巧用向量解题

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巧用平面向量

Ｖ（＋ｋ）３１３
化解解析几何问题．
责任编校徐国坚
的值分别代入所在直线方程得到其纵坐标，此时可以
高中２１００年第５期
数攀膏数
将后示出来表（，）．
巧用平面向量
■河源市和平县和平中学邱良才
在计算纵坐标的值时计算量较大，意计算过程中要注细心运算，不要出错．利用椭圆的对称性和点Ｃ的坐标
可得Ｂ一／，、 Ⅲ ，以＝一、了，、了）（、了一／３）所（３／一／，计算
向量共线的坐标表示．即向量ｎ＝
）＝，）与６ｙ共线的２
充要条件为三入或：２＝，＝一ｙｏ先将与用坐标表１
示出来．然后利用其共线的充要条件即可．得重视的值
例题：如图所示，已知Ａ、、是椭圆Ｅ＋；１曰ｃ：｛＝
００，点Ｐ轴上运）），在ｙ动，点肘在礴由上运动，
点Ⅳ 为动点，且葡－ｋ－Ｐ＝
Ｄ
（）１求椭圆Ｅ的方程；（）椭圆上存在２若
ｏ．
的方程：
６．
（）１求点Ⅳ的轨迹ｃ
（）点ｎ】２过，的直ｏ
两点Ｐ、Ｑ，使得ＬＰＱＣ的平分线总是垂直于确自，证明
合的证明题，能创设较佳的问题情境，综合性强，具有
一
可
＝
，
旦二生
，
．同样用再将这两个横坐标

专题(19)巧用向量法求解圆锥曲线问题

高三第二轮专题复习专题（19）——巧用向量法求解圆锥曲线问题一、利用向量的数量积解决夹角（钝、锐、直）问题例1、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点.求证：ABO ∆是钝角三角形.说明：（1）确定三角形的角时，若三边长易算用余弦定理；若三边长不易计算则考虑向量的数量积；（2）更为一般地，我们有如下重要结论：①过点(,0)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、两点.当02t p <<时，AOB ∠为钝角；当2t p =时，AOB ∠为直角；当2t p >时，AOB ∠为锐角.②过点(0,)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)x py p =>于A B 、两点.当02t p <<时，AOB ∠为钝角；当2t p =时，AOB ∠为直角；当2t p >时，AOB ∠为锐角.③抛物线22(0)y px p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ，则直线AB 必过定点(2,0)p ；反之，亦成立. ④抛物线22(0)x py p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ，则直线AB 必过定点(0,2)p ；反之，亦成立.变式：已知椭圆22:184x y E +=，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A B 、，且O A O B ⊥u u r u u u r ？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由.答案：2283x y +=. 说明：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线l 与椭圆E 交于A B 、两点，在AOB ∆中，AB 边上的高为OH .（1）若2221112||AOB OH a bπ∠=⇔=+；（2）若2221112||AOB OH a b π∠<⇔<+；（3）若2221112||AOB OH a b π∠>⇔>+. 本例中22221113883r r a b =+=⇒=，则圆的方程为2283x y +=.二、利用向量知识解决共线问题例2、在平面直角坐标系xoy 中，经过点(0,且斜率为k 的直线l 与椭圆22:12x E y +=有两个不同的交点P Q 、.（1）求实数k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB uu u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.答案：不存在.变式：设A B 、是椭圆22:12x E y +=上的两点，(2,0)N -满足NA NB λ=u u r u u u r .当11[,]53λ∈时，求直线AB 斜率的取值范围.答案：121[,[,]2662--.三、利用向量解决参数的取值范围问题例3、已知C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点(1,0)A 和AP 上的点M 满足0,2M Q A P A P A M ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ，O 是坐标原点，且满足3445OF OH ≤⋅≤uu u r uuu r ，求k 的取值范围.答案：（1）2212x y +=；（2）[]22U .四、由向量形式给出的圆锥曲线的几何关系例4、在平面直角坐标系xoy 中，1的线段的两端点,C D 分别在,x y 轴上滑动，CP PD =uu r uu u r ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于,A B 两点，OM OA OB =+uuu r uu r uu u r ，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积.答案：（1）2212y x +=；（2五、圆锥曲线中求向量数量积的取值范围例5、已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:2(0)C x py p =>有一个公共焦点，抛物线2C 的准线l与椭圆1C 有一个坐标是的交点.（1）求椭圆1C 与抛物线2C 的方程；（2）若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与椭圆1C 分别交于点,E F ，求OE OF ⋅u u u r u u u r 的取值范围.答案：（1）22212:1,:884y x C C x y +==；（2）(8,2]-.。

向量解题四个思路

向量解题四个思路嘿呀，朋友们！今天来唠唠向量解题的四个思路呀，这向量题有时候挺让人头疼的，但掌握了思路就好对付多了呢，听我给你们讲讲我同学做题那事儿，你们就能更明白了。

我同学小李呀，数学还行，可一碰到向量题就犯愁。

有次考试里有好几道向量的大题呢，把他给急得呀，抓耳挠腮的。

第一个思路就是利用向量的几何意义去解题啦。

就好比给了两个向量，让求它们相加后的模长啥的，这时候你就可以把向量画出来呀，按照向量相加的平行四边形法则或者三角形法则，把它们在图上表示出来，然后通过几何图形里的边长呀、角度这些关系去算。

小李那次遇到个题，是已知两个向量的夹角和模长，求它们和向量的模长，他一开始没思路，后来试着画图，把那两个向量按照法则一组合，再看着图里的直角三角形，用勾股定理就慢慢算出答案了，当时他那眼睛都亮了，嘴里嘟囔着：“哎呀，原来这么一画，就好弄多了呀。

”第二个思路呢，是坐标法。

把向量放在坐标系里，用坐标来表示向量，这样向量的运算就变成坐标的运算了，多简单呀。

像有回作业里有个题，要判断几个向量是不是平行，小李就给那些向量都标上坐标，然后根据向量平行的坐标判定条件，看看横坐标和纵坐标的比例关系，一下子就判断出来了，还挺得意地跟我说：“嘿，这坐标法用着可太顺手了呢。

