§0-4 函数概念
函数的定义与性质
函数的定义与性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在不同的数学分支和实际问题中都起着至关重要的作用。
本文将探讨函数的定义和性质，并从不同角度解释函数的本质。
一、函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用字母表示函数，例如f(x)或g(x)。
函数的定义通常包含以下几个要素：1. 定义域（Domain）：函数的定义域是指输入变量的取值范围。
例如，对于函数f(x) = √x，定义域为非负实数集合[0, +∞)。
2. 值域（Range）：函数的值域是指函数在定义域中能够取到的所有值的集合。
例如，函数f(x) = x²的值域为非负实数集合[0, +∞)。
3. 映射规则（Mapping Rule）：函数的映射规则描述了输入变量和输出变量之间的关系。
例如，函数f(x) = 2x + 1表示将输入变量x乘以2并加1得出输出变量f(x)。
二、函数的性质函数具有多种性质，包括连续性、单调性、奇偶性等。
下面将介绍其中一些常见的性质。
1. 连续性（Continuity）：函数在定义域内的每个点都是连续的。
具体来说，函数在某一点x=a处连续，意味着当x趋近于a时，函数值f(x)趋近于f(a)。
例如，函数f(x) = sinx在其定义域内是连续的。
2. 单调性（Monotonicity）：函数在定义域内的每个点都具有单调性。
单调递增意味着对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)≤f(x₂)；单调递减则意味着对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)≥f(x₂)。
例如，函数f(x) = x³是单调递增的。
3. 奇偶性（Parity）：奇函数具有f(-x) = -f(x)的性质，即关于原点对称；偶函数具有f(-x) = f(x)的性质，即关于y轴对称。
例如，函数f(x) = x³是奇函数，而函数g(x) = x²是偶函数。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。
一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。
2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。
换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。
3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。
换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。
4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。
换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。
三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。
例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。
(完整版)高考函数知识点总结(全面)
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 （1)函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。
②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。
B C ⊆（2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法:（1） 定义法 (2)变量代换法 （3)待定系数法(4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
求函数定义域的主要依据： (1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零;（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。
复合函数定义域：已知f （x ）的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。
三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=f （x ）中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f （x ）用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
数学函数的概念和性质
数学函数的概念和性质数学函数是一种将一个或多个输入值映射到唯一的输出值的特殊关系。
它在数学中起着至关重要的作用，被广泛应用于各个数学领域和其他学科中。
函数可以用数学表达式、图表、图像或其他形式进行表示。
数学函数通常用字母表示，如f(x)或g(x)，其中x表示输入值。
函数的输入值称为自变量，输出值称为因变量。
例如，可以定义一个简单的线性函数f(x) = 2x + 1，其中x可以是任何实数，而f(x)则是x的两倍加一。
函数的性质和特点有以下几点：1. 定义域：函数的定义域是指所有可能的输入值的集合。
对于某些函数，定义域可能是有限集合，例如在一个离散函数中。
对于其他函数，定义域可能是整个实数集合。
2. 值域：函数的值域是指所有可能的输出值的集合。
对于某些函数，值域可能是有限集合或者无限集合。
例如，对于一个多项式函数，其值域可能是整个实数集合。
3. 单调性：函数的单调性指的是函数在定义域上的增减关系。
如果函数在定义域内的任意两个点x1和x2（x1 < x2）上满足f(x1) < f(x2)，则函数是递增的。
相反，如果对于任意两个点x1和x2满足f(x1) > f(x2)，则函数是递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性可以根据函数的定义进行判断。
如果对于函数的任意一个定义域上的点x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
如果对于函数的任意一个定义域上的点x，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
5. 幂函数：幂函数是指以自变量为底数的函数。
幂函数的一种常见形式是f(x) = x^n，其中n是一个实数。
幂函数的性质包括定义域为整个实数集，值域为非负实数集，当n是偶数时函数是偶函数，当n是奇数时函数是奇函数。
6. 反函数：如果函数f的输出值对应了唯一的输入值，那么函数f有一个反函数f^(-1)。
反函数的性质是，f(f^(-1)(x)) = x，并且f^(-1)(f(x)) = x。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数在数学里是一种非常重要的数学对象，被广泛应用于各个领域。
它具有一些基本的概念和性质，下面将介绍它们。
一、函数的基本概念函数是一种对应关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的唯一元素上。
一般来说，设A和B是两个非空集合，如果对于A中的每个元素a都有唯一确定的元素b与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。
通常用f表示这个函数，可以写作f：A→B。
其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是定义函数的两个重要方面。
函数的定义域指的是所有输入的可能值，而值域则是所有可能的输出值。
2. 单射、满射和双射：函数的性质可以根据其映射关系来分类。
如果一个函数每个不同的输入值都有不同的输出值，那么它是一个单射函数，也被称为一一对应函数。
