习题选讲

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14、已知窗口为 (0, 0) (10, 10) ，视区为 (1, 1) (6, 6) ，要将窗 口中位于 (xw, yw) 的点映像到视区中坐标为 (xv, yv) 的点， 请构造变换 公式和变换矩阵。 为了使视区与窗口中的对象有同样的相对位置，必须满足
xv 1 xw 0 6 1 10 0 y 1 y 0 v w 6 1 10 0
0.8 0.6 0 R 0.6 0.8 0 0 0 1
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（2）缩放： S S(2, 3) （3）反向旋转使 s1 和 s2 的方向回到原始位置： R2 R11 完整变换
M R2SR1 0.8 0.6 0 2.36 0.48 0 0.6 0.8 0 0.48 2.64 0 0 2 0 0 0.8 0.6 0 0 0 3 0 0.6 0.8 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1
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将U 、V 、 N 单位化，得



u U / |U | (0, 0, 1) v V / |V | (0.8, 0.6, 0) n N / | N | (0.6, 0.8, 0)
0 0 1 0.8 0.6 0 R 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 0 1
令u x (1, 0, 0)
v n ux/ | n ux | (0.6, 0.8, 0)(1, 0, 0)/ |(0.6, 0.8, 0)(1, 0, 0)| (0, 0, 1) u v n (0, 0, 1) (0.6, 0.8, 0) (0.8, 0.6, 0)
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11、求经过平行投影变换后点 P(1,2, 3) 的坐标。已知：观察面 为 z 4 ，投影向量为 (1,1,1) 。 由 (x ' 1, y ' 2, 4 3) u(1,1,1) 可得
1
完整变换
M M2 Fx M1 0.8 0.6 0 1 0 0 0.8 0.6 0 0.6 0.8 0 0 1 0 0.6 0.8 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0.28 0.96 0 0.96 0.28 0 0 1 0
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10、已知投影向量为V (3, 4,1) ，投影面为 xy 平面，请根据 定义计算该平行投影的变换矩阵。 由 (x ' x, y ' y, 0 z) u(3, 4,1) 可得
x ' x 3u y ' y 4u 0 z u 由 0 z u 得 u z 。
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7、确定反射轴为直线 y 3x / 4 的反射变换矩阵的形式。 显然，反射轴通过原点且方向为 (4, 3) 。 （1）使反射轴与 x 轴重合： M1
U (4, 3), V (3, 4), u (0.8, 0.6), v (0.6, 0.8), 0.8 0.6 0 M1 0.6 0.8 0 0 0 1

于是得到该平行影变换的方程为
x ' x 3z y ' y 4z
原始 z 坐标作为深度信息保存。 从而，变换矩阵为
Байду номын сангаас
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1 0 M 0 0
0 3 1 4 0 1 0 0
0 0 0 1
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13、在如图所示的方向上，用 s1 和 s2 作为缩 放系数， 请构造完成这种缩放的变换矩阵， 其中 固定点为原点，s1 2 ， s2 3 ，且方向 s1 上两点 的坐标分别为 (2, 1) 和 (6, 4) 。 （1）旋转使 s1 和 s2 的方向分别与 x 和 y 轴重合： R1 将 s1 的 方 向 (6 2, 4 (1)) (4, 3) 单 位 化 ， 得 u (0.8, 0.6) ； 令 v (0.6, 0.8) ，从而
从而
完整变换
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M RT 0 0.8 0.6 0 0 0.8 0.6 0
1 0 1 0 0.6 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0.6 0 1 0.8 0 2 0 0 1
湖南科技大学课程教案
（章节、专题首页）
授课教师： 王志喜 职称： 副教授 单位： 计算机学院
课 程 名 称 计算机图形图像技术 章 节 、 专 题 习题选讲 教学目标及基本要求 教 学 重 教 学 难 教 学 内 容 时 间 分 习 点 点 与 配 题
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习题选讲
4 二维图形变换
6、已知旋转角为 ，缩放系数均为 s ，旋转中心和固定点位 置均为 (x 0, y0) ，请构造该带缩放的旋转变换的变换矩阵（OpenCV 中的函数 cv2DRotationMatrix()就是用来计算这个变换矩阵的） 。 ① 使旋转中心和固定点与原点重合：T1 T(x 0, y0) ② 绕原点旋转： R R() ③ 以原点为固定点缩放： S S(s, s) 。 ④ 使旋转中心和固定点回到原处：T2 T(x 0, y0) 完整变换：
0 1 0 0
0 2 0 1 1 0 0 1
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7、已知旋转轴为 AB ，其中 A (0, 0, 0) ， B (3, 4, 0) ，请构 造绕 AB 旋转 90 度的旋转变换。 （1）使旋转轴与 z 轴重合： R 将 AB (3, 4, 0) 单位化，得 n AB/ | AB | (0.6, 0.8, 0)
从而，得到如下变换公式和变换矩阵
0.5 0 1 xv 0.5xw 1 0 0.5 1 ， y 0.5 y 1 w v 0 0 1
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三维图形变换
6、已知在原坐标系中某个平面的方程为 3x 4y 10 0 ，试 求变换矩阵 M ，使该平面方程在新坐标系下变成 z 0 。其中，新 坐标系的 y 方向为 (4, 3, 0) ，且新坐标系的原点 (2,1, 0) 在该平面 上。 平面法向量在原坐标系中的坐标为 (3, 4, 0) ，而在新坐标系 中的坐标为 (0, 0,1) ，所以 (3, 4, 0) 是新坐标系的 z 方向。由 新坐标系的 y 和 z 方向可计算出新坐标系的 x 方向。 ① 使新原点与旧原点重合：T T(2, 1, 0) ② 使新坐标轴与旧坐标轴重合： R 新 y 方向：V (4, 3, 0) 新 z 方向： N (3, 4, 0) 新 x 方向：U V N (0, 0, 25)
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12、已知旋转角为 60 ，基准点位置为 (1, 2) ，请构造该旋转 变换的变换矩阵 M ，结果至少保留 3 位小数（也可使用无理数） 。 （1）使基准点与原点重合：T1 T(1, 2) （2）绕原点旋转： R R(60) （3）使基准点回到原处：T2 T(1,2) 完整变换
M T2RT1 cos 60 sin 60 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 0 1 2 sin 60 cos 60 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0.5 0.866 2.2321 0.866 0.5 0.134 0 0 1
则
0.8 0.6 0 0 1 0 R 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 0 1
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（2）绕坐标轴（ z 轴）完成指定的旋转： Rz() （3）使旋转轴回到原来的方向： R1 完整变换
M R1 Rz(90)R 0.8 0.6 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 1 0 0.36 0.48 0.8 0 0.48 0.64 1 0 0.8 0.6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0.8 0.6 0 0 0 1 0 0.6 0.8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（2）相对于 x 轴反射：
1 0 0 Fx 0 1 0 0 0 1
（3）使反射轴回到原处： M2
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0.8 0.6 0 0.8 0.6 0 1 M2 M1 0.6 0.8 0 0.6 0.8 0 0 0 1 0 1 0
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M T2SRT1 1 0 x s 0 0 cos sin 0 1 0 x 0 0 0 1 y0 0 s 0 sin cos 0 0 1 y 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 s cos s sin x (1 - s cos ) y s sin 0 0 s sin s cos -x 0s sin y0(1 - s cos ) 0 0 1