高中数学复数练习题百度文库
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题 1．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．24．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞5．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +7．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．2 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 10．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ） A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i12．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +13．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 14．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．315．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 16．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +17．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．9 19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i20．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+二、填空题21．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________.23．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.24．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 25．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．设12z i =-，则z =___________ . 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 31．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 32．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 33．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．34i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．35．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 36．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．37．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．39．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．设复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++（m ∈R ），试求m 取何值时？ (1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．43．已知i 是虚数单位，复数()()221i z m m m =---，m ∈R.(1)当复数z 为实数时，求m 的值； (2)当复数z 纯虚数时，求m 的值.44．由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则()()()321111z z z z ωω-=---．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了31z -的有理分解式．请你仿此将151z -进行有理分解．45．在复平面内，复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，求线段AB 的中点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B 13．D 14．B 15．C 16．C 17．D18．C19．D20．B二、填空题21．－1＋2i##2i－1 222324．25．四26．13i22-+2728．29．2-30．1##1+ 31．13i+##3i1+32．7π3334．1-1-35．236．2i+##i2+ 37．238．039．340．三、解答题41．【解析】【分析】由题可得21230130mm⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1．42．(1)2m =-或1m =-； (2)3m =； (3)2m <-或3m >. 【解析】 【分析】（1）（2）利用复数的分类，分别列式，求解作答. （3）复数的几何意义列式，求解作答. (1)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是实数，则22220320m m m m ⎧-->⎨++=⎩，解得2m =-或1m =-，所以当2m =-或1m =-时，z 是实数. (2)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是纯虚数，则22lg(22)0320m m m m ⎧--=⎨++≠⎩，解得3m =，所以当3m =时，z 是纯虚数. (3)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++在复平面内对应点2222(lg(,)32)m m m m --++，依题意，22lg(22)0320m m m m ⎧-->⎨++>⎩，解得：2m <-或3m >，所以当2m <-或3m >时，z 对应的点位于复平面的第一象限. 43．(1)1或1-； (2)0. 【解析】 【分析】(1)虚部为零，则为实数；(2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数. (1)当210m -=时，得1m =±； (2)当22010m m m ⎧-=⎨-≠⎩时，得0m =.44．()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】 【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z ， 则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.45．12i + 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出点A 、B 的坐标，可得出线段AB 的中点坐标，利用复数的几何意义即可得出结果. 【详解】解：由复数的几何意义可得()1,1A 、()1,3B ，所以线段AB 的中点为()1,2M ， 故线段AB 的中点所对应的复数为12i +.。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 22．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1D ．13．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ--4．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ） A ．负实数 B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．27．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）10．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ）A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 12．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．213．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③14．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=15．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+ D ．11i 22-16．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．518．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ） A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i20．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.23．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________. 24．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 25．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 26．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.27．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 28．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.33．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．34．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.37．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 40．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________． 三、解答题41．已知复数()2i z a =+，i 43w =-其中a 是实数，(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； (2)若zw是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232023z z z z w w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.43．已知复数()()()2i 1i 24i z a a a R =--+++∈．(1)若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；(2)求2i 7iz--的取值范围．44．已知211i 1z m m =++，21(23)i 2z m =-+，m R ∈，i 为虚数单位．且12z z +是纯虚数．(1)求实数m 的值； (2)求12z z ⋅的值．45．若复数()()()22223i z m m m m m R =+-+--∈的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合.【参考答案】一、单选题 1．A 2．C3．C4．B5．C6．C7．A8．B9．D10．B11．B12．A13．B14．D15．C16．D17．A18．D19．D20．A二、填空题21．8322．22324．125．126．－4＋3i##3i-4 27．028．129．12i--##2i+1 30．731．1i-+2,+∞32．[)33．11+34．2312π3536．1 37．2 38．339．13i +##3i 1+ 40．-2 三、解答题41．(1)1a > (2)①2； ②1-. 【解析】 【分析】（1）化简复数212i z a a =-+，根据复数z 在第一象限，列出不等式组，即可求解；（2）化简复数()()22464383i25aa a a zω--++-=，由zw是纯虚数，求得2a =，化简得到i zω=，结合虚数单位的性质，即可求解.(1)解：由题意，复数()22i 12i z a a a =+=-+，因为复数z 在第一象限，可得21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >．(2)解：由题意，复数()()()()()()()()2222222i i 43i i i 43i 43i43i 43i 43i a a a a zω++++++===--+- ()()()2222223464383i 48i 4i 3i 6i 3i 16925a a a a a a a a --++-+++++==--，因为zw 是纯虚数，则2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得2a =或12a =-，又因为a 是正实数，则2a =，当2a =时，复数224648i 3i 3i 16i 12i 3ii 2525za a a a ω--++-+-===， 因为41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，n N ∈，所2320232334202i i i i i zz z z ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()4678202122352023022i i i i i i i i i i i =++++++++⋅⋅⋅+++()00i i 11=+++--=-．42．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根， 所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 43．(1)4a =(2)⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）首先根据复数代数形式的乘法运算化简复数z ，即可得到复数在复平面内所对应的点的坐标，最后代入直线方程，即可求出a ；（2）根据复数代数形式的除法运算化简2i 7iz --，再根据复数模的计算公式及二次函数的性质计算可得； (1)解：因为复数()()()2i 1i 24i z a a a R =--+++∈，所以()222i i i 24i 326i z a a a a a =-+-+++=-++，所以z 在复平面内对应的点为()32,6a a -+，因为在复平面内对应的点在直线0x y -=上，即为()3260a a --+=，解得4a =；(2) 解：由[]()232(6)i i 32(6)i2i 72i 72i 7(6)32i 2i 713i i i i a a z a a a a a a -++-++--=--=--=+----=--所以2i 713i iza a --=--== 所以当且仅当110a =2i 7i z --的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭44．