如果一个函数的值域与其值域相等，即每个值域中的元素都有对应的定义域元素，那么它是一个满射函数。
而如果一个函数既是单射又是满射，那么它被称为双射函数，也叫做一一映射函数。
3. 复合函数：复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入而得到的函数。
假设有两个函数f：A→B和g：B→C，那么它们的复合函数是指另一个函数h：A→C，其中 h(x) = g(f(x))。
4. 反函数：有些函数存在反函数，反函数是指与原函数的映射关系相反的另一个函数。
如果一个函数f：A→B存在反函数，那么它的反函数可以表示为f^(-1)：B→A。
5. 奇偶函数：如果一个函数f(-x) = f(x)对于任意x成立，那么它被称为偶函数。
如果一个函数f(-x) = -f(x)对于任意x成立，那么它被称为奇函数。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，这类函数被称为既非奇也非偶的函数。
6. 周期函数：如果一个函数f(x + T) = f(x)对于任意x成立，其中T是一个常数，那么函数f是一个周期函数，周期为T。
7. 上下界和最值：函数的上下界是指函数在定义域上能够取到的最大值和最小值。
初中数学函数定义及性质归纳
初中数学函数定义及性质归纳数学中的函数是一种非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
在初中数学中，我们需要了解函数的定义及其性质，这对我们进一步学习数学知识和解决实际问题是非常有帮助的。
本文将详细介绍初中数学中函数的定义及其常见性质。
首先，我们来回顾一下函数的定义。
函数是一种将每一个自变量（输入）与唯一确定的因变量（输出）对应起来的关系。
简单来说，函数就是一种映射关系。
用数学符号表示，函数通常用f(x)或y来表示，其中x表示自变量，y表示因变量，f表示函数名。
函数的定义域表示所有可能的自变量值，而值域表示所有可能的因变量值。
函数有一些基本的性质，我们来逐一介绍。
1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个重要性质。
定义域是自变量可能取值的集合，它决定了函数能够接受哪些输入。
值域是函数输出的范围，它决定了函数的输出结果。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数图像的变化趋势。
如果函数在定义域上是递增的（即随着自变量增大，因变量也增大），那么函数是单调递增的。
如果函数在定义域上是递减的（即随着自变量增大，因变量减小），那么函数是单调递减的。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性。
如果对于函数的任意自变量x，f(-x) = f(x)，那么函数是偶函数；如果对于函数的任意自变量x，f(-x) = -f(x)，那么函数是奇函数。
若同时满足偶函数和奇函数的条件，那么函数既是偶函数又是奇函数，这种函数称为零函数。
4. 周期性：函数的周期性描述了函数图像在横坐标上的重复性。
如果对于函数的任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，那么函数的周期为T。
5. 约束条件：有时候函数在定义域上还需要满足一些约束条件。
例如，比如有一个函数y = f(x)，但是我们只考虑自变量大于0的情况，那么函数的定义域就是x>0。
在初中数学中，我们经常需要根据函数的定义及其性质，进行一些推理和解题。
下面是一个简单的例子：例题：已知函数f(x)的定义域为实数集R，其图像关于y轴对称，且满足f(x+3) = f(x)，求函数f(x)的周期。
函数的定义与基本性质总结
函数的定义与基本性质总结在数学中，函数是一种特殊关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义和基本性质是数学学习的重要基础知识之一。
本文将重点总结函数的定义、函数的性质以及函数的常见类型。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值或因变量。
函数的定义通常包括定义域、值域和映射规则三个方面。
1. 定义域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合。
它决定了函数的输入范围。
2. 值域：函数的值域是函数映射到的所有可能的因变量值的集合。
它决定了函数的输出范围。
3. 映射规则：函数的映射规则描述了自变量和因变量之间的对应关系，即函数在定义域内的计算规则。
二、函数的性质函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。
1. 单调性：函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的。
如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调增加的。
当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调减少的。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
3. 周期性：函数可以具有周期性，即在一定范围内具有相同的函数值。
对于函数f(x)，如果存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数的周期为T。
4. 有界性：函数可以是有界的，即在定义域内存在上界和下界。
如果存在常数M，使得对于定义域内的任意x，有|f(x)|≤M，则函数为有界函数。
三、函数的常见类型在数学中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次幂相加或相乘而得到的函数。
函数的概念-人教版高中数学
知识图谱-函数的概念与表示-函数的定义域-函数的值域函数及区间的概念判断同一函数映射与函数具体函数的定义域抽象函数的定义域直接法与分离常数法换元法与配方法判别式法函数的表示方法第02讲_函数的概念错题回顾函数的概念与表示知识精讲一. 函数的定义1. 传统定义：在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个范围内的任何一个，都有唯一的值与之对应，则成是的函数，叫自变量，叫因变量.2. 现代定义：设是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，其中叫做自变量，的取值集合叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．二. 相同函数的判定函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数另外，要理解的意义，对应法则与我们选择表示自变量的符号没有关系，例如与等都表示同一函数.三. 区间的概念及表示设是两个实数，且，则可以作为端点表示一个区间，区间的长度为.如图所示，其中符号读作“正无穷大”，符号读作“负无穷大”,用作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.数轴上所有点四. 映射1．对应关系设有两个非空集合,如果有法则，把集合和集合的一个子集的元素联系起来，那么就形成了集合到集合的一个对应．它是两个集合中的元素之间的一种联系．2. 映射的概念设是两个非空集合，按照某种对应关系，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素与它对应，那么，这样的对应关系就叫从集合到集合的映射，记作．3. 象与原象若是从到的映射，那么与中的元素对应的中的元素叫做的象，称为原象．4. 一一映射如果是从集合到集合的映射，并且对于集合中的任意一个元素，在集合中都有且只有一个原象，我们称这个映射为从集合到集合的一一映射5. 函数与映射的关系对于定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化，所以函数也就是非空数集到非空数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.五. 函数的表示方法1. 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．2. 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量的值和它对应的函数值构成的有序实数对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数的图象，即．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．3. 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．三点剖析一. 注意事项1. 函数符号意义是“是的函数”，可以用任意的字母表示，如“”；其中的表示与对应的函数值，是一个数，而不是乘；2. 与既有区别又有联系，表示当自变量时函数的值，是一个常量；而是自变量的函数，一般情况下是一个变量；是在时的一个特殊值。