”还有就是利用向量的数量积公式啦。

要是求两个向量的夹角，或者证明一些垂直关系啥的，数量积公式就派上用场了。

小李在做一道证明两向量垂直的题时，把相关向量的数量积一算，结果是零，那就说明它们垂直呀，他可高兴了，觉得这思路真巧妙呢。

最后一个思路就是基底法，选好一组基底向量，把其他向量用这组基底表示出来，再去运算解题。

小李刚开始用这个不太熟练，后来多练了练，发现有些复杂的向量关系用基底法一梳理，也能轻松搞定了呢。

从小李做向量题这事儿就能看出来呀，这向量解题的四个思路各有各的妙处，多练练，遇到题的时候找准思路，那向量题就能轻松拿下啦，哈哈，大家要是做向量题也可以试试哦。

巧用向量解决几何问题

巧用向量解决几何问题
向量知识在几何问题中有着非常广泛的应用，在具体问题中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量运算来研究点、线段等几何元素之间的关系，最后将结论转化为几何问题，特别是在有些情况下，应用向量还能起到事半功倍的效果，下面就举几个简单的例子。

一、利用向量求直线夹角
例1 已知直线,，求和夹角的余弦值。

，解:由直线方程知道和的方向向量分别为，
则和夹角的余弦值即为所成角的余弦值或其相反数，设夹角为，
则。

所以和夹角的余弦值即为。

1.
利用向量研究直线的垂直与平行
例2 已知两直线，
1.
如果，求的值；
2.
如果，求的值。

解：由直线的方程可得直线的法向量分别为：和
，
，解得：或
当时，与重合，
，
1.
利用向量求解曲线方程
例3 已知两点，试求以为直径的圆的方程。

解：设为圆上任意一点，则， ,
而，
即为所求圆的方程。

四、利用向量证明几何问题
例4 已知 ,证明：四边形为矩形。

证明： ,
,所以四边形为平行四边形。

, ,
所以四边形为矩形。

当然向量在几何问题当中还有好多方面的应用，在这里仅举几个简单的例子以说明向量的应用问题，巧用向量，就能很容易地解决相关问题。

活用向量工具巧证不等式

在新教材向量部分的知识中，一些向量不等式，有例如：ａ，设ｂ为两个非零向量，则有三角不等式：
Ｉ —Ｉ ≤ ＩａＩｂＩａ±ｂＩＩ＋Ｉ： ≤ ａＩｂＩ
ｍ．，：ａｌ
＝＋ｂ
＝：１
，
数量积不等式：
ａ・ｂ≤ Ｉ・ｂＩＩａ ≤ ａＩ・ＩｂＩ
求证：尸≤Ｑ， ≤ ｓ
可尝证（，）＝ √ ）构造此向量不等式来证明．的代数不等式时，试明设＝，（，，系，Ｙ √ 遇到与此结构特征相似
则＝。ＱＩ・ｌ尸Ｊ＝Ｉｌ＝，ｘｙ；
由・，Ｉ・ＩＩ・ＩＩ，Ｊ≤ ｘＹ ≤ ｘＩ知尸≤ＱＪ，．
１根据代数不等式的结构特征与向量数量积不等式结构特征的相似性来构造向量求证设ａ＝（，１，ｌＹ）西＝（，）则数量积ａ・，ｂ＝＋ｙ是 “ 对应相乘加相连 ” 结构特征；的模ｌ＝ａＩ＋是 “ 平方和开根号 ” 的结构特征．遇在
所以
ｏ．ｂ一、
ｃｓ＝１ｏ０．
・＝＝０
又由００１，００从而ｍ∥，即Ｅ［，］得＝，Ｔｌ，
，
和
ｌａ
，
当且仅当ａ与ｂ共线（同向或反向），号成立．时等我们可以借助这些向量不等式来解决一些具有相似结
对应关系来构造向量求证
二维平面向量的坐标运算对应着４个变量；三维空间向量的坐标运算对应着６个变量；向量的ｎ维

