关于“李白买酒”的一道分类讨论题

数学教学叙事研究案例
关于“李白买酒”的一道分类讨论题
金华市浦江县实验中学严兰芳
引言：
数学是从现实世界中抽象出来的，它源于实践，高于实践，又用于实践。

离开了生活，数学就成了无源之水。

因此，作为一名数学教师，要自觉地关注学生的生活，帮助他们接触实际，了解生活，使他们真正体验到，数学就在自己身边。

要充分挖掘数学教材中的“生活现象”。

生活中有数学，存在着数学思想，把生活和数学有效地联系起来，关键在于教师是否善于结合课堂教学内容，去捕捉“生活现象”，采撷生活数学实例，为课堂教学服务。

让学生观察生活中的数学，既可积累数学知识，又是培养学生学习数学兴趣的最佳途径。

学生善于研究生活中的数学，本身就是最好的学习方法。

他们在研究中不断思考，不断尝试，并不断地体验成功。

下面是我在新课程实施中，努力在数学教学中渗入数学文化的一点尝试。

课堂实录：
一天数学课，几个学生凑在一起，叽叽喳喳地在聊天，我看到后，很生气，就问他们在聊什么，其中一个学生说：“刚才的语文课上，老师教了一首李白的《将进酒》，我们就在争论李白是不是一个酒鬼？”，听了这些，我还真有些苦笑不得，真准备责罚他们，突然想起，李白是我国唐代的著名诗人，人称诗仙。

他除了吟诗之外，喝酒确实是他的最大嗜好。

在我国民间流传着一首李白买酒的打油诗：
李白街上走，提壶去买酒；
遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒。

试问酒壶中，原有多少酒？
这不是一个很好的数学题目吗？何不乘热打铁，把这个题目拿出来讲讲。

我就对他们说：“为了表示对你们的惩罚，我将给你们出一道题，你们一定要认真思考，把它解出来。

”没想到学生对这个题目很感兴趣，都开始认真思考起来。

以下是班里的学生在一节数学课上总结出来的不同的解题方法与结果。

学生讲解：（倒推法）喝光壶中酒→第三次见花前应有酒1斗→第三次遇店前应有酒21斗→第二次见花前应有酒（21+1）斗→第二次遇店前应有酒21×（21+1）斗→第一次见花前应有酒[21×（21+1）+1]斗→第一次遇店前应有酒21× [21（21+1）+1]斗，此即壶里原有的酒。

解：21× [21×（21+1）+1]=87(斗)
教师点评：“刚才同学们从结论出发，用算术的方法解决了这个问题。

算术方法注重的是结论，运用倒推的思维方法解决李白买酒的数学问题，同学们做得不错，那还有没有其它的解决方法呢？”
一石激起千层浪，同学们纷纷举手，得出了不同的思路与方法。

学生讲解：（方程法）设壶中原有酒x 斗→第一次遇店后，壶中酒变为2x 斗→第一次见花后，壶中酒变为（2x-1）斗→第二次遇店后，壶中酒为2（2x-1）斗→第二次见花后，壶中酒变为2（2x-1）-1=（4x-3）斗→第三次遇店后为2（4x-3）斗→第三次见花后为2（4x-3）-1=0
解2：8x-7=0，得8
7=x 。

教师点评：“我们的同学又用方程的思想解决了这个应用题，老师只能用一个字形容你们，棒。

大家都知道，方程的思想方法是我们初中阶段常见的一种数学方法，它关键是找出题目中的等量关系。

”
接着，我又抛出了另一个绣球，“我们的同学用两种不同的方法，得到了同样的结论，难道就没有其他不同的情况了吗？”我这一提醒，课堂气氛再次活跃起来，学生经过讨论后一致得出：刚才的两种方法其实只是李白所经的路线为“店花店花店花”的一种特殊的情况。