数学函数概念知识点总结
数学函数概念知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将某个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。
2. 自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，因变量是输出的值。
自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
函数在定义域上的取值构成了函数的值域。
4. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系上的表示，通常用曲线或者点来表示函数的图像。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
5. 函数的性质函数可以有多种性质，包括奇偶性、周期性、单调性等。
这些性质可以通过函数的图像和代数表达式来进行分析和判断。
二、常见的函数类型1. 一次函数一次函数是指函数的最高次项为1的函数，通常表示为y=ax+b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线与y轴的交点。
2. 二次函数二次函数是指函数的最高次项为2的函数，通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线在y轴上的位置。
3. 幂函数幂函数是指函数的表达式为y=ax^n的函数，其中a为常数，n为整数。
幂函数的图像通常呈现出不同的形状，包括指数增长、指数衰减以及平方、立方等曲线形状。
4. 指数函数指数函数是一种特殊的幂函数，表达式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的图像通常呈现出指数增长或者指数衰减的趋势。
5. 对数函数对数函数是指函数的表达式为y=log_a(x)，其中a为底数。
对数函数的图像通常呈现出对数增长或者对数衰减的趋势。
6. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是以圆上的角度为自变量的周期函数。
三角函数在物理、工程、天文等领域有着广泛的应用。
初中初级数学函数知识点整理
初中初级数学函数知识点整理函数是数学中一个非常重要的概念，它在初中数学中占据着重要的位置。
了解和掌握函数的概念和相关知识，对于学好数学、解决实际问题非常有帮助。
下面将对初中初级数学函数知识点进行整理和概括。
一、函数的概念函数是一个有输入和输出的关系，也可以认为是一组有序的数对。
其中，输入称为自变量或x，输出称为函数值或因变量或y。
函数用符号y=f(x)表示。
二、函数的表示及分类1. 函数的表示函数可以通过不同的表示形式来表达，主要有：- 函数表达式：常见的形式有代数表达式和分段函数表达式。
- 函数图像：可以通过绘制坐标轴来展示函数的图像。
- 函数关系式：用x和y之间的关系来表示函数。
2. 函数的分类根据函数的性质和特点，函数可以分为以下几类：- 一次函数：函数的表达式为y = ax + b，其中a和b为常数，a不等于0。
- 二次函数：函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。
- 反比例函数：函数的表达式为y = k/x，其中k为常数，且k不等于0。
- 绝对值函数：函数的表达式为y = |x|，图像为一条V字型的直线。
- 幂函数：函数的表达式为y = x^a，其中a为常数，且a不等于0。
- 根式函数：函数的表达式为y = √x，其中x大于等于0。
三、函数的性质1. 定义域和值域- 定义域：函数中自变量的取值范围称为函数的定义域。
- 值域：函数在定义域内所对应的所有函数值的集合称为函数的值域。
2. 奇偶性- 奇函数：当函数满足f(-x) = -f(x)，即关于y轴对称时，函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
- 偶函数：当函数满足f(-x) = f(x)，即关于y轴对称时，函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
3. 单调性- 递增函数：在定义域内，若对于任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1) < f(x2)，则函数为递增函数。
- 递减函数：在定义域内，若对于任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数为递减函数。
高一数学第四课知识点
高一数学第四课知识点高一数学第四课主要涉及以下几个知识点：函数、函数的性质、函数的图象、函数的增减性与最值。
一、函数的概念函数是一个数集到另一个数集的对应关系。
通俗地说，就是将一个数值输入，通过某种规则得到一个数值输出。
函数可以用公式、图表或文字描述。
函数通常表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 单调性：函数在定义域内的任意两个数值比较大小，导出函数是单调递增的、单调递减的、还是无单调性。
3. 奇偶性：函数的奇偶性反映了函数的对称性。
若f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；若f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；若在定义域内既没有对称轴也没有奇、偶性，则函数是一般函数。
三、函数的图象函数的图象是在坐标系中表示函数的集合。
坐标系中的横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
根据函数的性质可以绘制函数的图象。
四、函数的增减性与最值1. 函数的增减性：函数在定义域内的两个点，若x1<x2，且f(x1)<f(x2)，则函数在这个区间上是增函数。
反之，若f(x1)>f(x2)，则函数在这个区间上是减函数。
2. 函数的最值：函数在定义域内能取到的最大值叫做最大值，最小值叫做最小值。
五、不等式与函数不等式与函数的关系是函数在定义域内的取值与不等式条件的关系。
通过解不等式，可以确定函数的取值范围。
六、指数函数与对数函数1. 指数函数：指数函数的自变量是指数，通常表示为y = a^x，其中a为底数，x为指数，y为结果。
2. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，通常表示为y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数，y为结果。
以上就是高一数学第四课的知识点概述。
通过对这些知识的学习和理解，我们可以更好地掌握函数的概念、性质以及图象，能够解决函数相关的问题，并应用到实际生活和其他学科中。
高中数学必修四第二章知识点
高中数学必修四第二章知识点1.函数的概念函数是一种特殊的关系，它是将一个变量的值映射到另一个变量的值上。
函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2.函数的性质与运算函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量可能取值的集合。
