大学物理实验(二)误差理论

（P＝68.3%）
按误差理论的正态分布
• 如不存在其他影响，则测量值范围
[xA(x),x源自文库(x)]
中包含真值的概率为68.3%。
2)B类不确定度的估计:
测量中凡是不符合统计规律的不确 定度统称为B类不确定度。在实际计算 时，有的依据计量仪器的说明书或鉴 定书，有的依据仪器的准确度，有的 则粗略的依据仪器的分度值或经验， 从中获得仪器的极限误差，△仪（或充 许误差或示值误差）
②.相对误差
相对误差是指某一待测物理量的绝对误 差与其测量的最佳值之比，它是没有量纲 的，通常写成百分比的形式。
E N100%
N E＝△g /g本地×100%
＝0.01/9.792×100%
＝0.1%
2. 误差来源
①.仪器误差:（仪器零点不准、仪器水
平或铅直未调整、砝码未校准等）
②.方法误差: 实验理论近似或方法不 完善
42.34(cm)
10
2
LI L
S i1
0.018850.0 6(2cm )
10 1
10
S L
Li L
i1
10 1
0 1
S 0.005 90.7 0(2 1 cm ) 10
三、置信概率和置信限
S N 只是一个通过数理统计估算的值，表示真值的一 定的概率被包含在 (NSN)~(NSN)范围内，可算 出这个概率是68.3%。称之为置信概率或置信度。
N–的不确定度
n
( Ni N )2
S i1 n1
S N
n
(Ni N)2
i1
S
n(n1)
n
由于偶然因素，在同一条件下对同一物理量x 进行多次重复测量值x1x2x3….xn 将是分散的，从 分散的测量值出发用统计的方法评定标准不确定
度，就是标准不确定度的A类评定
uA
Sx n
(xi x)2 n(n1)
精密度高 正确度低
精密度低 准确度高 正确度高
图(A)
图(B)
图 (C)
本节小结
• 一 测量的含义，要素，分类 • 二 绝对误差，相对误差，修正值 • 三 误差的来源，误差的分类, 精度
•
第二节
直接测量偶然误差的估计
一、用算术平均值表示测量结果
m次：N1，N2，．．．Ni，．．．Nm
任一次的测量误差：
特点：测量结果的误差大小和符号都不固定 ，其值时大时小，其符号时正时负，就某一次测 量而言没有一定的规律，但在测量次数很大时， 随机误差整体上服从正态分布的统计规律。
正态分布函数： f(x) 1 expx2(/22) 2
f (x)dx 1
随机误差分布的特点：
①单峰性
②对称性
③ 有界性
④抵偿性
n
方法计算的标准偏差. B类不确定度是指用其它方法估计的近似相当
于标准偏差的值。
②如果各分量是独立的，测量结果的合成标准不确 定度是各分量平方和的正平方根。
③根据需要可将合成标准不确定度乘以一个包含因 子K(取值2~3),作为展伸的不确定度,使测量结果能 以高概率(95%以上)包含真值.
二、不确定度的分类
真值: 任何一个物理量在一定条件下都存在
着一个客观值，这个客观值称为真值。
△N（误差）=Ni（测量值）—N（真值）
1. 绝对误差与相对误差
①.绝对误差
测量重力加速度
单摆:
T 2
l g
g测量值 9.78m 2s2
g本地 9.79m 2s2
g9 .78 9 .7 29 0 .0 2m 1 s2
修正值=真值-测量值= -误 差
◆表征合理地赋予测量之值的分散性与测量 结果相关联的参数（JJF1059-测量不确定 度评定与表示） 1999年5月1日实行
• 目前已经获得国际公认的主要原则有以下三点： ①测量结果的不确定度一般包含若干分量，这些分
量可按其数值的评定方法归并成A、B两类； A类不确定度:是指对多次重复测量结果用统计
A类不确定度u A ：
可以通过统计方法来计算(如偶然误差)
uu u u uA
222 2
A 1 A 2 A 3
Am
B类不确定度u B：
不能用统计方法只能用其他方法估算(如仪器误差)
uBuB 21uB 22uB 23 uB 2 n
B类
B类
三、直接测量不确定度的计算
1)A类不确定度的计算：
贝塞尔法
Ni的不确定度
●替代法
△= -0.02mm
●交换法 待测电阻与标准电阻交换位置
●异号法
对实验方法进行改进，在实验时采 取一定的措施对系统误差进行补偿 和消除 E1=EX-E0,