(1)1 (2)3i 4-- 【解析】 【分析】（1）求出12z z +，根据纯虚数的定义求出m 的值即可；（2）求出2z ，再根据复数代数形式的乘法法则计算，从而求出12z z ⋅的值． (1)解：因为211i 1z m m =++，21(23)i 2z m =-+ 所以21211(23)i 12z z mm m ⎛⎫+=+-++ ⎪+⎝⎭，12z z +是纯虚数，∴223011012m m m ⎧+-=⎪⎨+≠⎪+⎩，解得1m =； (2)解：由（1）得111i 2z =+，211i 2z =-+， 则211i 2z =--，∴212111331i 1i 1i i i 22244z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-+=-+=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 45．312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由共轭复数定义可得z ，根据对应点的象限可以构造不等式组求得结果. 【详解】由题意得：()()22223i z m m m m =+----，z 对应的点在第一象限，()2220230m m m m ⎧+->⎪∴⎨--->⎪⎩，解得：312m <<， ∴实数m 的取值集合为312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +6．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．27．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 12．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4C D 13．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4 16．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．217．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD 20．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 28．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________． 35．计算cos 40isin 40cos10isin10________．36．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．已知复数2(2)()i z m m m =-+-，其中i 是虚数单位，m 为实数． (1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围． 43．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值. 44．已知1z ，2z ∈C ，12z =，23z =，124z z +=，求12z z ．（提示：()1122cos isin z z z z θθ=+或()1122cos isin z zz z θθ=-，θ是1z ，2z 所表示的向量的夹角．） 45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．B 11．A 12．A 13．A 14．A15．B 16．A 17．B 18．B 19．C 20．D 二、填空题 21．35 22．123．12或12##12-或12 24．四 25．1 26．13i 22-+ 27．1i -##i+1-2829．2- 30．5 31．i - 32．825i 625- 33．[]4,6 343512i36．12- 37．()0,3 38．039．12-##0.5- 40．9 三、解答题41．【解析】 【分析】由题可得21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1． 42．(1)2 (2)()0,1 【解析】 【分析】（1）由复数z 为纯虚数，得到220m m m -=⎧⎨-≠⎩，即可求解； （2）由复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，得出不等式组2200m m m -<⎧⎨-<⎩，即可求解. (1)解：由题意，复数2(2)()i z m m m =-+-， 因为复数z 为纯虚数，则满足2200m m m -=⎧⎨-≠⎩，解得2m =. (2)解：由复数2(2)()i z m m m =-+-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，可得2200m m m -<⎧⎨-<⎩，解得01m <<， 所以m 的取值范围为()0,1.43．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析(3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1.44．16+或16 【解析】 【分析】算出1z ，2z 所表示的向量的夹角的正、余弦即可. 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，则22223431cos 223124OAC +-∠==-=-⨯⨯ 所以1cos 4AOB ∠=，所以15sin AOB ∠= 所以122115115346z z ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或121156z z =. 45．证明详见解析 【解析】 【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．5B ．5C ．2D ．22．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A ．2B ．3C ．23D ．323．已知 i 是虚数单位，复数41322i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．26．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i -- 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A 17B ．4C 7D 59．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四10．3i3i-+=+（ ）A ．43i 55+ B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 12．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1- 13．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-14．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 15．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．i18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i20．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．22．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 23．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．25．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．26．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 27．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.28．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.29．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 30．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________． 31．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.33．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________.34．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．35．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.36i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 37．计算cos 40isin 40cos10isin10________．38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 39．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 三、解答题41．已知()122i z x =+-，()()2234i z y x =++-，其中,x y 均为实数，且12z z =，求,x y .42．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ； （2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.43．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．44．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+． 45．设C z ∈，则满足条件34z <<的点Z 的集合是什么图形？【参考答案】一、单选题 1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．D 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D 13．D 14．A 15．D 16．B 17．B 18．D 19．D20．A 二、填空题 21．825i 625-2223．-224 25．126．1i -+（答案不唯一） 27．9 28．1 29．1 30．-2 31．6 32．2 33．2或2- 34．8335．[)2,+∞36．1-1-3712i 38．③39．40．2 三、解答题 41．21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】12z z =，23242y x x +=⎧∴⎨-=-⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩.42．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<. 【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得()2256,215m m m m ++--Z ，因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<，故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限. 43．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 44．证明详见解析 【解析】【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.45．是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界） 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出结论. 【详解】设()i ,R z x y x y =+∈22223,9z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为3的圆， 22224,16z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为4的圆，所以满足条件34z <<的点Z 的集合是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界），如图所示.。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ） A ．4BC ．2D ．102．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)3．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．12 D ．1i 26．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）AB ．4CD9．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1 D ．0或-110．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ）A ．1B ．15C ．3D ．1611．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）ABC．D．12．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 513．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞14．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．517．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15- B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-18．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 19．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +20．3i3i-+=+（ ） A ．43i 55+ B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--二、填空题 21．若复数2iiz -=-，则z =_______． 22．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.23．