借助向量法，巧解平行题

㊀㊀㊀借助向量法,巧解平行题◉安徽省怀宁中学㊀李贞庆㊀㊀摘要:利用空间向量来判定空间问题中的线㊁面平行关系,是判定或证明此类问题的一类比较常见的技巧方法,结合常见的线面平行㊁面面平行以及创新应用等问题类型加以实例剖析,总结方法规律与破解技巧．关键词:立体几何;空间直角坐标系;向量;平行;创新㊀㊀１引言通过建立空间直角坐标系,将空间中相应的点㊁线㊁面等元素利用空间坐标的代数形式加以表示,利用空间向量的线性关系运算与空间向量的数量积等,化几何推理为代数运算,借助代数运算来处理与解决空间问题中直线㊁平面平行关系的判定问题(涉及线线平行㊁线面平行㊁面面平行)等．在实际处理问题中,常见的类型是线面平行㊁面面平行以及创新应用问题等．２常见的平行问题２．１线面平行问题利用空间向量解决立体几何中的线面平行问题的常见技巧方法为:①借助相关直线的方向向量与对应平面的某一法向量垂直来转化与处理;②借助相关直线的方向向量与对应平面内的某直线的方向向量平行来转化与处理．图１例１㊀(２０２１年高考数学天津卷第１７题(１))如图１,在棱长为２的正方体A B C DＧA１B１C１D１中,E为棱B C的中点,F为棱C D的中点．求证:D１Fʊ平面A１E C１．分析:先根据题目条件以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,结合中点性质确定对应顶点的坐标,通过平面A１E C１的一个法向量的设立与求解,从而利用向量数量积的求解判断线线垂直,进而结合线面平行的判断加以证明．解析:如图２所示,以点A为坐标原点,以A B㊁A D㊁A A１所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(０,０,０),A１(０,０,２),B(２,０,０),C(２,２,图２０),D(０,２,０),C１(２,２,２),D１(０,２,２),由于E为棱B C的中点,F为棱C D的中点,可得E(２,１,０),F(１,２,０)．所以D１Fң＝(１,０,－２),A１C１ң＝(２,２,０),A１Eң＝(２,１,－２)．设平面A１E C１的一个法向量为n＝(x,y,z),则有n A１C１ң＝０,n A１Eң＝０,{可得２x＋２y＝０,２x＋y－２z＝０,{令x＝２,可得一个n＝(２,－２,１),因为D１Fң n＝２－２＝０,所以D１Fңʅn,而D１F⊄平面A１E C１,所以D１Fʊ平面A１E C１．点评:判定立体几何中的线面平行问题,经常是借助直线的方向向量与对应平面的法向量的数量积为０,利用空间向量的代数形式的运算,结合两空间向量的垂直关系的转化,再利用空间线面平行的判定来处理．２．２面面平行问题利用空间向量解决立体几何中的面面平行问题的常见技巧方法为:①借助两平面对应的法向量为共线向量来转化与处理;②借助线面平行㊁线线平行来图３进行降维处理．例２㊀如图３,在正方体A B C DＧA１B１C１D１中,M,N,P分别是C１C,B１C１,C１D１的中点,求证:平面P MNʊ平面A１B D．分析:通过建立空间直角坐标系,确定对应点的坐标,分别设立与确定对应平面的一个法向量,利用０８复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀两个平面的法向量之间的线性关系得以确定其平行关系,进而证明对应的平面平行．解析:以点D １为坐标原点,以D １A １,D １C １,D １D 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为２,则P (０,１,０),M (０,２,１),N (１,２,０),可得P M ң＝(０,１,１),P N ң＝(１,１,０)．设n ＝(x ,y ,z )为平面P MN 的一个法向量,则有n P M ң＝０,n P N ң＝０,{可得y ＋z ＝０,x ＋y ＝０,{令x ＝１,可得一个n ＝(１,－１,１),而A １(２,０,０),B (２,２,２),D (０,０,２),可得A １B ң＝(０,２,２),A １D ң＝(－２,０,２),设m ＝(s ,t ,p )为平面A １B D 的一个法向量,则有m A １B ң＝０,m A １D ң＝０,{可得２t ＋２p ＝０,－２s ＋２p ＝０,{令s ＝１,可得一个m ＝(１,－１,１)．可得n ＝m ,即m ʊn ,平面P MN ʊ平面A １B D ．点评:判定立体几何中的面面平行问题,经常是借助两个平面的法向量的平行来分析与判断,进而直接利用空间向量的坐标代数运算来处理．当然借助线线平行㊁线面平行的判定或性质定理来辅助判断,要合理进行逻辑推理．２．３创新应用问题利用空间向量解决立体几何中有关线线平行㊁线面平行㊁面面平行等相关的探究性㊁存在性等创新应用问题,合理综合,巧妙应用．图４例３㊀如图４所示,在四棱柱A B C D ＧA １B １C １D １中,侧棱A １A ʅ底面A B C D ,A B ʅA C ,A B ＝１,A C ＝A A １＝２,A D ＝C D ＝㊀５,E 为棱A A １上的点,且A E ＝１２．(１)求证:B E ʅ平面A C B １;(２)在棱A １B １上是否存在点F ,使得直线D F ʊ平面A C B １若存在,求A １F 的长;若不存在,请说明理由．分析:(１)结合线面垂直的性质与判定,以及线段的比例关系以及角的转化,进而确定线线垂直,得以证明线面垂直;(２)通过建立空间直角坐标系,结合平面法向量的确定,假定点的存在,通过线段长度的设立,结合数量积的运算确定棱上点的存在性问题．解析:(１)因为A １A ʅ底面A B C D ,所以A １A ʅA C ,又因为A B ʅA C ,A A １ɘA B ＝A ,且A A １,A B ⊂平面A B B １A １,所以A C ʅ平面A B B １A １,又因为B E ⊂平面A B B １A １,所以A C ʅB E ．因为A E A B ＝１２＝A BBB １,所以øA B E ＝øA B １B ．因为øB A B １＋øA B １B ＝９０ʎ,所以øB A B １＋øA B E ＝９０ʎ,所以B E ʅA B １．又A B １ɘA C ＝A ,且A B １,A C ⊂平面A C B １,所图５以B E ʅ平面A C B １．(２)如图５,以A 为原点建立空间直角坐标系A Ｇx yz ,依题意可得A (０,０,０),B (０,１,０),C (２,０,０),D (１,－２,０),D １１,－２,２()．E ０,０,１２æèçöø÷．由(１)知,E B ң＝０,１,－１２æèçöø÷为平面A C B １的一个法向量,假设存在满足题意的点F ,设A １F ＝a (a ＞０)．则F (０,a ,２),D F ң＝(－１,a ＋２,２),由题意可知D F ңE B ң＝(－１,a ＋２,２) ０,１,－１２æèçöø÷＝a ＋２－１＝０,解得a ＝－１(舍去),即直线D F 的方向向量与平面A C B １的法向量不垂直,所以,在棱A １B １上不存在点F ,使得直线D F ʊ平面A C B １．点评:解决立体几何中的存在性问题,在空间直角坐标系的建立背景下,通过假设对应的数学元素的存在,结合参数值的设置,在此前提下进行合理的坐标运算与逻辑推理,进而推导与条件吻合或矛盾,进而确定存在性问题．３总结利用空间向量解决立几中的平行问题,主要的建立合适的空间直角坐标系,结合向量的坐标运算或数量积加以转化,进而解决立体几何中的平行问题,化形为数 ,淡化空间逻辑推理与证明,强化空间向量的代数运算．Z１８２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