E2 = EX+ E0
EX=E1+E2
（2）未定系统误差
是指符号或绝对值未经确定的系统误差 分量，
由于不能知道它的确切大小和正负，故 无法对其进行修正。
随机性 可通过多次测量来减小 确定性 可用特定方法来消除
4. 误差的几个基本概念
①. 精密度 ：重复测量数据相互分散
的程度
偶然误差
②. 正确度 ：实验结果与真值的符合 程度 系统误差
③. 准确度 ：精密度与正确度的综合 反映
我们以打靶为例来比较说明精密度、正确度、 准确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标， 相当于真值，每次测量相当于一次射击。
limi 0 n i1
正态分布函数的特点
（1）单峰性。绝对值大的误差出现 的可能性（概率）比绝对值小的误差 出现的概率小。
（2）对称性。绝对值相等的正负误 差出现的机会均等，对称分布于真值 的两侧。
（3）有界性。在一定的条件下，误 差的绝对值不会超过一定的限度。
（4）抵偿性。当测量次数很多时， 随机误差的算术平均值趋于零
试计算算术平均值 L 某次测量值的标准偏差S 算术平均值的标准偏差S L
解： 1 10 L 10 i1 Li
1(4.3 2 2 4.3 2 4 4.3 2 5 4.3 2 0 4.3 24 10
4 . 3 2 4 3 . 3 2 4 7 . 3 2 4 4 . 3 2 4 3 . 3 ) 2
一、不确定度的概念：
由于误差的存在而被测量值不能确 定的程度，是被测量真值在某个量值 范围内的评定。
u 不确定度用 表示
误差以一定的概率被包含在量值范围(u~u)中
_
_
真值以一定的概率被包含在量值范围 (Nu)~(Nu)中
一 测量不确定度的定义
◆不确定度表示由于测量误差存在而对被测 量值不能确定的程度（《JJF027-1991测量 误差的处理》）
③.环境误差:实验环境、测量条件不 合要求
④.人员误差:操作者生理或心理因素
1
R
Rx 1
Rx Rv
R
Rx 1
RA Rx
1
电流表外接
电流表内接
3 误差的分类
1).系统然误差:系统误差的确 定性可用特定方法来消除.
2).随机误差(偶然误差)随机 性可通过多次测量来减小.
1 )系统误差
在一定条件下（指仪器、方 法和环境）对同一物理量进行多次 测量时，其误差按一定的规律变化， 测量结果都大于真值或都小于真值。
（贝塞尔公式）
n1
算术平均值对真值的标准偏差
S N
n
2
Ni N
i 1
n( n 1 )
例: 用标准米尺测某一物体的长度共10次，
其数据如下：
次 数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L(cm) 42.32 42.34 42.35 42.30 42.34 42.33 42.37 42.34 42.33 42.35
按条件分类：
◆等精度测量—若多次测量都是在 相同的条件下进行的，称为等精 度测量
◆不等精度测量—若多次测量是在 测量条件发生变化的条件下进行 称为不等精度测量
二. 误差
• 1. 绝对误差与相对误差 • 2．误差来源 • 3．误差的分类 • 4．误差的几个基本概念
1. 绝对误差与相对误差
①.绝对误差
仪 3 00.5% 0.2(m)A
电压表（0.1级）
B.由仪器的准确度等级计算
电流表（0.5级）
仪 3 00.5% 0.2(m)A
电压表（0.1级） 仪 7.50.1% 0.00 (V)8
②.仪器误差 的仪确定：
A.由仪器的准确度表示
①.估计方法
B类评定不确定度为
uB
仪 3
（P＝68.3%）
教学中一般可视为均匀分布，
②.仪器误差 的仪确定：
A.由仪器的准确度表示
②.仪器误差 的仪确定：
A.由仪器的准确度表示
B.由仪器的准确度级别来计算
电电表表的的最满大量误程 级 差别%
电流表（0.5级）
B.由仪器的准确度等级计算 电 流 表 （ 0.5 级 ）
第一节 测量与误差
一.测量
• 1.测量的含义 • 2.测量的分类
1. 测量的含义
1. 测量的含义
• 测量就是把待测物理量与作为计量单 位的同类已知量相比较，找出被测量 是单位的多少倍的过程。