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.24．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 25．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________；26．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.27．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 28．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________．29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 30．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 31．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________.32．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 33．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 34．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 35．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.36．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.37．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 38．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 39．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 40．已知i34i z =+，求|z |=___________ 三、解答题41．已知复数z 是纯虚数，212iz -+为实数. (1)求复数z ；(2)若m ∈R ，复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.42．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值．(1)()211i i ()x y x y x y -++=-+-- ；(2)22()623i 01x x x x x --+--=+. 43．已知复数125i z =+，()212cos i z θ=+. (1)求11z z ⋅；(2)复数1z ，2z 对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，其中O 为坐标原点，当π3θ=时，求12OZ OZ ⋅的值.44．设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈. (1)若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值； (2)求12z z +的取值范围．45．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值.【参考答案】一、单选题 1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B 11．B 12．A13．A 14．D 15．D 16．A 17．B 18．C 19．C 20．B 二、填空题21．12i -22．()34-，23．224．13i +##3i+1 251##1-26．1 27．四 28．3-29．12i -##2i+1- 30．13i 22-+31323334．35．9 36．35372. 38．13i + 39．－5i##－5i －40．15##0.2 三、解答题41．(1)4i z =- (2)14-<<m 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)因为复数z 为纯虚数， 所以设()i ,0z b b R b =∈≠，则i (5122i 12i 12i (12)(122i)(2i)22(4)i i)b z b b b --+---+===+++++-，又212iz -+为实数 ∴404b b +=⇒=-，即4i z =-； (2)因为m R ∈，4i z =-所以有()222222228i 168i 16(88)i m z z m mz z z m m m m --=-+-=+-+=-++， 又复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限， 所以有：2160m -<且880m +>，即14-<<m .42．(1)32x y =⎧⎨=-⎩；(2)x ＝3. 【解析】 【分析】（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答. (1)因x ，y ∈R ，()211i i ()x y x y x y -++=-+--，则有211x x y y x y -=-⎧⎨+=--⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=-⎩. (2)因x ∈R ，22()623i 01x x x x x --+--=+，于是得22601230x x x x x ⎧--=⎪+⎨⎪--=⎩，解得3x =， 所以3x =. 43．(1)29(2)127OZ OZ ⋅= 【解析】 【分析】（1）结合共轭复数、复数乘法运算求得正确答案. （2）结合向量数量积的坐标表示求得正确答案. (1)∵1125i,25i z z =+=-，∴()()1125i 25i 42529z z ⋅=+⋅-=+=. (2)∵()12,5OZ =，()21,2cos OZ θ=.12210cos OZ OZ θ⋅=+，∵π3θ=，∴12π210cos 73OZ OZ =+=⋅. 44．(1)34π(2) 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得(cos sin )(cos sin )i z θθθθ=-++，再列出等量关系cos sin 0θθ+=，求解即可；（2）先计算12z z +=[]0,θπ∈和余弦函数的性质，分析即得解 (1)由题意，12cos isin )(cos sin )(cos sin )i (1i)(z z z θθθθθθ=+++⋅=⋅+=- 若复数12z z z =⋅为实数，则cos sin 0θθ+= 故tan 1θ=-，[]0,θπ∈ 解得：34πθ=(2)由题意，11i z =-，2cos isin z θθ=+12|(1)cos sin |||(1cos )(1i s )i i in z z θθθθ=-++=+-+++==由于[]0,θπ∈，故5,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故1cos()42πθ-≤+≤121z z =+≤故12z z +的取值范围是45．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析 (3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1.。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
高中数学复数练习题附答案
高中数学复数练习题附答案一、单选题 1．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．复数(2i 的虚部为（ ） A ．2 B．C．2-D ．03．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D ．既非充分又非必要4．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 5．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i + 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2C ．i -D ．1-10．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）ABC．D．12．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1B ．15C ．3D ．1613．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） ABC ．12D ．214．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ） A ．5BC ．10D15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（ ） A ．2B．5C ．D ．318．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 19．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 23．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．已知i34i z =+，求|z |=___________26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 27．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 28．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________． 30．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 31．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=34．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 36．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．39．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 40．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________. 三、解答题41．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42．已知复数13i z m =-，212i()z m R =+∈. (1)若12z z 是实数，求m 的值；(2)若复数12z z 在复平面内对应的点在第三象限，且15z ≥，求实数m 的取值范围.43．数列{}n a 满足1112,1n n n a a a a +-==+，试研究数列{}n a 的周期性. 44．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．45．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +，2i -+，12i --，求第四个顶点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B 9．D 10．D 11．B 12．B 13．A 14．D 15．B 16．B 17．B 18．D 19．D 20．A二、填空题 21．122．12i -##2i+1- 23．24．四 25．15##0.2 26．1i -##i+1- 2728．0 2930．31．12-##0.5- 32．1 3334．[]4,635．1-1- 36．2312π37．()0,3 38．③ 39．12 40三、解答题 41．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解．【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y42．(1)32m =- (2)46m ≤< 【解析】 【分析】（1）由复数的除法法则化简后根据复数的定义计算；（2）由对应点所在象限求得参数范围，再由模求得参数范围，两者结合可得． (1)123i (3i)(12i)6(23)i 12i (12i)(12i)5z m m m m z -----+===++-，它是实数，则(23)0m -+=，32m =-； (2)由（1）12z z 对应点坐标为623(,)55m m -+-，它在第三象限， 则6052305m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得362m -<<，又15z =，4m ≤-或4m ≥， 综上，46m ≤<． 43．周期为4 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x +=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】数列{}n a 的递归函数为()11x f x x -=+，其特征方程为210x +=. 因为Δ=01440-⨯=-<，解得：i,i m k ==-()1i 36arg arg arg i 1i 24a mc a kc ππ--⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭所以数列{}n a 是周期4T =的周期函数. 44．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 45．2i - 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可． 【详解】设复数12i +，2i -+，12i --对应的点分别为,,A B C 则(1,2)A ，(2,1)B -，(1,2)C --，所以()()3,1,1,3AB BC =--=-，所以033·AB BC =-+=，所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ，则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形， 所以AB DC =，即(3-，1)(1x -=--，2)y --即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，则(2,1)D -，对应的复数为2i -， 故答案为：2i -。
高二数学复数练习试题 百度文库
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
28．下面四个命题，其中错误的命题是（）
A． 比 大B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数
C． 的充要条件为 D．任何纯虚数的平方都是负实数
29．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数D． 的共轭复数为
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故选：D.