函数可以进行四则运算和复合运算。
两个函数的和、差、积、商仍然是一个函数。
3.函数的图像与性质函数的图像是函数所有可能的点的集合，它可以用平面直角坐标系表示。
函数的增减性可以通过图像来判断，增函数在定义域上单调递增，减函数在定义域上单调递减。
函数的奇偶性可以通过函数图像关于y轴、原点对称来判断。
4.常用函数常用函数有常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
其中，常数函数是f(x) = a，幂函数是f(x) = x^m，指数函数是f(x) = a^x，对数函数是f(x) = loga(x)，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
5.一次函数一次函数是指函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图像为一条直线，其斜率代表了函数的增减速度，截距代表了函数在y轴上的截距。
6.二次函数二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像为一个抛物线，开口方向由a的正负号决定。
7.函数的应用函数在数学中具有广泛的应用。
例如，函数可以用来描述物体的运动、建模和预测自然现象、解决实际问题等。
通过函数分析，可以找出各种问题的规律和特点，为实际问题的解决提供指导。
以上是高中数学必修四第二章的主要知识点。
了解这些知识点可以帮助学生更好地理解函数的概念、性质与运算，掌握常用函数的图像与性质，以及运用函数解决一些实际问题。
同时，这些知识点也为后续学习提供了基础。
初中数学竞赛函数知识点讲解
初中数学竞赛函数知识点讲解函数是数学中非常重要的概念，它是数学建模和问题求解的基础。
在初中数学竞赛中，函数也是一个常见的考点。
下面将对函数的基本概念、性质、图像和应用等知识点进行讲解。
一、函数的基本概念函数可以理解为一种输入和输出之间的对应关系。
如果对于集合A的每个元素x，都存在一个唯一的元素y与之对应，那么我们称y是x的函数值，记作y=f(x)，而x是y的自变量，f是函数的符号，A称为定义域。
二、函数的表示方式1.显式表示法：当我们可以用一个公式或规律直接表示出函数值时，我们称之为显式表示法。
例如，y=2x+1就是一个显式表示的函数。
2.分段函数表示法：当函数的定义域可以划分为几个子区间，在每个子区间上的函数值由不同的公式来表示时，我们称之为分段函数表示法。
3.隐函数表示法：当函数的表达式不易直接给出，但可以通过方程来暗示其函数关系时，我们称之为隐函数表示法。
三、函数的性质1.奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数；如果有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
例如，y=x^2是一个偶函数，y=x^3是一个奇函数。
2.单调性与增减性：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么称函数f(x)在该定义域上是单调递增的。
如果有f(x1)>f(x2)，那么称函数f(x)在该定义域上是单调递减的。
3.周期性：如果对于函数f(x)存在一个正实数T，使得对于任意实数x有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)称为周期函数，T称为函数的周期。
四、函数的图像函数的图像是函数的重要表现形式之一，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
在平面直角坐标系上，函数的图像是指由函数的所有关联点组成的图形。
通过观察图像可以得到函数的单调性、奇偶性、极值点等信息。
五、函数的应用函数的应用非常广泛1.函数的最值问题：求函数在定义域上的最大值或最小值，可以通过绘制函数的图像或使用导数等方法求解。
职高高一数学第4章知识点
职高高一数学第4章知识点第4章：函数与方程函数是数学中一种重要的概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本章将介绍函数的概念、函数的性质以及函数方程的解法等内容。
1. 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素对应到另一个集合的元素上。
我们可以用符号来表示一个函数，如f(x) = x^2，表示“将x映射为x的平方”。
函数有一些重要的性质：- 定义域：函数所接受的输入值的集合称为函数的定义域。
- 值域：函数所输出的值的集合称为函数的值域。
- 单调性：函数在定义域内的函数值是单调递增或递减的。
- 奇偶性：函数的图像关于y轴对称，则函数为偶函数；关于原点对称，则函数为奇函数。
2. 数列与数列的通项公式数列是按照一定规律排列的一组数，可以用函数的形式表示。
数列的通项公式可以表示数列的第n个数与n的关系。
一些常见的数列：- 等差数列：数列中的每一项与前一项之差相等。
- 等比数列：数列中的每一项与前一项的比相等。
- 斐波那契数列：数列中的每一项等于前两项之和。
3. 二次函数与一元二次方程二次函数是一个以二次方项为最高次幂的函数，一元二次方程则是该函数的应用。
一元二次方程可以通过配方法、因式分解法、求根公式等方法求解。
4. 不等式不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数之间的大小关系。
解不等式的方法包括绘制数轴、求解解集以及利用性质进行求解等。
5. 幂与指数函数幂函数是指以自然数为指数的函数，指数函数则是以变量作为指数的函数。
这两种函数都有着广泛的应用，如复利计算和无穷大问题等。
6. 对数函数与指数方程对数函数是指以某个固定底数为指数的函数，而指数方程则是对数函数的应用。
解指数方程可以通过将等式转化为对数形式来求解。
7. 三角函数与三角方程三角函数是由角度与圆上点的坐标之间的关系导出的一类函数。
三角方程则是三角函数的应用，通过方程求解角度的值。
总结：本章主要介绍了函数与方程的相关知识点，包括函数的定义与性质、数列与数列的通项公式、二次函数与一元二次方程、不等式、幂与指数函数、对数函数与指数方程，以及三角函数与三角方程等内容。
3.1.1 函数的概念(解析版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)
10 / 103.1.1 函数的概念一、知识点归纳知识点1. 函数的有关概念 (1)函数的概念(2)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 知识点2．知识点二 区间及相关概念 (1)区间的概念及记法设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：(2)无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示二、题型分析题型一函数的定义【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；10 / 10(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【答案】见解析【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.【规律方法总结】(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：∈A，B必须都是非空数集；∈A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．【注意】A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．【变式1】. 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1 x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1【答案】B【解析】：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．