-九年级数学试讲教案,二次函数

数学个性化教学教案

授课时间 2015 年 2 月日备课时间 2015 年 2 月 6 日

年级九年

级

学科数学课时 1 学生姓名

授课主题二次函数授课教师魏会方

教学目标1、学生能够掌握二次函数的相关概念与性质。

2、能够熟练解决简单的二次函数问题。

教学重点二次函数的性质及图像教学难点二次函数的性质

教学过程一、【历次错题讲解】

二、【趣味课程导入】

三、【基础知识梳理】

形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称a为二次项系

数， b为一次项系数，c为常数项，

二次函数2

ax

y=（0

≠

a）图像

用描点法画出二次函数2x

y=和2x

y-

=图像知：

1、二次函数的2

ax

y=图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

2、这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

3、对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。

4、当o

a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除

顶点外)；当o

a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴

的下方(除顶点外)。

观察二次函数2x

y=和2x

y-

=的图像

在同一坐标系内，抛物线2x

y=和抛物线2x

y-

=的位置有什么关系？如果在同

一个坐标系内画二次函数2

ax

y=和2

ax

y-

=的图像怎样画更简便？

(抛物线2x

y=与抛物线2x

y-

=关于x轴对称，只要画出2

ax

y=与2

ax

y-

=中的一

条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)

. 归纳:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

(1).顶点坐标与对称轴

(2).位置与开口方向

(3).增减性与最值

当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着

x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，

在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。

当时，函数y有最大值

探索二次函数与一元二次方程

二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.

学习

札记

a2

b

x-

=

a2

b

x-

=

a4

ac

4b2

-

a4

ac

4b2

-

(1).每个图象与x 轴有几个交点？

(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

(3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点.

当二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象和x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变

量x 的值,即一元二次方程ax 2

+bx+c=0的根.

当b 2

-4ac ﹥0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax 2+bx+c 的两个根x 1与 x 2；当b 2

-4ac=0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点；当b 2

-4ac ﹤0时，抛物线与x 轴没有交点。

二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42

-的关系 ：

系数的符号 图像特征 a 的符号 a>0. 抛物线开口向 a<0 抛物线开口向

b 的符号

b>0. 抛物线对称轴在y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是 轴 b<0

抛物线对称轴在y 轴的 侧 c 的符号

c>0. 抛物线与y 轴交于 C=0 抛物线与y 轴交于 c<0

抛物线与y 轴交于 ac b 42-的符号 ac b 42->0. 抛物线与x 轴有 个交点 ac b 42

-=0 抛物线与x 轴有 个交点 ac b 42-<0

抛物线与x 轴有 个交点

四、【典型例题剖析】

例1、（2013江苏苏州，6，3分）已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）． A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0 D ．x 1＝1，x 2＝3 【答案】B ．

【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，则x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．

【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．

例2、已知二次函数 q px x y ++=2

当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

练习：已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例3、已知抛物线4)33

4(2

+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．

解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）． 设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），

由04)334(2

=+++x a ax ，解得 31-=x ，a

x 342-

=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a

34

-，0）． ∴ |334

|+-

=a

AB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34

|+-a

．

∴ 9891693432916|334|2222

+-=+⨯⨯-=+-=a

a a a a AB ，

252=AC ，1691622

+=a

BC ． 〈ⅰ〉当2

22BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．

由2

22BC AC AB +=，

得)16916

(259891622++=+-a

a a ．

解得 41

-=a ．

∴ 当1-=a 时，点B 的坐标为（16，0），6252

=AB ，252=AC ，

方法与技巧总结