6．B
【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.
【详解】
由题，得，所以.
故选：B.
解析：B
【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.
【详解】
由题，得 ，所以 .
故选：B.
7．C
【分析】
根据模的运算可得选项.
【详解】
所以，或，或.
故选：AC
【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
解析：AC
【分析】
令 ，代入原式，解出 的值，结合选项得出答案．
【详解】
令 ，代入 ，
得 ，
解得 ，或 ，或 ，
所以 ，或 ，或 .
故选：AC
【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
19．ACD
【分析】
解析：D
【分析】
先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以其共轭复数为 .
故选：D.
2．C
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．
复数试题及答案高中数学
复数试题及答案高中数学一、选择题1. 复数z = 3 + 4i的模是（）A. 5B. √5C. √(3² + 4²)D. 42. 已知z₁ = 2 - i，z₂ = 1 + 3i，求z₁z₂的值是（）A. 5 - iB. 5 + iC. 2 + 5iD. 2 - 5i3. 复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是（）A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i二、填空题4. 复数3 - 4i的实部是______，虚部是______。
5. 若复数z满足|z| = 5，且z的实部为3，则z的虚部可以是______。
三、解答题6. 求复数z = 2 + 3i的共轭复数，并计算|z|。
7. 已知复数z₁ = 2 + i，z₂ = 1 - 2i，求z₁ + z₂，z₁ - z₂，z₁z₂。
8. 证明：对于任意复数z，都有|z|² = z * z的共轭复数。
答案一、选择题1. C. √(3² + 4²) = 52. A. 5 - i （(2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i - 3 = 5 - i）3. D. 1 + i （1/(1 - i) = (1 + i)/2）二、填空题4. 3，-45. ±4 （因为|z|² = 3² + 虚部²，所以虚部² = 25 - 9 = 16，虚部= ±4）三、解答题6. z的共轭复数是2 - 3i，|z| = √(2² + 3²) = √13。
7. z₁ + z₂ = (2 + i) + (1 - 2i) = 3 - iz₁ - z₂ = (2 + i) - (1 - 2i) = 1 + 3iz₁z₂ = (2 + i)(1 - 2i) = 2 - 4i + i - 2i² = 4 - i8. 证明：设z = a + bi，其中a和b是实数，i是虚数单位。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．06．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +7．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i12．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1或4- C ．4- D ．0或4- 13．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4 C D 14．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+ 15．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1B ．15C ．3D ．1616．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞17．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C ．D ．418．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2B C ．D ．319．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i -20．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 二、填空题 21．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．22．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.25．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 26．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 27．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.28．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________.29．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 30．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 33．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．34．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________35．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．36．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 37．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________. 38．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 39．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________.40．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 三、解答题 41．已知复数z 1i ，z 2＝12-+ (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设C z ∈，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 42．将下列复数表示成三角形式 (1)πtan i,(0,)2θθ+∈； (2)[)1cos isin ,0,2πααα++∈．43．已知复数22(1)i()z m m m m =+-+-∈R ，其中i 为虚数单位． (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值； (2)若m ＝2，设ii(,)i z a b a b z +=+∈-R ，试求a ＋b 的值． 44．设复数z ＝log 2（m 2－3m －3）＋ilog 2（m －2）（m ∈R ），对应的向量为OZ .(1)若OZ 的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ |； (2)若OZ 的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围． 45．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C9．D 10．D 11．D 12．C 13．A 14．D 15．B 16．A 17．C 18．B 19．A 20．D 二、填空题21．11+ 22．123．12或12##12-或12 24．125 2627．－4＋3i##3i-428．29．1 30．－1＋2i##2i －1 31．i - 32．－5i##－5i －3334．()0,3 35．036．22i +##2i 2+3739．1 40．2 三、解答题41．(1)12122,1,z z z z ==>(2)以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周） 【解析】 【分析】（1）根据复数模的计算公式可求得1||z ，2||z 的值； （2）根据复数几何意义可解决此问题． (1)解：（1）13i z =+，212z =-，1||2z ∴，2||1z =， ∴12z z >； (2)解：由21||||||z z z ≤≤，得1||2z ≤≤，根据复数几何意义可知复数z 对应的点到原点的距离， 所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合， |z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，所以复数z 对应的点Z 的轨迹是以原点O 为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分（包括两边界）． 42．(1)1ππsin icos cos 22θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； (2)当0πα≤<时,2cos cos isin 222ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当π2πα≤<时，2cos cos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式 即可求解；（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；(1)()sin 1tan i i sin icos cos cos θθθθθθ+=+=+， π(0,),cos 02θθ∈∴>，1ππtan i sin icos cos 22θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (2)21cos isin 2cos isincos222ααααα++=+2coscos isin 222ααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵当0πα≤<时，π022α≤<，cos 02α>， ∴1cos isin 2cos cos isin 222ααααα⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， 当π2πα≤<时，π<π22α≤，cos02α≤，∴1cos isin 2cos cos isin 222ααααα⎛⎫++=--- ⎪⎝⎭2coscos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 43．(1)2- (2)75【解析】 【分析】（1）由实部等于0得到实数m 的值； （2）把复数iiz z +-整理成i a b +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +． (1)由题意可得：220m m +-=，且10m -≠，2m ∴=-； (2)若m ＝2，则4i z =+，所以2i 42i 2i (2i)34i i i 42i 2i (2i)(2i)5z a b z +++++=====+----+， 35a ∴=，45b =，75a b ∴+=.44．(1)m ＝4，|1OZ =(2)4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】(1)显然是复数z 的实部为0，即可求解； (2)z 的实部为负数，虚部为正数即可. (1)因为OZ 的终点z 在虚轴上，所以复数z 的实部为0， 则有log 2（m 2－3m －3）＝0，所以m 2－3m －3＝1， 所以m ＝4或m ＝－1； 因为20m -> ，所以m ＝4， 此时z ＝i ，()0,1OZ =,1OZ = ； (2)因为OZ 的终点Z 在第二象限内，则有()()2222log 330log 2033020m m m m m m ⎧--<⎪⎪->⎨-->⎪⎪->⎩4m << ，所以4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭45．(1)2 (2)1i -+【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i z z =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i aa a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i 000=++++⋅⋅⋅+1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