10 / 1010 / 10题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)y ＝3－12x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3)y ＝5－x |x |－3；(4)f (x )＝x ＋1－x 2－3x ＋4. 【答案】见解析【解析】(1)函数y ＝3－12x 的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2＞0，即x ＞－2，所以x ＞－2且x ≠－1. 所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{x |x ＞－2且x ≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，所以函数y ＝5－x|x |－3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}． (4)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1. 因此函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <1}．10 / 10【规律方法总结】求函数定义域的常用方法 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【变式2】．设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∈R M 为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】： 由2－x ≥0解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2]，所以∈R M ＝(2，＋∞)． 【变式3】．函数f (x )＝x x －1的定义域为________．【答案】：{x |x ≥0且x ≠1}【解析】：要使x x －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}．题型三 同一函数(2)两个注意点：10 / 10题型四 求函数的值、值域问题【例4】(1)f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则f (2)＝________；g (f (2))＝________；g (a )＋g (0)(a ≠－2)＝________. (2)求下列函数的值域： ∈y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； ∈y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ∈y ＝2x ＋1x －3；∈y ＝2x －x －1.【答案】：10112 1a ＋2＋12【解析】(1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10， 又因为g (x )＝1x ＋2，10 / 10所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112，g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋12(a ≠2)．(2)∈观察法：因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．∈配方法：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)． ∈分离常数法：y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∈(2，＋∞)．∈换元法：设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. 【规律方法总结】1．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；10 / 10(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法． 【变式5】求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x 2.【解析】：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1， 所以0<21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．三、课堂达标检测1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )【答案】：A【解析】：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数． 2.已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．不确定 【答案】：B【解析】：因为函数f (x )＝－1，4．函数y＝1＋2－x的定义域为()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[2，＋∞)D．(－∞，2]【答案】D【解析】：要使函数式有意义，需2－x≥0，解得x≤2.5．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.【答案】：(1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∈(2，＋∞)6．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．【答案】：{－1,1,3,5,7}【解析】：定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值可得值域为{－1,1,3,5,7}．10 / 1010 / 107.下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号) ∈f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ∈f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. 【答案】∈∈【解析】∈f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数； ∈f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 8.若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))的值．【答案】2【解析】：f (0)＝1－01＋0＝1，f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－(1－a )1＋(1－a )＝a2－a (a ≠2)，f (f (2))＝1－f (2)1＋f (2)＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2. 四、课后提升作业一、选择题1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．510 / 10【答案】D【解析】： 因为f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5.2．已知M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )【答案】B【解析】： A 项中函数的定义域为[－2,0]，C 项中对任一x 都有两个y 值与之对应，D 项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f (x )的图象．故选B. 3．