§0-4 函数概念

§0-4 函数概念

我们在日常生活中或对某个科学技术问题的研究过程中，会遇到各种各样具体的量。它们会表现出非常不同的状态，其中有的量在我们观察或研究的整个过程中始终保持同一个数值(称它为常量)；而另外有些量在上述过程中时而变大，时而变小(称它为变量)。例如，从郑州直飞北京的客机，在整个飞行过程中，飞机机翼的长度和乘客的人数等都是常量，而飞机离地面的高度和机上汽油的储存量等都是变量。对于一个具体的量(常量或变量)，当选定一个单位量(简称为单位)后，经过对该量的测量后就得到抽象的(实)数。常量就对应一个常数，而变量在不同的时刻可能取到不同的数值，即它对应(实)数的一个集合。不管是常量还是变量，数学上都用某个字母表示它，例如把它表示成a 或x . 此时，所用的字母既表示这个量本身，也表示这个量所取的数值或数值组成的集合。就字母本身来说，它自然没有显示出是常量还是变量。因此，常在字母前面加上“常量”或“变量”之类的说明语，如常量a 或变量x . 在多数情形下用x 表示变量，可是在某些场合也用x 表示常量。

一个具体的量到底是常量还是变量，这与我们所讨论的过程有关。假若没有指明所讨论的是什么样的过程，一般说来，不能认定一个量到底是常量还是变量。例如，半径为r 的球的体积

3(4/3)V r π=,它是常量还是变量？假若研究过程是球沿直线的滚动(半径不变)，它在滚动过程

中是常量；假若把球从低温处移动到高温处，分别测量移动前和移动后球的体积时，就会发现球的体积V 变大了，即它是变量。

特别地，称取值于单元集a (a 为实数)的量为常量。在我们的定义下，常量是特殊的变量。假若变量x 的变化域X 含在某个有限区间内，则称它为有界变量；否则，就称它为无界变量。取值于区间的变量称为连续变量。数列),2,1(Λ=n a n 是取“离散值”的变量。

变量是微积分中的第一个基本概念，而第二个基本概念就是变量之间的“相依关系”或“函数关系”。例如，在上一段中说的那架从郑州飞往北京的客机，飞机离地面的高度H 和机上汽油的储存量Q 都是随飞行时间t 的变化而变化的。在这个例子中，称飞行时间t 为自变量，而称飞机离地面的高度H 或机上汽油的储存量Q 为因变量。这样的例子，我们可以举出很多。例如，

正方形的面积2x S =（边长0>x 是自变量，S 是因变量）；

球的体积3

43

v r π=

（半径0r >是自变量，v 是因变量）； 自由落体下落距离21

2

s gt =（时间0≥t 是自变量，s 是因变量）。

作为暂时的定义，就称因变量为函数。

早期(19世纪以前)的函数概念常与所谓“数学公式”联系在一起。这样，离开具体实际问题，把自变量和常数经过不超出有限次所许可的代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）或超越运算（取无理指数幂，取指数，取对数，取三角函数，取反三角函数），就可以随手写出很多函数。例如

2,log(sin(23),

=

==+=+L x y y y x y x

称它们为初等(显)函数。其中，只包含有代数运算(不含有超越运算)的函数称为代数(显)函数。需要指出的是，例如函数

x

x y 22cos sin += 或 2

ln (1)e x y +=

中，尽管含有超越运算，但它们仍是代数函数（*）

。

最简单的代数函数自然是多项式

2012()n n p x a a x a x a x =++++L

其次是有理函数

()

()

p x q x （多项式的商） 其中2012()m m q x b b x b x b x =++++L 也是多项式。有理函数中不包含有关自变量的开方运算，

而包含有关自变量开方运算的代数函数(，称为无理函数。同样，例如

4x y =不算是无理函数(仍是有理函数)。

上面所说的代数函数指的是代数显函数或初等代数函数。所谓“显函数”是相对于下面所说的“隐函数”来说的。把函数写成形式)(x f y =，其中)(x f 是关于x 和常数的数学运算式，称它为显函数；而由一个(函数)方程0),(=y x F 所确定的因变量y ，其中y 的取值由自变量x 和等式

0),(=y x F 所确定，称它为隐函数，例如方程2522=+y x .可是写成225x y -±=时，它就变

成显函数。一个方程，它关于y (在实数范围内)不一定有解(如0122=++y x )，所以有的方程不能确定出(实值)函数；而有的方程关于y 有解，可是作为解的隐函数)(x y y =不一定能解出来(即使有的代数方程也是如此)。

设),(y x F 是关于x 和y 的二元多项式，而方程0),(=y x F ，不妨写成

0)()()()(2210=++++n n y x a y x a y x a x a Λ

在实数范围内确定的隐函数)(x y y =也称为代数函数，但不一定能写成显函数(因为关于未知数

y 的四次以上的代数方程不一定能用根式求解)，即)(x y 不一定是初等代数函数。

由方程确定的隐函数可能是“多值函数”，例如上面指出的，由方程2522=+y x 至少．．确定两个函数

225x y -= 与 225x y --=

而微积分研究的是“单值函数”。遇到这种情形时，我们自然要把它们分开来研究，并把其中的每

（*）

因为有恒等式22sin cos 1,x x +≡2

ln(1)2e 1x x +=+

一个函数称为单值分支。

把一个(抽象)概念或一种理论，用图形或模型来说明是日常生活或学习中常用的方法。例如用数轴上的点表示实数或用方框图表示计算机各部分的 工作原理就是如此。在直角坐标平面Oxy 上，用点(,)x y 的 横坐标x 表示函数)(x f y =的自变量，而用纵坐标y 表示函 数值)(x f ，则当自变量x 取遍自己的变化域时， 所有点

))(,(x f x 在平面Oxy 上所形成的图形(图0-5)，称为该函

数)(x f y =的图形(或图象)。它使我们对函数(因变量)的变

化状态有一个整体上的直观认识。经验告诉我们，理论科学中的许多结论最初都来自直观。借助函数图形，不仅可以说明某些函数的特有性质，而且也建立了微积分的研究对象(函数)与几何学的研究对象(曲线)之间的关系。这种方法来源于笛卡儿的坐标法。

例4 当自变量x 在实数集合(,)-∞+∞中取值时，作为“因变量”的y 恒取同一个数值c (常量)。此时，把y 说成因变量或函数与上面所说的因变量的 含义有点不协调。这是以后要修改函数定义的原因之一。 我们暂且把它看成一个特殊的函数。它的图形是平行于Ox 轴(截距为c )的直线c y =(图0-6)。

例5 一次函数b kx y +=的图形也是一条直线，其中b 称为它在Oy 轴上的截距，而

tan (0)y b

k x x

ϕ-==

≠ 称为它的斜率(图0-7)。在平面解析几何中，称y kx b =+为直线的斜截式方程。通过已知点00(,)x y 且斜率为k 的直线方程为

00()y y k x x -=-（点斜式方程，图0-8）

直线方程还有

:

(截距式)

1=+b

y

a x (0)a

b ≠(图0-9) 和(

一般式)0ax by c ++=22(0)a b +≠ 例6 反比函数

图0-5

x

图0-6