完整版)高中数学复数练习题
完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。
2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。
3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。
特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。
特别z·z=a²+b²。
4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。
三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。
-1 B。
1 C。
0 D。
-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 2．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 3．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--4．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ） A ．655B ．13C ．3D ．155．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．29．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．iD ．1-11．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i 12．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --13．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=14．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-15．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．518．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件19．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD 20．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+二、填空题21．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 24．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 25．已知i34i z =+，求|z |=___________26．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 27．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 28．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．31．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________.32．已知复数1i z =+，则2z z+=____________33．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.34．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______.35．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．36．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．37．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．38．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 39i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．40．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________． 三、解答题41．已知z 是虚数，求证：4z z+是实数的充要条件是2z =．42．实数k 为何值时，复数()()223456i z k k k k =--+--是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？43．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ．44．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．45．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcos isin 55+．【参考答案】一、单选题 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．A 10．D 11．D 12．C14．C 15．D 16．D 17．A 18．A 19．C 20．D 二、填空题21 22231##1-24．2022- 25．15##0.2 26．1 27．13i 22-+ 28．1i -##i+1-29．()34-，30．331 32．33．1 34．1 35．[]4,6 36．8337．11+ 38．－5i##－5i －39．1-1-40．-2 三、解答题41．证明见解析 【解析】 【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠，由复数运算化简得2222444i xyz x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；当2z =时，可得42z x R z +=∈，证得充分性；当4z z+是实数时，可得224x y +=，必要性得证；由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠， 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时，224x y +=，则2240y y x y -=+，2242xx x R x y +=∈+， 42z x R z ∴+=∈，即4z z +是实数，充分性成立； 当4z z+是实数时，2240yy x y-=+，又0y ≠，224x y ∴+=，即2z =，必要性成立；4z z∴+是实数的充要条件是2z =. 42．(1)6k =或1k =-； (2)6k ≠且1k ≠-； (3)4k =； (4)1k =-. 【解析】 【分析】（1）解方程2560k k --=即得解； （2）解不等式2560k k --≠即得解；（3）解不等式2560k k --≠，且2340k k --=即得解； （4）解方程2560k k --=，且2340k k --=即得解. (1)解：当2560k k --=，即6k =或1k =-时，z 是实数； (2)解：当2560k k --≠，即6k ≠且1k ≠-时，z 是虚数； (3)解：当2560k k --≠，且2340k k --=，z 是纯虚数，即4k =时为纯虚数；(4)解：当2560k k --=，且2340k k --=，即1k =-时，z 是0.43．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++， 所以22+1=2=0a b a ab b -++解得：1,2a b =-=12x =- 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+-解得：1,2c d ==，即12x =±故：12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中1111(1,0),(1,0),((,((,2222A B C D E F --- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故233361S ==44．（1）()()()2102021a a a a a a αβ⎧-<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||32a =53i)+或53i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+， 故||||422||a a αβ+-+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||1a αβ+=-②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，11i a α=--，11i a β=--，故||||2112a aαβ+=+-=综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---， 则20020004325||2()2()2818a x x xx x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+． 45．(1)不是三角形式，化为三角形式为17π7πcos isin244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2)不是三角形式，化为三角形式为14π4πcos isin233⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (3)不是三角形式，化为三角形式为1ππcos isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(4)是三角形式. 【解析】 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭=，其中12r ==，故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭17π7πcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1122⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭14=-，其中12r ==，故三角形式为1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭14π4πcos isin 233⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsinisin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭不是三角形式，13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭，12r ==，故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭1ππcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcosisin 55+是三角形式.。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC3．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-14．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +5．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4- 9．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--10．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ） AB ．5C D ．213．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+ 14．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．iD ．1-15．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i + C ．