巧用向量投影妙解几道题目

—
—
—
—
——
—
—
÷
———一 ÷ ———＿÷
日．一日．Ｂ＝ＡＥ．ＡＣ —ＡＦ．ＡＢ＝０．
证法２：Ａ ·Ｂ：Ａ日－（ —ＡＢ）＝
—
｝ ————— ———
—————｝
———＿÷ — ｝ — ｝ — ｝
日．Ａ —Ａ日．ＡＢ＝ＡＢ．ＡＣ —ＡＣ．ＡＢ＝０．
＿
影相等；要这样换，则是因为点Ｃ的位置特殊，（＝）利于后续转化．
例４如图６，在 △ Ｂ中，ＢＥ＿ＬＡＣ于点Ｅ，上Ｂ于点Ｆ，ＪＥ｝Ｅ、交于点日．求
证：ＡＨ－ｌＩＢ．
Ｃ
图４
由此可见，该题给出点（二）为外心实属多余，其实（＝）只要是ＢＣ边的垂直平分线ｆ上任意一
Ｐ．＝Ｐ．ｆ２ＡＯ１＝２ＡＰ．ＡＯ＝
２２：１８．
例２如图２，圆的半径为Ｒ，过圆外一
点Ｐ作圆的两条切线，切点分别为点、Ｂ，直
线ＡＢ上有一动点Ｍ，则ＣＭ ·ＣＰ‘＝．
—
—
‘｛．
Ｐ，
／／／
图２
图１
解析：审视题目，若注意到向量加法的平行四边形法则，则有
点即可．也即是说，对于直线ｆ上任意一点Ｐ，
都有
．＝．Ａｂ＝（。一ｚ）＝
１０．
还有这样一道题目：如图５，Ｏ、、是平面上的三点，向量（二）＝，ＯＢ＝－６－ｒ，设Ｐ

巧用平面向量解立体几何问题

=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6　求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1　如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2　正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3　如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4　如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1　在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。

巧用平面的法向量求角与距离

｛Ｃ＝ｏｊ：，１）ｆＰ：’ ｎ（一，１０＝，。一０一）Ｌｍ
ｍ
・・
．ｎ
ＣＳＯ＜ｍ，＞＝而，ｌ
＝了。
・
．．
ｚ－ｉＡ—Ｐｉ角￣Ｂ—Ｃ的大小为ａｃｓ。ｒｏｃ
兰了
三、平面的法向量求点平面的距离用
二、用平面的法向量求面角二二面角的两个法向量的夹角，是二面角的平面角就或补角。例２如图３Ｐ－面，Ａｊ平
ＡＢＣ，Ｃ上嬲，Ａ＝ＡＣ＝１ＡＰ，
舾平ＡＤ成ａｎ。与面日所角＝ｓｃｒ乎ｃｉ
Ｕ
难点剖析
３９
巧用平面的法向量求角与距离
● 徐继红
ｒ，，）００１＝０（Ｙｚ（，，），
￡，，（２１０＝。（Ｙ）√ ，，）０
则ｍ：（， √ ，）１一２Ｏ，
设平面ＰＣ的法向量为 Ⅳ＝（，）ＢＹ，
设ｎ是平面口的法向量ＰＨ上口Ｏ，Ｐ是ａ斜线Ｉ
刑Ｉ — Ｉ￣ｂ｝＝ＩＰ ×Ｉ＜ＦＯｃ－ｏ－＝
图１图２
。
例１如图２在长方体ＡＣ中，Ｂ＝４Ｂ，ＢＤＡ，Ｃ＝２又０是长方体的中心，Ｐ，Ｏ上平面ＡＣＥ是ＰＢＤ，Ｃ上一点，Ｅ＝Ｃ试求ＢＰ１Ｐ，Ｅ与底平面ＦＨ的法向量ｍ＝（，ｚ）ＧＹ，，

论单位向量的巧用

当
五．
曰
一
综上可知，／／二＝＞存在一个实数五，使得：２－。
ｅｌ
Ａ
６
Ｅ
Ｃ
－
－
（）
ｊ
评注：利用商形式后，便于学生理解。令书或＝一一骨雨的
评注：利用
图１菱形
途径之一。
２．１．２利用单位向量证明定理、等式例１证明向量共线定理向量共线定理阐述如下：对于向量西、，若／／
１单位向量的概念
量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。一个非零个单位向量在平面直角坐标系上的坐标可表示为是：（『ｌ ’ 后），
值的课题，已经受到人们广泛重视。向量（ＶｅＣｔｏｒ）又称矢量，即
大家还－．Ｉ￣Ｊ用前面介绍的两个同向单位向量相等的性
求出函数Ｙ＝４ｃｏｓｘ＋３ｓｉｎ埔更得最大值与最小值时对应的既有大小又有方向的量叫做向量。单位向量是一种特殊向量，质，的角度（此处不再赘述）。在一些情况下，我们可以利用单位向量的特性来巧妙解决数学中的问题，其方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效
ｌＣ
：
当高与裔同向时，Ｉ＝，则＝斟丽，令＝一尉，则有再：＝．当鬲与南反向时，裔：＝一鬲，则云。一一茸同，令：一罱，则有
对州

巧用向量的数量积解题例说

卢０）．ａｆ．卢詈 ∈ ，＇＜＋＜＝．号．ｌ．０ ’＋
证：＝瓜明设ｍｆａｂ √ ０
聆＝（，，口＋ｂ，）
ＣＳＣＳＯＯＯ￣一ｓｃｉ＝，ＣＳＯ＋Ｌｉ￣ｎＯ即Ｏ（Ｌ）＝，ｎｓｆｌ０
．
√ ＋＋．＋ｃＯ而。６Ｓ黑可Ｃ＋Ｏ
．
．
ａ
ｏ
ｃ
’
± ±！一
２ — —
２
ｂ２
ｃ２
ｃｓ｝。０６
证明：ｎ＝（ｙｚ，＝（，，）设ｌ，，），ａｂＣ，ｌ
ｍ，的夹角为ｏｏ ≤１，，ｌ（≤ ｒ）
＝・Ｔｏ０＝ｏＯｅｃｓｃｓ＝１
・
例４已知口６ｃ为正数，明：，，证
ｃｆｚ＋ｂ－ＣＩ－
≥ — ‘
ＣＳＯ／０４／
．
ｎ
＝
ｓｉｆｎｌ
・．
舞＝，
‘ ∈ ，，Ｏｓ，０）Ｏｌ詈．Ｓｎ．Ｌｏ・ｔＣ
当＝时ｍ＝运向的量，巧詈， ‘ ０用量数积可妙．
地解决许多非向量问题，现举例说明．
例已。为数明（３知，正，：＋）６证去
≤
１证明等式
、０４６／－．
例已（０＋１知０Ｃ￣ ∈’ ｎ篙詈Ｓ４０
．
ｍ，的夹角为０ｏ ≤百，，ｌ（≤ ）则
ｍ・ｌ＝ａ＋ｂ＋Ｃ，