• 倍数→ 读数+单位→数据
• 测量的要素：对象，单位，方法，准 确度。
2. 测量的分类
按方法分类：
• 直接测量 • 间接测量
S N 是一个误差范围，称为“误差限”或“置信 真限值”落在 (NS)~(NS) 内的置信度也是68.3%
对于不同的置信限，真值被包含的概率P不同。
在
(N2S)~(N2S)范围内
N
N
p=95.4%
在
(N3S)~(N3S)范围内
N
N
p=99.7%
四、坏值的剔除
1.极限误差
测量数据在 (N3S)~(N3S)范围内的概率为99.7%
砝码 （±2mg）。这种系统误差通常只 能定出它的极限范围，
未定系统误差
●要估计出分布范围。 ●对于未定系统误差在物理实验中我们
一般只考虑仪器测量仪器的（最大） 允许误差△仪
（大致与 B 类不确定度B 相当）
如：螺旋测微计制造时的螺纹公差 等
2) 随机误差（又称偶然误差）
由于环境有起伏变化和偶然因素的干扰，使 测量结果略有差异，因而产生误差，这类误差称 为随机误差。
3. 误差的分类
①.系统误差 特点： 确定性 螺旋测微计测小球直径
3. 误差的分类
1)系统误差
特点：总是使测量结果向一个 方向偏离，它有固定的大小，或是 按一定规律变化。
螺旋测微计测小球直径
电压表测电压
②.偶然误差 特点： 随机性
螺旋测微器测钢丝直径
四 误差的修正
• 误差的产生有其必然性和普遍性， 误差自始至终存在于一切科学实验 中，一切测量结果都存在误差
'Ni Ni N
m
' N i 0
i 1
（m→ ∞） m
(N 1 N ) (N 2 N ) . .(.N m N )N i m 0 N
i 1
1 m
N mi1 Ni
N
（近真值）
Ni Ni N （偏差）
二、误差的估计——标准偏差
高斯分布
多次测量中任意一次测量的标准偏差
S
n
2
Ni N
i 1
按条件分类：
√ • 等精度测量
• 非等精度测量
按方法分类
●直接测量：指用仪器或量具，直接测得
（读出）被测量数值的测量，该物理量称 为直接测量量。
●间接测量
由若干直接测量
的量经过一定函
数关系运算后得
出的待测量。这
种测量称为间接
测量，需要通过
间接测量求得结
果的物理量称为 间接测量量。
T2
l g
g4T22l
试用拉依达准则剔除坏值。
解：
10
(Li L)2
S i1
3.16cm
101
3 S 3 .1 6 3 9 .4c8 m
L10Li L
=20.33 —10.72
= 9.61>3S
当 数 据 为 11 个 时 可 以 用拉依达准则剔除
本节小结
一.算术平均值 二.标准偏差 三.置信度 四.坏值的剔除
第三节 实验不确定度
1 系统误差的修正
• 系统误差的处理是一个比较复杂的 问题，它没有一个简单的公式 ， 主要取决于实验者的经验和技巧并 根据具体情况来处理。从实验者对 系统误差掌握的程度来分，又可分 为已定系统误差和未定系统误差两 类
（1）已定系统误差
◆电表、螺旋测微计的零位误差 ◆伏安法测电阻电流表内接、外
接由于忽略表内阻引起的误差。 ◆标准值为50毫克的三等砝码，
3S:极限误差
lim3S
2.拉依达准则
凡是误差 (NiN)lim3S的数据为坏值，应当 删除，平均值N和误差S应剔除坏值后重新计算。
注 意 ：拉依达准则是建立在 n的条件下，当n较 少时，3S的判据并不可靠，尤其是 n10时更
是如此。
对某一长度L测量11次，其数据如下：
次 数1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 L ( c m ) 1 0 .3 5 1 0 .3 8 1 0 .3 0 1 0 .3 2 1 0 .3 5 1 0 .3 3 1 0 .3 7 1 0 .3 1 1 0 .3 4 2 0 .3 3 1 0 .3 7
(4)随机误差的处理 1)测量的平均值：
xxi n1x ni 1 n(x1x2 xn)
2)标准偏差： 测量列的标准偏差：
Sx
n
(xi x)2
i 1
n 1
平均值的标准偏差：
Sx
Sx n
n
(xi x)2
i1
n(n 1)
多次测量可以减小随机误差
系统然误差与偶然误差的关系
偶然误差 系统误差