1117i - D ．1923i +17．已知z1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -20．设i 为虚数单位，则)10i 的展开式中含2x 的项为（ ）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x 二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________.22．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 23．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 24．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 25．若复数2iiz -=-，则z =_______． 26．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．27．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.28．已知复数1i z =+，则2z z+=____________29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．33．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.34．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______． 35．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 36．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.38．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.39．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．设复数z满足：()2i z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且1z -是z 和2z -的等比中项，求z .42．已知复数2(2)()i z m m m =-+-，其中i 是虚数单位，m 为实数． (1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．43．已知O 为坐标原点，向量12,OZ OZ 分别对应复数12z z ，，且12i z +和12iz-均为实数，211iz z =+，（z 为z 的共轭复数）. (1)求复数1z 和2z ；(2)求以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形的面积.44．已知复数()()2224i z m m m =--+-（其中，m R ∈，i 为虚数单位）在①0z >；②z 为纯虚数；③z 的实部与虚部相等．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． (1)若______，求实数m 的值；(2)若复数2(1i)1z m -++的模为5，求实数m 的值．45．已知ABC 中，AB ，AC 对应的复数分别为12i -+，23i --，通过几何作图求出这两个复数和与差对应的向量．【参考答案】一、单选题 1．C 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B 11．C 12．A 13．B14．D15．D16．B17．D18．D19．B20．A二、填空题21．1 22．2022-23．124．13i-+22 25．12i-26．12728．29．12i--##2i+1 30．131．1i-+ 32．-233．13i+4,6 34．[]π35．70,3 36．() 37．138．239．40．三、解答题41．1z【解析】 【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，化简()2i z ，根据该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，得到x ，y 的关系，然后由2|1||||2|z z z -=⋅-，2||z z z =求解. 【详解】解：设()i ,z x y x y R =+∈，则()((2i 22i z x y y x ⎡⎤=-++⎣⎦， 因为该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以((220x y y x ⎡⎤-++=⎣⎦即y =则()i ,z x x R =∈， ∵2|1||||2|z z z -=⋅-，2||z z z =∴()()11z z --=()1z z z -++=()22212z x =-228441x x x =-+12x -=∴1z ， 42．(1)2 (2)()0,1 【解析】 【分析】（1）由复数z 为纯虚数，得到220m m m -=⎧⎨-≠⎩，即可求解； （2）由复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，得出不等式组2200m m m -<⎧⎨-<⎩，即可求解. (1)解：由题意，复数2(2)()i z m m m =-+-， 因为复数z 为纯虚数，则满足2200m m m -=⎧⎨-≠⎩，解得2m =. (2)解：由复数2(2)()i z m m m =-+-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，可得2200m m m -<⎧⎨-<⎩，解得01m <<， 所以m 的取值范围为()0,1.43．(1)142i z =-，2z =(2)12 【解析】 【分析】（1）设()1i ,z a b a b =+∈R ，根据复数代数形式的加法、除法运算法则化简12i z + 、12iz -，再根据复数的类型求出参数a 、b ，即可求出1z ，再化简2z ，从而求出其模；（2）首先根据复数的几何意义求出1Z 、2Z 的坐标，即可求出12OZ Z S ，从而求出平行四边形的面积； (1)解：设()1i ,z a b a b =+∈R ，则由()12i 2i z a b +=++为实数，20b ∴+=b 20∴+=，2b ∴=-．则由()()()()1i 2i i 22i 2i 2i 2i 2i 55a b z a b a b a b +++-+===+---+为实数，可得205a b+=， 4a ∴=，所以142i z =-，211142i 42i i 4i i iz z =+=++=+-=+，所以2z =(2)解：因为142i z =- ，24i z =+，所以()14,2Z -、()24,1Z ，所以1214362OZ Z S =⨯⨯=， 所以以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形的面积12212OZ Z S S ==．44．(1)选①, 2m =-; 选②, 1m =-; 选③, 2m =; (2)2m =或4m =-. 【解析】 【分析】（1）选①根据题意知复数为正实数，由实部大于0，虚部等于0列出式子求解，选②根据纯虚数知实部为0，虚部不为0求解，选③由实部虚部相等列方程求解；（2）化简复数，根据复数的模列出方程求解. (1)若选①，因为0z >，则222040m m m ⎧-->⎨-=⎩，解得2m =-；若选②，因为z 为纯虚数，则222040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-；若选③，因为z 的实部与虚部相等，则2224m m m --=-，解得2m =. (2)因为()()22222(1i)124i i+1=(1)4i z m m m m m m m -++=--+------，所以22(1)(4)5m --+-=， 解得2m =或4m =-. 45．见解析 【解析】 【分析】分别表示出复数对应的向量，结合向量的运算求解. 【详解】以A 为复平面的坐标原点，以,AB AC 为邻边作平行四边形，如图，所以12i -+，23i --的和对应的向量为AD .()()12i 23i -+---对应的向量为CB ，如图，()()23i 12i ----+对应的向量为BC ，如图，。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．32．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D ．既非充分又非必要3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 4．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-9．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.10．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( ) A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 513．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞D ．(),3-∞15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 17．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 18．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +19．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝020．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1-二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________.23．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 24．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 25．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．26．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 27．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.31．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________.32．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.33．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.34i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 35．计算cos 40isin 40cos10isin10________．36．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 37．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.38．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.39．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________. 三、解答题 41．已知复数023i z =+，(1)若复数z 满足003zz z z =+，求z ；(2)若z C ∈，0z z =，0z z +=0z z -的值.42．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+．(1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．43．已知i 为虚数单位，实数m 分别取什么数值时，复数()22(1)iz m m m =+-+-满足下列条件： (1)纯虚数；(2)复平面内对应的点在直线y x =上. 44．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 45．已知ABC 中，AB ，AC 对应的复数分别为12i -+，23i --，通过几何作图求出这两个复数和与差对应的向量．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B7．A8．C9．D10．D11．B12．A13．B14．A15．B16．D17．C18．C19．D20．D二、填空题21．12223．124．125．四26．3-2728．29．13i+##3i+1 30．