单位向量的巧用

论单位向量的巧用摘要：单位向量是一类特殊的向量，是数学中基本概念之一。

本文首先介绍了单位向量，然后从利用单位向量求有关函数的最值、证明定理、等式、简化几何中轨迹问题、解有关三角问题以及单位向量与角以及在立体几何中的应用几个方面进行了实例的应用分析，从而达到快捷解题的目的，最后做了相关的结语。

关键词：单位向量理解巧用向量是现代教学中一个重要的概念。

它是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，也是沟通数学与物理及其他学科的桥梁。

在中学数学的教学中，向量教学是很有重要研究价值的课题，已经受到人们广泛重视。

向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。

单位向量是一种特殊向量，在一些情况下，我们可以利用单位向量的特性来巧妙解决数学中的问题，其方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效途径之一。

1单位向量的概念单位向量是一种特殊向量，单位向量是指模等于1的向量。

由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

一个非零向量与其模的倒数的乘积，可得与其方向相同的单位向量。

一个单位向量在平面直角坐标系上的坐标可表示为是：■，其中■。

其中■就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率。

这个向量是它在直线的一个单位方向向量。

2 单位向量应用举例2.1.1 利用单位向量求有关函数的最值例求函数■的最大值与最小值。

分析：本题中函数等号右边的结构很象两个向量数量积的坐标运算，因此通过构造法，将函数■看作两个向量■与单位向量■的数量积，即■；然后利用向量数量积的性质■和当■与■同向时，■；当■与■反向时，■，便可求得函数■的最大值与最小值具体解法如下：解：设■，■，则■。

■所以由向量的性质得■，得■。

（1）当■与■同向时，y有最大值，■；（2）当■与■反向时，y有最小值，■。

大家还可利用前面介绍的两个同向单位向量相等的性质，求出函数■取得最大值与最小值时对应的x的角度（此处不再赘述）。

2.1.2 利用单位向量证明定理、等式例1 证明向量共线定理向量共线定理阐述如下：对于向量■，若■存在一个实数，使得■证：必要性：由向量数乘的定义知，■，则存在一个实数■，使得■充分性：当■时，■当■时，■是向量■方向的单位向量，■是向量方向的单位向量。

三点共线向量式的巧妙运用

三点共线向量式的巧妙运用三点共线向量式是利用向量的几何性质来解决几何问题的一种方法。

它是基于以下事实：如果三点A、B、C在同一直线上，那么向量AB与向量BC是共线的。

这个性质可以用来解决很多几何问题，下面我们将介绍几个巧妙运用三点共线向量式的例子。

例子1：判断四边形的对角线是否相交考虑一个四边形ABCD，我们想判断它的对角线AC和BD是否相交。

我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AC=C-A向量AD=D-A向量AB=B-A如果AC与AD共线，即向量AC与向量AD的方向相同或相反，那么对角线AC与BD相交；如果AC与AB共线，即向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么对角线AC与BD不相交。

例子2：判断线段是否相交考虑两条线段AB和CD，我们想判断它们是否相交。

首先，我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AC共线且AB与AD共线，即向量AB与向量AC以及向量AB与向量AD的方向相同或相反，那么线段AB和线段CD相交；如果AB与AC共线但AB与AD不共线，即向量AB与向量AC的方向相同或相反但向量AB与向量AD的方向不同，那么线段AB和线段CD不相交。

例子3：判断四边形是否能构成平行四边形考虑四边形ABCD，我们想判断它是否能构成平行四边形。

我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AD共线且AC与AB共线，即向量AB与向量AD以及向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么四边形ABCD能构成平行四边形；如果AB与AD共线但AC与AB不共线，即向量AB与向量AD的方向相同或相反但向量AC与向量AB的方向不同，那么四边形ABCD不能构成平行四边形。

以上是三点共线向量式的几个巧妙运用，它们可以帮助我们在解决几何问题时更加便捷地判断线段是否相交、对角线是否相交以及判断四边形是否能构成平行四边形。

巧妙利用向量解决三角形边长问题

明它的合理性。
结论：如图，在̲ABC 中，D 是 BC
边上一点，且 BD : DC m : n ，则：
JJJG AD
JJJG JJJG O AC P AB （ O
m m
n
,
P
n m n
ф O P 1,O : P
m : n BD : DC ）
JJJG JJJG JJJG
反之，如上图在̲ABC 中，若有 AD O AC P AB(O ! 0, P ! 0) ，
参考文献
[1] 智婷婷 . 新课改背景下小学语文古诗词教学策略分析 [J]. 西部素质教育，2017，3（10）：257. [2] 陆凤仙 . 新课改背景下小学语文古诗词教学策略探讨 [J]. 教师， 2017（20）：20. [3] 王成果 . 新课改下小学语文古诗词的教学研究 [J]. 新教育时代电子杂志（教师版），2017（30）：61.
（上接 79 页）班级建设巩固党团建设的一种良性循环制度。第一，辅导员在班级制度建立和完善过程中，将党团活动出勤考核的严肃性融入到班级考勤制度中，实行缺勤零容忍制；第二，将构建学习型党团制纳入到班级学风制度中，提升学生自主学习，自我提升的能力；第三，将党团活动考评制度、党团推优评优、党员发展、培养和考核等制度纳入到班级综合评定考核制度中，提高学生积极进取的动力，并使班级制度具有更强的政治导向性和组织纪律性。
2 m
3 选（D）
回顾以上几个例题，这一结论的精髓在于：
1、在题目中的多个三角形中利用这一结论，得出同一矢量的
不同表示方法。对比表达式即可得到系数的值。
2、O P 1 这一关系非常重要，巧妙利用，可得到相关参数
的关系式。通过以上几个典例可见：在三角形中，三个向量起点相同，