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 【答案】C【解析】： 选项A 、B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数． 4．函数f (x )＝3x 21－x －23x ＋1的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 【答案】B【解析】： 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1，从而得B 答案．10 / 105．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2【答案】A【解析】： ∈f (x )＝ax 2－1，∈f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. ∈a (a －1)2＝0. 又∈a 为正数，∈a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )，则函数与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．至多一个【答案】D【解析】根据函数的概念，在定义域范围内任意一个自变量x 的值都有唯一的函数值与之对应，因此直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象最多只有一个交点．7．已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为( ) A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5 【答案】 D【解析】 ∈∈ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∈x <5.又两边之和大于第三边，∈2x >10－2x ，∈x >52，∈此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5. 8.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式10 / 10为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．16 【答案】B【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}，当x ＝±1时，y ＝1，当x ＝±2时，y ＝4，则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函数”共有9个．二、填空题9．设f (x )＝11－x ，则f (f (a ))＝________.【答案】：a －1a(a ≠0，且a ≠1)【解析】：f (f (a ))＝11－11－a ＝11－a －11－a ＝a －1a (a ≠0，且a ≠1)．10．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________(用区间表示)． 【答案】：(－∞，4]【解析】：令t ＝1－x ，则x ＝1－t 2(t ≥0)， y ＝2x ＋41－x ＝2－2t 2＋4t ＝－2(t －1)2＋4. 又∈t ≥0，∈当t ＝1时，y max ＝4. 故原函数的值域是(－∞，4]．11．设常数a ∈R ，函数f (x )＝|x －1|＋|x 2－a |，若f (2)＝1，则f (1)＝________. 【答案】3【解析】由f (2)＝1＋|22－a |＝1，可得a ＝4，所以f (1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.12．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围为________．10 / 10【答案】 ⎣⎡⎦⎤32，3【解析】 ∈当x ＝0或x ＝3时，y ＝－4；当x ＝32时，y ＝－254，∈m ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 13．已知函数f (x )＝2kx 2－4kx ＋k ＋3的定义域为R ，则k 的取值范围是________．【答案】 0≤k <1【解析】 由题意可得kx 2－4kx ＋k ＋3>0恒成立． ∈当k ＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；∈当k ≠0时，须使⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝(4k )2－4k (k ＋3)<0， 解得0<k <1.综上所得，k 的取值范围为0≤k <1.三、解答题14．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝5x ＋4x －1； (3)f (x )＝x －x ＋1. 【答案】见解析【解析】：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，10 / 10于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－54. 15．(1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域； (2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域； (3)若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域． 【答案】见解析【解析】 (1)由－1≤x －5≤5，得4≤x ≤10，所以函数f (x －5)的定义域是[4,10]． (2)由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，所以函数f (x )的定义域是[－1,2]．(3)已知f (x )的定义域为[－3,5]，则φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤－x ≤5，－3≤x ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5，解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与⎪⎭⎫⎝⎛x 1f 有什么关系？并证明你的结论； (3)求f (2)＋⎪⎭⎫⎝⎛21f ＋f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f ＋…＋f (2 019)＋f ⎪⎭⎫⎝⎛20191f 的值． 【答案】见解析【解析】：(1)∈f (x )＝x 21＋x 2，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，10 / 10f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。
函数的概念说课教案8篇
函数的概念说课教案8篇在我们日常的教学生涯中，难免会遇到要写教案的情况，教案是需要结合实际的教学进度和内容的，下面是作者为您分享的函数的概念说课教案8篇，感谢您的参阅。
函数的概念说课教案篇1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国#年4月份非典疫情统计：日期#新增确诊病例数#3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b 为从集合a到集合b的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本p20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本p22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本p21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
专题04 函数的性质(解析版)