3531．2i-+32．733．234．1-1-351i236．037．338．9π39．13i +##3i 1+ 40．9 三、解答题41．(1)79i 1010z =-;【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法列出方程，由复数相等求解即可；（2）根据复数的几何意义及条件可知以OA ，OB 为邻边的平行四边形是菱形，解三角形后知AOB 是正三角形即可得解. (1)设i z a b =+ (),a b ∈R ， 因为023i z =+，003zz z z =+所以0(i)(23i)3(i)(23i)zz a b a b =++=+++， 所以(23)(32)i (32)(33)i a b a b a b -++=+++由3233a b a b +=-⎧⎨-=⎩, 解得710910a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以79i 1010z =-(2)设复数0z ，z ，0zz +在复平面内对应点分别为A ，B ，C由0z z =OA ，OB 为邻边的平行四边形是菱形， 在OAC 中，AC OA =OC 所以，1cos 2OAC ∠=-，所以，23OAC π∠=，所以，3AOB π∠= 因此，AOB 为正三角形，故00z z z -==42．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】 【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果； （2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长.(1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=， 整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩，所以()()()()()12i 2i 12i 5ii 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=，所以复数()4i zp q +-的模为1.43．(1)2m =- (2)1m =± 【解析】 【分析】（1）实部为0，虚部不为0即可； （2）实部等于虚部即可得解. (1)由已知22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩ 解得211m m m =-=⎧⎨≠⎩或2m =-所以(2)由已知212m m m -=+-21m =1m =±44．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，32b =±，∵复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，∴32b =-，∴113i 22z =-； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-. 45．见解析 【解析】 【分析】分别表示出复数对应的向量，结合向量的运算求解. 【详解】以A 为复平面的坐标原点，以,AB AC 为邻边作平行四边形，如图，所以12i -+，23i --的和对应的向量为AD .()()12i 23i -+---对应的向量为CB ，如图，()()----+对应的向量为BC，如图，23i12i。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-2．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 4．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --7．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i -B ．3+3i -C ．3i +D ．3i -+11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）AB C ．12D ．213．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．i17．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 18．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ） A ．z 1＋z 2＋z 3＝0 B ．z 1－z 2－z 3＝0 C ．z 1－z 2＋z 3＝0 D ．z 1＋z 2－z 3＝019．已知z1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2D ．20．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i -- B ．22i + C ．22i -+ D ．22i +或22i -+二、填空题21．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 22．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 23．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 25．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 26．设12z i =-，则z =___________ .27．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________. 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.30．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______. 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 33．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 34．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.36．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．37．计算：112i2i-=+___________. 38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________.40．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.三、解答题41．已知复数z 满足：i 1i z +=-． (1)求z ； (2)求1iz+的模． 42．设复数z ＝log 2（m 2－3m －3）＋ilog 2（m －2）（m ∈R ），对应的向量为OZ .(1)若OZ 的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ |； (2)若OZ 的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．43．已知复数()()211i z a a a R =-++∈.(1)若复数z 是虚数，求实数a 的值； (2)若复数z 是纯虚数，求实数a 的值. 44．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值.45．若复数()()()22223i z m m m m m R =+-+--∈的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合.【参考答案】一、单选题 1．C2．D3．C4．B5．D6．D7．A8．D9．D10．B11．B12．A13．B14．D15．B16．B17．D18．D19．D20．D二、填空题21．13i+2223．1i-##i+1-2425．i2627．－4＋3i##3i-428．29．130．73132．233．3＋2i34．()0,3 35．1 36．037．43i -##3i 4-+ 38．339 40．35 三、解答题41．(1)12i +【解析】 【分析】（1）先求出12z i =-，再求出z ；（2）先利用复数除法法则化简得1i 2i 321z --=+，从而求出模长. (1)12z i =-，12i z =+(2)()()()()2212i 1i 12i 13i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 1i 222----+--====--++--，故1i 24z = ⎪+⎝⎭42．(1)m ＝4，|1OZ =(2)342m ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】(1)显然是复数z 的实部为0，即可求解； (2)z 的实部为负数，虚部为正数即可. (1)因为OZ 的终点z 在虚轴上，所以复数z 的实部为0， 则有log 2（m 2－3m －3）＝0，所以m 2－3m －3＝1，所以m ＝4或m ＝－1； 因为20m -> ，所以m ＝4， 此时z ＝i ，()0,1OZ =,1OZ = ； (2)因为OZ 的终点Z 在第二象限内，则有()()2222log 330log 2033020m m m m m m ⎧--<⎪⎪->⎨-->⎪⎪->⎩4m << ，所以4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭43．(1)1a ≠-； (2)1. 【解析】 【分析】（1）根据虚数的概念求解即可；（2）根据纯虚数的概念由虚部不为0，实部为0建立关系式求解即可. (1)因为()()211i z a a a R =-++∈是虚数，所以10a +≠，解得1a ≠-， (2)因为()()211i z a a a R =-++∈是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =.44．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析 (3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值.(1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1. 45．312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由共轭复数定义可得z ，根据对应点的象限可以构造不等式组求得结果. 【详解】由题意得：()()22223i z m m m m =+----，z 对应的点在第一象限，()2220230m m m m ⎧+->⎪∴⎨--->⎪⎩，解得：312m <<， ∴实数m 的取值集合为312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.。
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C．复数z对应的点Z在一条直线上D． 与z对应的点Z间的距离的最小值为
17．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）
A．若复数 ，则 B．若复数 满足 ，则
C．若复数 满足 ，则 D．若复数 ， 满足 ，则
18．设复数 满足 ，则下列说法错误的是（）
A． 为纯虚数B． 的虚部为
C．在复平面内， 对应的点位于第三象限D．
19．下面是关于复数 （i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）
A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为
20．下列结论正确的是（）
A．已知相关变量 满足回归方程 ，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1
B．在两个变量 与 的回归模型中，用相关指数 刻画回归的效果， 的值越大，模型的拟合效果越好
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知 ，则复平面内与 对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．设复数 满足 ，则 的共轭复数 在复平面内的对应点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．设 ，复数 ，若 ，则 （）
A．10B．9C．8D．7
A． B．2C． D．4
6．若 是纯虚数，则实数 的值为（）．
A． B．0C．1D．
7．若复数 （ ）为纯虚数，则 （）
A． B． C．3D．5
8．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点 （）
A．恒在实轴上B．恒在虚轴上C．恒在直线 上D．恒在直线 上
9．复数 满足 ，则 在复平面上对应的点位于（）
【详解】
因为，所以，.