巧构向量解题彰显“工具”本色

例３、证明柯西不等式：设有非零实数组口，口：，， … 及实
“ 函数中” 巧妙构造数组６。，６，ｂ，， …６，则（三Ｉ＝１ｂ） ≤（ｌ乏ｊ）（乏６ … ）例１、（２０１２年第二十三届“ 希望杯” 数学竞赛高二第二试）Ｔｈｅ
ｃ．． ‘ ．０＜Ｃ＜１
同理０＜口＜１，０＜６＜１，ｏ＊ｏ口。＜０，６＜ｂ，Ｃ２＜ｃ，．・．口２＋ｂ＋ｃ
巧妙。本文通过例题凸显了向量的“ 工具” 本色，供师生教与学中
参考和借鉴。
一
＜０＋６＋ｃ即＋６＋ｃ＜２，终— 匕所述： ÷ ≤口＋ｂ＋ｃ。＜２
语数外学习
Ｎｏ．Ｏ１．２０１３
ＹｕＳｈｕＷａｉＸｕｅＸｉ
２０１３年第１期
巧构向量解题彰显 “ 工具 ’ ’ 本色
．
沈为祥
（射阳县第二中学，江苏盐城
２２４３００）
摘要：数学新课程教学中，培养学生创新思维能力是一个重要环节，教学中除让学生掌握常规解题的基本方法，还要从不同角度思考问题，达到一题多解。本文通过例题说明构造向量来解决问题的简化，彰显了向量解题的巧妙，彰显了向量“ 工具” 本色。
、
ｍｉｎｉｍｕｍｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ
￣
，，＝ｒ＝
Ｃ．２
＋厢
Ｄ． √

巧用向量解中学数学题

‘ ．．
则茄一（１，１，ｏ），一（ｏ，０，１），一（１，一１，ｏ）．
．．
所以．一０，葡．一０．
即ＰＱ１．ＩＤＱ，ＰＱ＿上＿ＤＣ．
点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还
五、巧用向量解三角函数题
例５求证：ｃｏｓ（￣－ｐ）一ｃｏｓａｃｏｓｌｆ＋ｓｉｎａｓｉ
明两直线对应的向量的数量积为零即可，方法简便，更易于学生掌握，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空问想像能力的不足，发挥代数运算的长处．深入开发它的解题功能，向量将在数学解题中起到越来越大的
四、巧用向量证明不等式
、
巧用向量解高考立体几何题
由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但
只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成
向量，那解题就简便多了．
ＰＤ上平面ＡＢＣＤ，ＰＤ／／ＱＡ，ＱＡ＝ＡＢ—ＰＤ．
证明：平面ＰＱＣ＿＿Ｉ平面ＤＣＱ．
≤ｌ蔬ｌ。．１
‘ ． ‘ ‘ ．．
ｚ一（ｎ＋６）・（口ｚ＋６）．
证明：以Ｄ为坐标原点，线段ＤＡ的长为单位长，射线ＤＡ为轴的正半轴建立空间直角坐标系Ｄ—ｘｙｚ．

