巧用向量解题

巧用向量解题

张建峰

高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为高考的一个新内容，也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛，下面笔者就此进行探讨。

一. 向量基础知识

1. 向量的数量积定义：。

2. 向量夹角公式：a与b的夹角为θ，则。

3. 向量共线的充要条件：b与非零向量a共线存在唯一的，使。

4. 两向量平行的充要条件：向量平行。

5. 向量垂直的充要条件：非零向量

6. 向量不等式：。

7. 向量的坐标运算：向量，则。

二. 向量的应用

1. 利用向量证明等式

对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。

例1. 已知α、β是任意角，求证：。

证明：在单位圆上，以x轴为始边作角α，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角β，终边交单位圆于B，有

所以

又有

即成立。

2. 利用向量证明不等式

当求解问题中（式子）含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

，构造向量解之。

例2. 是正数。

求证：。

证明：设

所以。

由数量积的坐标运算可得：。

又因为

所以成立。

3. 利用向量求值

对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系，求出所需量的值。

例3. 已知，求锐角α、β。

解：由条件得

设

则

由

即

则

即

同理（因为α、β为锐角）。

4. 利用向量求函数值域

巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。

例4. 若，求的最小值。

解：构造向量

由

即

所以

当且仅当时，有最小值。

例5. 设x是实数，求的最小值。解：因为

故可设

所以

当时等号成立。

所以当时，取得最小值。

5. 利用向量解决解析几何问题

平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考所考查的热点，解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

例6. 过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知

。

（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

解：（1）设的方程为，代入

得

当时，设

则

设，由，

再将代入得（*）

时，满足（*）式。

当斜率不存在时，易知满足（*）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。

当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）因为，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是

，即。

当k不存在时，A、B坐标分别为，不满足上式。

又

化简得

此方程无实数解，故不存在直线使OAPB为矩形。

所以，不存在满足条件的直线l。