专题04 函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则()00f =， 即2ln 010a ⎛⎫+=⎪+⎝⎭，可得1a =-， 则()21ln 1ln 11x f x x x +⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，有101x x +>-，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-， 设11xt x +=-，则ln y t =， 12111x t x x +==----，则t 在()1,1-上为增函数，而ln y t =在()0,∞+上为增函数，则()f x 在()1,1-上为增函数， 若()1f x =，即11xe x +=-，解可得11e x e -=+， 则()1f x <，即()11e f x f e -⎛⎫< ⎪+⎝⎭，解得11e x e -<+， 又由11x -<<，则有111e x e --<<+， 即x 的取值范围为11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭； 故选：A.例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =， 故选D ．题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，需11021a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪+≤-+⎪⎩，解得112a -≤≤-.故答案为：11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是【答案】(),2-∞-【解析】思路：先分析()f x 的定义域：()()240,22,x x ->⇒∈-∞-+∞，再观察解析式可得()f x 可视为函数212log ,4y t t x ==-的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于12log y t =而言，y 对t 是减函数。
初中函数的定义
初中函数的定义初中函数是一种数学概念，它解决了重复性的问题，是一种可以定义输入和输出关系的工具。
它是由数学家们发明的，他们发现可以用函数表达式来说明任意实数上函数的变化。
既然函数是由变量之间的关系来定义的，那么两个变量之间的关系就称为函数。
一般而言，在初中级的教育中，学生们会学习一元函数、二元函数以及四象限函数的基本定义。
所谓一元函数就是只有一个自变量的函数，用数学符号表示就是f(x)，其中f表示函数，x表示自变量。
一元函数对应于一元一次方程，它以一个自变量来表示一种关系；而二元函数则用两个自变量来表达关系，如f(x,y)，它对应于一元二次方程，用来描述两个变量的关系。
此外，四象限函数是指以四个点分别代表每个象限的函数，即f(x,y)，它能够描述坐标系上的函数在四个象限的变化。
因为函数的本质就是变量之间的关系，所以通过研究函数可以了解这些变量之间的联系。
函数也可以用来推算输入值和输出值之间的关系，以及在一定范围内变化的模式。
这就是函数在数学上的研究，是一种总结性的研究，重点研究的是函数的形式，不涉及其中的变量的实际涵义。
函数的定义是重要的，为了便于理解和使用，函数定义通常分为几个部分：调用，参数，返回值，功能。
调用就是函数名，它用来告诉程序需要执行哪个函数；参数就是函数需要的变量，比如一元函数中的自变量x；返回值就是函数执行后产生的结果，比如一元函数中函数值y；功能就是函数实现的功能，比如一元函数将自变量转换为函数值。
函数的定义不仅仅包括上述几部分，它还可以包括函数的绘图过程，以及函数的唯一性等。
绘图过程是将函数值与自变量之间的关系用图像表示出来，这种图像方式非常方便地实现了函数的查看和理解，而函数的唯一性是指某一函数在某一范围内只能存在唯一的解。
函数的定义在初中阶段就开始提出，它可以帮助学生理解变量之间的关系，绘制函数图像，以及找出满足条件的解。
函数是数学中重要的概念，因此在初中阶段学习它就显得尤为重要。
0减4等于4对吗
0减4等于4对吗
0-4=-4。
小的数减去大的数，结果为负数。
0减任何数都等于它的相反数。
0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。
0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。
0的性质
0是最小的完全平方数。
0的相反数是0，即，-0=0。
0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。
在所有实数的绝对值中，0的绝对值是最小的。
0乘任何实数都等于0，0除以任何非零实数都等于0；任何实数加上或减去0等于其本身。
0没有倒数和负倒数。
0不能做分母、除法运算的除数、比的后项。
0的正数次方等于0；0的非正数次方（0次方和负数次方）无意义，因为0不能做分母。
0不能做对数的底数或真数，即log0x和loga0都无意义。
0作为小数部分的尾数时，0全部省略小数值不变，通常省略所有的0化简小数。
但是保留几位小数时0不可以轻易省略，例如0.5是保留一位小数，0.50000是保留五位小数。
当0位于小数点后，而又不位于其他数字之前时，它表示一位有效数字。
例如0.05有一位有效数字，0.0500却有三位有效数字，虽然这两个数相等，但是有效数字个数是不一样的。
0的阶乘等于1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§0-4 函数概念我们在日常生活中或对某个科学技术问题的研究过程中，会遇到各种各样具体的量。
它们会表现出非常不同的状态，其中有的量在我们观察或研究的整个过程中始终保持同一个数值(称它为常量)；而另外有些量在上述过程中时而变大，时而变小(称它为变量)。
例如，从郑州直飞北京的客机，在整个飞行过程中，飞机机翼的长度和乘客的人数等都是常量，而飞机离地面的高度和机上汽油的储存量等都是变量。
对于一个具体的量(常量或变量)，当选定一个单位量(简称为单位)后，经过对该量的测量后就得到抽象的(实)数。
常量就对应一个常数，而变量在不同的时刻可能取到不同的数值，即它对应(实)数的一个集合。
不管是常量还是变量，数学上都用某个字母表示它，例如把它表示成a 或x . 此时，所用的字母既表示这个量本身，也表示这个量所取的数值或数值组成的集合。
就字母本身来说，它自然没有显示出是常量还是变量。
因此，常在字母前面加上“常量”或“变量”之类的说明语，如常量a 或变量x . 在多数情形下用x 表示变量，可是在某些场合也用x 表示常量。
一个具体的量到底是常量还是变量，这与我们所讨论的过程有关。
假若没有指明所讨论的是什么样的过程，一般说来，不能认定一个量到底是常量还是变量。
例如，半径为r 的球的体积3(4/3)V r π=,它是常量还是变量？假若研究过程是球沿直线的滚动(半径不变)，它在滚动过程中是常量；假若把球从低温处移动到高温处，分别测量移动前和移动后球的体积时，就会发现球的体积V 变大了，即它是变量。
特别地，称取值于单元集a (a 为实数)的量为常量。
在我们的定义下，常量是特殊的变量。
假若变量x 的变化域X 含在某个有限区间内，则称它为有界变量；否则，就称它为无界变量。
取值于区间的变量称为连续变量。
数列),2,1(Λ=n a n 是取“离散值”的变量。
变量是微积分中的第一个基本概念，而第二个基本概念就是变量之间的“相依关系”或“函数关系”。
例如，在上一段中说的那架从郑州飞往北京的客机，飞机离地面的高度H 和机上汽油的储存量Q 都是随飞行时间t 的变化而变化的。
在这个例子中，称飞行时间t 为自变量，而称飞机离地面的高度H 或机上汽油的储存量Q 为因变量。
这样的例子，我们可以举出很多。
例如，正方形的面积2x S =（边长0>x 是自变量，S 是因变量）；球的体积343v r π=（半径0r >是自变量，v 是因变量）； 自由落体下落距离212s gt =（时间0≥t 是自变量，s 是因变量）。
作为暂时的定义，就称因变量为函数。
早期(19世纪以前)的函数概念常与所谓“数学公式”联系在一起。
这样，离开具体实际问题，把自变量和常数经过不超出有限次所许可的代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）或超越运算（取无理指数幂，取指数，取对数，取三角函数，取反三角函数），就可以随手写出很多函数。