巧借法向量，破解截面问题

巧借法向量，破解截面问题ʏ福建省德化第一中学陈玉兰吴志鹏(正高级教师) 在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体所得到的图形㊂空间几何体的截面问题是高考的难点问题,主要考查截面形状的判断及其周长㊁面积等相关计算问题,也经常考查截面与空间几何体棱交点的位置问题㊂解决这些问题的关键是能在几何体中画出截面图形,一般可以从以下两个视角解决:一个是传统的欧式几何的视角,根据条件画出几何体的截面,需要一定的空间想象能力,这对于部分同学而言是难点;另一个是向量的视角,相比传统的欧式几何,用向量的方法解决问题不需要添加太多的辅助线,思维量小㊂用向量法解决平面问题,重点是求平面的法向量,灵活运用法向量去求解立体几何中空间距离㊁空间角等问题,本文着重介绍利用平面的法向量,求解与截面相关的问题㊂一㊁判断点与截面的位置关系图1例1 (2019年北京市高考)如图1,在四棱锥P -A B C D 中,P A ʅ平面A B C D ,A D ʅC D ,A D ʊB C ,|P A |=|A D |=|C D |=2,|B C |=3㊂E 为P D 的中点,点F 在P C 上,且|P F ||P C |=13㊂(1)求证:C D ʅ平面P A D ;(2)求二面角F -A E -P 的余弦值;(3)设点G 在P B 上,且|P G ||P B |=23㊂判断直线A G 是否在平面A E F 内,并说明理由㊂解析:(1)(2)解答过程略㊂(3)以点A 为坐标原点,平面A B C D 内与A D 垂直的直线为x 轴,分别以A D ң,A Pң为y 轴,z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系A -x yz ,则A (0,0,0),P (0,0,图22),C (2,2,0),D (0,2,0)㊂由P F ң=13P C ң,可得点F的坐标为F23,23,43㊂由P E ң=12P D ң,可得E (0,1,1)㊂设平面A E F 的法向量为m =(x ,y ,z ),则m ㊃A F ң=23x +23y +43z =0,m ㊃A E ң=y +z =0㊂据此可得平面A E F 的一个法向量为m=(1,1,-1)㊂由P (0,0,2),B (2,-1,0),且P G ң=23P B ң可得,A G ң=A P ң+P G ң=A P ң+23P B ң=43,-23,23㊂已知平面A E F 的一个法向量为m =(1,1,-1),可得m ㊃A G ң=0㊂又因为点A 在平面A E F 内,故直线A G 在平面A E F 内㊂评析:解决立体几何中点是否在平面内即多点共面问题,如果直接作出截面与棱的交点比较困难,那么可以考虑利用法向量解决问题,即平面的法向量与平面上的每条直线都垂直,过平面内的一点与平面的法向量垂直的直线都在平面内,利用向量的数量积是否为0,判断点是否在平面内㊂二㊁探究截面图形的基本元素1.判断截面图形的形状例2 在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别A D ,C 1D 1的中点,过M ,N ,B 1三点的平面截正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1所得的截面形状为( )㊂A.六边形 B .五边形C .四边形 D .三角形图3解析:以A 为坐标原点,分别以A B ң,A D ң,A A 1ң为x ,y ,z 轴的正方向,建立如图3所示的空间直角坐标系A -x yz ㊂不妨设|A B |=2,则M (0,1,0),B 1(2,0,2),N (1,2,2),故B 1N ң=(-1,2,0),B 1M ң=(-2,1,-2)㊂设n =(x ,y ,z )是平面B 1MN 的一个法向量,则n ʅB 1N ң,n ʅB 1M ң㊂故n ㊃B 1N ң=-x +2y =0,n ㊃B 1M ң=-2x +y-2z =0㊂不妨取n =(4,2,-3)㊂①若截面与棱A B 存在交点Q ,则可设Q =(a ,0,0),其中0ɤa ɤ2,此时M Q ң=(a ,-1,0)㊂因为M Q 在平面B 1MN 内,所以n ㊃M Q ң=4a -2=0,解得a =12㊂②若截面与棱D D 1存在交点R ,则可设R =(0,2,b )(0ɤb ɤ2),有M R ң=(0,1,b )㊂所以n ㊃M R ң=2-3b =0,解得b =23㊂依次连接点B 1,Q ,M ,R ,N ,就可以得到截面为五边形㊂选B ㊂评析:本题解答过程中假设Q 点与R 点是截面与棱A B ㊁D D 1的交点,此时求解出来的参数a ,b 均应在规定的范围内,若不在规定的范围内,则交点的位置发生改变,需重新假设交点的坐标㊂2.求解截面的周长例3 (第十三届希望杯全国数学邀请赛高一决赛)已知正四面体A -B C D 的棱长为6,点E ,F 分别是әA B C ,әA C D 的中心,点M 在A B 上,且|A M |=1,过M ,E ,F的平面截四面体A -B C D ,求截面的周长㊂解析:建立如图4所示的空间直角坐标系O -x yz ,则B (3,-3,0),C (3,3,0),D (-23,0,0),A (0,0,26)㊂图4因点E ,F 分别是әA B C ,әA C D 的中心,故E 233,0,263,F -33,1,263㊂所以F E ң=(3,-1,0)㊂E M ң=E A ң+A M ң=E A ң+16A B ң=-233,0,463+16(3,-3,-26)=-32,-12,6㊂设n =(x ,y ,z )是平面M E F 的一个法向量,则n ʅF E ң,n ʅE M ң㊂故n ㊃F E ң=3x -y =0,n ㊃E M ң=-32x -12y +6z =0㊂不妨取n =(2,6,1)㊂O M ң=O E ң+E M ң=36,-12,563,即M36,-12,563㊂设截面与B C 交于P 点,与C D 交于Q点,与A D 交于N 点,B P ң=λB C ң(0ɤλɤ1),则E P ң=E B ң+B P ң=E B ң+λB C ң=33,-3,-263+λ(0,6,0)=33,6λ-3,-263㊂所以n ㊃E P ң=63+6(6λ-3)-263=,解得λ=59,即B P ң=59B C ң㊂因此,O P ң=O E ң+E P ң=3,13,0 ,即P 3,13,0 ㊂同理可得,A N ң=16A D ң,N -33,0,563;C Q ң=49CD ң,Q -33,53,0㊂|MN |+|N Q |+|Q P |+|P M |=1+573+83+573=107+113,周长为107+113㊂评析:求解截面的相关问题(如截面的形状㊁周长㊁面积等),关键是求截面与空间几何体棱交点的位置㊂在传统的几何方法中,需要添加较多的辅助线,对同学们的几何直观和逻辑推理能力提出了较高的要求,难度较大㊂利用法向量思路清晰㊁思维量小,体现了向量在解决问题的工具性作用,对大家的空间想象能力要求不高,但对运算能力提出了挑战㊂三、探究截面与棱交点的位置图5例4 (2023年佛山二模)中国正在由制造大国向制造强国迈进,企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人,更需要努力培育工人们执着专注㊁精益求精㊁一丝不苟㊁追求卓越的工匠精神,这是传承工艺㊁革新技术的重要基石㊂如图5所示的一块木料中,A B C D 是正方形,P A ʅ平面A B C D ,|P A |=|A B |=2,点E ,F 是P C ,A D 的中点㊂(1)若要经过点E和棱A B 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线请说明理由并计算截面周长㊂(2)若要经过点B ,E ,F 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?请说明理由㊂图6解析:(1)以A 为原点,分别以A B ң,A D ң,A P ң为x ,y ,z 轴正方向,建立如图6所示的空间直角坐标系A -x yz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),E (1,1,1),D (0,2,0),P (0,0,2)㊂故A B ң=(2,0,0),A E ң=(1,1,1),D P ң=(0,-2,2)㊂设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面A B E 的一个法向量,则n 1ʅA B ң,n 1ʅA E ң㊂故n 1㊃A B ң=2x 1=0,n 1㊃A E ң=x 1+y 1+z 1=0㊂不妨取n =(0,1,-1)㊂设D Q ң=λD P ң,其中0ɤλɤ1㊂A Q ң=A D ң+D Q ң=A D ң+λD P ң=(0,2-2λ,2λ),由n 1㊃A Q ң=(2-2λ)-2λ=0,解得λ=12㊂故Q 为线段P D 的中点,连接E Q ,A Q ,也即B E ,E Q ,A Q 就是应画的线㊂因为P A ʅ平面A B C D ,A B ⊂平面A B -C D ,所以A B ʅP A ㊂又A B ʅA D ,P A ɘA D =A ,P A ,A D ⊂平面P A D ,所以A B ʅ平面P A D ㊂A Q ⊂平面P A D ,A B ʅA Q ,即截面A B E Q 为直角梯形㊂又|A B |=|P A |=2,所以|A Q |=2,|E Q |=1,|B E |=(2-1)2+(0-1)2+(0-1)2=3㊂所以,截面周长为2+3+3㊂(2)由(1)得F (0,1,0),则B E ң=(-1,1,1),B F ң=(-2,1,0),P D ң=(0,2,-2)㊂设平面B E F 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则n 2㊃B E ң=-x 2+y 2+z 2=0,n 2㊃B F ң=-2x 2+y 2=0㊂取n 2=(1,2,-1)㊂设P D ɘ平面B E F =H ,设P H ң=t P D ң=t (0,2,-2)㊂B H ң=B P ң+P H ң=B P ң+t P D ң=(-2,2t ,2-2t)㊂由n 2㊃B H ң=-2+2ˑ2t -(2-2t )=6t -4=0,解得t =23,即H 为P D 的三等分点(|P H |=23|P D |),连接E H ,F H ,即E H ,F H 就是应画的线㊂例5 在底面是菱形的四棱锥P -A B -C D 中,P A ʅ平面A B C D ,øB A D =120ʎ,点E 为棱P B 的中点,点F 在棱A D 上,平面C E F 与P A 交于点K ,且|P A |=|A B |=3,|A F |=2,则点K 到平面P B D 的距离为㊂解析:以A 为原点,分别以A B ң,A P ң为x图7轴,z 轴正方向,建立如图7所示的空间直角坐标系A -x yz ,则P (0,0,3),B (3,0,0),E 32,0,32,C32,332,0,F (-1,3,0)㊂设K (0,0,t ),故C E ң=0,-332,32,C F ң=-52,-32,0,C K ң=-32,-332,t㊂设平面C E F 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃C E ң=332y -32z =0,n ㊃C F ң=-52x -32y =0㊂化简得3y -z =0,5x +3y =0㊂不妨取n =(3,-5,-53)㊂则n ㊃C K ң=-332+1532-53t =0,解得t =65,故K 0,0,65㊂易得平面P B D 的法向量为m =(1,3,1),P K ң=0,0,-95,故点K 到平面P B D 的距离为|P K ң㊃m ||m |=9525㊂例6 如图8所示的木质正四棱锥模型P -A B C D ,过点A 作一个平面分别交P B ,P C ,P D 于点E ,F ,G ,若|P E ||P B |=35,|P F ||P C |=12,则|P G ||P D |的值为㊂图8解析:在正四棱锥P -A B C D 中,连接A C ,B D 交于O 点,连接P O ,则P O ʅ平面A B C D ,A C ʅB D ㊂以O 为坐标原点,射线O A ,O B ,O P 为x ,y ,z 轴正方向,建立如9所示的空间直角坐标系O -x yz ,设P (0,0,b ),A (a ,0,0),B (0,a ,0),D (0,-a ,0),C (-a ,0,0)(a ,b >0)㊂图9则P B ң=(0,a ,-b ),P C ң=(-a ,0,-b ),A P ң=(-a ,0,b ),A E ң=A P ң+P E ң=A P ң+35P B ң=-a ,3a 5,2b 5,A F ң=A P ң+P F ң=A P ң+12P C ң=-3a 2,0,b 2㊂设平面A E F 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃A E ң=-a x +3a 5y +2b 5z =0,n ㊃A F ң=-3a 2x +b 2z =0㊂平面A E F 的一个法向量为n =b ,-b3,3a㊂设|P G ||P D |=λ,P G ң=λP D ң,其中0ɤλɤ1㊂则A G ң=A P ң+P G ң=A P ң+λP D ң=(-a ,-λa ,(1-λ)b ),所以n ㊃A G ң=-a b +λa b 3+3(1-λ)a b =0,解得λ=34,故|P G ||P D |=34㊂评析:截面问题以长方体或正方体为背景的问题学生比较容易入手,但对于一般的空间几何体,学生则缺乏应对的策略,经常会束手无策㊂而利用平面的法向量,可以直接从代数运算方向处理,方法简单㊁思维量小㊂注:本文系福建省教育科学十四五规划2022年度协同创新专项课题基于整体观的高中数学生态课堂建构与实施 (立项编号:F jx c z x 22-279)研究成果㊂(责任编辑徐利杰)。

