图像中的特定区域。
菱形的判定方法可以应用于菱形区域的标定。
通过测量图像中四边形的边长或对角线长度，并判断其为菱形，我们可以准确地标定出菱形区域的位置和大小。
4. 总结菱形作为一种特殊的四边形，在几何学和图像处理中具有重要的应用。
菱形的判定及知识点归纳
菱形的断定及知识点归纳
菱形的断定
① 四条边都相等的四边形是菱形。
② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。
③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联络，
可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、菱形的断定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形
=1/2×ab(a、b为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。
希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。
初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
菱形的定义和性质
菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定
（一）导学内容
1.菱形的性质
（1）四条边都相等,
（2）对角线互相垂直平分且平分一组对角.
2、菱形是轴对称图形，其中对称轴有两条，分别是两条对角线。
.用心解决下面三个问题：（口述理由）
（1）已知，如图四边形ABCD是平行四边形，
且ＡＢ＝ＢＣ，则这个平行四边形是菱形。
（2）已知，在平行四边形ABCD中，AC BD
，
问四边形ABCD D
（3）已知，在四边形ABCD
问四边形ABCD
（1）一组临边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直平分且平分一组对角的平行四边形是菱形。
九年级数学菱形的性质与判定
第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定一、什么是菱形菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。
也就是他的两条对角线互相垂直。
五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。
六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形课后练习：1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。
解答：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=3452222=-=-AO AB∴BD=2BO=2×3=6.2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。
解答：在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180∘.又∵∠BAD=2∠B ，∴∠B=60∘.∴△ABC 是等边三角形。
3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。
解答：在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，∴OA=21AC=4,OB=21BD=3，AC ⊥BD ，∴AB=5342222=+=+OB OA∴菱形的周长为：4×5=20.4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.解答：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，∠ADC=∠ABC ，在△ADC 和△ABC 中，∵AD=DC∠ADC=∠ABCAB=BC ，∴△ADC≌△ABC，∴AC平分∠BAD和∠BCD，同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？解答：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=DC∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，∵AC⊥BD∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。
菱形的性质与判定
菱形的性质菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质:1.对边平行，且四边都相等;2.对角相等;3.对角线互相平分且互相垂直4.菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形5 菱形的面积: S 菱形=底×高=2对角线乘积 习题 1.一个菱形的周长为8cm,一条对角线长为2 cm.则这个菱形的四个内角的度数＿＿2.菱形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ ）A 、对角线互相平分B 、对边相等且平行C 、对角线平分一组对角D 、对角相等3.在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，则∠B= ,△ABC 是 三角形，∠ABD 的度数为________ 。
4.已知：菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=12，BD=16，则菱形ABCD 的面积为 ，边长为 ，周长为 。
5 如图，菱形ABC 中,AB=BD=2cm,OD CB A求①∠ABC的度数②菱形ABCD的周长6如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形。
7如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB＝5，OA ＝4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度。
菱形的判定菱形的判定方法一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形习题判断下列说法是否正确：1.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形（）D2.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形（）3.对角线相等且互相平分的四边形是菱形（）4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形（）5、已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有__________2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（）．Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分Ｂ、AB=BC=CD=DAＣ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BDＤ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD3、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6厘米，BD=8厘米，AD=5厘米，则□ ABCD的周长=—————— , □ABCD的面积=————————4：如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB，AE=5.（1）判断四边形AEDF的形状？（2）四边形AEDF的周长为多少？5：已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F求证:四边形AFCE是菱形。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质菱形是一个非常基本的几何形状，它有着很多重要的性质。
在本文中，我们将学习如何判定一个四边形是否为菱形，并探讨菱形的一些重要性质。
判定四边形是否为菱形在几何中，一个四边形是菱形的充分必要条件是它的四条边长度相等。
也就是说，如果一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d，那么这个四边形是菱形当且仅当a=b=c=d。
除此之外，我们还可以通过判定四边形的对角线是否相等来确定一个四边形是否为菱形。
具体来说，如果一个四边形的对角线长度分别为e,f，那么这个四边形是菱形当且仅当e=f。
为了方便起见，在接下来的部分中，我们将使用第二种方法来判定四边形是否为菱形。
菱形的性质性质1：菱形的两条对角线相互垂直一个菱形的两条对角线相互垂直。
我们可以通过使用勾股定理来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据勾股定理，我们有：$$ \\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\\\ BD^2 &= AB^2 + AD^2\\end{aligned} $$注意到菱形的两个对角线相等，因此有AC=BD。
将它代入上面的式子中，得到：AB2+BC2=AB2+AD2化简上式可得：BC2=AD2这说明了菱形的对角线是相互垂直的。
性质2：菱形的对角线平分内角一个菱形的两条对角线平分它内部的角。
我们可以使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，交于点O，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据性质1，菱形的对角线相互垂直，因此角$\\angle AOB$是一个直角。
又因为线段AC和BD是直线，所以它们平分了角$\\angle AOB$。
同理，它们也平分了菱形内部的所有角。
性质3：菱形的四个角相等一个菱形的四个角相等。
这可以通过使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明。
菱形的性质和判定教案基础版
1菱形的性质和判定菱形的基本性质及判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：菱形具有平行四边形的一切性质，还具有自己独特的性质 ①菱形的四边都相等②菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ③菱形是轴对称图形，也是中心对称图形 判定：①一组邻边相等的四边形是菱形②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③四条边相等的四边形是菱形 面积公式：S =底⨯高=12对角线乘积 知识解读：利用菱形的性质可证明线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可以与勾股定理联系起来，可得对角线与边长之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和． 4、菱形的基本图形：若 ︒=∠=∠60EDF A ，则EDF ∆ 是等边三角形W是AC 上任意一点，则ADW ABW ∆∆≌2思考菱形与平行四边形区别：在菱形ABCD 中，BC AE ⊥、CD AF ⊥,则EAF B ∠=∠在菱形ABCD 中，DE AB ⊥,则S 菱形=12AB DE AC BD ⨯=⨯〖经典例题〗类型一：菱形的判定例题1.（用三种种方法证明）如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．3变式1..如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，DE∥BF，连接BE，DF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若BE＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．43.如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．4．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；5类型二菱形性质例题1.如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN．变式练习：如图，已知菱形ABCD，点E和点F分别在BC、CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：∠BAE＝∠DAF．6例题2如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．例题3如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：BD＝EC；（2）若∠E＝57°，求∠BAO的大小．7变式1如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC 为°．2．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为．8例题4．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为．变式1如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y 轴上，则点D的坐标是．变式2如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．9例题6．菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6，则它的面积为．变式1．若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为．2．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为．课后练习1．菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝cm．2．菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为cm2．3．在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线交于原点O，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，），则点D的坐标为．4.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．105.如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．6.如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．11。
第七讲、菱形的性质和判定
第七讲：菱形的性质和判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
几何语言表示为: 口ABCD且AB=AD(任一组邻边相等)口ABCD是菱形2.菱形的性质：（1）四边都相等；（2）两组对角相等；（3）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。
例1：在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE=OF．例2：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=10（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．3.菱形的判定方法（1）用定义判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。
例3：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于 G，交AD 于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形。
例4：已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．例6：如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．例7（真题2014-2015期中）：如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120∘,点E. F同时由A. C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值例8（真题2014-2015期中）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点。
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
1菱形的性质及判定
菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【知识梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.【小试牛刀】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．2?举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m 的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定目标:掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。
重点:菱形的性质及判定难点：区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。
知识要点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
2、菱形的性质：性质1菱形的四条边相等。
性质2菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。
已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。
证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD（菱形的四条边相等）在等腰△ABD中，∵BO＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。
同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。
图13、菱形面积计算方法：(1) S＝底×高(2) S＝对角线1×对角线2＝ab例已知菱形ABCD的边长为2cm ，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。
解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠BAO＝＝×120°＝60°（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）在Rt△AOB中，∵∠ABO＝90°－∠BAO＝30°∴AO＝＝×2＝1（cm）BO＝（cm）∵AO＝，BO＝∴AC＝2AO＝2（cm），BD＝2BO＝2（cm）＝AC×BD＝2（cm2）∴S菱形ABCD4、菱形的判定：判定定理1四边都相等的四边形是菱形。
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
本周典型例题分析：1．已知：如图，□ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AF⊥ED分析：若连结MN，欲证DE⊥AF，只要证四边形AMND是菱形。
证明：连结MN∵四边形ABCD是平行四边形∴AD BC，AB DC在△ABF中，∵BC=CF，AB∥CN∴AN=NF又∵AD∥BF，∴DN=NC同理可证：AM=MB又∵AB=2BC∴AM DN，∴四边形AMND是平行四边形而AD=DN，∴四边形AMND是菱形∴AN⊥MD，即AF⊥ED换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。
菱形的性质及判定知识点及典型例题
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。
菱形的性质 及判定难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．E FDBCA图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例13】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AE BC⊥，AF CD⊥，那么EAF∠等于．【例14】已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cm B．220cm C．240cm D．280cm图1DCBA【例16】已知菱形ABCD的两条对角线AC BD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为EPDCBA【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ABH G FEDCBA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFEDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH，相互垂直平分ABGH GFEDCBA【例45】 ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且AB CD =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON =A CFEO N M DCBA【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO G FE DC BA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．SR QPH GOEFDCB A。
菱形的性质和判定
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还有自身的特殊性质： （1）菱形四条边相等。
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线为对称轴）。
3、菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积计算：（1）平行四边形面积求法：21=S 底×高 （2）特殊求法：21=S 对角线的乘积例：如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q 。
（1）求证：OP=OQ（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运用（不与D 重合）。
设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。
例1、如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE=AF 。
【变式练习】如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。
求证： △ACE ≌△ACF例2、如图，菱形ABCD 中，B =60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为多少？O QPDCB A F EDC BA F ED CB A F E D CB A【变式练习】如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，求菱形ABCD 的周长和面积。
例3、如图，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需要添加的一个条件是 ，试证明：这个多边形是菱形。
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菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形重、难点知识点睛中考要求的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．E F DBC A例题精讲图1HO DC BA【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为PDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．课后练习FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。