所以.
故选：C
解析：C
【分析】
首先根据复数相等得到 ， ，再求 的模即可.
【详解】
因为 ，所以 ， .
所以 .
故选：C
15．B
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．
【详解】
解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得
故选：B
解析：B
【详解】
设复数 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ，
因为 时，不能满足 ，舍去；
故 ，所以 ，其对应的点 位于第二象限，
故选：B.
10．C
【分析】
由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．
【详解】
由题意，，
∴，对应点，在第三象限．
故选：C．
解析：C
【分析】
由复数的乘方与除法运算求得 ，得 后可得其对应点的坐标，得出结论．
B选项，设复数 ，则 ，
因为 ，所 ，若 ，则 ；故B错；
C选项，设复数 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ；故C正确；
D选项，设复数 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，若 ， 能满足 ，但 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.
18．AB
13．已知 为虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
14．若 为虚数单位， ，且 ，则复数 的模等于（）
A． B． C． D．
15．若复数 （ 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 （）
A． B． C． D．
二、多选题
16．已知复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点为 ，复数z满足 ，下列结论正确的是（）
A．纯虚数 的共轭复数是 B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数D．若 ，则 与 互为共轭复数
29．（多选） 表示( )
A．点 与点 之间的距离B．点 与点 之间的距离
C．点 到原点的距离D．坐标为 的向量的模
30．设复数z满足 ,i为虚数单位,则下列命题正确的是( )
A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
【详解】
由题是纯虚数，
为纯虚数，
所以m=1.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟
解析：C
【分析】
对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.
【详解】
由题 是纯虚数，
为纯虚数，
所以m=1.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
D．对任意的复数 ，都有
23．已知复数 则（）
A． 是纯虚数B． 对应的点位于第二象限
C． D．
24．已知复数 （其中 为虚数单位），则以下结论正确的是（）
A． B． C． D．
25．下列命题中，正确的是（）
A．复数的模总是非负数
B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应
C．如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
【分析】
先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
由题意得：，即，
所以z不是纯虚数，故A错误；
复数z的虚部为，故B错误；
在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确
解析：AB
【分析】
先由复数除法运算可得 ，再逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
由题意得： ，即 ，
所以z不是纯虚数，故A错误；
一、复数选择题
1．复数 （其中i为虚数单位）的虚部为（）
A． B． C．9D．
2．已知i为虚数单位，则复数 的虚部是（）
A． B． C． D．
3．已知复数 ，则复数 在复平面内对应点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4． ＝（）
A．1B．-1C．2D．-2
5．若复数 ，则 （）
故选：B.
解析：B
【分析】
对复数 进行化简，再得到 在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
， 在复平面内对应点为 ，在第二象限.
故选：B.
4．D
【分析】
先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.
【详解】
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
故选：D.
解析：D
【分析】
先求 和 的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.
复数 的共轭复数对应的点与点 关于实轴对称，B错误；
设 ，代入 ，得 ，即 ，整理得， ；即Z点在直线 上，C正确；
易知点 到直线 的垂线段的长度即为 、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.
【详解】
由题意 ， ，
∴ ，对应点 ，在第三象限．
故选：C．
11．D
【分析】
先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案
【详解】
解：因为，
所以，
所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，
故选：D
解析：D
【分析】
先对 化简，从而可求出共轭复数 ，再利用复数的几何意义可得答案
【详解】
解：因为 ，
先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部.
【详解】
因为，所以其虚部是.
故选：A.
解析：A
【分析】
先由复数的除法运算化简复数 ，再由复数的概念，即可得出其虚部.
【详解】
因为 ，所以其虚部是 .
故选：A.
3．B
【分析】
对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
，在复平面内对应点为，在第二象限.
17．AC
【分析】
根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；
B选项，设复数，则，
因为，所，若，则；故B错；
C选项，设
解析：AC
【分析】
根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，设复数 ，则 ，因为 ，所以 ，因此 ，即A正确；
C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
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一、复数选择题
1．C
【分析】
应用复数相乘的运算法则计算即可.
【详解】
解：
所以的虚部为9.
故选：C.
解析：C
【分析】
应用复数相乘的运算法则计算即可.
【详解】
解：
所以 的虚部为9.
故选：C.
2．A
【分析】
根据 得 ，得 ， .
所以复数 在复平面内对应的点 恒在实轴上，
故选：A．
9．B
【分析】
先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.
【详解】
设复数，
由得，
所以，解得，
因为时，不能满足，舍去；
故，所以，其对应的
解析：B
【分析】
先设复数 ，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出 ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.
解析：ACD
【分析】
根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出 ，利用 ，结合复数模的运算进行化简，由此判断出 点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.
【详解】
复数 在复平面内对应的点为 ，A正确；
所以 ，