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数河南平顶山市第三高级中学金小欣 467000一、梅涅劳斯（Menelaus ）定理简介：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于M 、N 、K 三点，则：1=⋅⋅KACKNC BN MB AM 。

证明：过顶点B 作AC 的平行线与截线交于E ，则有：BE AK MB AM = ，CKBENC BN =，∴ 1=⋅⋅=⋅⋅KACK CK BE BE AK KA CK NC BN MB AM对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。

②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点分点分点顶点→→ ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶点。

③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。

二、梅涅劳斯定理的一个应用例子题目：在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|→--OM |∶|→--OA |=1∶3，|→--ON |∶|→--OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记→--OA = a →，→--OB =b →，用 a →，b →表示向量OP --→.先给出高中常规解法（待定系数法）如下：解法一：∵ B 、P 、M 共线∴ 记→--BP =s →--PM∴ 1111113(1)13(1)s s s OP OB OM OB OA b a s s s s s s --→--→--→--→--→→→=+=+=+++++++--------① 同理，记AP t PN --→--→= ，得： →--OP =114(1)t a b t t →→+++--------② ∵ a →,b →不共线∴ 由①、②得113(1)114(1)s t s t s t ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩解之得：9283s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 321111OP a b --→→→=+ 上述解法的基本思想是：先设法求出点P 分AN 、BM 的比，理论依据：一个是教材例题的结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。