而从题目中，并没有很清楚地看出李白到底是先遇到花还是先遇到店，那么这个题目还有其他不同的情况。

我们的学生经过合作学习，最后又总结出以下几种不同的结论。

学生讲解：设壶中原有酒x 斗。

一、当李白先遇到店时，有以下几种情况。

(1)店花花花店店------则有[ (2x-1-1-1)] ×2=0, x=1.5
或原有酒(0+1+1+1）/2=1.5斗；
（2）店花店花花店-----[2 (2x-1)]-1-1] ×2=0,x=1
或原有酒[(0+1+1）/2+1]/2=1斗；
（3）店店花花花店------（2x ×2-1-1-1）×2=0,x=0.75
或原有酒[(0+1+1+1）/2]/2=0.75斗；
（4）店花花店花店-------[（2x-1-1）×2-1] ×2=0,x=1.25
或原有酒[(0+1）/2+1+1]/2=1.25斗；
同理可得其它几种不同的情况：
（5）店店店花花花------或原有酒{[(0+1+1+1）/2]/2}/2=0.375斗；
（6）店店花店花花-----或原有酒{[(0+1+1）/2+1]/2}/2=0.5斗；
（7）店花店店花花------或原有酒{[(0+1+1）/2]/2+1}/2=0.75斗；
（8）店店花花店花------或原有酒{[(0+1）/2+1+1]/2}/2=0.625斗；
（9）店花店花店花------或原有酒{[(0+1）/2+1]/2+1}/2=0.875斗；
（10）店花花店店花------或原有酒{[(0+1）/2]/2+1+1}/2=1.125斗。

二、当李白先遇到花时，又有以下几种不同的情况。

（11）花花花店店店------或原有酒0+1+1+1=3斗；
（12）花花店花店店------或原有酒(0+1)/2+1+1=2.5斗；
（13）花店花花店店------或原有酒(0+1+1)/2+1=2斗；
（14）花花店店花店------或原有酒[(0+1)/2]/2+1+1=2.25斗；
（15）花店花店花店------或原有酒{[(0+1)/2]+1}/2+1=1.75斗；
（16）花店店花花店------或原有酒[(0+1+1)/2]/2+1=1.5斗；
（17）花店店店花花------或原有酒{[(0+1+1)/2]/2}/2+1=1.25斗；
（18）花店花店店花------或原有酒{[(0+1)/2]/2+1}/2+1=1.625斗；
（19）花花店店店花------或原有酒{[(0+1)/2]/2}/2+1+1=2.125斗；
（20）花店店花店花------或原有酒{[(0+1)/2+1]/2}/2+1=1.375斗。

教师点拨：“同学们能把这么多的情况都写出来，确实不错，还有哪位同学还有什么要补充的吗？”
这下学生们学习的热情被推向了高潮，他们又开始认真思考，经过争论，得到了结论：“老师，我们知道了，最后是店的那几种情况不太符合实际情况。

”我追问这是为什么？“老师，当瓶子里没有酒的时候，李白他是不会再进店里去
的。

不会有0×2=0的情况出现的。

李白是个很聪明的人，他不会做这样的傻事的，所以这不符合题意，应舍去。

”（同学们大笑）
教师总结：“真的没有想到学生会想出这么多的情况，开始我还想，你们能想出其中的几种情况也可以了，但是当我耐心地听了你们对不同的情况进行分类讨论后，我的心里真的受到了很大的震撼。

我们的学生激荡的思维撞击出了智慧的个性光彩和创造火花，你们给了我一个惊喜，不，是很多的惊喜，本堂课我们收到了想象不到的效果，谢谢大家。

也希望同学们平时多注意观察，勤思考，争取取得更好的成绩。

”（学生鼓掌）
教学反思：
教室里的生活，不像制造机器那样严密地安排和预设，每堂课都是一轮新的太阳，都有可能出现意外。

有来自互动的碰撞；也有来自个别学生的别出心裁。

它是挑战，也是教育智慧迸发和提升的机遇；它是障碍，也是教学中独特的资源；它需要教师长期蕴积的教育艺术，也需要教师充满创造的教育机智；它呼唤教师要冷静思考，更呼唤教师用心去感应，去把握。

由此想到，数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。

这一数学基本理念除了老师明白，怎样让学生有深刻的体会？这就要求我们去充分地挖掘课堂教学资源。

有这样的一句话“我看见了，但可能忘记了；我听到了，就可能记住了；我做过了，便真正理解了”，由“关注知识”转向“关注学生”，由“给出知识”转向“引出知识”，已为越来越多的教师所接受。

所以，老师在数学课上把教学内容与学生的生活紧密地结合起来，把生活与经验作为重要的课程资源来开发，在具体的场景中，使学生学会综合并灵活运用所学的数学知识，也使每一位学生在自己的课堂生活中成为“学习活动的主体”、“个体生活的主体”和“社会生活的主体”，这就是“活”化课程资源的效果。

让学生应成为课堂的主人翁，教师只是课堂的发现者、开发者、欣赏者、组织者、和引导者。

我们要充分体现以学生为主，让学生在课堂中交流、讨论、质疑……。