例如2,log(sin(23),===+=+L x y y y x y x称它们为初等(显)函数。
其中，只包含有代数运算(不含有超越运算)的函数称为代数(显)函数。
需要指出的是，例如函数xx y 22cos sin += 或 2ln (1)e x y +=中，尽管含有超越运算，但它们仍是代数函数（*）。
最简单的代数函数自然是多项式2012()n n p x a a x a x a x =++++L其次是有理函数()()p x q x （多项式的商） 其中2012()m m q x b b x b x b x =++++L 也是多项式。
有理函数中不包含有关自变量的开方运算，而包含有关自变量开方运算的代数函数(，称为无理函数。
同样，例如4x y =不算是无理函数(仍是有理函数)。
上面所说的代数函数指的是代数显函数或初等代数函数。
所谓“显函数”是相对于下面所说的“隐函数”来说的。
把函数写成形式)(x f y =，其中)(x f 是关于x 和常数的数学运算式，称它为显函数；而由一个(函数)方程0),(=y x F 所确定的因变量y ，其中y 的取值由自变量x 和等式0),(=y x F 所确定，称它为隐函数，例如方程2522=+y x .可是写成225x y -±=时，它就变成显函数。
一个方程，它关于y (在实数范围内)不一定有解(如0122=++y x )，所以有的方程不能确定出(实值)函数；而有的方程关于y 有解，可是作为解的隐函数)(x y y =不一定能解出来(即使有的代数方程也是如此)。
设),(y x F 是关于x 和y 的二元多项式，而方程0),(=y x F ，不妨写成0)()()()(2210=++++n n y x a y x a y x a x a Λ在实数范围内确定的隐函数)(x y y =也称为代数函数，但不一定能写成显函数(因为关于未知数y 的四次以上的代数方程不一定能用根式求解)，即)(x y 不一定是初等代数函数。
由方程确定的隐函数可能是“多值函数”，例如上面指出的，由方程2522=+y x 至少．．确定两个函数225x y -= 与 225x y --=而微积分研究的是“单值函数”。
遇到这种情形时，我们自然要把它们分开来研究，并把其中的每（*）因为有恒等式22sin cos 1,x x +≡2ln(1)2e 1x x +=+一个函数称为单值分支。
把一个(抽象)概念或一种理论，用图形或模型来说明是日常生活或学习中常用的方法。
例如用数轴上的点表示实数或用方框图表示计算机各部分的 工作原理就是如此。
在直角坐标平面Oxy 上，用点(,)x y 的 横坐标x 表示函数)(x f y =的自变量，而用纵坐标y 表示函 数值)(x f ，则当自变量x 取遍自己的变化域时， 所有点))(,(x f x 在平面Oxy 上所形成的图形(图0-5)，称为该函数)(x f y =的图形(或图象)。
它使我们对函数(因变量)的变化状态有一个整体上的直观认识。
经验告诉我们，理论科学中的许多结论最初都来自直观。
借助函数图形，不仅可以说明某些函数的特有性质，而且也建立了微积分的研究对象(函数)与几何学的研究对象(曲线)之间的关系。
这种方法来源于笛卡儿的坐标法。
例4 当自变量x 在实数集合(,)-∞+∞中取值时，作为“因变量”的y 恒取同一个数值c (常量)。
此时，把y 说成因变量或函数与上面所说的因变量的 含义有点不协调。
这是以后要修改函数定义的原因之一。
我们暂且把它看成一个特殊的函数。
它的图形是平行于Ox 轴(截距为c )的直线c y =(图0-6)。
例5 一次函数b kx y +=的图形也是一条直线，其中b 称为它在Oy 轴上的截距，而tan (0)y bk x xϕ-==≠ 称为它的斜率(图0-7)。
在平面解析几何中，称y kx b =+为直线的斜截式方程。
通过已知点00(,)x y 且斜率为k 的直线方程为00()y y k x x -=-（点斜式方程，图0-8）直线方程还有:(截距式)1=+bya x (0)ab ≠(图0-9) 和(一般式)0ax by c ++=22(0)a b +≠ 例6 反比函数图0-5x图0-6(0,0)ay a x x=≠≠(图0-10) 的图形在解析几何中称为双曲线。
它的图形可以与坐标轴 无限接近(以坐标轴为渐近线)，但永远与坐标轴不相交。
例7 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图形在解析 几何中称为抛物线。
经过配方后有形式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222442a b ac a b x a y当0>a 时，它的图形有最低点⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22(图0-11) 当0<a 时，它的图形有最高点⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22 (图0-12)我们还可以进一步做出下面的结论： ⑴ 当042>-=∆ac b 时，有222224242b b ac b y a x a x a a a ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦22b b a x x a a ⎛=++ ⎝⎭⎝⎭即它的图形与Ox 轴有两个交点，而交点的横坐标是240b ac ∆=-=240b ac ∆=-<2a-图图0-12 240b ac ∆=->240b ac ∆=-=图0-10aac b b x 242-±-= (二次三项式的根)所以二次三项式2ax bx c ++(或二次方程20ax bx c ++=)有两个相异实根。
⑵ 当240b ac ∆=-=时，有022=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a b x a y 当且仅当 a b x 2-= 即它的图形与Ox 轴只有一个交点，所以二次三项式c bx ax ++2有唯一实根（二重根）。
⑶ 当240b ac ∆=-<时，它的图形与Ox 轴不相交，所以二次三项式2ax bx c ++没有实根。
到了19世纪时，由于数学研究范围的扩大，有必要把函数概念进一步抽象化。
狄利克雷(Dirichlet)用下面极简单的例子来阐明函数概念的实质(内涵)：让有理数对应1，让无理数对应0. 他做出的函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 0,,1)(虽然不是用“数学公式”给出的函数，可是比用数学公式给出的任何一个函数都简单。
他是要把函数看成一种“对应（规则）”。
在函数的这个定义中，显然，多值函数被排除在外（因为微积分研究的是单值函数）。
若用D 表示函数f 的定义域，则所有函数值组成的集合{}()()f D f x x D =∈称为函数f 的值域。
读者或许会问：“什么叫‘对应’(规则)”？那么最妙的回答就是把它说成不解自明的原始概念(就像平面几何中点 、直线和平面等)。
要避开这些没有定义过的术语不是不可以，只是不必要，因为这样做会引向更加抽象的函数定义中去。
按照函数的这个定义，常值函数)()(+∞<<-∞≡x c x f 是函数就没有疑问了。
不仅如此，类似于狄利克雷函数)(x D ，我们可以写出很多所谓“分段表示”的函数，而它们在实用科学中被广泛地应用着。
例8 在电子(脉冲)技术中会用到“单位阶跃函数”⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(t t t u （图0-13）t图0-13例9 设正弦交流电的电流强度t I t i m ωsin )(= （m I 为最大电流强度）经过半波整流后，在一个整周期)20(ωπ≤≤t 内，电流强度为sin ,0()20,m I t t i t t πωωππωω+⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩(图0-14)例10 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，例如[][][]0.990,3,4=π=-π=-称它为取整函数（图0-15）。